Chi-Quadrat-Test (Anpassungstest)

Zuerst formuliert man die Nullhypothese, etwa dass eine Kreuzung dem 3:1-Verhältnis folgt. Daraus berechnet man für jede Phänotypklasse die erwartete Anzahl E als Verhältnis mal Gesamtzahl. Dann bildet man für jede Klasse $\frac{(B - E)^{2}}{E}$ aus beobachteter Anzahl B und erwarteter Anzahl E und summiert alle Beiträge zum Prüfwert $\chi{}^{2}$. Diesen vergleicht man mit dem kritischen Wert aus der Chi-Quadrat-Tabelle für die Freiheitsgrade df = Klassen − 1 und das Niveau $\alpha{} = 5 \%$. Beispiel: 100 Nachkommen, erwartet 75:25, beobachtet 80:20 ergibt $\chi{}^{2} =\frac{ 25}{75} +\frac{ 25}{25} = 1{,}333$. Bei $df = 1$ ist der kritische Wert 3,84. Da 1,333 kleiner ist, wird das 3:1-Verhältnis beibehalten.

Beim Anpassungstest sind die Freiheitsgrade df = Anzahl der Klassen minus 1. Prüft man ein monohybrides Verhältnis mit zwei Phänotypklassen, ist $df = 2 - 1 = 1$. Beim dihybriden 9:3:3:1-Verhältnis mit vier Klassen ist $df = 4 - 1 = 3$. Der Abzug von 1 entsteht, weil die Gesamtzahl festliegt: Sind alle Klassen bis auf eine bekannt, ergibt sich die letzte automatisch. Die Freiheitsgrade bestimmen, welche Zeile der Chi-Quadrat-Tabelle gilt und damit den kritischen Wert. Ein häufiger Fehler ist, die Gesamtzahl der Individuen als Freiheitsgrade zu verwenden. Werden aus den Daten zusätzlich Parameter geschätzt, zieht man für jeden geschätzten Parameter einen weiteren Freiheitsgrad ab, was beim reinen Verhältnistest der Genetik aber nicht vorkommt.

Der Wert 3,84 ist der kritische Chi-Quadrat-Wert für einen Freiheitsgrad und ein Signifikanzniveau von 5 %. Er markiert die Grenze, ab der eine Abweichung als bedeutsam gilt. Liegt der berechnete χ²-Wert unter 3,84, ist die Abweichung zwischen beobachteten und erwarteten Häufigkeiten mit dem Zufall vereinbar, und die Nullhypothese wird beibehalten. Liegt er darüber, ist die Abweichung so groß, dass sie mit einer Wahrscheinlichkeit unter 5 % rein zufällig wäre, und man verwirft die Hypothese. Für andere Freiheitsgrade gelten andere Werte, etwa 5,99 bei $df = 2$ oder 7,81 bei $df = 3$. Man liest den passenden Wert stets aus der Chi-Quadrat-Tabelle für die eigenen Freiheitsgrade und das gewählte Niveau ab.

Die Division durch den Erwartungswert E gewichtet jede Abweichung relativ zu ihrer erwarteten Größe. Eine Abweichung von 10 Individuen fällt bei einer erwarteten Klasse von 20 stark ins Gewicht, bei einer erwarteten Klasse von 1000 kaum. Ohne die Division würden große Klassen den Prüfwert allein durch ihre Größe dominieren, obwohl ihre relative Abweichung klein ist. Durch $\frac{(B - E)^{2}}{E}$ werden alle Klassen vergleichbar gemacht: Jeder Beitrag misst, wie stark die Klasse gemessen an ihrer Erwartung abweicht. Das Quadrieren sorgt zusätzlich dafür, dass positive und negative Abweichungen sich nicht aufheben und größere Abweichungen überproportional stärker zählen. So entsteht ein faires Gesamtmaß der Anpassungsgüte über alle Klassen hinweg.

Ein signifikantes Ergebnis, also ein χ²-Wert über dem kritischen Wert, bedeutet, dass die beobachteten Häufigkeiten so stark von den erwarteten abweichen, dass reiner Zufall unwahrscheinlich ist. In der Genetik heißt das, die Kreuzung folgt vermutlich nicht dem angenommenen Verhältnis. Mögliche Ursachen sind Kopplung von Genen, unvollständige Dominanz, Letalfaktoren oder eine ungünstige Stichprobe. Wichtig ist, dass der Test nur die Verträglichkeit mit einer Hypothese prüft und keinen Grund liefert; die biologische Deutung muss man selbst ergänzen. Ein nicht signifikantes Ergebnis beweist die Hypothese nicht, es zeigt nur, dass die Daten ihr nicht widersprechen. Der Test kann also eine Hypothese verwerfen oder beibehalten, aber niemals endgültig bestätigen.