Satz von Bayes

Multipliziere die umgekehrte bedingte Wahrscheinlichkeit P(B|A) mit der Basiswahrscheinlichkeit P(A) und teile durch die Gesamtwahrscheinlichkeit P(B): $P(A|B) =\frac{ P(B|A)\cdot{}P(A)}{P}(B)$. Den Nenner P(B) berechnest du oft über den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit als $P(B|A)\cdot{}P(A) + P(B|\neg{}A)\cdot{}P(\neg{}A)$. Beispiel medizinischer Test: Krankheit mit 1 Prozent Häufigkeit, 95 Prozent Sensitivität, 5 Prozent Falsch-Positiv-Rate. Dann ist $P(K|+) =\frac{ (0{,}95\cdot{}0{,}01)}{(0{,}95\cdot{}0{,}01 + 0{,}05\cdot{}0{,}99)} \approx{} 16$ Prozent. Trotz gutem Test ist ein positives Ergebnis überraschend oft ein Fehlalarm, weil die Krankheit selten ist und die vielen falsch-positiven Fälle die wenigen echten Treffer überwiegen. Achte darauf, den Nenner vollständig aus beiden Beiträgen zu bilden, sonst wird das Ergebnis falsch.

Die Basisrate P(A) skaliert im Satz von Bayes den Zähler und bestimmt maßgeblich das Ergebnis. Ist ein Ereignis sehr selten, bleibt es auch nach einem positiven Testergebnis oft unwahrscheinlich, weil die vielen falsch-positiven Fälle aus der großen gesunden Gruppe die wenigen echten Treffer überwiegen. Genau das zeigt das Beispiel des medizinischen Tests: Bei einer Krankheit mit nur 1 Prozent Häufigkeit liegt die Wahrscheinlichkeit, tatsächlich krank zu sein, trotz 95 Prozent Sensitivität nur bei etwa 16 Prozent. Wer die Basisrate ignoriert, überschätzt die Aussagekraft eines Tests dramatisch. Dieser Denkfehler heißt Basisratenfehler und ist in Medizin und Kriminalistik weit verbreitet.

P(A|B) und P(B|A) sind zwei verschiedene bedingte Wahrscheinlichkeiten und dürfen nicht gleichgesetzt werden. P(A|B) ist die Wahrscheinlichkeit für A, wenn B bereits eingetreten ist; P(B|A) ist umgekehrt die Wahrscheinlichkeit für B, wenn A eingetreten ist. Ein Beispiel macht den Unterschied deutlich: Die Wahrscheinlichkeit, krank zu sein, wenn der Test positiv ist, unterscheidet sich stark von der Wahrscheinlichkeit, positiv getestet zu werden, wenn man krank ist. Genau diese Verwechslung ist ein klassischer Denkfehler. Der Satz von Bayes zeigt, wie man korrekt zwischen beiden Richtungen umrechnet, nämlich unter Einbeziehung der Basisraten P(A) und P(B).

Der Satz von Bayes ist das Werkzeug, um eine anfängliche Wahrscheinlichkeit, die Priorwahrscheinlichkeit P(A), im Licht neuer Beobachtungen zu einer aktualisierten Posteriorwahrscheinlichkeit P(A|B) zu machen. Du multiplizierst den Prior mit der Likelihood P(B|A), also der Wahrscheinlichkeit der Beobachtung unter der Annahme, und normierst mit der Gesamtwahrscheinlichkeit P(B). Das Ergebnis berücksichtigt sowohl das Vorwissen als auch die neue Evidenz. Erhältst du weitere Daten, kannst du den Posterior erneut als Prior verwenden und den Vorgang wiederholen. Dieses schrittweise Lernen aus Daten ist die Grundlage der bayesschen Statistik und vieler moderner Verfahren des maschinellen Lernens und der Diagnostik.

Den Nenner P(B), auch Evidenz genannt, bestimmst du meist über den Satz der totalen Wahrscheinlichkeit. Du betrachtest alle Wege, auf denen das Ereignis B eintreten kann, und addierst ihre Wahrscheinlichkeiten: $P(B) = P(B|A)\cdot{}P(A) + P(B|\neg{}A)\cdot{}P(\neg{}A)$. Der erste Term erfasst die Fälle, in denen B zusammen mit A auftritt, der zweite die Fälle mit dem Gegenereignis $\neg{}A$. Bei einem Test sind das die echten Positiven plus die falsch Positiven. Dieser Nenner ist häufig der entscheidende und leicht übersehene Rechenschritt. Ohne ihn erhältst du keine gültige Wahrscheinlichkeit, weil die Summe aller Möglichkeiten sonst nicht eins ergibt.