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649 Formeln aus sieben Fächern, nach Kapiteln geordnet. 104 davon mit Rechner und Rechenweg, 100 mit Modellbild: Werte eingeben, Ergebnis und Bild antworten sofort.
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Newtons zweites Gesetz (resultierende Kraft)
Das zweite Newtonsche Gesetz setzt die Vektorsumme aller äußeren Kräfte auf ein System gleich Masse mal Beschleunigung; eine einzelne Kraft ist nur dann gleich der Resultierenden, wenn weitere Kräfte ausgeglichen sind oder fehlen.
Newtonsches Gravitationsgesetz
Das Newtonsche Gravitationsgesetz liefert den Betrag der anziehenden Kraft zwischen Punktmassen oder getrennten kugelsymmetrischen Körpern.
Kinetische Energie
Die kinetische Energie einer Punktmasse oder eines rein translatorisch bewegten Körpers ist im klassischen Modell . v ist der Geschwindigkeitsbetrag im gewählten Bezugssystem.
Potentielle Energie (Lagehöhe)
Im homogenen Schwerefeld gilt für die gravitative Lageenergie relativ zum gewählten Nullniveau. Für Änderungen zählt der vertikale Höhenunterschied.
Hookesches Gesetz (Federkraft)
Das Hookesche Gesetz beschreibt die lineare Beziehung zwischen Federkraft und Auslenkung — Grundlage für Schwingungen, Federmanometer und Werkstoffmechanik.
Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Weg-Zeit-Gesetz)
Das Weg-Zeit-Gesetz beschreibt die gerichtete Verschiebung bei konstanter Beschleunigung. Nur beim Start aus Ruhe ist s rein proportional zu .
Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz
Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz beschreibt die lineare Änderung der gerichteten Geschwindigkeit bei konstanter Beschleunigung. Je nach Vorzeichen kann die Schnelligkeit sinken oder steigen.
Freier Fall
Freier Fall aus Ruhe ohne Luftwiderstand: Fallstrecke wächst bei konstantem g quadratisch mit der Zeit. Freier Fall mit Anfangsgeschwindigkeit benötigt zusätzlich den Term v0t.
Impuls
Der klassische Impuls ist Masse mal gerichtete Geschwindigkeit im gewählten Bezugssystem; in einer Dimension sind die Komponenten vorzeichenbehaftet.
Impulserhaltungssatz
Der Gesamtimpuls eines gewählten Systems bleibt erhalten, wenn der äußere Kraftstoß im betrachteten Zeitintervall null oder vernachlässigbar ist.
Mechanische Arbeit
Mechanische Arbeit ist Energieübertragung durch eine Kraft längs des Angriffspunktwegs; nur die Komponente in Verschiebungsrichtung trägt bei.
Mechanische Leistung
Mechanische Leistung ist die zeitliche Rate der Arbeitsübertragung; beschreibt die mittlere Leistung über die Dauer t.
Zentripetalkraft (Kreisbewegung)
Die Zentripetalkraft ist der zum Mittelpunkt gerichtete radiale Anteil der resultierenden Kraft einer Kreisbewegung; sie wächst bei festem Radius quadratisch mit dem Tempo.
Dichte
Die mittlere Dichte ist Masse pro definiertem Volumen; Materialdichten müssen mit Temperatur, Druck und Materialzustand verglichen werden.
Druck
Druck beschreibt normale Kraft pro Fläche; liefert bei ungleichmäßiger Belastung nur die mittlere normale Druckbeanspruchung.
Schiefer Wurf (Wurfparabel)
Der schiefe Wurf zerlegt den freien Flug bei konstantem g in horizontale Bewegung mit konstanter Geschwindigkeit und vertikale Bewegung mit Beschleunigung −g. Die angegebenen Koordinaten beziehen sich auf den Abwurfpunkt.
Auftriebskraft (Archimedes)
Der hydrostatische Auftrieb entspricht der Gewichtskraft des tatsächlich verdrängten Fluids; Schwimmen oder Bewegung erfordern zusätzlich eine Kräftebilanz.
Gleitreibungskraft
Im einfachen Modell trockener Gleitreibung ist der Betrag . Die Kraft wirkt gegen die tangentiale Relativbewegung an der Kontaktfläche; Haftreibung erfüllt dagegen .
Drittes Keplersches Gesetz
Für eine ungestörte gebundene Zweikörperbahn gilt . Die Halbachse ist relativ; für einen leichten Begleiter darf die Gesamtmasse durch die Zentralmasse angenähert werden.
Drehmoment
Das Kreuzprodukt aus Ortsvektor und Kraft beschreibt die Drehwirkung. ·sinθ ist der Betrag; das Moment um eine gewählte Achse ist die entsprechende vorzeichenbehaftete Projektion.
Bernoulli-Gleichung
Bernoulli verbindet statischen Druck, Geschwindigkeit und Höhe entlang einer Stromlinie unter idealen Strömungsbedingungen; bei gleicher Höhe geht höhere Geschwindigkeit mit kleinerem statischem Druck einher.
Winkelgeschwindigkeit und Kreisfrequenz
Die Winkelgeschwindigkeit ist die zeitliche Winkeländerung. Die Kurzform gilt für den Betrag beim gleichförmigen Umlauf; Bahngeschwindigkeit hängt zusätzlich vom Achsabstand ab.
Spannenergie einer Feder
Für eine ideale lineare Feder ist die gespeicherte Energie relativ zum kraftfreien natürlichen Zustand. Zwischen vorgedehnten Zuständen zählt die Differenz der Quadrate, nicht das Quadrat des zusätzlichen Weges.
Hydrostatischer Druck
In einer ruhenden Flüssigkeit konstanter Dichte wächst der lokale Druck linear mit der vertikalen Tiefe; der Druck der Referenzfläche wird addiert.
Kontinuitätsgleichung der Strömung
Die stationäre Massenbilanz verbindet Dichte, Querschnitt und mittlere Normalgeschwindigkeit an einem Einlass und einem Auslass.
Trägheitsmoment eines Massensystems
Das Trägheitsmoment misst, wie stark die Masse eines Körpers bezüglich einer Drehachse verteilt ist.
Drehimpuls eines starren Körpers
Bei reiner starrer Rotation um eine feste Achse gilt für die Achsenkomponente . Entlang einer Hauptachse beschreibt ein skalares I auch den gesamten parallelen Drehimpulsvektor.
Rotationsenergie eines starren Körpers
Die kinetische Energie starrer Rotation um eine feste Achse ist . Die Trägheit gehört zu genau dieser Achse; das Quadrat macht die Energie unabhängig vom Drehsinn.
Winkelgeschwindigkeit bei konstanter Winkelbeschleunigung
Bei konstanter signierter Winkelbeschleunigung um eine feste Achse ändert sich die signierte Winkelgeschwindigkeit linear mit der Zeit.
Newtons zweites Gesetz für die Rotation
Die resultierende äußere Drehmomentkomponente um eine feste inertiale Achse ist bei konstantem I gleich I mal signierter Winkelbeschleunigung.
Rollbedingung ohne Gleiten
Beim Rollen ohne Gleiten auf ruhendem Boden ist der Schwerpunktgeschwindigkeitsbetrag gleich Rollradius mal Winkelgeschwindigkeitsbetrag.
Parallelachsensatz für das Massenträgheitsmoment
Das Trägheitsmoment um eine Achse parallel zur Schwerpunktachse ist um größer.
Gravitative potentielle Energie im Zentralfeld
Mit ist die Wechselwirkungsenergie des Massenpaares . r ist der Mittelpunktabstand; Bindung folgt aus der passenden Gesamtenergie, nicht aus U allein.
Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn
Für einen leichten Satelliten um eine dominierende Zentralmasse liefert Gravitation die Kreisbahnbeschleunigung; ist der erforderliche Geschwindigkeitsbetrag.
Fluchtgeschwindigkeit aus dem Gravitationsfeld
Die minimale Startgeschwindigkeit an Radius R, um ohne Antrieb und Verluste bis ins Unendliche zu gelangen, folgt aus Energieerhaltung.
Gewichtskraft nahe einer Himmelskörperoberfläche
Nahe einer Oberfläche in einem annähernd homogenen Gravitationsfeld ist die Gewichtskraft der Betrag der Gravitationskraft auf eine Masse.
Schwerpunkt eines Massensystems
Der Schwerpunkt ist der massengewichtete Mittelwert der Ortsvektoren eines Systems diskreter Massen.
Stokes-Gesetz, Sinkgeschwindigkeit und quadratischer Widerstand
Vergleicht viskosen linearen Stokes-Widerstand an einer Kugel mit dem quadratischen Widerstandsmodell für viele stumpfe Körper bei dominierenden Trägheitseffekten.
Stoßzahl (Rückprallkoeffizient)
Die Stoßzahl vergleicht die Relativgeschwindigkeit nach der Trennung mit der Relativgeschwindigkeit vor dem Stoß entlang der Stoßachse.
Carnot-Wirkungsgrad
Der Carnot-Wirkungsgrad begrenzt die zyklische Wärme-zu-Arbeit-Umwandlung zwischen zwei konstanten Reservoirtemperaturen. Der reversible Grenzfall besitzt .
Wärmekapazität (Q = m·c·ΔT)
berechnet die Wärme für eine Temperaturänderung ohne Phasenwechsel bei passendem annähernd konstantem c. ist die Wärmekapazität der betrachteten Stoffmenge.
Erster Hauptsatz der Thermodynamik
Für ein geschlossenes System ohne relevante makroskopische Energieänderungen ist die Änderung der inneren Energie Wärmeaufnahme minus Arbeit des Systems. Q und W haben gerichtete Vorzeichen.
Stefan-Boltzmann-Gesetz
Die gesamte emittierte Strahlungsleistung einer schwarzen Oberfläche wächst mit . Abgestrahlte Leistung und Netto-Wärmeaustausch sind getrennte Größen.
Lineare Wärmeausdehnung
Die freie lineare Längenänderung ist näherungsweise , wenn Materialrichtung, Temperaturbereich und Koeffizient passen. L0 ist die Referenzlänge bei T0.
Latente Wärme beim Phasenwechsel
Für einen reinen Stoff im Gleichgewichtsphasenwechsel bei konstantem Druck liefert mL die Übergangsenergie ohne Temperaturänderung. Erwärmen davor oder danach braucht zusätzliche Terme.
Entropieänderung entlang eines reversiblen Wegs
Die Entropieänderung eines Systems ergibt sich entlang eines reversiblen Vergleichswegs aus dem Integral der reversiblen Wärme über die absolute Temperatur; bei konstantem T vereinfacht es sich zu .
Mittlere translatorische Energie eines Gasmoleküls
Die mittlere translatorische kinetische Energie eines idealen Gasmoleküls hängt nur von der absoluten Temperatur ab.
Innere Energie eines einatomigen idealen Gases
Die innere Energie eines einatomigen idealen Gases ist die Summe der translatorischen kinetischen Energien seiner Teilchen.
Quadratischer Mittelwert der Molekülgeschwindigkeit
Die RMS-Geschwindigkeit ist die Quadratwurzel aus dem mittleren Geschwindigkeitsquadrat eines idealen Gasmoleküls.
Druck aus der kinetischen Gastheorie
Der Gasdruck lässt sich als Impulsübertrag der ungeordneten Molekülbewegung auf die Gefäßwände verstehen.
Wirkungsgrad einer Energieumwandlung
Der Wirkungsgrad vergleicht den gewünschten Energieausgang mit der vollständigen Zufuhr für dieselbe Systemgrenze und Zeitspanne.
Maxwell-Boltzmann-Verteilung der Molekülgeschwindigkeiten
Die Maxwell-Boltzmann-Dichte beschreibt bei thermischem Gleichgewicht, wie Molekülgeschwindigkeiten in einem klassischen idealen Gas verteilt sind; sie ist eine Dichte über den Betrag .
Plancksches Spektralgesetz
Plancks Gesetz beschreibt die spektrale Strahldichte eines schwarzen Gleichgewichtsstrahlers pro Wellenlängenintervall. Eine Leistung entsteht erst durch passende Flächen-, Winkel- und Bandintegration.
Äquipartition der Energie
Im klassischen thermischen Gleichgewicht trägt jeder quadratische Freiheitsgrad im Mittel pro Teilchen zur Energie bei.
Arbeit bei isothermer Expansion eines idealen Gases
Bei reversibler isothermer Expansion eines idealen Gases ist die vom Gas verrichtete Arbeit logarithmisch vom Volumenverhältnis abhängig.
Boltzmann-Entropie und Mikrozustände
Die Boltzmann-Beziehung ordnet einem Makrozustand mit Ω zugänglichen gleichwahrscheinlichen Mikrozuständen eine Entropie zu.
Coulombsches Gesetz
Das Coulombsche Gesetz beschreibt die elektrostatische Kraft zwischen zwei Punktladungen.
Lorentzkraft
Die obere Formel gibt den magnetischen Anteil der Lorentzkraft auf eine bewegte Ladung an; ein elektrisches Feld liefert zusätzlich elektrische Kraft.
Faradaysches Induktionsgesetz
Eine Änderung der orientierten Flussverkettung erzeugt eine Umlauf-EMK. Eine Klemmenspannung erfordert zusätzlich ein definiertes Mess- und Schaltungsmodell.
Gaußsches Gesetz der Elektrostatik
Der elektrische Fluss durch eine geschlossene Oberfläche hängt nur von der insgesamt eingeschlossenen Ladung ab. Bei hoher Symmetrie lässt sich damit das elektrische Feld besonders einfach bestimmen.
Ohmsches Gesetz
Das Ohmsche Gesetz verknüpft Spannung, Widerstand und Stromstärke: Die Spannung an einem ohmschen Leiter ist proportional zur Stromstärke.
Elektrische Leistung
gilt für konstante Gleichgrößen; ist momentan allgemeiner. Widerstandsformen setzen ohmsches Verhalten voraus. Effektivwerte brauchen bei sinusförmigem Wechselstrom den Leistungsfaktor.
Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen
Ideale ohmsche Widerstände im konzentrierten Schaltungsmodell. Reihe erfordert denselben Strom ohne Abzweig, parallel dieselben beiden Knoten. Die strenge Parallelgrenze setzt mindestens zwei positive endliche Widerstände voraus.
Kapazität eines Kondensators
Die Kapazität verbindet den Ladungsbetrag einer Kondensatorplatte mit der Spannung zwischen den Platten. Bei linearem Material und unveränderter Geometrie ist C konstant.
Energie im Kondensator
Die im elektrischen Feld eines Kondensators gespeicherte Energie wächst quadratisch mit der Spannung.
Transformator (Übersetzung)
Beim idealen Transformator folgen die Effektivspannungen dem Windungsverhältnis; die Lastströme skalieren invers. Polung, Leistungsfaktor und reale Verluste werden getrennt berücksichtigt.
Thomsonsche Schwingungsgleichung
Die Thomson-Formel gibt die Periodendauer der freien ungedämpften Schwingung eines idealen LC-Kreises an. Anfangsenergie bestimmt die Amplitude, nicht die ideale Frequenz.
Elektrische Feldstärke
Die elektrische Feldstärke ist ein Vektor, der die elektrische Kraft pro vorzeichenbehafteter Probeladung beschreibt. Im homogenen Plattenfeld gilt zusätzlich die Betragsform Spannung durch senkrechten Abstand.
Spezifischer Widerstand (Leiterwiderstand)
Homogener Leiter, gleichförmiger Querschnitt und festgelegte Temperatur im eindimensionalen ohmschen Modell. Kontaktwiderstände, Stromverdrängung und starke Temperaturprofile sind separat zu berücksichtigen.
Magnetfeld einer langen Spule
Die Formel beschreibt näherungsweise das Innenfeld fern der Enden einer langen, dicht gewickelten Luftspule. Entscheidend sind Windungsdichte und Strom, nicht allein die Windungszahl.
Selbstinduktion einer Spule
Ein Stromwechsel ändert die eigene Flussverkettung und erzeugt eine EMK entgegen der Änderung. Die passive ideale Spulenspannung hat den entgegengesetzten Spannungsbezug.
Zeitkonstante des RC-Kreises
Ein idealer Kondensator mit konstanter positiver Kapazität und endlichem positivem wirksamem Widerstand in einem linearen, nach dem Schalten zeitlich unveränderten Netzwerk. Die Zeitkonstante beschreibt die Spannungsabweichung vom Endwert; mehrere unabhängige Speicher können mehrere Zeitkonstanten erzeugen.
Bewegungsinduktion (Motional-EMK)
Der Betrag des motionalen EMK-Beitrags eines geraden Stabs ist bei paarweise senkrechtem Feld, Stab und Geschwindigkeit Bℓv.
