Newtons zweites Gesetz: resultierende Kraft

Mit F ist in Newtons zweitem Gesetz die resultierende Kraft gemeint: die Vektorsumme aller äußeren Kräfte auf den betrachteten Körper. Sie ist keine zusätzliche Einzelkraft. Die Form F = m·a, auch Grundgleichung der Mechanik genannt, gilt bei konstanter Masse in einem Inertialsystem. Beschleunigung bedeutet, dass sich die Geschwindigkeit ändert: Ein Körper wird schneller, langsamer oder ändert seine Bewegungsrichtung. Ziehst du einen Wagen nach rechts und wirkt Reibung nach links, müssen beide Kräfte berücksichtigt werden.[1]

Bei gleicher Masse bedeutet eine doppelte resultierende Kraft doppelte Beschleunigung. Bei gleicher resultierender Kraft bedeutet doppelte Masse halbe Beschleunigung. Daraus folgt keine Verdopplung der Geschwindigkeit: Dafür musst du wissen, wie lange die Beschleunigung wirkt und welche Anfangsgeschwindigkeit vorliegt.

Die einfache Form gilt für einen Körper mit konstanter Masse in einem Inertialsystem. Das ist ein Bezugssystem, das weder beschleunigt noch rotiert. Bei einem ausgedehnten Körper beschreibt die resultierende Kraft die Beschleunigung seines Schwerpunkts. Für seine Drehbewegung brauchst du zusätzlich die Drehmomente.[1]

Für eine gewählte Achse gilt $F_{\mathrm{res}}=ma$ mit vorzeichenbehafteten Kraft- und Beschleunigungskomponenten. Bei $m>0$ folgt $a=\frac{F_{\mathrm{res}}}{m}$. Ist $a\ne0$, kannst du nach der Masse umstellen: $m=\frac{F_{\mathrm{res}}}{a}$. Verwende für $F_{\mathrm{res}}$ die gesamte äußere Kraftkomponente, nicht nur eine einzelne Zugkraft. Bei $a=0$ und $F_{\mathrm{res}}=0$ lässt sich die Masse aus dieser Gleichung nicht bestimmen.[1]

Der Zusammenhang lässt sich mit einem Wagen auf einer geraden, waagerechten und möglichst reibungsarmen Bahn untersuchen. Vergleiche zuerst verschiedene resultierende Kräfte bei gleicher Masse. Vergleiche anschließend verschiedene Massen bei gleicher resultierender Kraft. Die Beschleunigung bestimmst du aus der Geschwindigkeitsänderung und der zugehörigen Zeit. Reibung und Messunsicherheit müssen berücksichtigt werden.[1]

Die beiden Versuchsreihen prüfen unterschiedliche Zusammenhänge. Bei gleicher Masse bleibt das Verhältnis von Beschleunigung zu resultierender Kraft konstant. Bei gleicher resultierender Kraft bleibt das Produkt aus Masse und Beschleunigung konstant. Zusammen ergibt das $a\propto\frac{F_{\mathrm{res}}}{m}$. Ein Newton ist in SI-Einheiten die Kraft, die ein Kilogramm mit einem Meter pro Sekunde zum Quadrat beschleunigt. Der Proportionalitätsfaktor hat damit den Wert eins, und es folgt $F_{\mathrm{res}}=ma$. Experimente stützen diesen Zusammenhang; die Umstellung allein beweist kein Naturgesetz.[1]

Wähle zunächst den Körper. Zeichne danach nur die Kräfte, die andere Körper auf ihn ausüben: etwa Gewichtskraft, Normalkraft, Seilspannung und Reibung. Das Gegenstück einer Wechselwirkung wirkt auf den anderen Körper und gehört nicht zusätzlich in diese Bilanz. Wenn zwei Körper gemeinsam als System betrachtet werden, sind Kräfte zwischen ihnen intern.[3][6]

Lege zuerst die positive Richtung fest. Im horizontalen Beispiel steht $F_1$ für die Zugkraft und $F_2$ für den entgegenwirkenden Widerstand. Dann gilt $\sum F_x=F_1-F_2$. Vertikal gilt bei fehlender Beschleunigung $F_N-mg=0$: Normalkraft und Gewichtskraft gleichen sich aus. Die Kräftebilanz wird für jede Richtung getrennt aufgestellt.

