Carnot-Wirkungsgrad

Der thermische Wirkungsgrad vergleicht abgegebene Nettoarbeit mit aufgenommener Wärme. Betrachte einen vollständigen Umlauf. Das Arbeitsmedium kehrt zu seinem Ausgangszustand zurück; seine gespeicherte Energie hat sich insgesamt nicht geändert. Es nimmt den positiven Wärmebetrag $Q_H$ aus dem heißen Reservoir bei $T_H$ auf und gibt den positiven Betrag $Q_C$ an das kalte Reservoir bei $T_C$ ab. Was übrig bleibt, ist die positive Nettoarbeit $W_{\mathrm{net}}$. Achtung: $Q_C$ ist hier ein Abgabebetrag. Die vorzeichenbehaftete Wärmeaufnahme des Arbeitsmediums auf dieser Teilstrecke ist $-Q_C$.[1]

Ein Reservoir hält seine Temperatur trotz Wärmeabgabe oder -aufnahme konstant. Diese Idealisierung gehört zur Formel. Ein kleiner Tank, der während des Betriebs abkühlt, erfüllt sie nicht bei seiner Anfangstemperatur. Sein Prozess muss in Temperaturabschnitte zerlegt oder integriert werden. Das dritte Beispiel macht genau diesen Unterschied sichtbar.

Energieerhaltung allein würde auch erlauben, die ganze Wärme als Arbeit abzugeben. Der zweite Hauptsatz liefert die fehlende Einschränkung: Im reversiblen Grenzfall bleibt die Entropie der gesamten Maschine mit ihren Reservoiren unverändert. Bei einer reversiblen isothermen Wärmeübertragung verliert das heiße Reservoir $\frac{Q_H}{T_H}$, das kalte gewinnt $\frac{Q_C}{T_C}$. Das Arbeitsmedium hat nach dem Umlauf wieder dieselbe Entropie. Daher müssen sich diese Reservoirbeiträge gerade aufheben. Dafür muss der Arbeitsstoff kein ideales Gas sein.[2]

Bei Irreversibilität entsteht stattdessen Entropie. Aus $\frac{Q_C}{T_C}-\frac{Q_H}{T_H}\ge0$ folgt eine mindestens ebenso große Wärmeabgabe wie im reversiblen Fall. Für dieselbe aufgenommene Wärme bleibt entsprechend weniger Arbeit: $\eta\le\eta_C$. Gleichheit ist der reversible Grenzfall. Dieser Vergleich ist nur aussagekräftig, wenn die Maschine ausschließlich mit diesen zwei Reservoiren austauscht und keine weiteren Stoff-, Wärme- oder Energiequellen verborgen bleiben.[5]

Der Carnot-Prozess macht diese Grenze als idealisierten Umlauf anschaulich: Zwei reversible Isothermen sind durch zwei reversible Adiabaten verbunden. Bei hoher Temperatur nimmt das Medium Wärme auf, bei niedriger Temperatur gibt es Wärme ab. Auf den adiabatischen Verbindungen fließt keine Wärme; weil sie auch reversibel sind, bleibt dort die Entropie konstant. In der üblichen Gasdarstellung folgen heiße Expansion, adiabatische Expansion, kalte Kompression und adiabatische Kompression aufeinander.[1]

Reibungsfreiheit allein macht eine Maschine noch nicht reversibel. Auch Wärmeübertragung über einen endlichen Temperaturunterschied erzeugt Entropie. Für reversible Wärmeübertragung muss dieser Unterschied im Grenzfall verschwinden. Die Formel beschreibt deshalb eine Ausbeutegrenze, keine zugesagte Leistung in Watt und keine konkrete Baugröße. Endliche Wärmetauscher und Übertragungsraten müssen bei einer technischen Auslegung zusätzlich berücksichtigt werden.[3]

Die Carnot-Formel braucht absolute Temperaturen in Kelvin, weil sich der Celsius-Offset bei einem Verhältnis nicht aufhebt. Bei einer Temperaturdifferenz hebt er sich dagegen auf. Bei festem $T_C$ erhöht ein höheres $T_H$ die Grenze. Bei festem $T_H$ senkt ein höheres $T_C$ die Grenze. Die gleiche Differenz von 300 K ergibt für das heiße/kalte Paar 600 K und 300 K einen Grenzwert von 50 %, für 900 K und 600 K dagegen nur 33,3 %. Entscheidend ist das Verhältnis $\frac{T_C}{T_H}$.

Ein Reservoirpaar von 600 °C und 30 °C entspricht 873,15 K und 303,15 K. Daraus folgt eine reversible Grenze von etwa 65,281 %. Welchen Wirkungsgrad ein Kraftwerk tatsächlich erreicht, lässt sich daraus noch nicht ablesen. Dafür müssen zugeführte Wärme, abgegebene Nettoarbeit und die gewählte Bilanzgrenze bekannt sein.

Nein. Der Carnot-Wirkungsgrad ist die reversible Obergrenze für genau dasselbe Reservoirpaar. Der reale thermische Wirkungsgrad folgt aus tatsächlich abgegebener Nettoarbeit und aufgenommener Wärme; das folgende Beispiel prüft beide Größen und die Entropieerzeugung.[1][3]

Die Grenze gilt für zyklische Wärme-zu-Arbeit-Umwandlung mit genau zwei festen Wärmereservoiren. Eine Batterie und ein Elektromotor beziehen ihre Energie anders; deren Wirkungsgrad wird nicht mit $1-\frac{T_C}{T_H}$ beurteilt. Mehrere Wärmequellen, Stoffströme oder eine veränderliche Quellentemperatur verlangen eine umfassendere Bilanz. Sind beide Reservoire gleich warm, ist die Grenze null: Aus diesem Paar lässt sich keine positive zyklische Nettoarbeit allein durch Wärmeaustausch gewinnen.[5]

Bilanzgrenze und Betriebsart zuerst festlegen. Eine Wärmekraftmaschine liefert Arbeit aus Wärme; ein vollständiger Umlauf speichert netto keine zusätzliche Energie. Der erste Hauptsatz liefert die Energiebilanz, der zweite die Carnot-Grenze. Verwende Kelvin und feste Reservoirtemperaturen. Die Grenze ist keine reale Leistungsangabe; bei veränderlicher Quelle, weiteren Strömen oder Wärmepumpen brauchst du die dazu passende Bilanz.