Induktionsspannung des rotierenden Generators
Eine ebene Spule erzeugt bei gleichförmiger Rotation im homogenen Magnetfeld eine sinusförmige EMK, wenn ihre Flächennormale den Winkel zum Feld gleichmäßig durchläuft.
Magnetischer Fluss durch eine Fläche
Der magnetische Fluss integriert die orientierte Normalkomponente des Feldes über eine ausgewählte Fläche.
Impedanz eines RLC-Reihenschwingkreises
Die Impedanz fasst Widerstand und frequenzabhängige Blindwiderstände einer seriellen RLC-Schaltung zusammen.
Magnetfeld eines langen geraden Leiters
Der äußere Feldbetrag eines langen geraden Stromleiters fällt umgekehrt proportional zum kürzesten Achsenabstand; der Feldvektor verläuft tangential um die Achse.
Effektivwert sinusförmiger Wechselgrößen
Der Effektivwert einer Sinusspannung oder eines Sinusstroms entspricht dem Gleichwert, der in einem Widerstand dieselbe mittlere Wärmeleistung erzeugt.
Änderung elektrischer Potentialenergie
Die Änderung potentieller elektrischer Energie einer unveränderten Testladung ist ihre vorzeichenbehaftete Ladung multipliziert mit der Differenz aus Zielpotential und Ausgangspotential. Die elektrische Feldarbeit besitzt das entgegengesetzte Vorzeichen.
Kapazität eines Plattenkondensators
Für große parallele Platten mit vollständig homogenem linearem Dielektrikum ist die Kapazität proportional zu Überlappungsfläche und Permittivität und umgekehrt proportional zum senkrechten Abstand.
Magnetische Kraft auf einen stromdurchflossenen Leiter
Die magnetische Kraft auf einen geraden stromdurchflossenen Abschnitt folgt aus dem Kreuzprodukt von konventioneller Stromrichtung und äußerem Feld.
Drehmoment einer stromdurchflossenen Spule
Ein stromdurchflossener ebener Rahmen kann im homogenen Feld trotz null Gesamtkraft ein Drehmoment erfahren, das seine Dipolachse ausrichtet.
Energiedichte des elektrischen Feldes im Vakuum
Im Vakuum speichert ein elektrisches Feld pro Volumen eine Energiedichte proportional zum Quadrat der Feldstärke.
Elektrisches Feld einer unendlichen Linienladung
Eine ideale unendliche Linienladung erzeugt ein radialsymmetrisches Feld, dessen Betrag mit abnimmt.
Maxwell-Gleichungen in Integralform
Die vier Maxwell-Gleichungen verknüpfen elektrische und magnetische Flüsse mit Ladung, Strom und zeitlich veränderlichen Feldern.
Poynting-Vektor und elektromagnetischer Energiefluss
Der Poynting-Vektor gibt Richtung und momentane Flussdichte der elektromagnetischen Energie im Vakuum an.
Elektrische Energie bei konstanter Spannung und Stromstärke
setzt konstante Spannung und Strom über das Intervall voraus. Allgemein integriert man das zeitgleiche Produkt; getrennte Mittelwerte sind nicht allgemein zulässig. Das Vorzeichen folgt der gewählten Verbraucherorientierung.
Hall-Effekt und Hall-Spannung
Die Hall-Spannung entsteht, wenn ein Magnetfeld bewegte Ladungsträger seitlich ablenkt und dadurch eine transversale Ladungstrennung aufbaut.
Biot-Savart-Gesetz
Das Biot-Savart-Gesetz summiert vektorielle Magnetfeldbeiträge einzelner stationärer Stromelemente an einem Beobachtungspunkt.
Elektrischer Dipol: Moment, Drehmoment und Energie
Das elektrische Dipolmoment fasst zwei entgegengesetzte Ladungen zusammen; im homogenen Feld bestimmen Kreuz- und Skalarprodukt Drehmoment und potenzielle Energie.
Gegenseitige Induktivität
Die gegenseitige Induktivität misst den Fluss durch eine zweite Spule pro Strom der ersten und bestimmt die dadurch induzierte Spannung.
Driftmodell und Stromdichte
Das Driftmodell verbindet den gerichteten mittleren Ladungstransport mit Strom und Stromdichte in einem homogenen Leiterquerschnitt.
Zyklotronradius und Umlaufperiode
Ein geladenes Teilchen bewegt sich bei senkrechtem Eintritt in ein homogenes Magnetfeld auf einer Kreisbahn mit Zyklotronradius r und Periode T.
Kraft zwischen parallelen Strömen
Zwei lange parallele Leiter ziehen sich bei gleichgerichteten Strömen an und stoßen sich bei entgegengesetzten Strömen ab.
Federpendel (Schwingungsdauer)
Im idealen linearen, ungedämpften Feder-Masse-Modell hängt die Eigenperiode von m und k ab; die Amplitude verändert sie innerhalb dieses Modells nicht.
Wellengleichung (c = λ·f)
Die Beziehung verknüpft Phasengeschwindigkeit, Wellenlänge und Frequenz derselben laufenden periodischen Wellenkomponente.
Dopplereffekt (Akustik)
Der Dopplereffekt beschreibt die Frequenzverschiebung, wenn sich Quelle oder Beobachter relativ zueinander bewegen: Annäherung erhöht, Entfernung senkt die wahrgenommene Frequenz.
Fadenpendel (Schwingungsdauer)
Die ideale Kleinwinkelperiode eines Fadenpendels hängt von der Schwerpunktlänge l und dem örtlichen g ab. Die Masse kürzt sich; bei größeren Winkeln wächst die Periode mit der Amplitude.
Stehende Welle auf einer beidseitig festen Saite
Für eine homogene ideal flexible Saite mit zwei festen Enden und konstantem v ergeben die Randbedingungen diskrete Wellenlängen und Eigenfrequenzen.
Gedämpfte harmonische Schwingung
Die freie unterkritische Bewegung eines linear-viskos gedämpften Schwingers besitzt eine exponentielle Hüllkurve und die gedämpfte Eigenkreisfrequenz .
Schallintensität
Schallintensität ist mittlere Leistung pro Fläche; der logarithmische Pegel vergleicht sie mit einer festgelegten Referenzintensität.
Wellengeschwindigkeit auf einer gespannten Saite
Die Transversalwellengeschwindigkeit einer ideal flexiblen Saite steigt mit der Wurzel der Zugkraft und sinkt mit der Wurzel der linearen Massendichte.
Bragg-Bedingung der Kristallbeugung
Konstruktive Reflexion an parallelen Kristallebenen tritt auf, wenn der Gangunterschied ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist.
Phasen- und Gruppengeschwindigkeit
Die Phasengeschwindigkeit verfolgt eine konstante Phase, während die Gruppengeschwindigkeit die Bewegung eines schmalbandigen Wellenpakets beschreibt.
Strahlungsdruck bei Absorption und Reflexion
Elektromagnetische Strahlung überträgt Impuls und übt dadurch auf eine Fläche Strahlungsdruck aus.
Snelliussches Brechungsgesetz
Snellius verknüpft die Strahlwinkel beim Übergang zwischen zwei Medien über ihre Brechungsindizes. Die Winkel gehören zum Lot, die Indizes zur gleichen Frequenz.
Linsengleichung (Abbildungsgleichung)
Die Linsengleichung lokalisiert reelle oder virtuelle Bilder einer dünnen paraxialen Linse. Der signierte Maßstab beschreibt ihre Orientierung.
Doppelspalt-Interferenz
Die Doppelspaltformel gibt die Richtungen der Interferenzmaxima an: Verstärkung entsteht, wenn der Gangunterschied d·sinα ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist.
Beugungsgitter: Hauptmaxima
Konstruktive Interferenz an einem Beugungsgitter tritt auf, wenn der Gangunterschied benachbarter Spalte ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist.
Malus-Gesetz
Malus beschreibt die Intensitätsprojektion bereits linear polarisierten Lichts an einem idealen Analysator: für das Feld, für die Intensität.
Grenzwinkel der Totalreflexion
θc ist der Einfallswinkel, bei dem die propagierende Brechungsrichtung gerade tangential wird. Oberhalb wird im idealen Zweimedienmodell die gesamte normale Leistung reflektiert.
Brewster-Winkel der Polarisation
Am Brewster-Winkel ist die p-Komponente der Reflexion null; die verbleibende Reflexion eines unpolarisierten Eingangs ist s-polarisiert.
Rayleigh-Kriterium einer Kreisblende
Das Rayleigh-Kriterium setzt die Trennung zweier inkohärenter Punktbilder auf den Radius zum ersten Minimum des Airy-Musters einer Kreisapertur.
Minima der Einzelspaltbeugung
Die Minima des Einzelspaltmusters entstehen, wenn Beiträge aus verschiedenen Spaltbereichen einander destruktiv auslöschen.
De-Broglie-Wellenlänge
Die De-Broglie-Wellenlänge beschreibt die Wellennatur von Materieteilchen, den Welle-Teilchen-Dualismus.
Photoeffekt (Einstein)
Der Photoeffekt beschreibt die Emission von Elektronen aus einer Metalloberfläche bei Bestrahlung mit Licht.
Heisenbergsche Unschärferelation
Die Unschärferelation setzt eine fundamentale Grenze für die gleichzeitige Bestimmbarkeit von Ort und Impuls. Sie ist kein Messproblem, sondern eine Eigenschaft der Quantennatur.
Radioaktives Zerfallsgesetz
Das Zerfallsgesetz beschreibt die exponentielle Abnahme der unzerfallenen Atomkerne einer radioaktiven Substanz.
Masse-Energie-Äquivalenz (E = mc²)
Einsteins berühmteste Gleichung: Masse und Energie sind äquivalent, jede Masse entspricht einer gewaltigen Ruheenergie.
Photoeffekt: Gegenspannung und Grenzfrequenz
Die Gegenspannung steigt oberhalb der Grenzfrequenz linear mit der Lichtfrequenz und macht die Photoelektronenenergie messbar.
Aktivität einer radioaktiven Probe
Die Aktivität gibt die Zahl der Kernzerfälle pro Zeit an und ist proportional zur Zahl der noch nicht zerfallenen Kerne.
Kernbindungsenergie aus dem Massendefekt
Die Bindungsenergie eines Kerns entspricht dem Energieäquivalent des Massendefekts gegenüber getrennten Nukleonen.
Zeitdilatation und Längenkontraktion
Relativ bewegte Inertialbeobachter messen ein längeres Zeitintervall für eine bewegte Uhr und eine verkürzte Länge für einen Stab parallel zur Bewegung.
Relativistische Energie-Impuls-Beziehung
Die relativistische Gesamtenergie eines freien Teilchens hängt invariant mit Impuls und Ruhemasse zusammen.
Zeitabhängige Schrödinger-Gleichung
Die zeitabhängige Schrödinger-Gleichung entwickelt den Quantenzustand; bei zeitunabhängigem Potential führt Separation auf stationäre Energieeigenzustände.
Energiezustände im eindimensionalen Potentialkasten
Ein Teilchen zwischen unendlich hohen Wänden besitzt diskrete Energien und stehende Eigenfunktionen.
Compton-Verschiebung
Die Compton-Formel gibt die Wellenlängenänderung eines Photons bei der Streuung an einem freien Elektron an.
Bohr-Energieniveaus und Übergänge im Wasserstoffatom
Das Bohr-Modell ordnet dem Wasserstoffatom diskrete Energieniveaus zu. Bei einem Übergang wird ein Photon mit der Energiedifferenz aufgenommen oder abgegeben.
Quantisierte Energieniveaus des harmonischen Oszillators
Ein quantenmechanischer harmonischer Oszillator besitzt diskrete Energieniveaus mit konstantem Abstand ℏω und einer nichtverschwindenden Grundzustandsenergie.
Tunneleffekt: Transmission durch eine Potentialbarriere
Die WKB-Näherung schätzt die exponentiell kleine Transmissionswahrscheinlichkeit eines Teilchens durch eine classisch verbotene rechteckige Barriere.
Lambert-Beersches Gesetz (Photometrie)
Das Lambert-Beer-Gesetz verknüpft die Extinktion (Absorbanz) einer Lösung mit ihrer Konzentration und Schichtdicke. Es ist Grundlage der UV/Vis-Spektroskopie und quantitativen Analytik.
Stoffmenge (Mol)
Die Stoffmenge n zählt Teilchen portionsweise in Mol. Aus Masse m und molarer Masse M berechnet, ist die Grundformel jeder stöchiometrischen Rechnung.
Molare Masse
Die molare Masse M gibt an, wie viel Gramm ein Mol eines Stoffes wiegt. Sie ist der Quotient aus Masse und Stoffmenge und ergibt sich für Verbindungen als Summe der Atommassen.
Stoffmengenkonzentration
Die Stoffmengenkonzentration c (Molarität) gibt an, wie viel Mol eines gelösten Stoffes in einem Liter Lösung stecken. Sie verbindet Stoffmenge und Lösungsvolumen.
Avogadro-Konstante (Teilchenzahl)
Die Avogadro-Konstante NA verknüpft die Stoffmenge mit der tatsächlichen Teilchenzahl: Ein Mol enthält Teilchen, n Mol entsprechend das n-fache.
Verdünnungsgleichung
Die Verdünnungsgleichung nutzt, dass beim Verdünnen die Stoffmenge des gelösten Stoffes gleich bleibt: Konzentration mal Volumen ist vor und nach dem Verdünnen gleich.
Massenanteil (Massenprozent)
Der Massenanteil w gibt an, welcher Anteil der Gesamtmasse einer Lösung oder Mischung auf den gelösten Stoff entfällt; mal 100 ergibt er die Massenprozent.
Molalität
Die Molalität gibt die Stoffmenge eines gelösten Stoffes pro Kilogramm Lösungsmittel an und bleibt bei Temperaturänderung unverändert.
Aktivität und Aktivitätskoeffizient
Die Aktivität ersetzt in thermodynamischen Gleichungen die Konzentration durch eine dimensionslose wirksame Konzentration, korrigiert über den Aktivitätskoeffizienten.
Retentionsfaktor in der Chromatographie
Der Retentionsfaktor vergleicht die zusätzliche Verweilzeit eines Analyten in der Säule mit der Totzeit der mobilen Phase.
Molenbruch
Der Molenbruch gibt den Anteil einer Komponente an der gesamten Stoffmenge eines Gemischs an.
Massenkonzentration
Die Massenkonzentration beschreibt die Masse eines gelösten Stoffes pro Volumen der gesamten Lösung.
Stoffmengenbilanz bei der Titration
Die Titrationsbilanz setzt an der Äquivalenz den stöchiometrischen Stoffmengenumsatz von Probe und Maßlösung gleich.
Lineare Kalibriergerade
Eine Kalibriergerade verknüpft ein gemessenes Analysensignal mit bekannten Standardkonzentrationen im linearen Arbeitsbereich.
Standardaddition in der Analytik
Die Standardaddition schätzt eine unbekannte Analytkonzentration durch Zugabe bekannter Analytmengen direkt zur Probenmatrix.
Nachweis- und Bestimmungsgrenze
Nachweis- und Bestimmungsgrenze beschreiben, ab welcher Analytkonzentration ein Signal erkennbar beziehungsweise ausreichend genau quantifizierbar ist.
Selektivitätsfaktor der Chromatographie
Der Selektivitätsfaktor vergleicht die Retention zweier Analyte und beschreibt, wie gut eine Trennmethode sie unterscheidet.
Chromatographische Auflösung
Die chromatographische Auflösung setzt den Abstand zweier Peakmaxima zur Summe ihrer Basisbreiten ins Verhältnis.
Analytische Wiederfindung
Die Wiederfindung quantifiziert den Anteil einer bekannten zugesetzten Analytmenge, der mit der gesamten Methode wiedergefunden wird.
Atomökonomie
Die Atomökonomie misst den theoretischen Anteil der Eduktmasse, der gemäß ausgeglichener Reaktionsgleichung im gewünschten Produkt landet.
Prozentuale Reaktionsausbeute
Die prozentuale Ausbeute vergleicht die tatsächlich isolierte Produktmenge mit der stöchiometrisch maximal möglichen Menge.
Grad der Ungesättigtheit (DBE)
Der Grad der Ungesättigtheit zählt aus einer Summenformel die Summe aus Ringen und π-Bindungsäquivalenten ab.
E-Faktor in der Grünen Chemie
Der E-Faktor setzt die Masse des erzeugten Abfalls ins Verhältnis zur Masse des gewünschten Produkts.
Interner Standard und relativer Responsefaktor
Ein interner Standard kompensiert gemeinsame Proben- und Injektionsschwankungen; der relative Responsefaktor korrigiert die unterschiedliche Detektorantwort von Analyt und Standard.
Ideales Gasgesetz
Das ideale Gasgesetz verbindet Druck, Volumen, Stoffmenge und Temperatur eines idealen Gases.
