Mechanische Arbeit

Benenne zuerst die Kraft, deren Arbeit du suchst: etwa Seilzug, Gewichtskraft oder Reibung. Die gleiche Bewegung kann positive Arbeit durch eine Kraft und negative Arbeit durch eine andere haben. Für eine konstante Kraft und eine gerade Verschiebung gilt $W=Fs\cos\alpha$. Dabei sind $F$ und $s$ positive Beträge; der Winkel zwischen ihren Richtungen bestimmt das Vorzeichen. Erst die Summe aller Arbeitsbeiträge liefert die Nettoarbeit.[1]

Für ausgedehnte Körper ist der Weg des Angriffspunkts der Kraft maßgeblich. Der Schwerpunktweg allein erfasst zum Beispiel nicht jede Arbeit beim Verformen oder Drehen. In den folgenden einfachen Rechnungen ist der Körper eine Punktmasse beziehungsweise bewegt sich ohne Rotation.[1]

Zerlege die Kraft in einen Anteil längs des Weges und einen senkrechten Anteil. Nur der erste trägt zu diesem Arbeitsbeitrag bei. Das Seil kann durch seinen senkrechten Anteil die Normalkraft und damit die Reibung verändern; daraus folgt jedoch kein zusätzlicher direkter Arbeitsbeitrag dieses senkrechten Anteils bei rein horizontaler Verschiebung. Der Winkel α gehört zwischen die gewählte Kraft und die passende Verschiebung des Angriffspunkts. Ein Seilwinkel zu einer anderen Bezugsrichtung darf nicht ohne Umrechnung eingesetzt werden.[1]

Eine Kraft muss also nicht verschwinden, damit ihre Arbeit null wird. Eine senkrechte Kraft kann die Bewegungsrichtung ändern, ohne den Geschwindigkeitsbetrag zu ändern. Umgekehrt darfst du aus einem großen Kraftbetrag nicht direkt auf große Arbeit schließen: Ohne Verschiebung des Angriffspunkts gibt es durch diese Kraft keine mechanische Arbeit.[1]

Die allgemeine Definition addiert die Beiträge entlang des tatsächlich durchlaufenen Weges. Auf jedem kleinen Stück zählt nur die dortige tangentiale Kraftkomponente. Eine variable Kraft darf nicht mit ihrem Anfangs- oder Endwert über den gesamten Weg multipliziert werden. In einem eindimensionalen Kraft-Weg-Diagramm ergibt die vorzeichenbehaftete Fläche unter der Kraftkomponente die Arbeit; Flächen unterhalb der Wegachse werden abgezogen.[1]

Ist die Kraft als Vektor konstant, darf sie vor das Integral gezogen werden: $\int_A^B\mathrm d\vec r=\vec r_B-\vec r_A$. So folgt das Skalarprodukt mit der Endpunktverschiebung. Bei einer geraden Bewegung ohne Richtungsumkehr ist deren Betrag die Weglänge s. Auf einer gekrümmten Bahn ist die gesamte Weglänge dagegen im Allgemeinen größer als der Betrag der Endpunktverschiebung.

Bei $\alpha=0^\circ$ ist $W=+Fs$; bei 180° ist $W=-Fs$; bei 90° ist $W=0$. Eine nach innen gerichtete Kraft bei Kreisbewegung steht augenblicklich senkrecht zur Tangente und verrichtet daher keine Arbeit. Eine zusätzliche tangentiale Kraft kann dennoch Arbeit leisten und die Geschwindigkeit verändern.[1]

Eigene Vorzeichenprobe: Ein horizontal gleitender Körper legt 2 m zurück. Eine Zugkraft von 30 N liefert +60 J, eine entgegenwirkende konstante Reibungskraft von 10 N liefert −20 J. Gewicht und eine senkrechte Normalkraft leisten auf diesem waagerechten Weg null Arbeit. Die Summe ist +40 J.

Eine Tasche bewegungslos zu halten ergibt für die Haltekraft am ruhenden Angriffspunkt $W=0$. Muskeln verbrauchen dabei trotzdem chemische Energie. Beim idealisierten gleichmäßigen horizontalen Tragen ist die vertikale Haltekraft ebenfalls senkrecht zur Verschiebung; Anheben, Absetzen und reale Schwankungen sind separate Abschnitte.

