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Analysis, Algebra, Stochastik und komplexe Zahlen in Mathematik
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Physik

52 Formeln

F = m \cdot a

Newtons zweites Gesetz

Das zweite Newtonsche Gesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen Kraft, Masse und Beschleunigung eines Körpers.

F_{G} = G \cdot \frac{m _{1} \cdot m _{2}}{r ^{2}}

Newtonsches Gravitationsgesetz

Das Gravitationsgesetz beschreibt die anziehende Kraft zwischen zwei Massen in Abhängigkeit ihres Abstands.

E_{kin} = \frac{1}{2} m v^{2}

Kinetische Energie

Die kinetische Energie ist die Bewegungsenergie eines Körpers der Masse m mit Geschwindigkeit v.

E_{p o t} = m \cdot g \cdot h

Potentielle Energie (Lagehöhe)

Die potentielle Energie (Lageenergie) eines Körpers der Masse m in der Höhe h im homogenen Gravitationsfeld g.

F = k_{e} \cdot \frac{q _{1} \cdot q _{2}}{r ^{2}}

Coulombsches Gesetz

Das Coulombsche Gesetz beschreibt die elektrostatische Kraft zwischen zwei Punktladungen.

F = q \cdot (v \times B)

Lorentzkraft

Die Lorentzkraft beschreibt die Kraft auf eine bewegte elektrische Ladung in einem Magnetfeld.

η_{C a r n o t} = 1 - \frac{T _{ka lt}}{T _{w a r m}}

Carnot-Wirkungsgrad

Der Carnot-Wirkungsgrad gibt den maximal möglichen Wirkungsgrad einer Wärmekraftmaschine zwischen zwei Temperaturniveaus an.

λ = \frac{h}{p} = \frac{h}{m v}

De-Broglie-Wellenlänge

Die De-Broglie-Wellenlänge beschreibt die Wellennatur von Materieteilchen — Welle-Teilchen-Dualismus.

E_{kin} = h \cdot f - W_{A}

Photoeffekt (Einstein)

Der Photoeffekt beschreibt die Emission von Elektronen aus einer Metalloberfläche bei Bestrahlung mit Licht.

U_{in d} = - N \cdot \frac{d Φ}{d t}

Faradayssches Induktionsgesetz

Das Faradaysche Induktionsgesetz beschreibt die Entstehung einer Spannung durch Änderung des magnetischen Flusses.

F = k \cdot x

Hookesches Gesetz (Federkraft)

Das Hookesche Gesetz beschreibt die lineare Beziehung zwischen Federkraft und Auslenkung — Grundlage für Schwingungen, Federmanometer und Werkstoffmechanik.

Q = m \cdot c \cdot Δ T

Wärmekapazität — Q = m·c·ΔT

Die Formel der spezifischen Wärmekapazität beschreibt, wie viel Wärmeenergie ein Stoff aufnimmt — essenziell für Kalorimetrie, Reaktionsenthalpien und Wärmetransport.

n_{1} \cdot sin (α_{1}) = n_{2} \cdot sin (α_{2})

Snelliussches Brechungsgesetz

Das Brechungsgesetz nach Snellius beschreibt, wie Lichtstrahlen beim Übergang zwischen zwei Medien gebrochen werden — Grundlage für Linsen, Glasfaser und Optik.

Δ x \cdot Δ p \geq \frac{ℏ}{2}

Heisenbergsche Unschärferelation

Die Unschärferelation setzt eine fundamentale Grenze für die gleichzeitige Bestimmbarkeit von Ort und Impuls — kein Messproblem, sondern eine Eigenschaft der Quantennatur.

U = R \cdot I

Ohmsches Gesetz

Das Ohmsche Gesetz verknüpft Spannung, Widerstand und Stromstärke: Die Spannung an einem ohmschen Leiter ist proportional zur Stromstärke.

P = U \cdot I

Elektrische Leistung

Die elektrische Leistung ist das Produkt aus Spannung und Stromstärke — sie gibt an, wie viel Energie ein Gerät pro Sekunde umsetzt.

