Kinetische Energie

Vergleiche denselben Wagen einmal langsam und einmal doppelt so schnell. Wenn dieselbe konstante Gegenkraft wirkt, muss sie beim schnelleren Wagen auf einer viermal so langen Strecke bremsen. Eine Kraft über eine Strecke verrichtet Arbeit. Die Bewegungsenergie sagt deshalb, welcher Arbeitsbetrag zum Anhalten nötig ist. Die folgende Rechnung beschreibt reine Translation; rotierende Räder brauchen einen zusätzlichen Energieanteil.[1][2]

Bei gleicher Masse und im selben Bezugssystem bedeutet doppelte Geschwindigkeit vierfache kinetische Energie, weil v quadriert wird. Für eine Punktmasse oder die reine Translation eines Körpers verwenden wir Ekin = ½mv². m ist die Masse und v die Schnelligkeit im gewählten Bezugssystem. Der Geschwindigkeitsbetrag wird quadriert: Bewegungen nach rechts und links mit gleicher Schnelligkeit haben dieselbe Energie. Bei positiver Masse kann diese Bewegungsenergie nicht negativ sein. Ihr Zahlenwert hängt aber davon ab, von wo aus du die Bewegung beobachtest.[1]

Bei einer Rollbewegung ist ½mvSchwerpunkt² nur der translatorische Anteil. Die Rotation um den Schwerpunkt liefert zusätzlich ½ISchwerpunktω². Wähle diese Zerlegung konsequent; ein Trägheitsmoment um einen anderen Punkt darf nicht ohne Anpassung eingesetzt werden.[3]

Beginne mit einer einfachen Situation: Eine konstante resultierende Kraft beschleunigt eine konstante Masse entlang einer Geraden. Lege eine feste positive Achse fest; F, a und s sind gerichtete Kraftkomponente, Beschleunigungskomponente und Verschiebung. Newtons Gesetz liefert $F=ma$. Die zeitfreie Bewegungsgleichung liefert $v_2^2-v_1^2=2as$. Die Arbeit derselben Kraft ist $W=Fs$. Ersetze F durch ma und anschließend as durch die Hälfte der Geschwindigkeitsquadrate. So entsteht der Faktor ein Halb ohne Integralrechnung.[2]

Die konstante Kraft diente nur dazu, den Zusammenhang einfach herzuleiten. Der Arbeit-Energie-Satz gilt auch bei veränderlicher Kraft. Dafür betrachtet man viele kleine Bewegungsabschnitte; die folgende Integralform fasst sie zusammen. Wenn du noch keine Integrale kennst, kannst du für die Beispiele direkt mit der Energiedifferenz weiterarbeiten.

Betrachte eine Punktmasse mit konstanter Masse im Inertialsystem. Die resultierende Kraft erfüllt ΣF = m dv/dt. Ihr Arbeitsbeitrag entlang der Bewegung ist dW = ΣF·dr. Mit dr = v dt folgt dW = m v·dv. Diese Herleitung braucht keine konstante Beschleunigung; die Masse muss jedoch konstant bleiben.[2]

Setzt du v₁ = 0, ist die erforderliche Nettoarbeit bis v₂ genau ½mv₂². Bei beliebigem Anfangszustand zählt die Differenz der beiden Quadrate. Für v₁ = 4 m/s und v₂ = 7 m/s ist v₂² − v₁² = 33 m²/s²; das Quadrat der Änderung wäre nur 9 und liefert eine andere, falsche Energieänderung.

Kilometer pro Stunde zuerst durch 3,6 teilen. Gramm zuerst durch 1000 teilen. Danach Geschwindigkeit quadrieren. Eine Energie von 2,4 kJ ist 2400 J. Die Formel liefert bei gegebenem E und m nur den Geschwindigkeitsbetrag; die Richtung muss aus der Aufgabe kommen. Für die Umstellung nach dem nichtnegativen Geschwindigkeitsbetrag gilt $v=\sqrt{\frac{2E}{m}}$ bei $m>0$ und $E\ge0$. Die Umstellung nach der Masse setzt $v>0$ voraus.[1]

Bei gleicher Masse vervierfacht doppelte Geschwindigkeit die Energie; dreifache Geschwindigkeit verneunfacht sie. Bei gleicher Geschwindigkeit verdoppelt doppelte Masse die Energie. Bei gleicher Energie bewegt sich eine viermal schwerere Masse halb so schnell. Diese Aussagen lassen sich direkt durch Einsetzen von 2v, 3v und 4m prüfen.

Die Nettoarbeit, also die gesamte mechanische Arbeit an einer Punktmasse, ist ΔEkin. Eine bremsende Kraft verrichtet negative Arbeit, obwohl der Betrag der kinetischen Energie nicht negativ wird. Eine Kraft senkrecht zur Geschwindigkeit kann die Richtung ändern, ohne den Betrag und damit die Energie zu verändern. Bei gleichförmiger Kreisbewegung gilt genau dieser Fall.[2]

Eine einzelne Kraft kann positive Arbeit leisten, während eine andere zugleich Energie entzieht. Verwende deshalb die Summe aller Arbeitsbeiträge. Energieerhaltung eines größeren Systems ist eine zusätzliche Bilanz: Beim Bremsen wird Bewegungsenergie beispielsweise in innere Energie umgewandelt. Der Körper allein behält seine mechanische Energie dabei nicht.[2]

Ja: Für die kinetische Energie zählt die Schnelligkeit relativ zum gewählten Bezugssystem. Ein Paket mit 3 kg bewegt sich auf einer Plattform mit 2 m/s relativ zu ihr. Relativ zur Plattform hat es 6 J. Fährt die Plattform mit 4 m/s in derselben Richtung, bewegt sich das Paket im Bodenbezug mit 6 m/s und hat dort 54 J. Beide Ergebnisse gehören zu unterschiedlichen Bezugssystemen; man darf die Energien nicht einfach addieren.[1]

Zwei gleiche Massen mit entgegengesetzten Geschwindigkeiten können einen Gesamtimpuls von null, aber positive kinetische Energie haben. Bei zwei Massen von je 2 kg und Geschwindigkeiten ±3 m/s ist die Impulssumme null und die Energiesumme 18 J. Bei einem vollkommen unelastischen Zusammenstoß muss die kinetische Energie daher nicht erhalten bleiben.

Bei Geschwindigkeiten, die gegenüber der Lichtgeschwindigkeit nicht mehr klein sind, lautet die relativistische kinetische Energie (γ − 1)mc² mit γ = 1/√(1 − v²/c²). Für kleine v/c ergibt ihre Entwicklung wieder ½mv². Bei v = 0,6c ist γ = 1,25: relativistisch K = 0,25mc², klassisch nur 0,18mc².[4]

Die Windleistung wird häufig mit v³ modelliert, weil zusätzlich zur Energie pro Masse ein mit v wachsender Massenstrom durch eine Fläche eingeht. Das ändert den Exponenten der einzelnen Bewegungsenergie nicht. Ebenso sind Energie und Kraft keine austauschbaren Größen: Gleiche Energie kann über einen langen Weg mit kleiner Kraft oder einen kurzen Weg mit großer Kraft übertragen werden.

Für einen klassisch rollenden starren Körper ist die Bewegungsenergie des Schwerpunkts nur ein Anteil: Zur Gesamtenergie gehört auch die Rotationsenergie um den Schwerpunkt. Die Formel ½mv² allein beschreibt hier die Translation, nicht die gesamte Bewegung.[3]