Normalverteilung (Gaußsche Glockenkurve)
Die Normalverteilung ist die wichtigste Wahrscheinlichkeitsverteilung — sie beschreibt viele natürliche Phänomene.
Formel
f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}Variablen & Einheiten – Normalverteilung (Gaußsche Glockenkurve)
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| μ | Erwartungswert (Mittelwert) | gleich wie X |
| σ | Standardabweichung | gleich wie X |
| σ² | Varianz | Quadrat davon |
Herleitung & Hintergrund – Normalverteilung (Gaußsche Glockenkurve)
Carl Friedrich Gauß verwendete sie 1809 zur Beschreibung von Messfehlern. Zentraler Grenzwertsatz: Summen vieler unabhängiger Zufallsvariablen sind normalverteilt. 68-95-99,7-Regel: 68% der Werte liegen in μ±σ, 95% in μ±2σ, 99,7% in μ±3σ.
Rechenbeispiel
Körpergröße Männer: μ = 178 cm, σ = 7 cm. P(165 < X < 191) = P(μ−2σ < X < μ+2σ) ≈ 95%.
Anwendungsgebiete
Qualitätskontrolle (6-Sigma-Methode), Finanzmathematik (Black-Scholes), Bildverarbeitung, IQ-Tests
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Frage (Vorderseite)
Was beschreibt die Formel f(x) = 1/(σ√2π) · e^(−(x−μ)²/2σ²)? Nenne alle Variablen und Einheiten.
Antwort (Rückseite)
Die Normalverteilung ist die wichtigste Wahrscheinlichkeitsverteilung — sie beschreibt viele natürliche Phänomene.. μ: Erwartungswert (Mittelwert) (gleich wie X); σ: Standardabweichung (gleich wie X); σ²: Varianz (Quadrat davon).
Wissenschaftliche Quellen
- [1]Gauß, C.F. (1809). Theoria Motus Corporum Coelestium. Hamburg.
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