R_{g es} = R_{1} + R_{2} \frac{1}{R _{g es}} = \frac{1}{R _{1}} + \frac{1}{R _{2}}

Reihen- und Parallelschaltung von Widerständen

In Reihe addieren sich die Widerstände, parallel addieren sich ihre Kehrwerte — der Parallelwiderstand ist immer kleiner als der kleinste Einzelwiderstand.

s = \frac{1}{2} a t^{2} + v_{0} t

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Weg-Zeit-Gesetz)

Das Weg-Zeit-Gesetz gibt die zurückgelegte Strecke bei konstanter Beschleunigung an — der Weg wächst quadratisch mit der Zeit.

v = a \cdot t + v_{0}

Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz

Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz beschreibt, wie die Geschwindigkeit bei konstanter Beschleunigung linear mit der Zeit wächst.

h = \frac{1}{2} g t^{2}

Freier Fall

Der freie Fall ist die gleichmäßig beschleunigte Bewegung ohne Luftwiderstand: Die Fallhöhe wächst quadratisch mit der Fallzeit.

p = m \cdot v

Impuls

Der Impuls ist das Produkt aus Masse und Geschwindigkeit — das Maß für den "Schwung" eines bewegten Körpers.

m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}

Impulserhaltungssatz

In einem abgeschlossenen System bleibt der Gesamtimpuls erhalten — das zentrale Werkzeug für alle Stoßaufgaben.

W = F \cdot s \cdot cos (α)

Mechanische Arbeit

Mechanische Arbeit wird verrichtet, wenn eine Kraft einen Körper längs eines Weges verschiebt — nur die Kraftkomponente in Wegrichtung zählt.

P = \frac{W}{t}

Mechanische Leistung

Die Leistung gibt an, wie schnell Arbeit verrichtet wird: verrichtete Arbeit geteilt durch die benötigte Zeit.

F_{z} = \frac{m \cdot v ^{2}}{r}

Zentripetalkraft (Kreisbewegung)

Die Zentripetalkraft hält einen Körper auf seiner Kreisbahn — sie zeigt stets zum Mittelpunkt und wächst quadratisch mit der Bahngeschwindigkeit.

T = 2 π \frac{m}{k}

Federpendel (Schwingungsdauer)

Die Schwingungsdauer eines Federpendels hängt nur von Masse und Federkonstante ab — nicht von der Amplitude.

c = λ \cdot f

Wellengleichung (c = λ·f)

Die Grundgleichung der Wellenlehre verknüpft Ausbreitungsgeschwindigkeit, Wellenlänge und Frequenz jeder Welle.

ρ = \frac{m}{V}

Dichte

Die Dichte ist die Masse pro Volumen — die zentrale Stoffkonstante für Schwimmen, Sinken und Materialbestimmung.

p = \frac{F}{A}

Druck

Druck ist Kraft pro Fläche: Dieselbe Kraft wirkt auf kleiner Fläche stark konzentriert, auf großer Fläche verteilt.

N (t) = N_{0} \cdot e^{- λ t}

Radioaktives Zerfallsgesetz

Das Zerfallsgesetz beschreibt die exponentielle Abnahme der unzerfallenen Atomkerne einer radioaktiven Substanz.

E = m \cdot c^{2}

Masse-Energie-Äquivalenz (E = mc²)

Einsteins berühmteste Gleichung: Masse und Energie sind äquivalent — jede Masse entspricht einer gewaltigen Ruheenergie.

C = \frac{Q}{U}

Kapazität eines Kondensators

Die Kapazität gibt an, wie viel Ladung ein Kondensator pro Volt Spannung speichert.

E = \frac{1}{2} C U^{2}

Energie im Kondensator

Die im elektrischen Feld eines Kondensators gespeicherte Energie wächst quadratisch mit der Spannung.

\frac{1}{f} = \frac{1}{g} + \frac{1}{b}

Linsengleichung (Abbildungsgleichung)

Die Linsengleichung verknüpft Brennweite, Gegenstandsweite und Bildweite einer dünnen Linse — die Grundgleichung der optischen Abbildung.

x = v_{0} cos α \cdot t y = v_{0} sin α \cdot t - \frac{1}{2} g t^{2}

Schiefer Wurf (Wurfparabel)

Der schiefe Wurf zerlegt die Bewegung in eine gleichförmige horizontale und eine beschleunigte vertikale Komponente, zusammen ergibt sich die Wurfparabel.

F_{A} = ρ_{Fl} \cdot V \cdot g

Auftriebskraft (Archimedes)

Die Auftriebskraft nach Archimedes ist gleich der Gewichtskraft des verdrängten Fluids, sie entscheidet über Schwimmen, Schweben und Sinken.

f_{B} = f_{Q} \cdot \frac{c \pm v _{B}}{c \mp v _{Q}}

Dopplereffekt (Akustik)

Der Dopplereffekt beschreibt die Frequenzverschiebung, wenn sich Quelle oder Beobachter relativ zueinander bewegen: Annäherung erhöht, Entfernung senkt die wahrgenommene Frequenz.

