Newtonsches Gravitationsgesetz

Jede der beiden Massen zieht die andere an. Für zwei positive Punktmassen gibt $F_G=G\frac{m_1m_2}{r^2}$ den Betrag dieser Kraft an. Die Kraft wirkt entlang ihrer Verbindungslinie zum jeweils anderen Körper. Beide Kräfte sind gleich groß, wirken aber auf verschiedene Körper. Auf dem Freikörperbild eines einzelnen Körpers dürfen sie deshalb nicht gegeneinander aufgehoben werden.[1]

r ist positiv und wird zwischen den Punkten gemessen, an denen die Massen im Modell sitzen. Für zwei nicht überlappende kugelsymmetrische Körper darfst du ihre Mittelpunkte verwenden. Bei unregelmäßigen Körpern ist dies nur eine Fernfeldnäherung, wenn ihre Ausdehnung gegenüber r klein ist.[2]

r ist der Abstand zwischen den beiden Punktmassen; bei zwei nicht überlappenden kugelsymmetrischen Körpern ist es der Mittelpunktsabstand. Bei zwei getrennten Kugeln ist der sichtbare Spalt nicht der Abstand in der Formel. Addiere zum Spalt die beiden Radien. Bei einem Körper über einem Planeten addierst du zur Höhe den Planetenradius. Diese kleine Skizzenarbeit ist oft wichtiger als der nächste Taschenrechnerschritt: Der Abstand geht quadratisch in den Nenner ein.[1][2]

Für unsymmetrische Körper reicht der Schwerpunktabstand allein im Nahbereich nicht aus: Nahe und ferne Teile der Quelle ziehen verschieden stark und in verschiedenen Richtungen. Liegt der Beobachtungspunkt weit gegenüber der Körperausdehnung entfernt, kann die gesamte Masse näherungsweise an einem Punkt zusammengefasst werden. Innerhalb eines ausgedehnten Körpers braucht man dessen Massenverteilung.[2]

Das Gesetz verbindet sehr unterschiedliche Beobachtungen: Fallbewegungen nahe der Erde, die Bewegung von Himmelskörpern und die schwache Anziehung von Labormassen. Seine Form wird an solchen Beobachtungen geprüft. Eine Rechnung kann zeigen, welche Folgen das angenommene Gesetz hat; sie kann das Gesetz nicht aus Einheiten allein beweisen. Auch die Konstante G muss gemessen werden und ist kein exakt festgelegter SI-Wert.[1][5]

Ein Kugelfeld mit gleicher Wirkung in jede Raumrichtung verteilt seine Feldlinien über Flächen $4\pi r^2$. Ein konstant gedachter Gesamtfluss passt deshalb zu $g\propto\frac1{r^2}$. Das veranschaulicht die Geometrie des Modells, setzt dessen Feldannahme aber bereits voraus. Es ist kein unabhängiger experimentfreier Beweis.[2]

Als weiterer Konsistenzcheck: Für eine Kreisbahn gilt $\frac{GMm}{r^2}=\frac{mv^2}{r}$ und $v=\frac{2\pi r}{T}$. Nach Kürzen folgt $T^2=\frac{4\pi^2r^3}{GM}$. Damit reproduziert das Modell für einen leichten Begleiter die typische Beziehung zwischen Umlaufzeit und Bahnradius. Die Umkehrung dieses Rechenwegs ersetzt keine Prüfung anderer Bahnen oder Laborkräfte.[3]

Die Beziehung zwischen Umlaufzeit und Bahngröße wird im dritten Keplerschen Gesetz für die relative Zweikörperbahn erweitert. Dabei ist die große Halbachse gemeint; die Kreisbahn ist ein Sonderfall.[7]

Schreibe 40 cm als 0,40 m, bevor du quadrierst. 6371 km werden 6,371×10⁶ m; ein falscher Faktor 1000 im Abstand verursacht einen Faktor eine Million in der Kraft. Bei gleicher Geometrie verdoppelt eine verdoppelte Masse die Kraft. Doppelter Abstand reduziert sie auf ein Viertel. Diese Skalierungen eignen sich als schnelle Ergebniskontrolle.

