Satz von Bayes
Der Satz von Bayes beschreibt die Umkehrung bedingter Wahrscheinlichkeiten.
Formel
P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}Variablen & Einheiten — Satz von Bayes
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| P(A|B) | Bedingte Wahrscheinlichkeit von A, gegeben B (Posterior) | dimensionslos |
| P(B|A) | Bedingte Wahrscheinlichkeit von B, gegeben A (Likelihood) | dimensionslos |
| P(A) | A-priori-Wahrscheinlichkeit von A | dimensionslos |
| P(B) | Randwahrscheinlichkeit von B | dimensionslos |
Herleitung & Hintergrund — Satz von Bayes
Thomas Bayes (1701–1761) entwickelte das Theorem posthum veröffentlicht 1763. Grundlage der Bayesschen Statistik und des Maschinenlernens. Gegenintuitiv: Ein positiver Test bei 1% Basisrate und 99% Sensitivität liefert nur 50% Wahrscheinlichkeit einer Erkrankung.
Rechenbeispiel
Medizinischer Test: Krankheit tritt mit 1% auf (P(K) = 0,01). Test ist 95% sensitiv: P(+|K) = 0,95. Falsch-Positiv-Rate: 5%: P(+|¬K) = 0,05. P(K|+) = (0,95×0,01)/(0,95×0,01 + 0,05×0,99) ≈ 16%.
Anwendungsgebiete
Medizinische Diagnostik, Spam-Filter, Machine Learning, Forensik, Risikoanalyse
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Frage (Vorderseite)
Was beschreibt die Formel P(A|B) = P(B|A)·P(A) / P(B)? Nenne alle Variablen und Einheiten.
Antwort (Rückseite)
Der Satz von Bayes beschreibt die Umkehrung bedingter Wahrscheinlichkeiten.. P(A|B): Bedingte Wahrscheinlichkeit von A, gegeben B (Posterior) (dimensionslos); P(B|A): Bedingte Wahrscheinlichkeit von B, gegeben A (Likelihood) (dimensionslos); P(A): A-priori-Wahrscheinlichkeit von A (dimensionslos); P(B): Randwahrscheinlichkeit von B (dimensionslos).
Wissenschaftliche Quellen
- [1]Bayes, T. (1763). An essay towards solving a problem in the doctrine of chances. Philosophical Transactions.
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