T = 2 π \frac{l}{g}

Fadenpendel (Schwingungsdauer)

Die Schwingungsdauer eines Fadenpendels hängt nur von der Fadenlänge und der Fallbeschleunigung ab, nicht von der Masse und bei kleinen Winkeln auch nicht von der Amplitude.

F_{R} = μ \cdot F_{N}

Gleitreibungskraft

Die Gleitreibungskraft ist proportional zur Normalkraft, die Reibungszahl μ charakterisiert die Materialpaarung und die Kraft wirkt stets gegen die Bewegungsrichtung.

\frac{U _{1}}{U _{2}} = \frac{n _{1}}{n _{2}} = \frac{I _{2}}{I _{1}}

Transformator (Übersetzung)

Beim idealen Transformator verhalten sich die Spannungen wie die Windungszahlen, die Stromstärken übersetzen sich umgekehrt, die Leistung bleibt erhalten.

T = 2 π L \cdot C

Thomsonsche Schwingungsgleichung

Die Thomsonsche Schwingungsgleichung gibt die Periodendauer eines elektromagnetischen Schwingkreises aus Spule und Kondensator an, das elektrische Gegenstück zum Federpendel.

\frac{T ^{2}}{a ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{G \cdot M}

Drittes Keplersches Gesetz

Die Quadrate der Umlaufzeiten verhalten sich wie die dritten Potenzen der großen Bahnhalbachsen, der Quotient T²/a³ ist für alle Körper um denselben Zentralkörper gleich.

M = F \cdot r \cdot sin (θ)

Drehmoment

Das Drehmoment ist das Produkt aus Kraft und Hebelarm, es beschreibt die Dreh- und Kippwirkung einer Kraft um eine Achse.

p + \frac{1}{2} ρ v^{2} + ρ g h = const.

Bernoulli-Gleichung

Die Bernoulli-Gleichung ist der Energieerhaltungssatz strömender Fluide: Wo die Geschwindigkeit steigt, sinkt der statische Druck.

d \cdot sin (α_{k}) = k \cdot λ

Doppelspalt-Interferenz

Die Doppelspaltformel gibt die Richtungen der Interferenzmaxima an: Verstärkung entsteht, wenn der Gangunterschied d·sinα ein ganzzahliges Vielfaches der Wellenlänge ist.

E = \frac{F}{q} = \frac{U}{d}

Elektrische Feldstärke

Die elektrische Feldstärke ist die Kraft pro Ladung; im homogenen Feld eines Plattenkondensators gilt zusätzlich E = U/d.

R = ρ \cdot \frac{l}{A}

Spezifischer Widerstand (Leiterwiderstand)

Der Widerstand eines Drahtes wächst mit der Länge und sinkt mit dem Querschnitt, der spezifische Widerstand ρ ist die Materialkonstante.

ω = 2 π f = \frac{2 π}{T} v = ω \cdot r

Winkelgeschwindigkeit und Kreisfrequenz

Die Winkelgeschwindigkeit ω misst den überstrichenen Winkel pro Zeit; über v = ω·r verbindet sie die Drehung mit der Bahngeschwindigkeit.

P = σ \cdot A \cdot T^{4}

Stefan-Boltzmann-Gesetz

Das Stefan-Boltzmann-Gesetz gibt die Strahlungsleistung eines Schwarzen Körpers an: Sie wächst mit der vierten Potenz der absoluten Temperatur.

B = μ_{0} \cdot \frac{N}{l} \cdot I

Magnetfeld einer langen Spule

Das Magnetfeld im Inneren einer langen Spule ist homogen und proportional zur Stromstärke und zur Windungsdichte N/l.

E_{Sp ann} = \frac{1}{2} D s^{2}

Spannenergie einer Feder

Die Spannenergie einer Feder wächst quadratisch mit der Auslenkung, sie ist die Fläche unter der Kraft-Weg-Geraden des Hookeschen Gesetzes.

U_{in d} = - L \cdot \frac{d I}{d t}

Selbstinduktion einer Spule

Die Selbstinduktion beschreibt, wie eine Spule auf Änderungen ihres eigenen Stroms mit einer Gegenspannung reagiert, die Induktivität L ist das Maß dafür.

Chemie

24 Formeln

p \cdot V = n \cdot R \cdot T

Ideales Gasgesetz

Das ideale Gasgesetz verbindet Druck, Volumen, Stoffmenge und Temperatur eines idealen Gases.

k = A \cdot e^{- E_{A} / (R \cdot T)}

Arrhenius-Gleichung

Die Arrhenius-Gleichung beschreibt die Temperaturabhängigkeit der Geschwindigkeitskonstante einer chemischen Reaktion.

p H = p K_{a} + lo g \frac{[ A ^{-} ]}{[ H A ]}

Henderson-Hasselbalch-Gleichung

Die Henderson-Hasselbalch-Gleichung berechnet den pH-Wert von Pufferlösungen aus dem pKa der Säure und dem Konzentrationsverhältnis.