Gibbs-Energie (Freie Enthalpie)
Die Gibbs-Energie bestimmt die Spontaneität chemischer Reaktionen: spontan, nicht spontan.
Reaktionsenthalpie (Satz von Hess)
Der Satz von Hess erlaubt es, Reaktionsenthalpien aus tabellierten Standardbildungsenthalpien zu berechnen, weil die Enthalpie eine Zustandsgröße ist: Nur Anfangs- und Endzustand zählen, nicht der Weg.
Gitterenergie (Born-Haber-Kreisprozess)
Der Born-Haber-Kreisprozess bestimmt die nicht direkt messbare Gitterenthalpie eines Salzes: Er zerlegt die Bildung aus den Elementen in messbare Teilschritte und wendet den Satz von Hess an.
Henry-Gesetz (Konzentrationskonvention)
Das Henry-Gesetz beschreibt bei gegebener Temperatur, wie die Gleichgewichtskonzentration eines Gases in einer Flüssigkeit mit seinem Partialdruck über der Lösung zunimmt.
Osmotischer Druck (van-’t-Hoff-Gleichung)
Für eine verdünnte Lösung schätzt die van-’t-Hoff-Gleichung den osmotischen Druck aus der Konzentration gelöster Teilchen und der absoluten Temperatur.
Dalton-Gesetz der Partialdrücke
Für ein ideales Gasgemisch ist der Gesamtdruck die Summe der Partialdrücke, und jeder Partialdruck entspricht dem Molenbruch mal Gesamtdruck.
Kompressibilitätsfaktor realer Gase
Der Kompressibilitätsfaktor Z misst, wie stark das molare Volumen eines realen Gases bei gegebenem Druck und gegebener Temperatur vom idealen Gasmodell abweicht.
Van-der-Waals-Gleichung
Die Van-der-Waals-Gleichung korrigiert die ideale Gasgleichung um Anziehungskräfte und das Eigenvolumen der Teilchen.
Chemisches Potential einer Komponente
Das chemische Potential beschreibt die Änderung der Gibbs-Energie bei Zugabe einer Stoffmenge einer Komponente unter festgelegten Bedingungen.
Gibbs-Helmholtz-Gleichung
Die Gibbs-Helmholtz-Gleichung verknüpft die Temperaturänderung von bei konstantem Druck mit der Enthalpie.
Clausius-Clapeyron-Gleichung für Verdampfung
Die integrierte Clausius-Clapeyron-Gleichung schätzt, wie sich der Sättigungsdampfdruck mit der Temperatur ändert.
Kirchhoff-Gesetz für Reaktionsenthalpien
Das Kirchhoff-Gesetz korrigiert eine Reaktionsenthalpie auf eine andere Temperatur über die Wärmekapazitätsdifferenz.
Mischungsentropie einer idealen Lösung
Die Mischungsentropie quantifiziert die Zunahme der Konfigurationsmöglichkeiten beim Mischen idealer Komponenten.
Boltzmann-Verteilung und Zustandssumme
Die Boltzmann-Verteilung gibt die Gleichgewichtsbesetzung von Energiezuständen an; die Zustandssumme normiert ihre statistischen Gewichte.
Gibbsche Phasenregel
Die Gibbsche Phasenregel zählt, wie viele intensive Zustandsgrößen eines Gleichgewichtssystems unabhängig gewählt werden können.
Reaktionsenthalpie aus Bindungsenthalpien
Mittlere kovalente Bindungsenthalpien liefern eine Näherung für die Reaktionsenthalpie aus den in der Gasphase gebrochenen und gebildeten Bindungen.
Fugazitätskoeffizient eines Realgases
Der Fugazitätskoeffizient korrigiert den Partialdruck eines realen Gases zu einer thermodynamisch wirksamen Fugazität.
Arrhenius-Gleichung
Die Arrhenius-Gleichung beschreibt die Temperaturabhängigkeit der Geschwindigkeitskonstante einer chemischen Reaktion.
Geschwindigkeitsgesetz (Reaktionsordnung)
Das Geschwindigkeitsgesetz verknüpft die Reaktionsgeschwindigkeit mit den Eduktkonzentrationen; die Exponenten m und n sind die Reaktionsordnungen und werden experimentell bestimmt.
RGT-Regel
Die RGT-Regel (Reaktionsgeschwindigkeit-Temperatur-Regel) ist eine Faustregel: Eine Temperaturerhöhung um 10 K beschleunigt viele Reaktionen etwa um den Faktor Q10, meist 2 bis 4.
Integriertes Geschwindigkeitsgesetz erster Ordnung
Das integrierte Zeitgesetz erster Ordnung berechnet, wie die Konzentration eines Edukts bei einer Reaktion mit mit der Zeit abnimmt.
Integriertes Geschwindigkeitsgesetz nullter Ordnung
Für eine Reaktion nullter Ordnung sinkt die Eduktkonzentration linear mit der Zeit, solange die konstante Reaktionsrate gilt.
Integriertes Geschwindigkeitsgesetz zweiter Ordnung
Für den Fall steigt der Kehrwert der Konzentration linear mit der Zeit.
Halbwertszeit nach Reaktionsordnung
Die Halbwertszeit gibt an, wann die Konzentration eines Edukts die Hälfte ihres Startwerts erreicht; ihre Abhängigkeit zeigt die Reaktionsordnung.
Eyring-Gleichung
Die Eyring-Gleichung verknüpft eine Geschwindigkeitskonstante mit der Gibbs-Energie der Aktivierung im Übergangszustandsmodell.
Stationäre Näherung für ein Reaktionsintermediat
Die stationäre Näherung setzt die Bildungs- und Verbrauchsraten eines kurzlebigen Intermediats näherungsweise gleich.
Massenwirkungsgesetz (Gleichgewichtskonstante)
Das Massenwirkungsgesetz (MWG) beschreibt das chemische Gleichgewicht: Das stöchiometrisch gewichtete Verhältnis der Gleichgewichtskonzentrationen von Produkten zu Edukten ist konstant.
Löslichkeitsprodukt
Das Löslichkeitsprodukt KL ist die Gleichgewichtskonstante für das Lösen eines schwer löslichen Salzes: das Produkt der Ionenkonzentrationen, jeweils potenziert mit dem stöchiometrischen Koeffizienten.
Van-'t-Hoff-Gleichung (Reaktionsisobare)
Die Van-'t-Hoff-Gleichung beschreibt, wie die Gleichgewichtskonstante von der Temperatur abhängt: Aus der Standard-Reaktionsenthalpie folgt K bei jeder anderen Temperatur.
Raoult’sches Gesetz
Das Raoult’sche Gesetz verknüpft im idealen Flüssigkeitsgemisch den Partialdruck einer Komponente mit ihrem Molenbruch.
Siedepunktserhöhung
Die Siedepunktserhöhung schätzt die Temperaturerhöhung einer verdünnten Lösung gegenüber dem reinen Lösungsmittel.
Gefrierpunktserniedrigung
Die Gefrierpunktserniedrigung schätzt, wie weit eine verdünnte Lösung unter dem Gefrierpunkt des reinen Lösungsmittels erstarrt.
Ionenstärke
Die Ionenstärke fasst Konzentrationen und Ladungszahlen aller Ionen als Maß für die elektrostatische Umgebung zusammen.
Reaktionsquotient
Der Reaktionsquotient vergleicht Aktivitäten der Produkte und Edukte im momentanen Zustand einer Reaktion.
Zusammenhang zwischen Kp und Kc
Die Beziehung übersetzt eine konzentrationsbasierte Gleichgewichtskonstante in eine auf Partialdrücke bezogene Konstante für ideale Gase.
Standard-Gibbs-Energie und Gleichgewichtskonstante
Die Beziehung verknüpft die Standard-Reaktions-Gibbs-Energie mit der thermodynamischen Gleichgewichtskonstante.
Reaktions-Gibbs-Energie und Reaktionsquotient
Die aktuelle Gibbs-Energieänderung zeigt mit ihrem Vorzeichen, in welche Richtung eine Reaktion bei gegebener Zusammensetzung spontan fortschreitet.
Debye-Hückel-Grenzgesetz
Das Debye–Hückel-Grenzgesetz schätzt den Aktivitätskoeffizienten eines Ions aus seiner Ladungszahl und der Ionenstärke einer sehr verdünnten Lösung.
Van-Deemter-Gleichung
Die Van-Deemter-Gleichung beschreibt, wie die lineare Fließgeschwindigkeit die Bandenverbreiterung in einer chromatographischen Säule beeinflusst.
Verteilungsverhältnis bei der Flüssig-Flüssig-Extraktion
Das Verteilungsverhältnis vergleicht die gesamten analytischen Konzentrationen eines Stoffes in zwei nicht mischbaren Flüssigphasen im Gleichgewicht.
Gibbs-Hebelregel für Phasenanteile
Die Hebelregel berechnet die Anteile zweier koexistierender Phasen aus Gesamtzusammensetzung und ihren Gleichgewichtszusammensetzungen.
Henderson-Hasselbalch-Gleichung
Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung berechnet den pH-Wert von Pufferlösungen aus dem pKa der Säure und dem Konzentrationsverhältnis.
pH-Wert-Definition
Der pH-Wert ist der negative dekadische Logarithmus der Hydronium-Ionen-Konzentration. Er ist die universelle Skala für Säure und Base in der Chemie.
pKs-Wert (Säurekonstante)
Der pKs-Wert ist der negative dekadische Logarithmus der Säurekonstante Ks und misst die Stärke einer Säure: Je kleiner der pKs, desto stärker die Säure.
Ionenprodukt des Wassers
Das Ionenprodukt des Wassers verknüpft Hydronium- und Hydroxidkonzentration jeder wässrigen Lösung: Bei 25 °C gilt , daraus folgt .
pKb-Wert (Basenkonstante)
Der pKb-Wert misst die Stärke einer Base über die Basenkonstante Kb ihrer Protolyse mit Wasser: Je kleiner der pKb, desto stärker die Base. Für konjugierte Paare gilt (25 °C).
Speziesverteilung einer zweiprotonigen Säure
Die Verteilungsanteile geben an, welcher Anteil einer zweiprotonigen Säure als H2A, HA− oder vorliegt.
Pufferkapazität eines Säure-Base-Paares
Die Pufferkapazität beschreibt die starke oder schwache Änderung des pH-Werts bei Zugabe starker Säure oder Base.
Titrationskurve einer schwachen Säure
Die Titrationskurve einer schwachen einprotonigen Säure mit starker Base verknüpft das zugegebene Volumen mit dem pH vor, am und nach dem Äquivalenzpunkt.
Nernst-Gleichung
Die Nernst-Gleichung beschreibt das Elektrodenpotential in Abhängigkeit von Temperatur und Konzentration.
Faraday-Gesetz der Elektrolyse
Das Faraday-Gesetz verknüpft die bei einer Elektrolyse abgeschiedene Masse mit der geflossenen Ladung : Die Faraday-Konstante übersetzt Ladung in Stoffmenge.
Standard-Zellpotential einer galvanischen Zelle
Das Standard-Zellpotential ist die Differenz der tabellierten Standard-Reduktionspotentiale von Kathode und Anode.
Konzentrationszelle als Nernst-Anwendung
Eine Konzentrationszelle gewinnt Spannung aus unterschiedlichen Aktivitäten desselben Redoxpaares an zwei Elektroden.
Molare Leitfähigkeit
Die molare Leitfähigkeit setzt die Leitfähigkeit einer Lösung ins Verhältnis zur Stoffmengenkonzentration des Elektrolyten.
Kohlrauschsches Gesetz der unabhängigen Ionenwanderung
Bei unendlicher Verdünnung addieren sich die Grenz-Ionenleitfähigkeiten gemäß ihrer stöchiometrischen Anzahl zur Grenzleitfähigkeit des Elektrolyten.
Butler-Volmer-Gleichung
Die Butler-Volmer-Gleichung beschreibt die Netto-Stromdichte als Differenz anodischer und kathodischer Teilströme in Abhängigkeit von der Überspannung.
Elektrophoretische Mobilität
Die elektrophoretische Mobilität gibt die Driftgeschwindigkeit eines geladenen Teilchens pro elektrischer Feldstärke an.
Quadratische Formel (ABC-Formel)
Die ABC-Formel bestimmt die Lösungen von mit . Die Diskriminante entscheidet, ob zwei, eine oder keine reelle Lösung vorliegen.
pq-Formel
Die pq-Formel löst jede quadratische Gleichung in Normalform , also mit dem Leitkoeffizienten 1.
Binomische Formeln
Die drei binomischen Formeln quadrieren Summen und Differenzen und faktorisieren rückwärts quadratische Terme.
Logarithmengesetze
Die Logarithmengesetze verwandeln Produkte in Summen, Quotienten in Differenzen und Potenzen in Vielfache.
Eigenwerte und Eigenvektoren
Eigenvektoren behalten unter einer linearen Abbildung ihre Richtung; der zugehörige Eigenwert gibt den Streckungsfaktor an. Die Eigenwerte erhält man aus der charakteristischen Gleichung.
Lineare Ausgleichsrechnung (Methode der kleinsten Quadrate)
Die lineare Ausgleichsrechnung wählt Parameter, deren Modellwerte die Summe der quadrierten Abweichungen zu überbestimmten Messdaten minimieren.
Lineares Gleichungssystem und Matrixrang
Ein lineares System ist genau dann lösbar, wenn Koeffizienten- und erweiterte Matrix denselben Rang haben.
Determinante und Invertierbarkeit
Die Determinante einer quadratischen Matrix misst orientierte Flächenskalierung und entscheidet, ob die zugehörige lineare Abbildung umkehrbar ist. Für eine 2×2-Matrix ist sie ad−bc.
Inverse Matrix und lineares Gleichungssystem
Ist A quadratisch und invertierbar, lässt sich eindeutig durch Multiplikation mit lösen. Die explizite Formel hier gilt für 2×2-Matrizen.
LU-Zerlegung einer Matrix
Die LU-Zerlegung zerlegt eine Matrix in untere und obere Dreiecksmatrix; P erfasst gegebenenfalls Zeilenvertauschungen. Damit lassen sich Systeme effizient lösen.
QR-Zerlegung einer Matrix
Die QR-Zerlegung schreibt eine Matrix mit linear unabhängigen Spalten als Produkt einer Matrix mit orthonormalen Spalten Q und einer oberen Dreiecksmatrix R.
Singulärwertzerlegung
Jede reelle Matrix lässt sich als orthogonale Faktoren U und V sowie eine Diagonalmatrix nichtnegativer Singulärwerte Σ darstellen.
Konditionszahl einer Matrix
Die Konditionszahl schätzt ab, wie stark relative Eingabefehler bei einem linearen Problem die relative Lösung verändern können.
Gauß-Elimination für lineare Gleichungssysteme
Gauß-Elimination löst ein lineares System, indem elementare Zeilenoperationen die erweiterte Matrix in Zeilenstufenform überführen.
Prozentrechnung: Prozentwert, Grundwert und Prozentsatz
Die Prozentrechnung verbindet den Anteil W, den Bezugswert G und den Prozentsatz p; p wird in der Formel als Zahl mit Prozentzeichen eingesetzt.
Einfache Zinsrechnung
Die einfache Zinsrechnung berechnet Zinsen proportional zu Anfangskapital, Jahreszinssatz und Laufzeit, ohne Zinsen erneut zu verzinsen.
Polarform komplexer Zahlen und de Moivre
Die Polarform beschreibt eine komplexe Zahl durch Betrag r und Argument φ. Die de-Moivre-Formel macht Potenzen und Wurzeln über Betrag und Winkel berechenbar.
Geradengleichung und Steigung
Die Steigung m misst die Änderung von y pro Schritt in x; zusammen mit dem y-Achsenabschnitt b legt sie die Gerade fest.
Scheitelpunktform der Parabel
Die Scheitelpunktform zeigt den Scheitel S(d|e) einer Parabel direkt in der Gleichung; der Faktor a steuert Öffnung und Streckung.
Geometrische Reihe
Die geometrische Reihe summiert Glieder mit konstantem Faktor q; für besitzt sogar die unendliche Reihe einen endlichen Wert.
Arithmetische Reihe (Gaußsche Summenformel)
Die Gaußsche Summenformel addiert Glieder mit konstantem Abstand: Anzahl der Glieder mal Mittelwert aus erstem und letztem Glied.
Fourierreihe einer periodischen Funktion
Eine Fourierreihe stellt eine periodische Funktion durch Sinus- und Kosinusanteile dar; die Koeffizienten sind Projektionen auf orthogonale Basisfunktionen.
Direkte Proportionalität
Bei direkter Proportionalität ist der Quotient konstant, sodass sich y mit demselben Faktor wie x ändert.
