Exponentielles Wachstum

Man setzt Anfangsgröße, Wachstumsrate und Zeit in die Gleichung $N(t) = N_{0}\cdot{}e^{(r\cdot{}t)}$ ein. N₀ ist die Zahl zu Beginn, r die Wachstumskonstante und t die verstrichene Zeit. Wichtig ist, dass die Einheiten von r und t zusammenpassen, damit das Produkt $r\cdot{}t$ dimensionslos ist. Beispiel: Startet eine Bakterienkultur mit $N_{0} = 1000$ und $r =\frac{ 0{,}5}{h}$, ergibt sich nach 10 Stunden $N = 1000\cdot{}e^{(0{,}5\cdot{}10)} = 1000\cdot{}e^{5}$. Da $e^{5}$ ungefähr 148,4 ist, wächst die Kultur auf rund 148 400 Individuen. Man erkennt die typische Eigenschaft: Anfangs steigt die Zahl langsam, dann immer schneller, weil die Zunahme stets proportional zur bereits vorhandenen Zahl ist. Dieses Modell gilt aber nur, solange die Ressourcen unbegrenzt sind.

Exponentielles Wachstum beschreibt eine Population, die ungebremst mit konstanter Rate r wächst. Es gibt keine Obergrenze, die Zahl würde theoretisch unendlich groß und die Wachstumskurve steigt immer steiler. Logistisches Wachstum berücksichtigt dagegen begrenzte Ressourcen über eine Kapazitätsgrenze K und den Bremsfaktor $(1 -\frac{ N}{K})$, der das Wachstum bei Annäherung an K abbremst, bis es stoppt. Für kleine Populationen, solange N viel kleiner als K ist, sind beide Modelle nahezu gleich, weil der Bremsfaktor dann nahe eins liegt. Das exponentielle Modell ist also die Anfangsphase des logistischen. In der Natur ist Wachstum langfristig immer logistisch, weil Nahrung, Platz und andere Ressourcen begrenzt sind. Das exponentielle Modell beschreibt realistisch nur die frühe, ungebremste Phase.

Die Verdopplungszeit ist die Zeit, in der sich die Population genau verdoppelt. Man erhält sie, indem man in $N(t) = N_{0}\cdot{}e^{(r\cdot{}t)}$ den Wert $N = 2\cdot{}N_{0}$ einsetzt. Dann kürzt sich N₀ heraus und es bleibt $2 = e^{(r\cdot{}t)}$. Logarithmieren liefert $\ln{} 2 = r\cdot{}t$ und daraus $t =\frac{ \ln{} 2 }{ r}$. Die Verdopplungszeit hängt also nur von der Wachstumsrate r ab, nie von der Anfangsgröße N₀. Beispiel: Bei $r =\frac{ 0{,}5}{h}$ ist $t\frac{1}{2} =\frac{ \ln{} 2 }{ 0{,}5} =\frac{ 0{,}693 }{ 0{,}5} \approx{} 1{,}39$ Stunden. Eine doppelt so große Rate halbiert die Verdopplungszeit. Diese Größe ist anschaulich und wird oft statt der abstrakten Rate r angegeben, etwa bei Bakterienkulturen oder in der Epidemiologie, um die Geschwindigkeit eines Wachstums greifbar zu machen.

Die Wachstumskonstante r gibt an, wie schnell eine Population relativ zu ihrer aktuellen Größe wächst. Sie ist die Differenz aus Geburtenrate und Sterberate pro Individuum und Zeiteinheit und hat die Einheit einer inversen Zeit, etwa $\frac{1}{h}$ oder 1/Jahr. Ein positives r bedeutet Wachstum, ein negatives r Schrumpfung, bei $r = 0$ bleibt die Population konstant. Anschaulich sagt r, welcher Bruchteil pro Zeiteinheit hinzukommt: $r =\frac{ 0{,}5}{h}$ heißt, dass momentan etwa 50 Prozent pro Stunde dazukommen. Man darf r aber nicht direkt mit dem prozentualen Zuwachs pro Zeitschritt gleichsetzen, weil das kontinuierliche Modell $e^{(r\cdot{}t)}$ verwendet und nicht den diskreten Faktor (1 + r). Aus zwei Messungen bestimmt man r über $r = (\frac{1}{t})\cdot{}\ln{}(\frac{N}{N_{0}})$. Je größer r, desto steiler die Wachstumskurve und desto kürzer die Verdopplungszeit.

Das exponentielle Modell gilt nur, solange die Ressourcen praktisch unbegrenzt sind und die Wachstumsrate konstant bleibt. Das trifft auf die frühe Phase vieler Populationen zu, etwa eine Bakterienkultur in frischem Nährmedium oder die Anfangsphase einer Epidemie. Sobald jedoch Nahrung, Platz oder andere Ressourcen knapp werden, sinkt die Wachstumsrate und das Modell überschätzt die reale Größe deutlich. Dann übernimmt das logistische Wachstum mit seiner Kapazitätsgrenze K. Kein reales Wachstum bleibt dauerhaft exponentiell, denn kein Lebensraum ist unendlich. Das exponentielle Modell ist deshalb kein Widerspruch zum logistischen, sondern dessen Grenzfall für N ≪ K. Man verwendet es, um kurzfristige Prognosen zu stellen, Wachstumsraten zu vergleichen oder das ungebremste Potenzial einer Population aufzuzeigen, immer im Bewusstsein seiner begrenzten Gültigkeit.