E = E^{0} - \frac{RT}{z F} ln Q

Nernst-Gleichung

Die Nernst-Gleichung beschreibt das Elektrodenpotential in Abhängigkeit von Temperatur und Konzentration.

Δ G = Δ H - T \cdot Δ S

Gibbs-Energie (Freie Enthalpie)

Die Gibbs-Energie bestimmt die Spontaneität chemischer Reaktionen: ΔG < 0 → spontan, ΔG > 0 → nicht spontan.

K_{c} = \frac{[ C ] ^{c} \cdot [ D ] ^{d}}{[ A ] ^{a} \cdot [ B ] ^{b}}

Massenwirkungsgesetz (Gleichgewichtskonstante)

Das Massenwirkungsgesetz (MWG) beschreibt das chemische Gleichgewicht: Das stöchiometrisch gewichtete Verhältnis der Gleichgewichtskonzentrationen von Produkten zu Edukten ist konstant.

p H = - l g ([H_{3} O^{+}])

pH-Wert-Definition

Der pH-Wert ist der negative dekadische Logarithmus der Hydronium-Ionen-Konzentration — die universelle Skala für Säure und Base in der Chemie.

A = ε \cdot c \cdot d

Lambert-Beersches Gesetz (Photometrie)

Das Lambert-Beer-Gesetz verknüpft die Extinktion (Absorbanz) einer Lösung mit ihrer Konzentration und Schichtdicke — Grundlage der UV/Vis-Spektroskopie und quantitativen Analytik.

n = \frac{m}{M}

Stoffmenge (Mol)

Die Stoffmenge n zählt Teilchen portionsweise in Mol. Aus Masse m und molarer Masse M berechnet, ist n = m/M die Grundformel jeder stöchiometrischen Rechnung.

M = \frac{m}{n}

Molare Masse

Die molare Masse M gibt an, wie viel Gramm ein Mol eines Stoffes wiegt. Sie ist der Quotient aus Masse und Stoffmenge und ergibt sich für Verbindungen als Summe der Atommassen.

c = \frac{n}{V}

Stoffmengenkonzentration

Die Stoffmengenkonzentration c (Molarität) gibt an, wie viel Mol eines gelösten Stoffes in einem Liter Lösung stecken. Sie verbindet Stoffmenge und Lösungsvolumen.

N = n \cdot N_{A}

Avogadro-Konstante (Teilchenzahl)

Die Avogadro-Konstante N_A verknüpft die Stoffmenge mit der tatsächlichen Teilchenzahl: Ein Mol enthält 6,022×10²³ Teilchen, n Mol entsprechend das n-fache.

p K_{S} = - l g K_{S} = - l g \frac{[ H _{3} O ^{+} ] \cdot [ A ^{-} ]}{[ HA ]}

pKs-Wert (Säurekonstante)

Der pKs-Wert ist der negative dekadische Logarithmus der Säurekonstante Ks und misst die Stärke einer Säure: Je kleiner der pKs, desto stärker die Säure.

K_{W} = [H_{3} O^{+}] \cdot [OH^{-}]

Ionenprodukt des Wassers

Das Ionenprodukt des Wassers verknüpft Hydronium- und Hydroxidkonzentration jeder wässrigen Lösung: Bei 25 °C gilt Kw = 10⁻¹⁴ mol²/L², daraus folgt pH + pOH = 14.

Δ H_{R}^{0} = \sum Δ H_{f}^{0} (Produkte) - \sum Δ H_{f}^{0} (Edukte)

Reaktionsenthalpie (Satz von Hess)

Der Satz von Hess erlaubt es, Reaktionsenthalpien aus tabellierten Standardbildungsenthalpien zu berechnen, weil die Enthalpie eine Zustandsgröße ist: Nur Anfangs- und Endzustand zählen, nicht der Weg.

m = \frac{M \cdot I \cdot t}{z \cdot F}

Faraday-Gesetz der Elektrolyse

Das Faraday-Gesetz verknüpft die bei einer Elektrolyse abgeschiedene Masse mit der geflossenen Ladung Q = I·t: Die Faraday-Konstante übersetzt Ladung in Stoffmenge.