Antiproportionale Zuordnung
Bei einer antiproportionalen Zuordnung bleibt das Produkt xy konstant; wächst x um einen Faktor, sinkt y um denselben Faktor.
Prozentuales Wachstum und Zinseszins
Bei einer gleichbleibenden prozentualen Änderung pro Schritt wird der Bestand in jedem Schritt mit demselben Wachstumsfaktor multipliziert.
Satz des Pythagoras
Der Satz des Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreiecke: Das Quadrat der Hypotenuse ist gleich der Summe der Kathetenquadrate.
Kosinussatz
Der Kosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras auf beliebige Dreiecke ohne rechten Winkel.
Sinussatz
Im Dreieck verhalten sich die Seiten wie die Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel.
Kreisfläche und Kreisumfang
Fläche und Umfang eines Kreises hängen nur vom Radius r ab, verknüpft über die Kreiszahl π.
Kugel: Volumen und Oberfläche
Volumen und Oberfläche einer Kugel hängen nur vom Radius ab: Das Volumen wächst mit der dritten, die Oberfläche mit der zweiten Potenz von r.
Zylinder: Volumen und Oberfläche
Das Zylindervolumen ist Grundfläche mal Höhe; die Oberfläche besteht aus zwei Deckelkreisen und dem abgerollten Mantelrechteck.
Kegel: Volumen und Oberfläche
Ein Kegel fasst ein Drittel des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe; der Mantel wird über die Mantellinie s berechnet.
Pyramide: Volumen
Jede Pyramide fasst ein Drittel des Prismas mit gleicher Grundfläche G und Höhe h, unabhängig von der Form der Grundfläche.
Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck
Sinus, Kosinus und Tangens verknüpfen im rechtwinkligen Dreieck einen spitzen Winkel mit den Seitenverhältnissen.
Dreiecksfläche mit Sinus
Die trigonometrische Flächenformel: Zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel legen die Dreiecksfläche fest.
Trigonometrische Identitäten
Die Grundidentität und Additionstheoreme verbinden Sinus und Kosinus verschiedener Winkel und ermöglichen äquivalente Umformungen.
Bogenmaß, Bogenlänge und Kreissektor
Das Bogenmaß setzt einen Winkel als Verhältnis von Kreisbogen zu Radius an und macht Bogenlänge sowie Kreissektorfläche direkt berechenbar.
Flächen von Parallelogramm, Trapez und Drachenviereck
Die Flächenfamilie berechnet Parallelogramme mit Grundseite mal senkrechter Höhe, Trapeze mit mittlerer paralleler Seitenlänge mal Höhe und Drachenvierecke mit halbem Diagonalprodukt.
Volumen und Oberfläche eines geraden Prismas
Bei einem geraden Prisma ist das Volumen Grundflächeninhalt mal Höhe; die Oberfläche addiert beide Grundflächen und die Mantelfläche.
Dreiecksähnlichkeit und Skalierungsfaktoren
Ähnliche Dreiecke haben gleiche Winkel und proportionale entsprechende Seiten; ihre Flächen skalieren mit dem Quadrat des Seitenfaktors.
Ellipse und Hyperbel: Achsen und Brennpunkte
Die kanonischen Gleichungen unterscheiden Ellipse und Hyperbel und verknüpfen Halbachsen mit dem Brennpunktabstand.
Eulersche Formel
Die Eulersche Formel verbindet Exponentialfunktion mit Winkelfunktionen in der komplexen Ebene.
Produktregel der Differentiation
Die Produktregel erlaubt die Ableitung von Produkten zweier Funktionen.
Kettenregel der Differentiation
Die Kettenregel leitet verkettete Funktionen f(g(x)) ab: Äußere Ableitung mal innere Ableitung.
Taylor-Reihe
Die Taylor-Reihe beschreibt eine Funktion als Potenzreihe um einen Entwicklungspunkt a.
Potenzregel der Differentiation
Die Potenzregel ist die fundamentalste Ableitungsregel: Sie erlaubt die Ableitung jedes Monoms unmittelbar — Einstieg in die gesamte Differentialrechnung.
Ableitung der e-Funktion
Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung; bei tritt nach der Kettenregel der Faktor k hinzu.
Ableitung des natürlichen Logarithmus
Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ln x ist die Hyperbel , gültig für alle .
Ableitung von Sinus und Kosinus
Sinus und Kosinus leiten sich zyklisch ineinander ab: sin wird zu cos, cos zu −sin, jeweils im Bogenmaß.
Quotientenregel der Differentiation
Die Quotientenregel leitet Brüche aus zwei Funktionen ab, etwa gebrochenrationale Funktionen.
Stammfunktion und Grundintegrale
Die Potenzregel der Integration liefert Stammfunktionen: Exponent um 1 erhöhen, durch den neuen Exponenten teilen.
Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung
Der Hauptsatz verbindet Ableiten und Integrieren: Ein bestimmtes Integral wird über eine Stammfunktion an den Grenzen ausgewertet.
Fläche unter einer Kurve (bestimmtes Integral)
Das bestimmte Integral misst die Fläche zwischen Graph und x-Achse, solange der Graph oberhalb der Achse verläuft.
Partielle Integration
Die partielle Integration integriert Produkte, indem sie die Produktregel der Ableitung umkehrt.
Differenzenquotient und h-Methode
Der Differenzenquotient misst die mittlere Änderungsrate; im Grenzwert h gegen 0 wird er zur Ableitung, der lokalen Änderungsrate.
Rotationsvolumen
Rotiert der Graph von f um die x-Achse, entsteht ein Rotationskörper; sein Volumen summiert Kreisscheiben mit Radius f(x).
Partielle Ableitungen und Gradient
Partielle Ableitungen messen die Änderung nach einer einzelnen Variablen; der Gradient bündelt diese Änderungsraten als Vektor.
Doppel- und Mehrfachintegral
Ein Mehrfachintegral summiert eine Funktion über ein Gebiet und berechnet so etwa Volumen, Masse oder Gesamtladung.
Lagrange-Multiplikatoren
Die Lagrange-Bedingung findet Kandidaten für Extrema einer Funktion unter einer Gleichungsnebenbedingung.
Lineare Differentialgleichung 1. Ordnung
Eine lineare Differentialgleichung erster Ordnung verknüpft eine Funktion mit ihrer ersten Änderungsrate und beschreibt viele Relaxations- und Wachstumsprozesse.
Jacobi-Determinante bei Variablentransformationen
Die Jacobi-Determinante misst lokal, wie eine differenzierbare Koordinatentransformation Flächen oder Volumina skaliert.
Hesse-Matrix und lokaler Extremstellentest
Die Hesse-Matrix sammelt die zweiten partiellen Ableitungen und klassifiziert unter geeigneten Bedingungen kritische Punkte einer Funktion zweier Variablen.
Newton-Verfahren für Nullstellen
Das Newton-Verfahren nähert eine Nullstelle an, indem es die Tangente im aktuellen Schätzwert mit der x-Achse schneidet.
Zusammengesetzte Trapezregel
Die zusammengesetzte Trapezregel approximiert ein bestimmtes Integral, indem sie benachbarte Funktionswerte durch gerade Linien verbindet.
Zusammengesetzte Simpsonregel
Die zusammengesetzte Simpsonregel nähert ein Integral auf einem gleichmäßigen Gitter durch stückweise quadratische Parabeln an; die Zahl n der Teilintervalle muss gerade sein.
Mehrdimensionale Kettenregel
Hängt z=f(x,y) von zwei Größen ab, die wiederum von t abhängen, addiert die Kettenregel die Beiträge beider Änderungswege.
Richtungsableitung
Die Richtungsableitung misst die momentane Änderungsrate einer skalaren Funktion in einer vorgegebenen Einheitsrichtung u.
Divergenz eines Vektorfelds
Die Divergenz eines Vektorfelds ist eine skalare lokale Maßzahl für Quellen- oder Senkenverhalten des Felds.
Rotation eines Vektorfelds
Die Rotation oder der Curl ordnet einem differenzierbaren Vektorfeld ein Vektorfeld zu, das lokale Wirbelrichtung und Wirbelstärke beschreibt.
Vektorielles Linienintegral
Das vektorielle Linienintegral summiert die tangentiale Komponente eines Vektorfelds entlang einer orientierten Kurve.
Greenscher Satz
Greenscher Satz verknüpft ein positiv orientiertes Linienintegral am Rand eines ebenen Gebiets mit einem Flächenintegral der Rotation im Inneren.
Satz von Stokes
Der Satz von Stokes setzt die Zirkulation eines Vektorfelds am Rand einer orientierten Fläche mit dem Fluss seiner Rotation durch die Fläche gleich.
Mehrdimensionales Taylorpolynom zweiter Ordnung
Das Taylorpolynom zweiter Ordnung nähert eine glatte Funktion mehrerer Variablen nahe einem Entwicklungspunkt durch Wert, Gradient und Hesse-Matrix an.
Laplace-Transformation
Die Laplace-Transformation bildet eine Zeitfunktion auf eine Funktion der komplexen Frequenz s ab und wandelt geeignete Differentialgleichungen in algebraische Gleichungen um.
Trennbare Differentialgleichung
Bei einer trennbaren Differentialgleichung lassen sich alle y-Terme und x-Terme auf getrennte Seiten bringen und integrieren.
Lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten
Eine homogene lineare Differentialgleichung zweiter Ordnung mit konstanten Koeffizienten wird über die Nullstellen des charakteristischen Polynoms gelöst.
Explizites Euler-Verfahren
Das explizite Euler-Verfahren approximiert eine Lösung des Anfangswertproblems , indem die Tangentensteigung über einen Schritt h konstant fortgeschrieben wird.
Gradientenabstieg
Gradientenabstieg aktualisiert einen Parametervektor entgegen dem lokalen Gradienten, um eine differenzierbare Zielfunktion zu verkleinern.
Newton-Verfahren zur Optimierung
Das Newton-Verfahren für Optimierung korrigiert Parameter mit inverser Hesse-Matrix und Gradient, um stationäre Punkte einer hinreichend glatten Funktion zu finden.
Runge-Kutta-Verfahren vierter Ordnung (klassisches RK4)
Das klassische RK4-Verfahren approximiert einen Schritt eines Anfangswertproblems mit vier gewichteten Steigungsproben.
Grenzwert und Stetigkeit
Der Grenzwert ist der Wert, dem f(x) bei x nahe a zustrebt. Stetigkeit verlangt zusätzlich, dass er dem definierten Wert f(a) entspricht.
Konvergenztests für Reihen
Quotienten- und Wurzeltest entscheiden absolute Konvergenz vieler Reihen, während Vergleichs- und Leibniztests weitere Fälle abdecken.
Uneigentliche Integrale
Uneigentliche Integrale definieren Integrale über unendliche Intervalle oder an unbeschränkten Stellen als Grenzwerte endlicher Integrale.
Fourier-Transformation
Die Fourier-Transformation zerlegt ein nichtperiodisches Signal in seine komplexen Frequenzanteile.
Gekoppelte lineare Differentialgleichungssysteme
Ein lineares DGL-System beschreibt gekoppelte Zustandsgrößen mit einer Matrix und einem äußeren Antrieb.
Polynominterpolation nach Lagrange und Newton
Lagrange- und Newton-Darstellung liefern dasselbe eindeutige Polynom, das durch n+1 Punkte mit verschiedenen Stützstellen verläuft.
Integrationsregel der Substitution
Die Substitutionsregel ersetzt eine zusammengesetzte innere Funktion durch eine neue Variable und ihr passendes Differential.
Mittelwertsatz der Differentialrechnung
Der Mittelwertsatz garantiert zwischen zwei Endpunkten eine Stelle, an der die momentane Änderungsrate der mittleren Änderungsrate entspricht.
Implizites Differenzieren
Implizites Differenzieren bestimmt die lokale Steigung einer durch F(x,y)=0 definierten Kurve, ohne zuerst y explizit aufzulösen.
Ableitung einer Umkehrfunktion
Die Ableitung der Umkehrfunktion ist der Kehrwert der ursprünglichen Ableitung am zugehörigen Punkt, sofern diese dort nicht null ist.
Partialbruchzerlegung rationaler Funktionen
Die Partialbruchzerlegung schreibt eine echt gebrochenrationale Funktion mit paarweise verschiedenen linearen Nennerfaktoren als Summe einfacher Brüche.
Bogenlänge einer glatten Kurve
Die Bogenlänge summiert die infinitesimalen Wegstücke entlang des Graphen .
Oberfläche eines Rotationskörpers
Die Manteloberfläche beim Drehen eines Graphen um die x-Achse entsteht aus Umfang mal infinitesimaler Bogenlänge.
Gauss-Legendre-Quadratur
Gauss-Legendre-Quadratur wählt Stützstellen und Gewichte so, dass ein n-Punkt-Verfahren Polynome bis Grad 2n−1 exakt integriert.
Skalarprodukt
Das Skalarprodukt zweier Vektoren liefert eine Zahl und misst Winkel und Orthogonalität.
Kreuzprodukt (Vektorprodukt)
Das Kreuzprodukt zweier Vektoren im Raum liefert einen Vektor, der auf beiden senkrecht steht.
Hessesche Normalform (Abstand Punkt-Ebene)
Die Hessesche Normalform liefert den Abstand eines Punktes von einer Ebene: Punkt in die Koordinatengleichung einsetzen, durch die Länge des Normalenvektors teilen.
Ebenengleichung in Normalenform
Eine Ebene ist durch einen Punkt und einen Normalenvektor festgelegt: Genau die Ortsvektoren x⃗ mit liegen in ihr.
Abstand Punkt-Gerade
Der Abstand eines Punktes von einer Geraden im Raum ist die Länge des Lots; die Kreuzprodukt-Formel liefert ihn in einem Schritt.
Betrag eines Vektors (Länge)
Der Betrag eines Vektors ist seine Länge: die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate, ein doppelt angewendeter Pythagoras im Raum.
Gram-Schmidt-Orthogonalisierung
Das Gram-Schmidt-Verfahren macht aus linear unabhängigen Vektoren eine orthonormale Basis desselben Unterraums, indem es vorherige Richtungen projiziert und abzieht.
Cauchy-Schwarz-Ungleichung
Die Cauchy–Schwarz-Ungleichung beschränkt das Skalarprodukt durch das Produkt der Normen und begründet den Winkel zwischen Vektoren.
Satz von Bayes
Der Satz von Bayes beschreibt die Umkehrung bedingter Wahrscheinlichkeiten.
Normalverteilung (Gaußsche Glockenkurve)
Die Normalverteilung ist die wichtigste Wahrscheinlichkeitsverteilung — sie beschreibt viele natürliche Phänomene.
Binomialverteilung
Die Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer in n unabhängigen Versuchen mit Trefferwahrscheinlichkeit p an.
Erwartungswert
Der Erwartungswert ist der auf lange Sicht zu erwartende Mittelwert einer Zufallsgröße: Werte mal Wahrscheinlichkeiten, aufsummiert.
Bedingte Wahrscheinlichkeit
Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) misst die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B bereits eingetreten ist.
Standardabweichung
Die Standardabweichung σ misst die typische Streuung einer Zufallsgröße um ihren Erwartungswert μ.
Lineare Regression (Ausgleichsgerade)
Die lineare Regression legt die Ausgleichsgerade so durch eine Punktwolke, dass die Summe der quadrierten Abweichungen minimal wird.
Binomialkoeffizient (n über k)
Der Binomialkoeffizient n über k zählt, wie viele k-elementige Teilmengen sich aus n Objekten auswählen lassen, ohne Beachtung der Reihenfolge.
Poisson-Verteilung
Die Poisson-Verteilung modelliert die Anzahl seltener, unabhängiger Ereignisse in einem festen Intervall bei bekannter mittlerer Rate λ.
Sigma-Regeln (Sigma-Umgebungen)
Die Sigma-Regeln geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine normalverteilte Größe in den Umgebungen , und liegt.
Konfidenzintervall und Standardfehler des Mittelwerts
Das t-Konfidenzintervall quantifiziert die Stichprobenunsicherheit eines Mittelwerts, wenn die Populationsstreuung unbekannt ist.
Stichprobenvarianz
Die korrigierte Stichprobenvarianz misst die Streuung der Beobachtungen um den Stichprobenmittelwert und schätzt die Varianz der Grundgesamtheit.
Stichprobenkovarianz
Die Stichprobenkovarianz beschreibt, ob zwei Merkmale gemeinsam über oder unter ihren Mittelwerten liegen.
Pearson-Korrelationskoeffizient
Der Pearson-Korrelationskoeffizient normiert die Stichprobenkovarianz und misst Richtung und Stärke eines linearen Zusammenhangs.
t-Test-Statistik für eine Stichprobe
Die t-Statistik standardisiert den Abstand eines Stichprobenmittelwerts vom unter H0 angenommenen Mittelwert, wenn die Populationsstandardabweichung unbekannt ist.