Betrachte eine Kiste von 2,0 kg, die horizontal nach rechts gleitet. Die konstante horizontale Zugkraft beträgt 30 N nach rechts; die Gleitreibung wirkt mit 10 N nach links entgegen der Bewegung. Vertikal gleichen sich Gewicht und Normalkraft aus. Über einen Weg von 2,0 m tragen diese beiden vertikalen Kräfte keine Arbeit bei. Die horizontale Kräftebilanz und die Arbeitsbilanz beschreiben denselben Vorgang aus unterschiedlichen Blickwinkeln.[2]

Die Kraft $F$ wird in Newton gemessen, die Verschiebung $s$ in Metern. Ihre Projektion liefert Arbeit $W$ in $\mathrm{N\,m}=\mathrm J$. Ein Kraftanteil bleibt eine Kraft mit der Einheit Newton; er hat nicht die Einheit Joule. Nenner mit $\cos\alpha=0$ erlauben keine eindeutige Umstellung nach Kraft oder Weg.[1]

Für α in Grad muss der Rechner im Gradmodus stehen; für α in Radiant im Bogenmaßmodus. Arbeit und Drehmoment können beide Newtonmeter als Einheit haben, sind aber unterschiedliche Größen: Arbeit ist ein Skalarprodukt, Drehmoment ein Kreuzprodukt. Für Energie wird deshalb die Bezeichnung Joule verwendet.

Die Umstellung liefert nicht automatisch einen zulässigen Betrag. Beispielsweise sind negative Arbeit und $\alpha=0^\circ$ bei positiven F und s widersprüchlich. Bei senkrechter Kraft kann aus $W=0$ kein Weg bestimmt werden: beliebige Weglängen ergeben denselben Arbeitswert.

Bei der linearen Feder wächst die Kraft mit der Dehnung. Die zusätzliche Spannenergie zwischen Anfangs- und Enddehnung folgt aus dem Integral der äußeren Spannkraft; sie ist nicht Endkraft mal Weg. Das zweite Beispiel rechnet ausdrücklich mit einer bereits vorhandenen Dehnung.[3]

Im Punktmassenmodell verändert die Nettoarbeit die kinetische Energie. Addiere dazu alle Arbeitsbeiträge am selben Körper mit ihren Vorzeichen. Eine einzelne Zugkraftarbeit ist nur dann gleich der Nettoarbeit, wenn die übrigen Beiträge zusammen null ergeben.[2]

Beim gleichmäßigen Anheben ist die äußere Hubarbeit $+mg\Delta h$ und die Arbeit der Gewichtskraft $-mg\Delta h$. Die Nettoarbeit ist null, weil sich die Geschwindigkeit nicht ändert. Gleichzeitig steigt die potentielle Energie des Körper-Erde-Systems. Äußere Hubarbeit und Gewichtskraftarbeit haben also entgegengesetzte Vorzeichen.[3]

Bei Reibung zwischen realen Körpern ist die Umwandlung in innere Energie wichtig. Für ein rollendes oder deformierbares Objekt reicht eine reine Punktmassenbilanz nicht immer aus; Rotation, Deformation und die Bewegung der Kontaktstelle müssen mit betrachtet werden.

Beim gleichmäßigen Anheben wächst die potentielle Energie des Körper-Erde-Systems. Hubkraft und Gewichtskraft verrichten am angehobenen Körper entgegengesetzte Arbeiten; das vorhandene Beispiel bilanziert beide und prüft die unveränderte kinetische Energie.[3]

Prüfe vor dem Einsetzen, ob die Kraft konstant ist, die Richtung unverändert bleibt und s wirklich die passende Verschiebung beschreibt. Für eine Feder integriert man die veränderliche Kraft. Für Reibung mit konstantem Betrag auf einer ruhenden Bahn zählt dagegen die gesamte durchlaufene Weglänge mit negativem Vorzeichen, auch wenn der Körper zum Ausgangspunkt zurückkehrt.

Die grafische Fläche unter Fx(x) ist eine hilfreiche Darstellung für eindimensionale Aufgaben. Bereiche unterhalb der x-Achse werden abgezogen. Eine Kurve F(t) gegen Zeit liefert dagegen einen Kraftstoß, keine Arbeit; dazu fehlt der Weg beziehungsweise die Geschwindigkeit.

Gib an, welche Kraft an welchem Körper arbeitet. Verwende bei konstanten Kräften das Skalarprodukt mit der Verschiebung und bei veränderlichen Kräften das Wegintegral. Addiere positive und negative Arbeitsbeiträge, bevor du eine Energieänderung bestimmst. Die Fläche eines Kraft-Weg-Diagramms ist Arbeit; eine Kraft-Zeit-Fläche ist Kraftstoß.