K_{L} = [A^{m +}]^{a} \cdot [B^{n -}]^{b}

Löslichkeitsprodukt

Das Löslichkeitsprodukt K_L ist die Gleichgewichtskonstante für das Lösen eines schwer löslichen Salzes: das Produkt der Ionenkonzentrationen, jeweils potenziert mit dem stöchiometrischen Koeffizienten.

c_{1} \cdot V_{1} = c_{2} \cdot V_{2}

Verdünnungsgleichung

Die Verdünnungsgleichung nutzt, dass beim Verdünnen die Stoffmenge des gelösten Stoffes gleich bleibt: Konzentration mal Volumen ist vor und nach dem Verdünnen gleich.

v = k \cdot [A]^{m} \cdot [B]^{n}

Geschwindigkeitsgesetz (Reaktionsordnung)

Das Geschwindigkeitsgesetz verknüpft die Reaktionsgeschwindigkeit mit den Eduktkonzentrationen; die Exponenten m und n sind die Reaktionsordnungen und werden experimentell bestimmt.

v_{2} = v_{1} \cdot Q_{10}^{Δ T / (10 K)}

RGT-Regel

Die RGT-Regel (Reaktionsgeschwindigkeit-Temperatur-Regel) ist eine Faustregel: Eine Temperaturerhöhung um 10 K beschleunigt viele Reaktionen etwa um den Faktor Q₁₀, meist 2 bis 4.

w = \frac{m _{Stoff}}{m _{L \overset{o}{¨} sung}}

Massenanteil (Massenprozent)

Der Massenanteil w gibt an, welcher Anteil der Gesamtmasse einer Lösung oder Mischung auf den gelösten Stoff entfällt; mal 100 ergibt er die Massenprozent.

Δ H_{Gitter} = Δ H_{f}^{0} - Δ H_{Sub} - I - \frac{1}{2} D - E_{EA}

Gitterenergie (Born-Haber-Kreisprozess)

Der Born-Haber-Kreisprozess bestimmt die nicht direkt messbare Gitterenthalpie eines Salzes: Er zerlegt die Bildung aus den Elementen in messbare Teilschritte und wendet den Satz von Hess an.

p K_{B} = - l g K_{B} = - l g \frac{[ BH ^{+} ] \cdot [ OH ^{-} ]}{[ B ]}

pKb-Wert (Basenkonstante)

Der pKb-Wert misst die Stärke einer Base über die Basenkonstante Kb ihrer Protolyse mit Wasser: Je kleiner der pKb, desto stärker die Base. Für konjugierte Paare gilt pKs + pKb = 14 (25 °C).

ln \frac{K _{2}}{K _{1}} = - \frac{Δ H _{R}^{0}}{R} \cdot (\frac{1}{T _{2}} - \frac{1}{T _{1}})

Van-'t-Hoff-Gleichung (Reaktionsisobare)

Die Van-'t-Hoff-Gleichung beschreibt, wie die Gleichgewichtskonstante von der Temperatur abhängt: Aus der Standard-Reaktionsenthalpie folgt K bei jeder anderen Temperatur.

Mathematik

49 Formeln

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Satz des Pythagoras

Der Satz des Pythagoras gilt für rechtwinklige Dreiecke: Das Quadrat der Hypotenuse gleich der Summe der Kathetenquadrate.

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Quadratische Formel (ABC-Formel)

Die quadratische Formel liefert alle Lösungen jeder quadratischen Gleichung ax² + bx + c = 0.

e^{i φ} = cos φ + i \cdot sin φ

Eulersche Formel

Die Eulersche Formel verbindet Exponentialfunktion mit Winkelfunktionen in der komplexen Ebene.

(f \cdot g)^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}

Produktregel der Differentiation

Die Produktregel erlaubt die Ableitung von Produkten zweier Funktionen.

(f \circ g)^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

Kettenregel der Differentiation

Die Kettenregel leitet verkettete Funktionen f(g(x)) ab: Äußere Ableitung mal innere Ableitung.

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f ^{(n)} ( a )}{n !} (x - a)^{n}

Taylor-Reihe

Die Taylor-Reihe beschreibt eine Funktion als Potenzreihe um einen Entwicklungspunkt a.

P (A ∣ B) = \frac{P ( B ∣ A ) \cdot P ( A )}{P ( B )}

Satz von Bayes

Der Satz von Bayes beschreibt die Umkehrung bedingter Wahrscheinlichkeiten.

f (x) = \frac{1}{σ 2 π} e^{- \frac{( x - μ ) ^{2}}{2 σ ^{2}}}

Normalverteilung (Gaußsche Glockenkurve)

Die Normalverteilung ist die wichtigste Wahrscheinlichkeitsverteilung — sie beschreibt viele natürliche Phänomene.