Newtons zweites Gesetz ist ein empirisches Grundgesetz: Experimente stützen es innerhalb seines Gültigkeitsbereichs. Es wird nicht durch bloßes Umformen bewiesen. Für ein geschlossenes System ohne Massenfluss gilt $\sum\vec F_{\mathrm{ext}}=\frac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt}$. Der Impuls lautet im klassischen Modell $\vec p=m\vec v$. Bei konstanter Masse ergibt sich daraus die bekannte Form.[4]

Eine Rakete stößt Abgas aus und verliert dabei Masse. Die Rakete allein ist deshalb ein offenes System. Ihre Bewegung hängt auch vom Impuls ab, den das Abgas mitnimmt. Eine vollständige Bilanz berücksichtigt diesen Impulsstrom. Für gewöhnliche Aufgaben mit einem Körper konstanter Masse genügt dagegen die einfache Form von Newtons zweitem Gesetz.[5]

Zwei senkrechte resultierende Kraftkomponenten von 6 N und 8 N ergeben einen Betrag von 10 N. Für eine Masse von 2 kg folgt $a_x=3\,\mathrm{m/s^2}$, $a_y=4\,\mathrm{m/s^2}$ und $|\vec a|=5\,\mathrm{m/s^2}$. Die Beschleunigung zeigt in Richtung der resultierenden Kraft; ihr Winkel zur positiven x-Achse beträgt hier rund 53,1°.

Gleichförmige Kreisbewegung hat konstante Geschwindigkeit im Sinn des Betrags, aber eine ständig wechselnde Richtung. Deshalb ist a nicht null: Die Resultierende zeigt zum Kreismittelpunkt. „Konstantes Tempo“ und „konstanter Geschwindigkeitsvektor“ sind unterschiedliche Bedingungen.

Die einfache Form setzt ein Inertialsystem voraus. In einem beschleunigten oder rotierenden Bezugssystem brauchst du zusätzliche Trägheitsterme, wenn du dieselbe Gleichungsform verwenden willst. Bei relativistischen Geschwindigkeiten ist der klassische Impuls mv nicht das richtige Modell. Für makroskopische, langsam bewegte Körper ist die klassische Bilanz oft ausreichend.[1]

Die Normalkraft ist nicht grundsätzlich gleich $mg$. Sie wirkt senkrecht zur Kontaktfläche und hängt von der Beschleunigung und den übrigen Kräften ab. Auch eine Seilspannung entspricht nur unter passenden Bedingungen der Gewichtskraft. Stelle deshalb die Kräftebilanz auf, bevor du diese Größen gleichsetzt.[2]

Bei $\sum\vec F=0$ gilt $\vec a=0$. Der Körper bleibt in Ruhe oder bewegt sich mit unverändertem Geschwindigkeitsvektor weiter. Beim Bremsen zeigen Geschwindigkeit und Beschleunigung in entgegengesetzte Richtungen. Ein negatives $a_x$ bedeutet Beschleunigung entgegen der positiven x-Achse; es bedeutet nicht automatisch Stillstand oder Rückwärtsfahrt.

Benennen die Kraftpfeile denselben Körper? Sind alle Kräfte auf den betrachteten Körper berücksichtigt oder begründet vernachlässigt? Stimmen die Achsen und Einheiten? Setze anschließend ma zurück in die Kräftebilanz ein. Die eigene Abbildung oben stellt das Prinzip schematisch dar; bei mehreren Kräften musst du ihre Vektorsumme zusätzlich bilden.

Für eine weitere Bewegungsrechnung brauchst du Anfangsbedingungen. v = v₀ + at gilt nur bei konstanter Beschleunigung im gewählten Zeitabschnitt. Wenn Widerstände mit Geschwindigkeit wachsen, ist a nicht automatisch konstant. Die Kräftebilanz bleibt der Ausgangspunkt; der Zeitverlauf muss dazu passend bestimmt werden.