Normalverteilung (Gaußsche Glockenkurve)

Die Normalverteilung ist ein Modell für stetige Größen, deren Streuung aus vielen kleinen, unabhängigen Einflüssen entsteht, etwa Körpergrößen oder Messfehler. Ihre Dichtefunktion f(x) = 1/(σ√(2π))·e^(−(x−μ)²/(2σ²)) beschreibt eine symmetrische Glockenkurve um den Mittelwert μ. Der Parameter μ legt die Lage des Maximums fest, die Standardabweichung σ die Breite. Der Vorfaktor 1/(σ√(2π)) sorgt dafür, dass die Gesamtfläche unter der Kurve genau eins beträgt, wie es für eine Wahrscheinlichkeitsdichte sein muss. Der Exponentialterm bestraft Abweichungen vom Mittelwert quadratisch, weshalb weit entfernte Werte sehr unwahrscheinlich werden. Wahrscheinlichkeiten entsprechen Flächen unter der Kurve.

Die Regel beschreibt, welcher Anteil der Werte einer Normalverteilung innerhalb bestimmter Vielfacher der Standardabweichung liegt. Etwa 68 Prozent aller Werte liegen im Bereich μ ± σ, rund 95 Prozent im Bereich μ ± 2σ und etwa 99,7 Prozent im Bereich μ ± 3σ. Beispiel Körpergröße von Männern mit μ = 178 cm und σ = 7 cm: Rund 95 Prozent liegen zwischen 164 und 192 cm. Diese Faustregel erlaubt schnelle Abschätzungen, ohne Integrale zu berechnen. Werte, die mehr als drei Standardabweichungen vom Mittelwert entfernt sind, sind extrem selten und gelten in der Qualitätskontrolle oft als Ausreißer oder Fehler.

Der z-Wert gibt an, wie viele Standardabweichungen ein Wert vom Mittelwert entfernt ist. Du berechnest ihn mit z = (x − μ)/σ, ziehst also den Mittelwert ab und teilst durch die Standardabweichung. Ein z-Wert von 2 bedeutet, dass der Wert zwei Standardabweichungen über dem Mittelwert liegt, ein negativer z-Wert entsprechend darunter. Durch die Standardisierung überführst du jede Normalverteilung in die Standardnormalverteilung mit Mittelwert null und Standardabweichung eins. Erst dadurch kannst du tabellierte Werte oder die Funktion Φ nutzen, um Wahrscheinlichkeiten abzulesen. Die Standardisierung ist der Schlüssel, um verschiedene Normalverteilungen miteinander vergleichbar zu machen.

Die Varianz σ² ist das mittlere Quadrat der Abweichungen vom Mittelwert und misst die Streuung in quadrierten Einheiten. Die Standardabweichung σ ist die Wurzel aus der Varianz und hat dieselbe Einheit wie die ursprünglichen Daten, was sie anschaulicher macht. Bei Körpergrößen in Zentimetern ist σ ebenfalls in Zentimetern, σ² dagegen in Quadratzentimetern. In der Dichtefunktion der Normalverteilung tritt σ direkt als Breitenparameter auf, während σ² im Exponenten steht. Ein häufiger Fehler ist, σ und σ² zu verwechseln, etwa den z-Wert mit der Varianz statt mit der Standardabweichung zu berechnen. Merke: σ ist die typische Abweichung, σ² ihr Quadrat.

Der Grund ist der zentrale Grenzwertsatz der Statistik. Er besagt, dass die Summe oder der Mittelwert vieler unabhängiger Zufallseinflüsse annähernd normalverteilt ist, fast unabhängig davon, wie die einzelnen Einflüsse verteilt sind. Viele Naturgrößen entstehen genau so: Die Körpergröße hängt von zahllosen genetischen und umweltbedingten Faktoren ab, ein Messfehler von vielen kleinen Störungen. Dadurch summieren sich die Einflüsse zu einer glockenförmigen Verteilung. Deshalb taucht die Normalverteilung überall auf, von der Biologie über die Physik bis zur Qualitätskontrolle. Sie ist auch der Grund, warum viele statistische Verfahren die Normalverteilung als Standardmodell voraussetzen und darauf aufbauen.