\frac{d}{d x} (x^{n}) = n \cdot x^{n - 1}

Potenzregel der Differentiation

Die Potenzregel ist die fundamentalste Ableitungsregel: Sie erlaubt die Ableitung jedes Monoms unmittelbar — Einstieg in die gesamte Differentialrechnung.

x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q

pq-Formel

Die pq-Formel löst jede quadratische Gleichung in Normalform x² + px + q = 0, also mit dem Leitkoeffizienten 1.

(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}, (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

Binomische Formeln

Die drei binomischen Formeln quadrieren Summen und Differenzen und faktorisieren rückwärts quadratische Terme.

\frac{d}{d x} e^{x} = e^{x}, \frac{d}{d x} e^{k x} = k \cdot e^{k x}

Ableitung der e-Funktion

Die e-Funktion ist ihre eigene Ableitung; bei e^(kx) tritt nach der Kettenregel der Faktor k hinzu.

\frac{d}{d x} ln x = \frac{1}{x} (x > 0)

Ableitung des natürlichen Logarithmus

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ln x ist die Hyperbel 1/x, gültig für alle x > 0.

(sin x)^{'} = cos x, (cos x)^{'} = - sin x

Ableitung von Sinus und Kosinus

Sinus und Kosinus leiten sich zyklisch ineinander ab: sin wird zu cos, cos zu −sin, jeweils im Bogenmaß.

(\frac{f}{g})^{'} = \frac{f ^{'} \cdot g - f \cdot g ^{'}}{g ^{2}}

Quotientenregel der Differentiation

Die Quotientenregel leitet Brüche aus zwei Funktionen ab, etwa gebrochenrationale Funktionen.

\int x^{n} d x = \frac{x ^{n + 1}}{n + 1} + C (n \neq = - 1)

Stammfunktion und Grundintegrale

Die Potenzregel der Integration liefert Stammfunktionen: Exponent um 1 erhöhen, durch den neuen Exponenten teilen.

\int_{a}^{b} f (x) d x = F (b) - F (a)

Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung

Der Hauptsatz verbindet Ableiten und Integrieren: Ein bestimmtes Integral wird über eine Stammfunktion an den Grenzen ausgewertet.

A = \int_{a}^{b} f (x) d x (f (x) \geq 0)

Fläche unter einer Kurve (bestimmtes Integral)

Das bestimmte Integral misst die Fläche zwischen Graph und x-Achse, solange der Graph oberhalb der Achse verläuft.

\int u \cdot v^{'} d x = u \cdot v - \int u^{'} \cdot v d x

Partielle Integration

Die partielle Integration integriert Produkte, indem sie die Produktregel der Ableitung umkehrt.

P (X = k) = (k n) \cdot p^{k} \cdot (1 - p)^{n - k}

Binomialverteilung

Die Binomialverteilung gibt die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer in n unabhängigen Versuchen mit Trefferwahrscheinlichkeit p an.

E (X) = μ = \sum_{i} x_{i} \cdot p_{i}

Erwartungswert

Der Erwartungswert ist der auf lange Sicht zu erwartende Mittelwert einer Zufallsgröße: Werte mal Wahrscheinlichkeiten, aufsummiert.

P (A ∣ B) = \frac{P ( A \cap B )}{P ( B )} (P (B) > 0)

Bedingte Wahrscheinlichkeit

Die bedingte Wahrscheinlichkeit P(A|B) misst die Wahrscheinlichkeit von A unter der Bedingung, dass B bereits eingetreten ist.

σ = Var (X) = E ((X - μ)^{2})

Standardabweichung

Die Standardabweichung σ misst die typische Streuung einer Zufallsgröße um ihren Erwartungswert μ.

a \cdot b = a_{1} b_{1} + a_{2} b_{2} + a_{3} b_{3} = ∣ a ∣ \cdot ∣ b ∣ \cdot cos φ

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt zweier Vektoren liefert eine Zahl und misst Winkel und Orthogonalität.

a \times b = a_{2} b_{3} - a_{3} b_{2} a_{3} b_{1} - a_{1} b_{3} a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1}

Kreuzprodukt (Vektorprodukt)

Das Kreuzprodukt zweier Vektoren im Raum liefert einen Vektor, der auf beiden senkrecht steht.

lo g_{b} (x \cdot y) = lo g_{b} x + lo g_{b} y, lo g_{b} (x^{r}) = r \cdot lo g_{b} x

Logarithmengesetze

Die Logarithmengesetze verwandeln Produkte in Summen, Quotienten in Differenzen und Potenzen in Vielfache.

c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 ab \cdot cos γ

Kosinussatz

Der Kosinussatz verallgemeinert den Satz des Pythagoras auf beliebige Dreiecke ohne rechten Winkel.