Chi-Quadrat-Anpassungstest
Der Chi-Quadrat-Anpassungstest vergleicht beobachtete Häufigkeiten mit den unter einer angenommenen Verteilung erwarteten Häufigkeiten.
Standardfehler eines Anteils
Der geschätzte Standardfehler eines Stichprobenanteils beschreibt dessen typische Stichprobenstreuung bei unabhängigen Bernoulli-Beobachtungen.
Fortpflanzung von Messunsicherheiten
Die Standardunsicherheit eines berechneten Ergebnisses folgt näherungsweise aus Eingangunsicherheiten, Sensitivitäten und Kovarianzen.
t-, Chi-Quadrat- und F-Verteilung
Die t-Verteilung beschreibt standardisierte Mittelwerte bei unbekannter Varianz; Chi-Quadrat entsteht aus Quadratsummen und F aus Quotienten unabhängiger Varianzschätzer.
Zentraler Grenzwertsatz
Der zentrale Grenzwertsatz erklärt, warum standardisierte Stichprobenmittel bei wachsendem Stichprobenumfang näherungsweise normalverteilt sind.
Maximum-Likelihood-Schätzung
Die Maximum-Likelihood-Schätzung wählt den Parameter, unter dem die beobachteten Daten im angenommenen Modell die größte Likelihood besitzen.
Diskrete Markov-Kette und Übergangsmatrix
Eine diskrete Markov-Kette entwickelt Zustände mit einer Übergangsmatrix; der nächste Zustand hängt bedingt nur vom aktuellen Zustand ab.
Geometrische, hypergeometrische und Gamma-Verteilung
Diese Referenz unterscheidet Ersttreffer, Ziehen ohne Zurücklegen und eine stetige positive Gamma-Größe anhand passender Wahrscheinlichkeitsmodelle.
Stetige Gleichverteilung
Bei der stetigen Gleichverteilung sind alle gleich langen Teilintervalle innerhalb [a,b] gleich wahrscheinlich.
Multivariate Normalverteilung mit Kovarianzmatrix
Die multivariate Normalverteilung beschreibt einen d-dimensionalen Zufallsvektor über Mittelwertvektor und Kovarianzmatrix.
Bienaymé-Tschebyschow-Ungleichung
Die Ungleichung garantiert für jede Verteilung mit endlicher Varianz einen Mindestanteil der Werte innerhalb mehrerer Standardabweichungen.
Michaelis-Menten-Kinetik (Enzymkinetik)
Die Michaelis-Menten-Gleichung beschreibt, wie die Anfangsgeschwindigkeit einer einfachen Enzymreaktion mit der freien Substratkonzentration ansteigt und sich einer Grenzrate nähert.
ΔΔCt-Methode der qPCR
Die ΔΔCt-Methode schätzt relative qPCR-Expressionsänderungen gegenüber Referenzgen und Kontrollprobe.
Kompetitive Enzymhemmung
Ein kompetitiver Inhibitor erhöht die scheinbare Michaelis-Konstante, während Vmax im Idealmodell gleich bleibt.
Langmuir-Bindungsisotherme
Die Langmuir-Isotherme beschreibt die Gleichgewichtsbelegung unabhängiger Bindungsstellen durch ein Ligand.
Pfaffl-Modell der qPCR-Relativquantifizierung
Das Pfaffl-Modell vergleicht relative Transkriptmengen und korrigiert unterschiedliche Amplifikationseffizienzen von Ziel- und Referenzassay.
GC-Gehalt einer Sequenz
Der GC-Gehalt ist der prozentuale Anteil von Guanin und Cytosin an den gezählten kanonischen Basen einer Nukleinsäuresequenz.
GC-Skew einer Sequenz
Der GC-Skew misst die normierte Asymmetrie zwischen Cytosin- und Guaninbasen in einem festgelegten Sequenzfenster.
N50-Kontiggröße einer Genomassemblierung
N50 ist die Länge, bei der mindestens die Hälfte der gesamten assemblierten Basen in Kontigs dieser Länge oder länger liegt.
Sequenzalignment: Score und Sequenzidentität
Das globale Needleman–Wunsch-Alignment maximiert einen Sequenzscore; die Identität zählt übereinstimmende Zeichen in den ausgerichteten Spalten.
Absolute qPCR-Quantifizierung mit Standardkurve
Eine qPCR-Standardkurve schätzt die Ausgangskopienzahl aus dem Schwellenzyklus und quantifiziert die Amplifikationseffizienz aus ihrer Steigung.
BLAST-E-Value bei Sequenzsuchen
Der E-Value schätzt die erwartete Zahl zufälliger Alignments mit mindestens vergleichbarer Bewertung in einer Datenbanksuche.
Monod-Wachstumsmodell
Das Monod-Modell verknüpft die spezifische Wachstumsrate eines Mikroorganismus mit der Konzentration eines einzelnen limitierenden Substrats.
Ficksches Diffusionsgesetz (1. Gesetz)
Das erste Ficksche Gesetz verknüpft bei stationärer Diffusion den Stofffluss pro Fläche mit dem Konzentrationsgradienten: Teilchen bewegen sich netto von hoher zu niedriger Konzentration.
Goldman-Hodgkin-Katz-Gleichung
Die Goldman-Hodgkin-Katz-Gleichung schätzt das Membranpotential aus den Konzentrationen und relativen Permeabilitäten wichtiger Ionen.
Hill-Gleichung der Sauerstoffsättigung
Die Hill-Gleichung beschreibt näherungsweise die Sättigung des Hämoglobins mit Sauerstoff in Abhängigkeit vom Sauerstoffpartialdruck.
Herzzeitvolumen
Das Herzzeitvolumen ist das pro Minute ausgeworfene Blutvolumen eines Ventrikels.
Renale Clearance
Die Clearance gibt das gedachte Plasmavolumen an, das pro Zeit von einer Substanz befreit wird.
Arterieller Sauerstoffgehalt
Die Näherung schätzt den Sauerstoffgehalt des arteriellen Blutes aus gebundenem und physikalisch gelöstem Sauerstoff.
Fick-Prinzip für das Herzzeitvolumen
Das Fick-Prinzip berechnet den Blutfluss aus Sauerstoffverbrauch und arteriovenöser Sauerstoffgehaltsdifferenz.
Ejektionsfraktion des Ventrikels
Die Ejektionsfraktion ist der prozentuale Anteil des enddiastolischen Ventrikelvolumens, der während eines Herzschlags ausgeworfen wird.
Alveoläre Ventilation
Die alveoläre Ventilation schätzt das pro Minute die gasaustauschenden Alveolen erreichende Frischluftvolumen.
Maximale Quantenausbeute von Photosystem II
Das Verhältnis schätzt die maximale photochemische Quantenausbeute des Photosystems II nach Dunkeladaptation.
Transpirationsfluss aus Leitfähigkeit und Dampfdruckgefälle
Ein Gaswechsel-Näherungsmodell setzt den Transpirationsfluss proportional zur Gesamtleitfähigkeit für Wasserdampf und zum Blatt-Luft-Dampfdruckgefälle.
Wasserpotential in Pflanzen
Das Wasserpotential fasst osmotische, Druck-, Gravitations- und Matrixbeiträge zur freien Energie des Wassers in Pflanzen zusammen.
Alveoläre Gasgleichung
Die alveoläre Gasgleichung schätzt den Sauerstoffpartialdruck in den Alveolen aus eingeatmeter Sauerstofffraktion, Umgebungsdruck, CO2 und respiratorischem Quotienten.
Respiratorischer Quotient (RQ)
Der respiratorische Quotient vergleicht auf zellulärer Ebene die erzeugte CO2-Stoffmenge mit dem verbrauchten O2 bei der Oxidation eines Substrats.
Bohr-Gleichung für die physiologische Totraumfraktion
Die Bohr-Gleichung schätzt den Anteil des Atemzugvolumens, der wegen Totraumventilation nicht am alveolären Gasaustausch teilnimmt.
Photosynthese-Lichtantwort und Sättigung
Eine hyperbolische Lichtantwort beschreibt den Anstieg der Netto-Photosynthese bei geringer Bestrahlung und ihre Sättigung bei höherer photosynthetisch aktiver Strahlung.
Hardy-Weinberg-Gleichgewicht
Das Hardy-Weinberg-Gleichgewicht verknüpft in einer idealen Population die Allelfrequenzen p und q mit den Genotypfrequenzen und bleibt von Generation zu Generation konstant, solange keine Evolutionsfaktoren wirken.
Chi-Quadrat-Test (Anpassungstest)
Der Chi-Quadrat-Anpassungstest prüft, ob beobachtete Häufigkeiten (z. B. Phänotypen eines Kreuzungsversuchs) mit den nach einer Hypothese erwarteten Häufigkeiten (z. B. einem Mendel-Spaltungsverhältnis) verträglich sind.
Rekombinationsfrequenz und genetische Kartierung
Die Rekombinationsfrequenz schätzt, wie oft zwei Genorte durch Crossing-over getrennt werden, und liefert für kurze Intervalle eine Näherung der genetischen Kartendistanz.
Effektive Populationsgröße bei ungleichem Geschlechterverhältnis
Diese Näherung quantifiziert, wie ein ungleiches Verhältnis tatsächlich züchtender Männchen und Weibchen die genetisch wirksame Populationsgröße verringert.
Selektionskoeffizient und relative Fitness
Der Selektionskoeffizient s beschreibt den relativen Fitnessnachteil eines Genotyps; h legt fest, wie stark dieser Nachteil im Heterozygoten ausgeprägt ist.
Kopplungsungleichgewicht und r²
D misst die Abweichung zweier Allele von unabhängiger Kombination; standardisiert diese Assoziation als quadrierte Allelkorrelation.
Mutation-Selektions-Gleichgewicht (rezessives Allel)
Bei einem seltenen, vollständig rezessiven schädlichen Allel balanciert im einfachen Modell der Mutationszufluss den Selektionsverlust.
Schmal-sinnige Heritabilität
Die schmal-sinnige Heritabilität ist der Anteil phänotypischer Varianz, der in einer bestimmten Population und Umgebung auf additive genetische Varianz entfällt.
Inzuchtkoeffizient und Heterozygotie
FIS fasst den relativen Heterozygotenmangel innerhalb einer definierten Teilpopulation gegenüber Hardy-Weinberg-Erwartung zusammen.
Nukleotiddiversität π
Die Nukleotiddiversität π ist die mittlere Zahl paarweiser Sequenzunterschiede pro ausgerichteter Stelle in einer Stichprobe.
FST als Heterozygotie-basierte Populationsdifferenzierung
Eine anschauliche Heterozygotie-Form von FST setzt die Differenz zwischen Gesamt- und mittlerer Teilpopulationsheterozygotie ins Verhältnis zur Gesamtheterozygotie.
Wright-Fisher-Varianz der Allelfrequenz
Im diploiden Wright-Fisher-Modell quantifiziert die Varianz die zufällige Allelfrequenzänderung durch endliche Gametenstichprobe pro Generation.
Züchtergleichung für den Selektionserfolg
Die Züchtergleichung schätzt die Veränderung des Populationsmittelwerts einer quantitativen Eigenschaft nach gerichteter Selektion.
Wahrscheinlichkeit bei monohybriden Kreuzungen
Bei einer monohybriden Kreuzung zweier heterozygoter Eltern ergibt die unabhängige Kombination ihrer gleichwahrscheinlichen Gameten ein Genotypverhältnis von 1:2:1.
Genfluss und Migration: Änderung der Allelfrequenz
Bei einer einzelnen idealisierten Migration verschiebt sich die Allelfrequenz einer Population in Richtung der Allelfrequenz der einwandernden Gene.
Mittlere Sequenzierungs-Coverage
Die theoretische mittlere Sequenzierungstiefe setzt die Zahl gelesener Basen ins Verhältnis zur Länge des betrachteten Genoms oder Zielbereichs.
Jukes-Cantor-Distanzkorrektur
Die Jukes-Cantor-Korrektur schätzt Substitutionen pro Sequenzstelle aus dem beobachteten Anteil unterschiedlicher Basen und berücksichtigt mehrfach erfolgte Änderungen.
Logistisches Wachstum
Die Differentialgleichung des logistischen Wachstums beschreibt Populationswachstum mit Kapazitätsgrenze und ist ein realistisches Modell für biologische Populationen.
Exponentielles Wachstum
Das exponentielle Wachstumsmodell beschreibt eine Population, die bei unbegrenzten Ressourcen mit konstanter Rate wächst, sodass die Zunahme stets proportional zur aktuellen Größe ist.
Shannon-Index (Biodiversität)
Der Shannon-Index (Shannon-Wiener-Index) misst die Diversität einer Lebensgemeinschaft. Er berücksichtigt sowohl den Artenreichtum als auch die Gleichmäßigkeit (Evenness), mit der sich die Individuen auf die Arten verteilen.
Simpson-Index (Dominanz und Diversität)
Der Simpson-Index D misst die Dominanz in einer Lebensgemeinschaft: die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällig gezogene Individuen zur selben Art gehören. Der Kehrwert (1 − D) ist der Simpson-Diversitätsindex und steigt mit der Vielfalt.
Lincoln-Index (Fang-Wiederfang-Methode)
Der Lincoln-Petersen-Index schätzt die Größe einer Population, die nicht vollständig gezählt werden kann. Ein erster Fang wird markiert und freigelassen; aus dem Anteil markierter Tiere im zweiten Fang folgt die Gesamtzahl.
Pielou-Gleichverteilung (Evenness)
Pielous J normiert den Shannon-Index auf die maximal mögliche Entropie bei gleicher Häufigkeit aller S Arten und beschreibt deren relative Gleichverteilung.
Lotka-Volterra-Modell (Räuber und Beute)
Das klassische Lotka-Volterra-Modell beschreibt gekoppelte Änderungen einer Beute- und Räuberpopulation unter einfachen Dichte- und Begegnungsannahmen.
Lotka-Volterra-Modell interspezifischer Konkurrenz
Das Konkurrenzmodell erweitert logistisches Wachstum um die dichteabhängige Wirkung einer zweiten Art auf die jeweils andere Population.
Allometrische Skalierung
Ein Potenzgesetz beschreibt, wie ein biologisches Merkmal Y mit Körpermasse M skaliert.
Q₁₀-Temperaturkoeffizient
Q10 fasst zusammen, um welchen Faktor sich eine biologische Rate bei einer Temperaturänderung von 10 °C verändert.
Relative Wachstumsrate von Pflanzen
Die relative Wachstumsrate beschreibt die logarithmische Biomassezunahme pro Zeiteinheit.
Diskretes Populationswachstum
Das geometrische Modell beschreibt eine Population mit konstantem multiplikativem Wachstumsfaktor je Generation.
Primärproduktion und Energiefluss im Ökosystem
Die Nettoprimärproduktion ist die Bruttofixierung biologisch verfügbarer Energie abzüglich der autotrophen Atmung; trophische Effizienz vergleicht die Produktion benachbarter Ebenen.
Leslie-Matrix für altersstrukturierte Populationen
Die Leslie-Matrix projiziert die Größen einer Population über Altersklassen anhand von Fertilitäts- und Überlebensraten.
Netto-Reproduktionsrate und Generationzeit aus Lebenstafeln
Lebenstafelgrößen bündeln altersspezifisches Überleben und Reproduktion zu mittlerer Nachkommenzahl und mittlerer Generationzeit.
Chao1-Schätzer für Artenreichtum
Chao1 schätzt den Artenreichtum einer Gemeinschaft aus beobachteten Arten sowie Einzel- und Doppelfunden.
Holling-Typ-II-Funktion
Die Holling-Typ-II-Funktion beschreibt eine sättigende Fraßrate pro Räuber in Abhängigkeit von Beutedichte, Suchrate und Bearbeitungszeit.
Relatives Risiko (Risk Ratio)
Das relative Risiko vergleicht den Anteil mit Ereignis in einer exponierten Kohorte mit dem Anteil in einer nicht exponierten Kohorte.
Sensitivität und Spezifität diagnostischer Tests
Sensitivität und Spezifität messen, wie zuverlässig ein Test Erkrankte als positiv und Nicht-Erkrankte als negativ erkennt.
Wilson-Konfidenzintervall für einen Anteil
Das Wilson-Score-Intervall schätzt einen unbekannten binomialen Populationsanteil, etwa eine Prävalenz, aus x beobachteten Ereignissen in n unabhängigen Beobachtungen.
Cohen-d-Effektstärke
Cohen d standardisiert die Differenz zweier unabhängiger Gruppenmittelwerte anhand ihrer gepoolten Streuung.
