Logistisches Wachstum

Das logistische Modell beschreibt Wachstum, das durch eine begrenzte Ressource gebremst wird. Die Wachstumsrate ist dN/dt = r·N·(1 − N/K), mit der Populationsgröße N, der Wachstumsrate r und der Kapazitätsgrenze K. Solange N klein gegen K ist, wächst die Population fast exponentiell mit der Rate r. Nähert sich N der Kapazität K, wird der Bremsfaktor (1 − N/K) immer kleiner und das Wachstum verlangsamt sich, bis es bei N = K ganz stoppt. Beispiel Bakterien mit r = 0,5/h, K = 10⁶ und N₀ = 1000: Nach 10 Stunden liegt N bei etwa 860 000, langfristig strebt N gegen K. Es entsteht die typische S-förmige Wachstumskurve.

Die Kapazitätsgrenze K ist die maximale Populationsgröße, die eine Umgebung dauerhaft tragen kann, weil Ressourcen wie Nahrung, Platz oder Sauerstoff begrenzt sind. Im logistischen Modell ist K der Wert, gegen den die Population langfristig strebt. Erreicht N die Kapazität, wird der Bremsfaktor (1 − N/K) null und das Wachstum stoppt; die Population bleibt konstant. Liegt N über K, etwa nach einer Überbevölkerung, wird der Faktor negativ und die Population schrumpft zurück Richtung K. K ist also ein stabiles Gleichgewicht. Es hängt von den konkreten Umweltbedingungen ab und kann sich ändern, wenn sich Ressourcen oder Lebensraum verändern. K ist eine der beiden zentralen Größen des Modells neben der Wachstumsrate r.

Exponentielles Wachstum beschreibt eine Population, die ungebremst mit konstanter Rate wächst; die Wachstumsgeschwindigkeit steigt immer weiter an und die Population würde theoretisch unendlich groß. Logistisches Wachstum berücksichtigt dagegen begrenzte Ressourcen über den Bremsfaktor (1 − N/K), der das Wachstum bei Annäherung an die Kapazität K abbremst. Für kleine Populationen, wenn N viel kleiner als K ist, sind beide Modelle nahezu gleich, weil der Bremsfaktor dann nahe eins liegt. Erst bei größerer Population weichen sie deutlich ab: Das logistische Wachstum flacht ab und strebt gegen K, das exponentielle wächst unbegrenzt weiter. In der Natur ist das logistische Modell realistischer, weil Ressourcen immer begrenzt sind.

Die absolute Wachstumsgeschwindigkeit dN/dt ist beim halben Wert der Kapazität, also bei N = K/2, am größten. Dort ist das Produkt aus vorhandener Population N und freiem Spielraum (1 − N/K) maximal. Bei kleinerem N gibt es zwar viel Spielraum, aber wenige Individuen, die sich vermehren; bei größerem N gibt es viele Individuen, aber kaum noch Spielraum. Genau in der Mitte ist die Bilanz optimal. An diesem Punkt hat die S-förmige Wachstumskurve ihren Wendepunkt, die Steigung ist dort am steilsten. Danach nimmt das Wachstum wieder ab, bis es bei N = K ganz stoppt. Dieser Wendepunkt bei K/2 ist ein charakteristisches Merkmal des logistischen Modells.

Das logistische Modell beschreibt viele Sättigungsprozesse über die Biologie hinaus. In der Populationsökologie modelliert es Tier- und Pflanzenpopulationen mit begrenztem Lebensraum. In der Mikrobiologie beschreibt es das Wachstum von Bakterienkulturen, die in einem Nährmedium an ihre Grenzen stoßen. In der Epidemiologie ähnelt die Ausbreitung einer Krankheit in einer Bevölkerung dem logistischen Verlauf, weil die Zahl noch nicht Infizierter abnimmt. Auch die Verbreitung neuer Technologien oder Produkte folgt oft einer S-Kurve, weil der Markt gesättigt wird. Überall dort, wo anfangs schnelles Wachstum durch eine natürliche Obergrenze gebremst wird, ist das logistische Modell ein passender und weit verbreiteter Beschreibungsansatz.