\frac{a}{s i n α} = \frac{b}{s i n β} = \frac{c}{s i n γ}

Sinussatz

Im Dreieck verhalten sich die Seiten wie die Sinuswerte ihrer gegenüberliegenden Winkel.

A = π r^{2}, U = 2 π r

Kreisfläche und Kreisumfang

Fläche und Umfang eines Kreises hängen nur vom Radius r ab, verknüpft über die Kreiszahl π.

V = \frac{4}{3} π r^{3}, O = 4 π r^{2}

Kugel: Volumen und Oberfläche

Volumen und Oberfläche einer Kugel hängen nur vom Radius ab: Das Volumen wächst mit der dritten, die Oberfläche mit der zweiten Potenz von r.

V = π r^{2} h, O = 2 π r (r + h)

Zylinder: Volumen und Oberfläche

Das Zylindervolumen ist Grundfläche mal Höhe; die Oberfläche besteht aus zwei Deckelkreisen und dem abgerollten Mantelrechteck.

V = \frac{1}{3} π r^{2} h, M = π rs

Kegel: Volumen und Oberfläche

Ein Kegel fasst ein Drittel des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe; der Mantel wird über die Mantellinie s berechnet.

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

Pyramide: Volumen

Jede Pyramide fasst ein Drittel des Prismas mit gleicher Grundfläche G und Höhe h, unabhängig von der Form der Grundfläche.

sin α = \frac{GK}{Hyp}, cos α = \frac{AK}{Hyp}, tan α = \frac{GK}{AK}

Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck

Sinus, Kosinus und Tangens verknüpfen im rechtwinkligen Dreieck einen spitzen Winkel mit den Seitenverhältnissen.

m = \frac{y _{2} - y _{1}}{x _{2} - x _{1}}, y = m \cdot x + b

Geradengleichung und Steigung

Die Steigung m misst die Änderung von y pro Schritt in x; zusammen mit dem y-Achsenabschnitt b legt sie die Gerade y = mx + b fest.

d (P; E) = \frac{∣ a p _{1} + b p _{2} + c p _{3} - d ∣}{a ^{2} + b ^{2} + c ^{2}}

Hessesche Normalform (Abstand Punkt-Ebene)

Die Hessesche Normalform liefert den Abstand eines Punktes von einer Ebene: Punkt in die Koordinatengleichung einsetzen, durch die Länge des Normalenvektors teilen.

E : (x - p) \cdot n = 0

Ebenengleichung in Normalenform

Eine Ebene ist durch einen Punkt und einen Normalenvektor festgelegt: Genau die Ortsvektoren x⃗ mit (x⃗ − p⃗)·n⃗ = 0 liegen in ihr.

d (Q; g) = \frac{∣ ( q - p ) \times u ∣}{∣ u ∣}

Abstand Punkt-Gerade

Der Abstand eines Punktes von einer Geraden im Raum ist die Länge des Lots; die Kreuzprodukt-Formel liefert ihn in einem Schritt.

∣ v ∣ = v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}

Betrag eines Vektors (Länge)

Der Betrag eines Vektors ist seine Länge: die Wurzel aus der Summe der Koordinatenquadrate, ein doppelt angewendeter Pythagoras im Raum.

f^{'} (x_{0}) = lim_{h \to 0} \frac{f ( x _{0} + h ) - f ( x _{0} )}{h}

Differenzenquotient und h-Methode

Der Differenzenquotient misst die mittlere Änderungsrate; im Grenzwert h gegen 0 wird er zur Ableitung, der lokalen Änderungsrate.

y = a (x - d)^{2} + e

Scheitelpunktform der Parabel

Die Scheitelpunktform zeigt den Scheitel S(d|e) einer Parabel direkt in der Gleichung; der Faktor a steuert Öffnung und Streckung.

b = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ( y _{i} - y ˉ )}{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}, a = \overset{y}{ˉ} - b \overset{x}{ˉ}

Lineare Regression (Ausgleichsgerade)

Die lineare Regression legt die Ausgleichsgerade ŷ = a + bx so durch eine Punktwolke, dass die Summe der quadrierten Abweichungen minimal wird.