G ist die universelle Gravitationskonstante mit der SI-Einheit N·m²/kg². g beschreibt dagegen die örtliche Gravitationsfeldstärke beziehungsweise die Fallbeschleunigung im Newtonschen Modell ohne weitere Kräfte. Seine Einheit N/kg ist gleichwertig zu m/s². Für eine kugelsymmetrische Quelle gilt außerhalb $g=\frac{GM}{r^2}$: G bleibt gleich, während g von der Quellenmasse M und dem Mittelpunktsabstand r abhängt.[1][2]

Zwei gleich schwere Quellen links und rechts einer Testmasse erzeugen im Mittelpunkt entgegengesetzte Beiträge, die sich aufheben. Ihre Kraftbeträge sind trotzdem einzeln positiv. Bei einer unsymmetrischen Anordnung zerlegst du jeden Beitrag in Komponenten und summierst diese; Beträge einfach zu addieren wäre nur bei gleicher Richtung richtig.

Für ausgedehnte Massen kann man kleine Massenelemente einzeln berücksichtigen. Im Kugelmodell ist außerhalb die Gesamtmasse entscheidend. Innerhalb einer kugelsymmetrischen Verteilung trägt zur radialen Kraft nur die innerhalb des betrachteten Radius eingeschlossene Masse bei. Bei einer homogenen Kugel wächst dieses Feld vom Mittelpunkt aus proportional zu r statt wie 1/r².[2]

Der größere Testkörper erfährt bei gleicher Lage eine größere Gravitationskraft. Gleichzeitig ist mehr Kraft nötig, um seine Geschwindigkeit gleich stark zu ändern. Im Newtonschen Modell kürzt sich seine Masse deshalb bei $a=F_G/m$. Das ist eine Aussage über die Beschleunigung allein durch Gravitation. Luftwiderstand oder andere Kräfte können weiterhin von Größe, Form und Masse abhängen.[2]

Das Gesetz liefert die Kraft für eine Bewegungsrechnung, nicht bereits die fertige Bahn. Dazu gehören Anfangsposition, Anfangsgeschwindigkeit und Newtons Bewegungsgleichung. Bei zwei beweglichen Körpern musst du beide Bewegungen berücksichtigen; das größere Objekt bleibt nicht automatisch unbeweglich. In einer genauen Mehrkörperrechnung summierst du die Beiträge aller berücksichtigten Massen. Für eine Kreisbahn um eine dominierende Zentralmasse folgt die Kreisbahngeschwindigkeit aus der Gleichsetzung von Gravitationskraft und benötigter Zentripetalkraft.[3]

Bei einer Laboranordnung ist die winzige gegenseitige Anziehung oft von anderen Kräften überlagert. Ein Taschenrechnerergebnis mit vielen Stellen ist deshalb keine entsprechend genaue Messung. Für die praktische Unsicherheit zählen neben G auch Massen, Abstand, Geometrie und Umgebungsstörungen; r geht quadratisch ein.[1]

Die Punktmassenform ist ungeeignet, wenn nahe unregelmäßige Körper durch nur einen Mittelpunkt ersetzt werden, oder wenn r als Oberflächenabstand eingeht. Die scheinbare Divergenz bei $r\to0$ ist kein Beleg für unendlich große Kräfte beim Kontakt realer Körper: Dort ist die Annahme zweier getrennter Punktmassen nicht passend.

Newtons Theorie ist für viele schwache Felder und langsame Bewegungen eine gute Näherung. Für Lichtablenkung, relativistische Präzision und starke Gravitationsfelder braucht man die allgemeine Relativitätstheorie. Eine Bahnabschätzung mit F_G allein berechnet außerdem keine Zeitkorrektur einer Satellitenuhr. Im Newtonschen Zentralfeld beschreibt die gravitative potentielle Energie die zugehörige Energie des Massensystems; ihr Nullniveau muss ebenfalls festgelegt werden.[4][6]

Verwende den Mittelpunktabstand nur für Punktmassen, getrennte kugelsymmetrische Körper oder eine begründete Fernfeldnäherung. Bestimme Richtung und Körperzuordnung zusätzlich zum Kraftbetrag. G ist eine gemessene Konstante; g beschreibt das lokale Feld. Das inverse Abstandsquadrat liefert schnelle Kontrollen, aber das Kraftgesetz allein noch keine Bahn.