Normalverteilung (Gaußsche Glockenkurve)

Die Normalverteilung ist ein Modell für stetige Größen, deren Streuung aus vielen kleinen, unabhängigen Einflüssen entsteht, etwa Körpergrößen oder Messfehler. Ihre Dichtefunktion $f(x) =\frac{ 1}{(\sigma{}\sqrt{(2\pi{})})}\cdot{}e^{(-\frac{(x-\mu{})^{2}}{(2\sigma{}^{2})})}$ beschreibt eine symmetrische Glockenkurve um den Mittelwert μ. Der Parameter μ legt die Lage des Maximums fest, die Standardabweichung σ die Breite. Der Vorfaktor $\frac{1}{(\sigma{}\sqrt{(2\pi{})})}$ sorgt dafür, dass die Gesamtfläche unter der Kurve genau eins beträgt, wie es für eine Wahrscheinlichkeitsdichte sein muss. Der Exponentialterm bestraft Abweichungen vom Mittelwert quadratisch, weshalb weit entfernte Werte sehr unwahrscheinlich werden. Wahrscheinlichkeiten entsprechen Flächen unter der Kurve.

Die Regel beschreibt, welcher Anteil der Werte einer Normalverteilung innerhalb bestimmter Vielfacher der Standardabweichung liegt. Etwa 68,27 Prozent liegen in μ ± σ, 95,45 Prozent in μ ± 2σ und 99,73 Prozent in μ ± 3σ. Beispiel Körpergrößenmodell mit $\mu{} = 178 cm$ und $\sigma{} = 7 cm$: Das zentrale 2σ-Intervall reicht von 164 bis 192 cm und enthält 95,45 Prozent der modellierten Werte. Die Faustregel ermöglicht schnelle Abschätzungen, ohne Integrale zu berechnen. Sie gilt für eine Normalverteilung; bei realen Messdaten muss erst geprüft werden, ob das Modell angemessen ist. Werte außerhalb von drei Standardabweichungen sind im Modell selten, aber nicht unmöglich.

Der z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist. Du berechnest ihn mit $z =\frac{ (x - \mu{})}{\sigma{}}$, ziehst also den Mittelwert ab und teilst durch die Standardabweichung. Ein z-Wert von 2 bedeutet, dass der Wert zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert liegt, ein negativer z-Wert entsprechend darunter. Durch die Standardisierung überführst du jede Normalverteilung in die Standardnormalverteilung mit Mittelwert null und Standardabweichung eins. Erst dadurch kannst du tabellierte Werte oder die Funktion Φ nutzen, um Wahrscheinlichkeiten abzulesen. Die Standardisierung ist der Schlüssel, um verschiedene Normalverteilungen miteinander vergleichbar zu machen.

Die Varianz $\sigma{}^{2}$ ist das mittlere Quadrat der Abweichungen vom Mittelwert und misst die Streuung in quadrierten Einheiten. Die Standardabweichung σ ist die Wurzel aus der Varianz und hat dieselbe Einheit wie die ursprünglichen Daten, was sie anschaulicher macht. Bei Körpergrößen in Zentimetern ist σ ebenfalls in Zentimetern, $\sigma{}^{2}$ dagegen in Quadratzentimetern. In der Dichtefunktion der Normalverteilung tritt σ direkt als Breitenparameter auf, während $\sigma{}^{2}$ im Exponenten steht. Ein häufiger Fehler ist, σ und $\sigma{}^{2}$ zu verwechseln, etwa den z-Wert mit der Varianz statt mit der Standardabweichung zu berechnen. Merke: σ ist die typische Abweichung, $\sigma{}^{2}$ ihr Quadrat.

Der Grund ist der zentrale Grenzwertsatz der Statistik. Er besagt, dass die Summe oder der Mittelwert vieler unabhängiger Zufallseinflüsse annähernd normalverteilt ist, fast unabhängig davon, wie die einzelnen Einflüsse verteilt sind. Viele Naturgrößen entstehen genau so: Die Körpergröße hängt von zahllosen genetischen und umweltbedingten Faktoren ab, ein Messfehler von vielen kleinen Störungen. Dadurch summieren sich die Einflüsse zu einer glockenförmigen Verteilung. Deshalb taucht die Normalverteilung überall auf, von der Biologie über die Physik bis zur Qualitätskontrolle. Sie ist auch der Grund, warum viele statistische Verfahren die Normalverteilung als Standardmodell voraussetzen und darauf aufbauen.