(k n) = \frac{n !}{k ! ( n - k )!}

Binomialkoeffizient (n über k)

Der Binomialkoeffizient n über k zählt, wie viele k-elementige Teilmengen sich aus n Objekten auswählen lassen, ohne Beachtung der Reihenfolge.

s_{n} = a_{1} \cdot \frac{q ^{n} - 1}{q - 1} (q \neq = 1), s_{\infty} = \frac{a _{1}}{1 - q} (∣ q ∣ < 1)

Geometrische Reihe

Die geometrische Reihe summiert Glieder mit konstantem Faktor q; für |q| < 1 besitzt sogar die unendliche Reihe einen endlichen Wert.

s_{n} = \frac{n \cdot ( a _{1} + a _{n} )}{2}

Arithmetische Reihe (Gaußsche Summenformel)

Die Gaußsche Summenformel addiert Glieder mit konstantem Abstand: Anzahl der Glieder mal Mittelwert aus erstem und letztem Glied.

V = π \int_{a}^{b} f (x)^{2} d x

Rotationsvolumen

Rotiert der Graph von f um die x-Achse, entsteht ein Rotationskörper; sein Volumen summiert Kreisscheiben mit Radius f(x).

A = \frac{1}{2} \cdot a \cdot b \cdot sin γ

Dreiecksfläche mit Sinus

Die trigonometrische Flächenformel: Zwei Seiten und der von ihnen eingeschlossene Winkel legen die Dreiecksfläche fest.

P (X = k) = \frac{λ ^{k}}{k !} \cdot e^{- λ}

Poisson-Verteilung

Die Poisson-Verteilung modelliert die Anzahl seltener, unabhängiger Ereignisse in einem festen Intervall bei bekannter mittlerer Rate λ.

P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 95, 4 %

Sigma-Regeln (Sigma-Umgebungen)

Die Sigma-Regeln geben an, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine normalverteilte Größe in den Umgebungen μ ± σ, μ ± 2σ und μ ± 3σ liegt.

Biologie

8 Formeln

v = \frac{V _{m a x} \cdot [ S ]}{K _{m} + [ S ]}

Michaelis-Menten-Kinetik (Enzymkinetik)

Die Michaelis-Menten-Gleichung beschreibt die Abhängigkeit der Enzymreaktionsgeschwindigkeit von der Substratkonzentration. Dieses Modell ist ein zentrales Modell der Enzymkinetik.

\frac{d N}{d t} = r \cdot N \cdot (1 - \frac{N}{K})

Logistisches Wachstum

Die Differentialgleichung des logistischen Wachstums beschreibt Populationswachstum mit Kapazitätsgrenze und ist ein realistisches Modell für biologische Populationen.

p^{2} + 2 pq + q^{2} = 1

Hardy-Weinberg-Gleichgewicht

Das Hardy-Weinberg-Gleichgewicht verknüpft in einer idealen Population die Allelfrequenzen p und q mit den Genotypfrequenzen und bleibt von Generation zu Generation konstant, solange keine Evolutionsfaktoren wirken.

N (t) = N_{0} \cdot e^{r \cdot t}

Exponentielles Wachstum

Das exponentielle Wachstumsmodell beschreibt eine Population, die bei unbegrenzten Ressourcen mit konstanter Rate wächst, sodass die Zunahme stets proportional zur aktuellen Größe ist.

χ^{2} = \sum \frac{( B - E ) ^{2}}{E}

Chi-Quadrat-Test (Anpassungstest)

Der Chi-Quadrat-Anpassungstest prüft, ob beobachtete Häufigkeiten (z. B. Phänotypen eines Kreuzungsversuchs) mit den nach einer Hypothese erwarteten Häufigkeiten (z. B. einem Mendel-Spaltungsverhältnis) verträglich sind.

H^{'} = - \sum_{i = 1}^{S} p_{i} \cdot ln (p_{i})

Shannon-Index (Biodiversität)

Der Shannon-Index (Shannon-Wiener-Index) misst die Diversität einer Lebensgemeinschaft. Er berücksichtigt sowohl den Artenreichtum als auch die Gleichmäßigkeit (Evenness), mit der sich die Individuen auf die Arten verteilen.

D = \sum_{i = 1}^{S} p_{i}^{2}

Simpson-Index (Dominanz und Diversität)

Der Simpson-Index D misst die Dominanz in einer Lebensgemeinschaft: die Wahrscheinlichkeit, dass zwei zufällig gezogene Individuen zur selben Art gehören. Der Kehrwert (1 − D) ist der Simpson-Diversitätsindex und steigt mit der Vielfalt.

N = \frac{M \cdot C}{R}

Lincoln-Index (Fang-Wiederfang-Methode)

Der Lincoln-Petersen-Index schätzt die Größe einer Population, die nicht vollständig gezählt werden kann. Ein erster Fang wird markiert und freigelassen; aus dem Anteil markierter Tiere im zweiten Fang folgt die Gesamtzahl.

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