Odds Ratio (Chancenverhältnis)
Die Odds Ratio vergleicht die Ereignis-Odds zweier Gruppen und ist besonders für Fall-Kontroll-Studien und logistische Regression wichtig.
ROC-AUC
Die ROC-AUC fasst die Trennfähigkeit eines Scores über alle möglichen Schwellen zusammen.
Kaplan-Meier-Schätzer
Der Kaplan-Meier-Schätzer schätzt die ereignisfreie Wahrscheinlichkeit trotz rechtszensierter Beobachtungen.
Hazard-Funktion
Die Hazard-Funktion ist die momentane Ereignisrate unter den bis dahin ereignisfreien Individuen.
Logistische Regression
Die logistische Regression modelliert die Log-Odds eines binären Outcomes als lineare Funktion von Prädiktoren.
Benjamini-Hochberg-Verfahren
Das Benjamini-Hochberg-Verfahren kontrolliert die erwartete False Discovery Rate bei einer Familie paralleler Tests.
Positiver und negativer Vorhersagewert
Vorhersagewerte geben an, wie häufig positive oder negative Tests mit dem Referenzstatus übereinstimmen.
Inzidenzrate pro Personenzeit
Die Inzidenzrate setzt neue Ereignisse ins Verhältnis zur aufsummierten Beobachtungszeit unter Risiko.
Kumulative Inzidenz (Inzidenzproportion)
Die kumulative Inzidenz schätzt den Anteil anfangs gefährdeter Personen, der innerhalb eines festgelegten Zeitraums neu erkrankt oder das definierte Ereignis erlebt.
Populations-attributable Fraktion (PAF)
Die PAF schätzt den Anteil der Ereignisse in einer Population, der unter starken Kausalannahmen einer binären Exposition zugeschrieben wird.
Standardisierte Mortalitätsratio (SMR)
Die indirekt standardisierte Mortalitätsratio vergleicht beobachtete Todesfälle mit der Zahl, die sich aus Referenzraten und der Stratumverteilung der untersuchten Kohorte ergäbe.
Basisreproduktionszahl im einfachen SIR-Modell
Im klassischen frequenzabhängigen SIR-Modell ist R0 das erwartete Ausmaß der Folgeinfektionen durch eine infektiöse Person in einer anfangs vollständig empfänglichen Population.
Intraklassenkorrelation (ICC)
In einem einfachen Random-Intercept-Modell ist die ICC der Anteil der Gesamtvarianz, der zwischen Clustern oder Gruppen liegt.
Designeffekt bei Clusterstichproben
Der Designeffekt schätzt den Varianzaufschlag einer gleich großen Clusterstichprobe gegenüber einer gleich großen einfachen Zufallsstichprobe.
Fallzahl pro Gruppe für zwei Mittelwerte
Eine Normalapproximation schätzt die Fallzahl je Arm für den Vergleich zweier unabhängiger Mittelwerte bei gleicher Gruppengröße und Varianz.
Variationskoeffizient
Der Variationskoeffizient setzt die Stichprobenstandardabweichung ins Verhältnis zum Stichprobenmittelwert und drückt relative Streuung aus.
Cohens Kappa für kategoriale Übereinstimmung
Cohens Kappa misst die Übereinstimmung zweier Beurteilender bei kategorialen Merkmalen und korrigiert um zufällig erwartete Übereinstimmung.
Diagnostische Likelihood Ratios
Likelihood Ratios setzen die Wahrscheinlichkeit eines Testergebnisses bei Erkrankten ins Verhältnis zu derselben Ergebniswahrscheinlichkeit bei Nicht-Erkrankten.
Konfidenzintervalle für relatives Risiko und Odds Ratio
Logarithmische Wald-Konfidenzintervalle beschreiben die Stichprobenunsicherheit eines relativen Risikos oder Odds Ratios aus einer 2×2-Tabelle.
Stichprobenumfang zur Schätzung eines Anteils
Die Näherung plant den Umfang einer einfachen Zufallsstichprobe, um einen einzelnen Populationsanteil mit vorgegebener Fehlerspanne und Konfidenz abzuschätzen.
Absolute Risikodifferenz
Die absolute Risikodifferenz quantifiziert den Unterschied der Ereigniswahrscheinlichkeiten zwischen zwei Gruppen auf der additiven Skala.
Fisher-Exakt-Test
Der Fisher-Exakt-Test bewertet eine 2×2-Kontingenztafel unter der Nullhypothese bedingter Unabhängigkeit mit der hypergeometrischen Verteilung bei fixierten Randsummen.
Stellarparallaxe und Entfernung
Die trigonometrische Parallaxe liefert die Entfernung eines Sterns aus seiner scheinbaren jährlichen Positionsverschiebung gegenüber sehr weit entfernten Hintergrundsternen.
Hubble-Lemaître-Gesetz (Näherung für kleine Rotverschiebung)
Bei kleinen kosmologischen Rotverschiebungen wächst die Rezessionsgeschwindigkeit einer Galaxie näherungsweise proportional zu ihrer Entfernung.
Astronomisches Entfernungsmodul
Das Entfernungsmodul verbindet scheinbare und absolute Helligkeit mit der Entfernung; die Extinktion AV ergänzt die Abschwächung durch interstellaren Staub im V-Band.
Stern-Durchmesser aus Winkelgröße und Entfernung
Für kleine Winkel ergibt sich der lineare Durchmesser eines Sterns aus Winkelgröße mal Entfernung.
Kosmologische Rotverschiebung und Skalenfaktor
Die kosmologische Rotverschiebung gibt an, um welchen Faktor die Wellenlänge des Lichts während der Expansion des Universums gedehnt wurde.
Cepheiden: Perioden-Leuchtkraft-Beziehung
Bei klassischen Cepheiden ist die mittlere absolute Helligkeit empirisch an die Pulsationsperiode gekoppelt; zusammen mit scheinbarer Helligkeit ergibt sich eine Distanzschätzung.
Wien’sches Verschiebungsgesetz
Für einen idealen schwarzen Körper verschiebt sich die Wellenlänge des Maximums seiner spektralen Strahldichte bei steigender Temperatur zu kürzeren Wellenlängen.
Leuchtkraft, Strahlungsfluss und Entfernung
Bei isotroper Abstrahlung verteilt sich die Leuchtkraft L auf die Kugeloberfläche mit Radius d; dadurch sinkt der empfangene Energiefluss mit dem Quadrat der Entfernung.
Sternradius aus Leuchtkraft und effektiver Temperatur
Für einen näherungsweise schwarzen Stern verknüpft die Stefan-Boltzmann-Beziehung Leuchtkraft, Radius und effektive Temperatur.
Spektralverschiebung und Rotverschiebung
Die dimensionslose Rotverschiebung vergleicht die beobachtete Spektrallinien-Wellenlänge mit ihrer Labor-Ruhwellenlänge.
Magnitudendifferenz aus dem Flussverhältnis
In demselben photometrischen Band übersetzt die logarithmische Magnitudenskala ein Flussverhältnis in einen Helligkeitsunterschied.
Beugungsbegrenzte Winkelauflösung eines Teleskops
Für eine ideale kreisförmige Apertur gibt das Rayleigh-Kriterium den kleinsten Winkelabstand zweier gerade noch auflösbarer Punktquellen an.
Tangentialgeschwindigkeit aus Eigenbewegung
Die Eigenbewegung am Himmel ergibt mit der geometrischen Entfernung die Geschwindigkeitskomponente quer zur Sichtlinie.
Kelvin-Helmholtz-Zeitskala eines Sterns
Die Kelvin-Helmholtz-Zeitskala schätzt, wie lange ein Stern bei seiner heutigen Leuchtkraft aus gravitativer Bindungsenergie strahlen könnte.
Jeans-Masse einer homogenen Gaswolke
Die Jeans-Masse schätzt die Mindestmasse, oberhalb derer Eigengravitation in einem idealisierten Gas gegenüber dem Druck stabilisierend überwiegen kann.
Eddington-Leuchtkraft bei konstanter Opazität
Die Eddington-Leuchtkraft ist die ideale Grenzleuchtkraft, bei der Strahlungsdruck auf absorbierende Materie die Gravitation eines kugelsymmetrischen Objekts ausgleicht.
Dynamische Zeitskala eines Sterns
Die dynamische Zeitskala schätzt, wie schnell ein Stern auf gravitative Störungen reagieren oder sich größenordnungsmäßig über seinen Radius bewegen kann.
Masse-Leuchtkraft-Beziehung der Hauptreihe
Für Sterne nahe der Sonnenmasse beschreibt eine grobe Potenzbeziehung, wie die Hauptreihenleuchtkraft mit der Masse wächst.
Näherung für die Hauptreihenlebensdauer
Die Hauptreihenlebensdauer skaliert grob mit verfügbarem Brennstoff geteilt durch Energieabgabe, also Masse-Leuchtkraft-Verhältnis.
Transit-Tiefe eines Exoplaneten
Bei einem zentralen Transit eines dunklen Planeten vor einer gleichmäßig hellen Sternscheibe entspricht der relative Helligkeitsabfall näherungsweise dem Flächenverhältnis.
Spektrale Auflösung
Das spektrale Auflösungsvermögen gibt an, wie groß die Wellenlänge im Verhältnis zum kleinsten unterscheidbaren Wellenlängenabstand ist.
Hydrostatisches Gleichgewicht im Sterninneren
Im hydrostatischen Sternmodell balanciert der nach außen gerichtete Druckgradient die nach innen wirkende Gravitation; zugleich wächst die eingeschlossene Masse mit der Dichte.
Schwarzschild-Radius eines nicht rotierenden Schwarzen Lochs
Der Schwarzschild-Radius ist der Ereignishorizont einer idealisierten, ungeladenen und nicht rotierenden kugelsymmetrischen Masse.
Keplers Flächensatz und Arealgeschwindigkeit
In einem zentralen Gravitationsfeld überstreicht der Radiusvektor in gleichen Zeiten gleiche Flächen; die Arealgeschwindigkeit bleibt konstant.
Roche-Grenze für einen fluiden Satelliten
Die Roche-Grenze schätzt, wie nah ein selbstgravitierender, praktisch festigkeitsloser Satellit an einen massereichen Primärkörper herankommen kann, bevor Gezeiten ihn zerreißen.
Oberflächengravitation eines Sterns
Im kugelsymmetrischen Newtonschen Modell hängt die Gravitationsbeschleunigung an der Sternoberfläche von Masse und Radius ab.
Gesamtmasse eines Doppelsternsystems
Die verallgemeinerte Kepler-Beziehung liefert aus Periode und relativer Bahn-Halbachse die Summe der Massen zweier gravitativ gebundener Sterne.
Vis-viva-Gleichung für elliptische Bahnen
Die Vis-viva-Gleichung bestimmt den Bahngeschwindigkeitsbetrag eines Körpers an einem Ort einer gebundenen Keplerellipse aus Zentralparameter, aktuellem Radius und großer Halbachse.
Chandrasekhar-Grenze für Weiße Zwerge
Die Chandrasekhar-Grenze ist die ungefähre maximale Masse eines kalten, nicht rotierenden Weißen Zwergs, der von Elektronenentartungsdruck getragen wird.
Big-O-Notation (asymptotische obere Schranke)
Big O ordnet Funktionen nach ihrer asymptotischen Wachstumsrate und liefert eine obere Schranke bis auf einen konstanten Faktor.
Zweierkomplement (vorzeichenbehaftete Binärzahl)
Das Zweierkomplement interpretiert ein festes N-Bit-Wort als vorzeichenbehaftete ganze Zahl mit negativem Gewicht des höchstwertigen Bits.
Teile-und-herrsche-Laufzeitrekurrenz
Eine Rekurrenz modelliert rekursive Algorithmen, indem sie Teilprobleme und zusätzliche Arbeit pro Aufruf beschreibt.
IEEE-754-Gleitkommadarstellung und Rundung
IEEE-754 stellt reelle Näherungswerte mit Vorzeichen, Exponent und Signifikand dar; Rundung begrenzt Ergebnisse auf das gewählte Format.
Boolesche Algebra: Identitäten und De-Morgan-Gesetze
Boolesche Identitäten vereinfachen logische Ausdrücke über Wahrheitswerten und erhalten ihre Wahrheitstabelle.
Euklidischer Algorithmus und modulares Inverses
Der euklidische Algorithmus berechnet den größten gemeinsamen Teiler; die erweiterte Rückwärtseinsetzung findet Bézout-Koeffizienten und damit ein modulares Inverses.
A*-Suche
A* ordnet offene Knoten nach den bisher bekannten Pfadkosten g plus geschätzten Restkosten h und sucht so einen kostengünstigen Zielpfad.
Master-Theorem für Rekurrenzen
Das Master-Theorem klassifiziert viele balancierte Teile-und-herrsche-Rekurrenzen durch den Vergleich der Arbeit f(n) mit .
Amortisierte Analyse dynamischer Arrays
Die Potentialmethode verteilt seltene teure Operationen über eine Operationsfolge und zeigt eine Worst-Case-Gesamtschranke ohne Wahrscheinlichkeitsannahme.
Union-Find (Disjoint Set Union)
Union-Find verwaltet eine Partition in disjunkte Mengen mit schnellen Operationen zum Finden des Repräsentanten und Vereinigen zweier Mengen.
Floyd-Warshall-Algorithmus
Floyd–Warshall berechnet kürzeste Wege zwischen allen Knoten, indem nacheinander jeder Knoten als möglicher Zwischenknoten zugelassen wird.
AVL-Baum: Balancebedingung und Höhe
Ein AVL-Baum ist ein binärer Suchbaum, dessen Teilbaumhöhen an jedem Knoten höchstens um eins abweichen; Rotationen stellen die Balance nach Änderungen wieder her.
Bellman-Ford-Algorithmus für kürzeste Wege
Bellman-Ford berechnet kürzeste Distanzen von einer Quelle durch wiederholte Kantenrelaxation und unterstützt auch negative Kantengewichte.
Dijkstra-Algorithmus für gewichtete kürzeste Wege
Dijkstra bestimmt von einem Startknoten aus kürzeste Wege in gewichteten Graphen, wenn alle Kantengewichte nichtnegativ sind.
Minimaler Spannbaum
Ein minimaler Spannbaum verbindet alle Knoten eines zusammenhängenden, ungerichteten, gewichteten Graphen mit minimaler Summe der Kantenkosten.
Binäre Suche: Vergleichszahl und Laufzeit
Binäre Suche halbiert den verbleibenden Suchbereich in einer sortierten, direkt indexierbaren Folge und benötigt logarithmisch viele Vergleiche.
Kombinatorische Zählregeln und Inklusion-Exklusion
Zählregeln bestimmen die Zahl möglicher Auswahlen; Inklusion–Exklusion korrigiert Mehrfachzählungen bei überlappenden Mengen.
Graphsuche: BFS, DFS und kürzeste Wege
Breitensuche (BFS) besucht einen ungewichteten Graphen schichtweise und findet kürzeste Wege nach Kantenzahl; Tiefensuche (DFS) verfolgt einen Pfad möglichst weit, bevor sie zurückgeht.
Diffie-Hellman-Schlüsselaustausch (Lehrmodell)
Diffie–Hellman lässt zwei Parteien über öffentliche Nachrichten denselben modularen Gruppenwert ableiten, ohne ihre privaten Exponenten zu senden.
Bloom-Filter: Falsch-Positiv-Wahrscheinlichkeit
Die Näherung schätzt die Wahrscheinlichkeit eines Falsch-Positivs bei einem klassischen Bloom-Filter.
Hashkollision (Geburtstagswahrscheinlichkeit)
Die Geburtstagsnäherung schätzt, ob bei n unabhängigen Hashes in M gleich wahrscheinliche Werte eine Kollision auftritt.
PageRank mit Dämpfung
PageRank berechnet eine stationäre Wichtigkeitsverteilung aus Verlinkungen und zufälligem Teleportieren im gerichteten Graphen.
Levenshtein-Editierdistanz
Die Levenshtein-Distanz ist die minimale Anzahl von Einfügungen, Löschungen und Ersetzungen, um eine Zeichenfolge in eine andere umzuwandeln.
RSA-Verschlüsselung: modulare Potenz
RSA bildet Nachrichtenrepräsentanten durch modulare Potenzierung mit öffentlichem Exponenten e und entschlüsselt mit privatem Exponenten d.
B⁺-Baum: Höhe und Indexzugriffe
Ein B+-Baum hält alle Datensätze in verketteten Blättern und nutzt hohe Verzweigung, um Indexzugriffe auf logarithmisch viele Seitenzugriffe zu begrenzen.
Hash-Tabelle: Lastfaktor und erwartete Suchzeit
Unter einfacher gleichmäßiger Hashannahme fasst der Lastfaktor die mittlere Belegung zusammen und bestimmt die erwartete Sucharbeit bei Verkettung.
