Newtonsches Gravitationsgesetz

Multipliziere die beiden Massen in Kilogramm, teile durch das Quadrat ihres Abstands in Metern und multipliziere mit der Gravitationskonstante G = 6,674×10⁻¹¹ N·m²/kg². Das Ergebnis ist die anziehende Kraft in Newton. Der Abstand r zählt dabei immer von Massenmittelpunkt zu Massenmittelpunkt, nicht von Oberfläche zu Oberfläche. Weil r² im Nenner steht, fällt die Kraft mit dem Quadrat des Abstands: Verdoppelst du r, wird die Kraft nur noch ein Viertel so groß. Für die Gewichtskraft an der Erdoberfläche liefert die Formel mit Erdmasse und Erdradius rund 686 N für eine Person von 70 kg.

Für kugelsymmetrische Körper lässt sich mathematisch zeigen, dass ihre gesamte Masse so wirkt, als sei sie im Mittelpunkt konzentriert. Dieses Ergebnis heißt Schalentheorem und stammt schon von Newton. Deshalb setzt du bei der Erde nicht den Abstand zur Oberfläche ein, sondern den Erdradius von rund 6371 km plus die Höhe über dem Boden. Ein häufiger Fehler ist, bei einem Satelliten in 400 km Höhe nur diese 400 km als r zu verwenden. Richtig sind etwa 6771 km. Nur außerhalb der Körper gilt das Gesetz in dieser Form; im Inneren einer Kugel gelten andere Beziehungen.

Multipliziere zuerst beide Seiten mit r², dann teilst du durch die Kraft und ziehst die Wurzel. Es ergibt sich r = √(G·m₁·m₂/F_G). Der Abstand ist also die Wurzel aus dem Produkt von Gravitationskonstante und beiden Massen, geteilt durch die Kraft. Rechne nur mit dem Betrag der Kraft, denn die Gravitation ist immer anziehend und hat keine Vorzeichenumkehr wie elektrische Ladungen. Setze konsequent SI-Einheiten ein, also Kilogramm für die Massen und Newton für die Kraft, damit r in Metern herauskommt. Prüfe am Ende die Größenordnung: Astronomische Abstände liegen im Bereich von 10⁶ bis 10¹¹ Metern.

F_G = m·g ist die Näherung für ein nahezu homogenes Feld direkt an der Erdoberfläche, wo der Ortsfaktor g ≈ 9,81 m/s² fast konstant ist. Das allgemeine Gravitationsgesetz F = G·m₁·m₂/r² gilt dagegen für jeden Abstand und beschreibt, wie die Kraft mit der Höhe abnimmt. Tatsächlich folgt g aus dem Gravitationsgesetz: g = G·M_Erde/r². Auf der Erdoberfläche liefern beide Formeln denselben Wert. In großer Höhe, etwa bei Satelliten, oder für andere Himmelskörper mit anderer Masse und anderem Radius musst du das allgemeine Gesetz nutzen, weil g dort deutlich abweicht.

Weil der Abstand als r² im Nenner steht, folgt die Kraft einem Abstandsquadratgesetz. Verdoppelst du r, steht im Nenner (2r)² = 4r², die Kraft sinkt also auf ein Viertel. Verdreifachst du den Abstand, bleibt nur ein Neuntel übrig. Umgekehrt vervierfacht sich die Kraft, wenn du den Abstand halbierst. Diese starke Abstandsabhängigkeit erklärt, warum die Anziehung ferner Objekte rasch unbedeutend wird, während sie in Oberflächennähe dominiert. Bei Aufgaben genügt oft ein reines Verhältnisrechnen: Du brauchst G und die Massen nicht, sondern setzt nur die Faktoren der Abstandsänderung ins Quadrat und bildest den Kehrwert.