Taylor-Reihe
Die Taylor-Reihe beschreibt eine Funktion als Potenzreihe um einen Entwicklungspunkt a.
Formel
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!} (x-a)^nVariablen & Einheiten — Taylor-Reihe
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| f⁽ⁿ⁾(a) | n-te Ableitung von f am Punkt a | dimensionslos |
| n! | Fakultät von n | dimensionslos |
| a | Entwicklungspunkt | dimensionslos |
Herleitung & Hintergrund — Taylor-Reihe
Brook Taylor 1715, Colin Maclaurin 1742 (Spezialfall a = 0). Fundamentale Bedeutung: Jede glatte Funktion kann lokal durch Polynome approximiert werden. eˣ = 1 + x + x²/2! + x³/3! + ... (konvergiert überall).
Rechenbeispiel
sin(x) um a = 0: sin(x) = x − x³/6 + x⁵/120 − ... Für x = 0,1: sin(0,1) ≈ 0,1 − 0,000167 ≈ 0,09983. Exakt: 0,09983...
Anwendungsgebiete
Numerische Mathematik, Physik (Näherungen), Signal-Processing, Taschenrechner-Implementierungen
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Frage (Vorderseite)
Was beschreibt die Formel f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x−a)ⁿ? Nenne alle Variablen und Einheiten.
Antwort (Rückseite)
Die Taylor-Reihe beschreibt eine Funktion als Potenzreihe um einen Entwicklungspunkt a.. f⁽ⁿ⁾(a): n-te Ableitung von f am Punkt a (dimensionslos); n!: Fakultät von n (dimensionslos); a: Entwicklungspunkt (dimensionslos).
Wissenschaftliche Quellen
- [1]Taylor, B. (1715). Methodus incrementorum directa et inversa.
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