Shannon-Entropie
Die Shannon-Entropie ist die erwartete Informationsmenge eines diskreten Zufallsversuchs und misst die Unsicherheit seiner Wahrscheinlichkeitsverteilung in Bit.
Hamming-Distanz von Bitfolgen
Die Hamming-Distanz zählt, an wie vielen Positionen sich zwei gleich lange Zeichenfolgen unterscheiden.
Shannon-Hartley-Kanalkapazität
Die Shannon-Hartley-Grenze gibt die maximal zuverlässig übertragbare Datenrate eines bandbegrenzten AWGN-Kanals an.
Gegenseitige Information diskreter Variablen
Mutual Information misst, wie stark die Beobachtung von Y die Unsicherheit über X im Mittel verringert.
Kullback-Leibler-Divergenz (relative Entropie)
Die KL-Divergenz misst den erwarteten Informationsnachteil, wenn q statt der wahren diskreten Verteilung p angenommen wird.
CRC-Prüfsumme als Polynomrest über GF(2)
Eine zyklische Redundanzprüfung hängt den Rest einer binären Polynomdivision an die Nachricht an, sodass das Codewort durch das Generatorpolynom teilbar ist.
F₁-Score
Der F1-Score ist das harmonische Mittel von Precision und Recall für eine festgelegte positive Klasse. Er verbindet Trefferqualität und Vollständigkeit mit gleichem Gewicht.
Kreuzentropie (Klassifikationsverlust)
Die Kreuzentropie bewertet, wie gut eine vorhergesagte Wahrscheinlichkeitsverteilung q eine Zielverteilung p beschreibt.
Gradientenabstieg (Parameterupdate)
Gradientenabstieg aktualisiert Modellparameter entgegen dem Gradienten einer Zielfunktion, um diese lokal zu verringern.
Ausgewogene Genauigkeit (Balanced Accuracy)
Balanced Accuracy mittelt Sensitivität und Spezifität und gewichtet im binären Fall beide Klassen gleich.
Precision (positiver Vorhersagewert)
Precision misst den Anteil richtiger positiver Vorhersagen unter allen als positiv klassifizierten Fällen.
Recall (Sensitivität)
Recall misst den Anteil der tatsächlichen positiven Fälle, die ein Klassifikator findet.
Matthews-Korrelationskoeffizient (MCC)
Der MCC fasst alle vier Felder der binären Konfusionsmatrix zu einer korrelationsartigen Kennzahl zusammen.
Logistische Sigmoidfunktion
Die logistische Sigmoidfunktion bildet einen reellen Score monoton auf einen Wert zwischen null und eins ab.
Softmax-Funktion
Softmax wandelt K Klassen-Scores in nichtnegative, zu eins summierte Werte um.
Fβ-Score (gewichtetes Precision-Recall-Maß)
Der Fβ-Score verbindet Precision und Recall und gewichtet Recall relativ zu Precision über β.
Logit-Transformation von Wahrscheinlichkeit und Odds
Der Logit bildet eine Wahrscheinlichkeit aus (0,1) auf die reelle logarithmierte Chance ab.
Spezifität (True Negative Rate)
Spezifität misst den Anteil tatsächlicher negativer Fälle, die korrekt als negativ erkannt werden.
Jaccard-Index (Intersection over Union)
Der Jaccard-Index misst die Überlappung zwischen vorhergesagter und tatsächlicher positiver Menge.
ROC-AUC (Fläche unter der ROC-Kurve)
ROC-AUC fasst die Trennfähigkeit eines binären Scores über alle Entscheidungsschwellen als Fläche zusammen.
Kosinusähnlichkeit von Vektoren
Die Kosinusähnlichkeit vergleicht die Richtung zweier nichtnull Vektoren unabhängig von ihrer positiven Skalierung.
TF-IDF-Termgewichtung
TF-IDF gewichtet einen Term nach seiner Häufigkeit in einem Dokument und seiner Seltenheit im Korpus.
Okapi BM25-Ranking
BM25 bewertet Dokumente für eine Suchanfrage mit Termhäufigkeit, Termseltenheit und Dokumentlängennormalisierung.
Ausgabedimension einer Faltung
Die Faltungsformel bestimmt die räumliche Ausgabedimension eines diskreten Kernels mit Padding, Stride und Dilatation.
Gini-Verunreinigung eines Klassifikationsknotens
Die Gini-Verunreinigung misst die Wahrscheinlichkeit einer Fehlklassifikation, wenn ein Label zufällig gemäß der Knotenverteilung gezogen wird.
Binärer Log-Loss
Der binäre Log-Loss bewertet probabilistische Vorhersagen für Labels 0 und 1 und bestraft sichere Fehlvorhersagen stark.
Informationsgewinn eines Entscheidungsbaum-Splits
Der Informationsgewinn bewertet einen Kandidatensplit an einem Baumknoten als Verringerung der Labelentropie nach Aufteilung der Trainingsbeispiele.
Bandbreiten-Verzögerungs-Produkt (BDP)
Das Bandbreiten-Verzögerungs-Produkt schätzt die Datenmenge, die bei voller Auslastung eines Pfads gleichzeitig unterwegs sein kann.
K-Means-Zielfunktion (Inertia)
K-Means minimiert die Summe der quadrierten euklidischen Abstände aller Datenpunkte zu ihrem jeweils zugeordneten Clusterzentrum.
Hauptkomponentenanalyse (PCA)
PCA projiziert zentrierte Daten auf orthogonale Eigenvektoren der Kovarianzmatrix, geordnet nach abnehmender erklärter Varianz.
Naive-Bayes-Klassifikation
Naive Bayes wählt die Klasse mit der größten posterioren Wahrscheinlichkeit unter der Annahme bedingter Unabhängigkeit der Merkmale gegeben die Klasse.
Ridge-Regression (L₂-Regularisierung)
Ridge-Regression minimiert quadratische Residuen plus L2-Strafe und stabilisiert Koeffizienten bei korrelierten Merkmalen.
Lineare SVM und Hinge-Loss
Die Hinge-Loss bestraft lineare Klassifikationsbeispiele, die falsch oder mit weniger als einer Margin-Einheit Abstand eingeordnet werden.
Logistische Regression: Bernoulli-Likelihood
Logistische Regression schätzt binäre Klassenwahrscheinlichkeiten mit einer Sigmoidfunktion und passt Parameter durch Maximierung der Bernoulli-Likelihood an.
Amdahlsches Gesetz (Parallel-Speedup)
Amdahls Gesetz begrenzt den Gesamtspeedup durch den seriell verbleibenden Programmanteil.
CPU-Laufzeit aus Instruktionen, CPI und Takt
Die CPU-Laufzeit folgt aus ausgeführten Instruktionen, mittleren Takten pro Instruktion und Taktfrequenz.
Durchschnittliche Speicherzugriffszeit (AMAT)
AMAT schätzt die mittlere Zugriffszeit aus Cache-Hit-Zeit und erwarteter Miss-Zusatzzeit.
Littlesches Gesetz für Warteschlangen
Littlesches Gesetz verbindet im stationären System mittlere Bestandszahl, Durchsatzrate und mittlere Verweildauer.
M/M/1-Warteschlange: Auslastung und Verweildauer
Das M/M/1-Modell beschreibt eine einzelne Bedienungsstelle mit Poisson-Ankünften und exponentieller Bedienzeit.
Nyquist-Shannon-Abtastgrenze
Ein bandbegrenztes Signal kann ideal rekonstruiert werden, wenn die Abtastfrequenz größer als das Doppelte seiner höchsten Frequenz ist.
Diskrete Fourier-Transformation (DFT)
Die DFT zerlegt eine endliche komplexe Folge in ihre diskreten Frequenzanteile.
Young’scher Modul
Der Young’sche Modul beschreibt im linearen elastischen Bereich das Verhältnis aus Zugspannung und Zugdehnung eines Materials. Zugspannung ist Kraft pro Querschnittsfläche; Zugdehnung die relative Längenänderung.
Impuls- und Drehimpulsbilanz
Äußere Kraftimpulse ändern den Gesamtimpuls eines Systems; äußere Drehimpulse ändern seinen Gesamtdrehimpuls um einen festgelegten Bezugspunkt.
Euler-Bernoulli-Balken: Moment-Krümmungs-Beziehung
Die lineare Euler-Bernoulli-Theorie verbindet Biegemoment und Balkenkrümmung über die Biegesteifigkeit EI.
Gleichgewichtsbedingungen der Statik
Ein starrer Körper ist statisch im Gleichgewicht, wenn resultierende Kraft und resultierendes Moment verschwinden.
Mittlere Normalspannung bei axialer Kraft
Die mittlere Normalspannung ist die innere Normalkraft geteilt durch die belastete Querschnittsfläche; bei gleichmäßiger Verteilung entspricht sie der örtlichen Spannung.
Poisson-Zahl
Die Poisson-Zahl beschreibt im einachsigen Versuch das Verhältnis der Querdehnung zur axialen Dehnung mit negativem Vorzeichen.
Lineare thermische Längenänderung
Bei kleiner Temperaturänderung ändert sich die Länge eines homogenen Stabs näherungsweise proportional zu Ausgangslänge und Temperaturdifferenz.
Biegespannung im Euler-Bernoulli-Balken
Bei elastischer Biegung eines schlanken Balkens wächst die Normalspannung linear mit dem Abstand zur Neutralachse.
Schubspannung im Balkenquerschnitt
Die Jourawski-Beziehung schätzt die Schubspannung im Balken aus Querkraft und Querschnittsgeometrie.
Torsionsschubspannung im Kreisquerschnitt
Im linear-elastisch verdrehten Kreisstab wächst die Schubspannung proportional zum Radius.
Verdrehwinkel eines Kreisstabs
Für ein prismatisches Kreiswellenstück mit konstantem Drehmoment ergibt sich der Verdrehwinkel aus Torsionsmoment, Länge und Torsionssteifigkeit.
Steinerscher Satz für Flächenträgheitsmomente
Der Parallelachsensatz verschiebt das Flächenträgheitsmoment von einer Schwerpunktachse auf eine dazu parallele Achse.
Euler-Knicklast einer schlanken Stütze
Die Eulerformel gibt die ideale kritische Druckkraft an, bei der eine schlanke elastische Stütze seitlich ausknicken kann.
Umfangsspannung im dünnwandigen Zylinder
Für einen dünnwandigen zylindrischen Druckbehälter ist die Umfangsspannung näherungsweise Druck mal Radius geteilt durch Wanddicke.
Von-Mises-Vergleichsspannung im ebenen Spannungszustand
Die von-Mises-Spannung fasst einen ebenen Spannungszustand zu einem skalaren Maß für die Gestaltänderungsenergie zusammen.
Zusammenhang zwischen Streckenlast, Querkraft und Moment
Die Ableitungen der inneren Querkraft und des Biegemoments entlang eines Balkens stehen mit Streckenlast und Querkraft in Beziehung.
Schubmodul und Schubgesetz
Der Schubmodul ist im linear-elastischen Bereich das Verhältnis von Schubspannung zu technischer Schubdehnung.
Hauptspannungen im ebenen Spannungszustand
Die Hauptspannungen sind die Extremwerte der Normalspannung, die durch Drehung eines ebenen Spannungselements auftreten.
Elastische Verformungsenergiedichte bei einachsiger Spannung
Die elastische Energie pro Volumen ist bei linearer einachsiger Belastung die Fläche unter der Spannungs-Dehnungs-Kurve.
Thermische Spannung eines vollständig behinderten Stabs
Ein vollständig axial behinderter linear-elastischer Stab entwickelt bei gleichmäßiger Erwärmung eine Druckspannung.
Spannungsintensitätsfaktor für einen Riss im Modus I
Der Modus-I-Spannungsintensitätsfaktor beschreibt die lokale Rissspitzenbeanspruchung in linear-elastischer Bruchmechanik.
Miner-Regel für kumulative Ermüdungsschädigung
Die lineare Miner-Regel summiert verbrauchte Lastspielanteile aus mehreren konstanten Ermüdungsblöcken.
Sicherheitsfaktor gegen Überschreiten einer Festigkeitsgrenze
Der Sicherheitsfaktor setzt eine gewählte Widerstands- oder Festigkeitsgröße zur zugehörigen Beanspruchung ins Verhältnis.
Dämpfungsverhältnis eines Einmassenschwingers
Das Dämpfungsverhältnis normiert die viskose Dämpfung eines linearen Einmassenschwingers auf seine kritische Dämpfung.
Ungedämpfte Eigenkreisfrequenz eines Einmassenschwingers
Die ungedämpfte Eigenkreisfrequenz eines linearen Einmassenschwingers hängt von Steifigkeit und Masse ab.
Logarithmisches Dekrement einer gedämpften Schwingung
Das logarithmische Dekrement misst den Amplitudenabfall zwischen aufeinanderfolgenden gleichsinnigen Maxima einer unterdämpften Schwingung.
Voigt-Mischungsregel für den axialen Verbundmodul
Für einen idealen Faserverbund mit gleicher axialer Dehnung ergibt sich der Längsmodul als Volumenmittel der Phasenmodule.
Enddurchbiegung eines Kragträgers mit Spitzenkraft
Ein idealer Kragträger mit Endkraft biegt sich an der freien Spitze proportional zu Kraft und dritter Potenz der Länge durch.
Mittendurchbiegung eines einfach gelagerten Trägers mit Mittellast
Ein einfach gelagerter schlanker Balken mit mittiger Einzelkraft hat seine maximale Durchbiegung in Feldmitte.
Schubfluss im dünnwandigen Balkenquerschnitt
Der Schubfluss eines dünnwandigen Balkens ergibt sich aus Querkraft und statischem Flächenmoment pro Flächenträgheitsmoment.
Enddurchbiegung eines Kragträgers mit Gleichlast
Ein Kragträger mit gleichmäßig verteilter Last hat seine maximale Durchbiegung am freien Ende.
Mittendurchbiegung eines Einfeldträgers mit Gleichlast
Ein einfach gelagerter Balken mit gleichmäßig verteilter Last erreicht seine maximale elastische Durchbiegung in Feldmitte.
Reuss-Näherung für den Quermodul eines Faserverbunds
Das ideale Serienmodell schätzt den Quermodul eines Verbunds bei gleicher Spannung in Faser und Matrix.
Differentialbeziehungen zwischen Streckenlast, Querkraft und Moment
Lokales Gleichgewicht eines Balkenelements verknüpft Streckenlast, Querkraft und Biegemoment.
Flächenschwerpunkt und erstes Flächenmoment
Der Flächenschwerpunkt ist der flächengewichtete Mittelwert der Teilflächenschwerpunkte; das erste Flächenmoment um eine Achse ist Fläche mal senkrechter Schwerpunktabstand.
Basquin-Beziehung für die Ermüdungsfestigkeit
Die Basquin-Beziehung beschreibt im hochzyklischen Ermüdungsbereich näherungsweise den Zusammenhang zwischen Spannungsamplitude und ertragbarer Lastspielzahl.
Lamé-Gleichungen für dickwandige Zylinder
Lamés elastische Lösung beschreibt Radial- und Umfangsspannung über die Wand eines dickwandigen Zylinders unter Innen- und Außendruck.
Goodman-Diagramm: Ermüdungsnachweis
Die lineare Goodman-Beziehung schätzt, wie Mittelspannung und Spannungsamplitude gemeinsam eine Ermüdungsgrenze beanspruchen.
Castiglianos zweiter Satz
Castiglianos zweiter Satz bestimmt die Verschiebung in Richtung einer Kraft durch Ableitung der elastischen Verformungsenergie nach dieser Kraft.
Tresca-Fließbedingung (Maximalschubspannung)
Das Tresca-Kriterium prognostiziert den Beginn des Fließens eines duktilen Werkstoffs, wenn die maximale Schubspannung die Hälfte der einachsigen Streckgrenze erreicht.
Steifigkeitsmatrix des linearen 1D-Stabelements
Das lineare Zweiknoten-Stabelement bildet axiale Verschiebungen und Knotenkräfte eines gleichförmigen elastischen Stabs im Finite-Elemente-Verfahren ab.
Kirsch-Lösung: Spannungskonzentration am Kreisloch
Die Kirsch-Lösung gibt die elastische Umfangsspannung am Rand eines kreisförmigen Lochs in einer unendlichen Platte unter einachsiger Fernzugspannung an.
Reynolds-Zahl
Die Reynolds-Zahl vergleicht Trägheits- mit Zähigkeitseffekten einer Strömung. Sie ist dimensionslos; ihre Interpretation hängt von Geometrie, charakteristischer Länge und Randbedingungen ab.
Energiegleichung mit Verlusthöhe (erweiterte Bernoulli-Gleichung)
Die technische Energiegleichung ergänzt Bernoulli um Pumpenarbeit, Turbinenentnahme und irreversible Verlusthöhe zwischen zwei Querschnitten.
