Logistisches Wachstum
Die Differentialgleichung des logistischen Wachstums beschreibt Populationswachstum mit Kapazitätsgrenze und ist ein realistisches Modell für biologische Populationen.
Formel
\frac{dN}{dt} = r \cdot N \cdot \left(1 - \frac{N}{K}\right)Variablen & Einheiten – Logistisches Wachstum
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| N | Populationsgröße (Anzahl Individuen) | Individuen |
| r | Intrinsische Wachstumsrate (birth − death rate) | 1/t |
| K | Kapazitätsgrenze (Carrying Capacity) des Lebensraums | Individuen |
| t | Zeit | s, d oder Jahr |
Herleitung & Hintergrund – Logistisches Wachstum
Pierre François Verhulst (1838) korrigierte Malthus'exponentiellen Ansatz: Bei N << K: nahezu exponentielles Wachstum; bei N → K: dN/dt → 0. Wendepunkt (stärkste Rate) bei N = K/2. Analytische Lösung: N(t) = K/(1 + ((K−N₀)/N₀)·e^(−rt)).
Rechenbeispiel
Bakterien: r = 0,5/h, K = 10⁶, N₀ = 1000. Nach t = 10 h: N ≈ 10⁶/(1 + 999·e⁻⁵) ≈ 860 000. Bei t → ∞: N → K.
Anwendungsgebiete
Ökologie (Populationsdynamik), Epidemiologie (SIR-Modelle), Bakterienwachstum, Tumorwachstum, Marktsättigung
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Frage (Vorderseite)
Was beschreibt die Formel dN/dt = r·N·(1 − N/K)? Nenne alle Variablen und Einheiten.
Antwort (Rückseite)
Die Differentialgleichung des logistischen Wachstums beschreibt Populationswachstum mit Kapazitätsgrenze und ist ein realistisches Modell für biologische Populationen.. N: Populationsgröße (Anzahl Individuen) (Individuen); r: Intrinsische Wachstumsrate (birth − death rate) (1/t); K: Kapazitätsgrenze (Carrying Capacity) des Lebensraums (Individuen); t: Zeit (s, d oder Jahr).
Wissenschaftliche Quellen
- [1]Verhulst, P.F. (1838). Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement. Correspondance Mathématique et Physique, 10, 113–121.
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