Volumenstrom und Kontinuität inkompressibler Strömung
Der Volumenstrom ist Querschnittsfläche mal mittlere Normalgeschwindigkeit; bei stationärer inkompressibler Rohrströmung bleibt er erhalten.
Massenstrom durch einen Querschnitt
Der Massenstrom ergibt sich aus Dichte mal Querschnittsfläche mal mittlerer Normalgeschwindigkeit.
Hydraulischer Durchmesser
Der hydraulische Durchmesser bildet bei voll benetzten nichtkreisförmigen Kanälen ein charakteristisches Längenmaß aus Fläche und benetztem Umfang.
Darcy-Weisbach-Gleichung für Rohrreibungsverlust
Die Darcy-Weisbach-Gleichung beschreibt den Druckverlust durch verteilte Reibung in einem geraden Rohrabschnitt als Verlusthöhe.
Einzelverlusthöhe an Formstücken
Ein lokaler Verlustbeiwert beschreibt zusätzliche irreversible Verlusthöhe durch ein Formstück oder eine Geometrieänderung.
Hagen-Poiseuille-Gesetz für laminare Rohrströmung
Für stationäre laminare Newtonsche Strömung in einem langen geraden Kreisrohr verknüpft Poiseuille den Volumenstrom mit Druckdifferenz und Viskosität.
Hydraulische Leistung einer Strömungsmaschine
Die hydraulische Leistung entspricht Druckdifferenz mal Volumenstrom beziehungsweise Dichte mal Schwerebeschleunigung, Volumenstrom und Förderhöhe.
Ähnlichkeitsgesetze einer Kreiselpumpe bei Drehzahländerung
Bei gleicher Pumpe und ähnlichem Betriebspunkt skalieren Volumenstrom, Förderhöhe und Leistung näherungsweise mit Drehzahlpotenzen.
Euler-Gleichung der Turbomaschinen
Die spezifische Totalenthalpieänderung einer idealisierten Turbomaschine folgt aus Umfangsgeschwindigkeit und Drallkomponente an Ein- und Austritt.
Kavitationszahl einer Strömung
Die Kavitationszahl vergleicht den Druckabstand zum Dampfdruck mit dem dynamischen Druck der Strömung.
Prandtl-Zahl eines Fluids
Die Prandtl-Zahl vergleicht Impulsdiffusivität mit Temperaturdiffusivität eines Fluids.
Verfügbare Netto-Saughöhe einer Pumpe
Die verfügbare Netto-Saughöhe ist die absolute Gesamt-Saughöhe am Pumpenbezugspunkt abzüglich der Dampfdruckhöhe.
Massenbilanz am Kontrollvolumen
Die integrale Kontinuitätsgleichung bilanziert gespeicherte Masse und Massenströme über die Grenze eines offenen Systems.
Navier-Stokes-Gleichung für inkompressible Newtonsche Fluide
Die Impulsbilanz mit Newtonschem Viskositätsgesetz beschreibt die Bewegung eines inkompressiblen Fluids mit konstanter Dichte und Viskosität.
Mach-Zahl
Die Mach-Zahl vergleicht eine Strömungsgeschwindigkeit mit der lokalen Schallgeschwindigkeit.
Froude-Zahl
Die Froude-Zahl vergleicht Trägheits- mit Schwereeinflüssen und steuert die dynamische Ähnlichkeit freier Oberflächenströmungen.
Colebrook-White-Gleichung
Die implizite Colebrook-Gleichung bestimmt den Darcy-Reibungsbeiwert für turbulente Strömung in einem geraden Kreisrohr aus Reynolds-Zahl und relativer Rauheit.
Kritisches Druckverhältnis und abgewürgter Düsenmassenstrom
Beim kritischen Gegendruck erreicht die ideale konvergente Düse am Hals Mach 1; ein weiterer Abfall des Gegendrucks erhöht den Massenstrom im Modell nicht.
Ergun-Gleichung für den Druckverlust im Festbett
Die Ergun-Gleichung kombiniert viskose und trägheitsbedingte Beiträge zum Druckgradienten einer Durchströmung durch ein gepacktes Partikelbett.
Fouriersches Wärmeleitungsgesetz
Der Wärmefluss in einem leitfähigen Material zeigt entgegen dem Temperaturgradienten; in einer ebenen Schicht ergibt sich die bekannte stationäre Leitungsrate.
Newtonsches Abkühlungsgesetz für Konvektion
Konvektiver Wärmestrom ist proportional zu Fläche und Temperaturdifferenz zwischen Oberfläche und umgebendem Fluid.
Temperaturleitfähigkeit
Die Temperaturleitfähigkeit vergleicht Wärmeleitung mit der volumetrischen Wärmespeicherfähigkeit eines Materials.
Biot-Zahl für transiente Wärmeleitung
Die Biot-Zahl vergleicht den inneren Wärmeleitwiderstand eines Körpers mit seinem äußeren konvektiven Wärmeübergang.
Fourier-Zahl bei instationärer Wärmeleitung
Die Fourier-Zahl vergleicht die vergangene Zeit mit der charakteristischen Zeit für Wärmeleitung über eine Länge.
Lumped-Capacitance-Modell der Körpertemperatur
Bei kleinem innerem Temperaturgradienten folgt die Körpertemperatur bei konvektiver Abkühlung einer Exponentialfunktion.
Logarithmische mittlere Temperaturdifferenz im Wärmetauscher
Die logarithmische mittlere Temperaturdifferenz fasst die entlang eines Wärmetauschers veränderliche lokale Temperaturdifferenz zusammen.
Isentrope Zustandsänderung des idealen Gases
Für eine quasistatische reversible adiabatische Zustandsänderung eines idealen Gases bleiben pVγ und TVγ−1 konstant.
Isentroper Wirkungsgrad eines Verdichters
Der isentrope Verdichterwirkungsgrad vergleicht die ideale isentrope Enthalpiezunahme mit der tatsächlichen Enthalpiezunahme bei gleichem Austrittsdruck.
Carnot-Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine
Der Carnot-Wirkungsgrad ist die obere reversible Grenze für eine Wärmekraftmaschine zwischen zwei Reservoiren.
Leistungszahl einer Wärmepumpe
Die Wärmepumpen-Leistungszahl setzt abgegebene Nutzwärme zur zugeführten Arbeit ins Verhältnis.
Wärmeleitwiderstand einer ebenen Wand
Für stationäre eindimensionale Wärmeleitung durch eine homogene ebene Schicht verhält sich die Temperaturdifferenz wie ein thermischer Widerstand.
Sensible Wärme bei konstanter Wärmekapazität
Bei annähernd konstanter spezifischer Wärmekapazität ist die sensible Wärme proportional zu Masse und Temperaturänderung.
Gesamtwärmedurchgang durch eine ebene Wand
Für eine ebene Einzelschicht fasst U innere und äußere Konvektion sowie Wärmeleitung in Reihe zusammen.
Nusselt-Zahl des konvektiven Wärmeübergangs
Die Nusselt-Zahl vergleicht konvektiven Wärmeübergang mit Wärmeleitung über eine charakteristische Länge.
Sherwood-Zahl des konvektiven Stofftransports
Die Sherwood-Zahl vergleicht konvektiven Stoffübergang mit molekularer Diffusion über eine charakteristische Länge.
Lewis-Zahl für Wärme- und Stoffdiffusion
Die Lewis-Zahl ist das Verhältnis von Temperaturleitfähigkeit zu Stoffdiffusivität.
Wirksamkeit eines Wärmeübertragers
Die Wärmeübertragerwirksamkeit vergleicht tatsächlichen Wärmestrom mit dem maximal möglichen bei gegebenen Eintrittszuständen.
Wärmekapazitätsstromverhältnis eines Wärmeübertragers
Das Wärmekapazitätsstromverhältnis teilt den kleineren durch den größeren Wärmekapazitätsstrom der beiden Fluide.
Energiebilanz eines stationären Kontrollvolumens
Die stationäre Energiebilanz verknüpft Wärme, technische Arbeit sowie Enthalpie-, Bewegungs- und Lageenergie der Ströme.
Entropiebilanz am Kontrollvolumen
Die Entropiebilanz erfasst Entropiespeicherung, Wärmeübertragung, ein- und austretende Stoffströme sowie irreversible Erzeugung.
Ficksche Gesetze: Diffusionsfluss und Diffusionsgleichung
Ficks erstes Gesetz setzt den diffusiven Stofffluss zum negativen Konzentrationsgradienten; für konstantes isotropes D beschreibt Ficks zweites Gesetz die zeitliche Konzentrationsentwicklung.
Zylindrischer Wärmeleitwiderstand
Bei stationärer radialer Wärmeleitung durch eine zylindrische Schicht ist der Wärmewiderstand proportional zum logarithmischen Radiusverhältnis.
Netto-Wärmestrahlung zwischen grauen Flächen
Für zwei diffuse graue Flächen in einer geschlossenen Strahlungsanordnung ergibt sich der Netto-Wärmestrom aus Temperaturdifferenz im vierten Potenzgesetz und den Flächenwiderständen.
Kirchhoffsche Knoten- und Maschenregeln
Konzentriertes Netzwerk mit idealen Knoten ohne unberücksichtigte Ladungsansammlung. Die Maschenbilanz muss alle Quellen einschließlich induzierter Spannungen erfassen; räumlich verteilte Hochfrequenzsysteme benötigen weitergehende Modelle.
Idealer PID-Regler (Übertragungsfunktion)
Der ideale kontinuierliche PID-Regler kombiniert proportionale, integrierende und differenzierende Anteile des Fehlersignals.
Spannungsteiler aus zwei Serienwiderständen
Ein unbelasteter Spannungsteiler gibt an R2 den entsprechenden Anteil der Eingangsspannung ab.
Zeitverlauf eines RC-Ladevorgangs
Beim Laden eines Kondensators über einen Widerstand nähert sich die Kondensatorspannung exponentiell der Quellspannung.
Stromanstieg im RL-Kreis
Nach dem Einschalten einer Gleichspannungsquelle steigt der Strom in einem Serien-RL-Kreis exponentiell zum stationären Wert.
Impedanz einer RLC-Serienschaltung
Bei sinusförmiger Wechselspannung ist der Betrag der Serienimpedanz die quadratische Summe von Widerstand und Netto-Reaktanz.
Wirkleistung im sinusförmigen Wechselstromkreis
Die mittlere Wirkleistung eines sinusförmigen Einphasen-Wechselstromkreises ist das Produkt aus Effektivwerten und Leistungsfaktor.
Im Kondensator gespeicherte Energie
Die Energie eines idealen Kondensators ist die Arbeit, die zum Aufbau der Spannung im elektrischen Feld erforderlich ist.
Spannungsübersetzung eines idealen Transformators
Beim idealen Transformator verhält sich das Spannungsverhältnis wie das Windungszahlverhältnis.
In einer Induktivität gespeicherte magnetische Energie
Eine lineare Induktivität speichert Energie in ihrem Magnetfeld proportional zum Quadrat des Stroms.
Wirkleistung im symmetrischen Drehstromsystem
Im symmetrischen sinusförmigen Drehstromsystem ist die Wirkleistung mal Leiterspannung, Leiterstrom und Leistungsfaktor.
Thevenin-Ersatzquelle eines linearen Zweipols
Ein lineares Netz lässt sich an zwei Klemmen durch eine ideale Spannungsquelle und einen Serienwiderstand ersetzen.
Norton-Ersatzquelle und Thevenin-Umwandlung
Ein lineares Zweipolnetz kann durch eine Stromquelle parallel zum Innenwiderstand dargestellt werden.
Übertragungsfunktion eines PT1-Systems
Ein lineares System erster Ordnung wird im Laplace-Bereich durch statische Verstärkung K und Zeitkonstante τ beschrieben.
Nyquist-Abtastbedingung für bandbegrenzte Signale
Ein ideal bandbegrenztes Signal kann ohne Spektralüberlappung rekonstruiert werden, wenn die Abtastrate größer als doppelte Maximalfrequenz ist.
Übertragungsfunktion des geschlossenen Regelkreises
Bei negativer Rückführung ergibt sich die geschlossene Übertragungsfunktion aus Vorwärtsweg und Schleifenverstärkung.
Sensitivitätsfunktion des Rückkopplungssystems
Die Sensitivitätsfunktion beschreibt, wie Rückkopplung Störungen und Modellabweichungen im Schleifensignal beeinflusst.
Normierte PT2-Übertragungsfunktion
Das lineare System zweiter Ordnung wird durch statische Verstärkung, ungedämpfte Eigenkreisfrequenz und Dämpfungsverhältnis beschrieben.
Effektivwert einer sinusförmigen Wechselgröße
Für eine reine Sinusschwingung ist der Effektivwert Scheitelwert geteilt durch .
Scheinleistung im symmetrischen Drehstromsystem
Die Scheinleistung eines symmetrischen Drehstromsystems ist mal Leiterspannung und Leiterstrom.
Blindleistung im symmetrischen Drehstromsystem
Bei symmetrischer sinusförmiger Last ergibt der Sinus des Phasenwinkels die Blindleistung des Drehstromsystems.
Abgleichbedingung einer Wheatstone-Brücke
Bei abgeglichener Widerstandsbrücke ist die Spannung zwischen den mittleren Knoten null und die Widerstandsverhältnisse stimmen überein.
Komplementäre Sensitivitätsfunktion des Regelkreises
Die komplementäre Sensitivität beschreibt den geschlossenen Übertragungsanteil der Schleifenverstärkung.
Widerstandsbedingung für maximale Leistungsübertragung
Bei einer rein resistiven Thevenin-Quelle wird maximale Lastleistung übertragen, wenn Last- und Innenwiderstand gleich sind.
Routh-Hurwitz-Stabilitätskriterium
Das Routh-Tabellenverfahren zählt Vorzeichenwechsel in der ersten Spalte und bestimmt damit die Zahl der Pole eines kontinuierlichen Systems in der rechten s-Halbebene, ohne die Nullstellen explizit zu berechnen.
Bode-Diagramm: Verstärkungs- und Phasenreserve
Phasen- und Verstärkungsreserve messen im Bode-Diagramm den Abstand der offenen Schleife zu den kritischen Rückkopplungsbedingungen.
Ideale Operationsverstärker-Verstärkung
Für ideale Operationsverstärker mit negativer Rückkopplung legen Widerstandsverhältnisse die invertierende und nichtinvertierende Spannungsverstärkung fest.
Shockley-Diodengleichung
Die Shockley-Gleichung modelliert den Strom einer idealisierten pn-Diode als Funktion der angelegten Spannung und Temperatur.
Federsteifigkeit einer zylindrischen Schraubenfeder
Die lineare Steifigkeit einer idealen zylindrischen Schraubendruckfeder hängt von Schubmodul, Drahtdurchmesser, mittlerem Windungsdurchmesser und aktiver Windungszahl ab.
Übersetzung eines idealen Stirnradpaares
Bei außenverzahnten Stirnrädern bestimmt das Verhältnis der Zähnezahlen die umgekehrte Drehzahlübersetzung und Drehrichtung.
Modul eines Stirnrads
Der Zahnradmodul ist der Teilkreisdurchmesser geteilt durch die Zähnezahl und bestimmt die Zahngröße.
Ideales Drehmoment einer Gewindespindel
Für eine ideale reibungsfreie Spindel ist das erforderliche Drehmoment Kraft mal Steigung geteilt durch den Umfangsfaktor.
Umfangsgeschwindigkeit eines Riemenantriebs
Die Umfangsgeschwindigkeit eines Riemens entspricht bei schlupffreiem Lauf der Geschwindigkeit am Teilkreis der Scheibe.
Drehzahlverhältnis schlupffreier Riemenscheiben
Bei ideal schlupffreiem Riemen ist die Umfangsgeschwindigkeit beider Scheiben gleich, daher sind Drehzahlen umgekehrt proportional zu Durchmessern.
Wirkungsgrad einer Maschine
Der Wirkungsgrad vergleicht abgegebene Nutzleistung mit zugeführter Leistung für dieselbe Systemgrenze.
Nominelle Lebensdauer eines Wälzlagers
Die ISO-nominelle L10-Lebensdauer skaliert dynamische Tragzahl C zur äquivalenten dynamischen Lagerbelastung P.
Übertragene Leistung eines Riemens
Die übertragene Riemenleistung ist Umfangsgeschwindigkeit mal Differenz zwischen Zugtrum- und Leertrumkraft.
Euler-Eytelwein-Gleichung (Capstan)
Die Capstan-Gleichung gibt das Verhältnis der maximal übertragbaren Seilzugkräfte an einer umschlungenen Trommel bei beginnendem Gleiten an.
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