Mechanische Leistung

Wähle einen klaren Vorgang mit Anfang und Ende. Wenn während seiner Dauer $\Delta t>0$ die mechanische Arbeit $W$ verrichtet wird, ist die mittlere mechanische Leistung $\overline P=\frac{W}{\Delta t}$. Dieselbe Arbeit in halber Zeit bedeutet doppelte mittlere Leistung. Der Mittelwert beschreibt den ganzen Abschnitt; er sagt nicht, wie stark die Leistung beim Anfahren oder am Ende schwankt.[1]

Eigene Zeitvergleichsprobe: 600 J in 3 s ergeben 200 W, dieselben 600 J in 12 s nur 50 W. In beiden Fällen ist die gesamte Energie gleich. Ein Motor mit großer Leistung muss daher nicht mehr Gesamtenergie verbrauchen, wenn er dieselbe Aufgabe entsprechend schneller erledigt und der Wirkungsgrad gleich ist.

Um die Leistung in einem einzelnen Augenblick zu bestimmen, betrachtest du eine sehr kurze Bewegung. Die Arbeit während dieser Bewegung ist das Skalarprodukt von Kraft und kleinem Weg. Teile durch die verstrichene Zeit: Der Weg pro Zeit wird zur Geschwindigkeit. Wichtig ist, dass Kraft und Geschwindigkeit zum selben Zeitpunkt und zum selben Angriffspunkt gehören. Bei einer reinen Rotation um eine feste Achse übernimmt das Achsdrehmoment diese Rolle: $P=\tau\omega$. Verwende das Drehmoment und die Winkelgeschwindigkeit für dieselbe Achse.[1][3]

Bei gleichgerichteten Größen ist $P=Fv$ positiv, bei Gegenrichtung negativ und bei senkrechten Größen null. Deshalb kann eine radiale Kraft auf einer Kreisbahn die Richtung ändern, ohne Energie zu übertragen. Bei mehreren Kräften sind deren Leistungen zu addieren; die Nettoleistung einer Punktmasse ist dEkin/dt.[2]

Ein idealisierter Antrieb mit konstanter Eingangsleistung 0,6 kW über 20 Minuten nimmt $(0{,}6\,\mathrm{kW})\frac{20}{60}\,\mathrm h=0{,}2\,\mathrm{kWh}$ auf, also 720 kJ. Das kleine h darf nicht entfernt werden: 0,2 kW wäre eine andere Größe. Für $W=P\Delta t$ ist konstante Leistung vorausgesetzt; sonst zählt die Fläche unter P(t).

Bei Pferdestärke-Angaben muss die Konvention klar sein: Die metrische PS entspricht rund 735,5 W, die englische mechanical horsepower dagegen rund 745,7 W. Eine unveränderte Zahl darf nicht zwischen diesen Einheiten umetikettiert werden.[4]

Kennzeichne, ob eine Angabe elektrische Eingangsleistung, mechanische Wellenleistung oder Nutzleistung an der Last meint. Nur die passenden Größen dürfen verglichen werden. Werden während des Vorgangs Energiespeicher auf- oder entladen, kann eine momentane Ausgangsleistung größer als die momentane Eingangsleistung sein; daraus folgt kein Wirkungsgrad über 100 % für einen vollständigen Speicherzyklus. Für die passende stationäre Umwandlung mit $0<\eta\le1$ erhältst du aus dem Umwandlungswirkungsgrad die Eingangsleistung als $P_{\mathrm{in}}=\frac{P_{\mathrm{out}}}{\eta}$; bei $\eta=0$ ist diese Umstellung unzulässig.

Für einen stationären Antrieb ohne Änderung gespeicherter Energie gilt $P_{\mathrm{in}}=P_{\mathrm{out}}+P_{\mathrm{loss}}$. Wärme und Schall sind keine vernichtete Energie, sondern andere Übertragungs- oder Speicherformen. Ein Wirkungsgrad muss außerdem einen Betriebszustand oder einen ganzen Vorgang beschreiben; er ist nicht automatisch bei jeder Last gleich.

Eigener Verlauf: Die übertragene Leistung steigt in 4 s linear von null auf 100 W. Die Fläche ist ein Dreieck mit Arbeit $\frac12(4\,\mathrm s)(100\,\mathrm W)=200\,\mathrm J$; die mittlere Leistung ist 50 W. Den Endwert 100 W für die ganze Zeit zu verwenden ergäbe fälschlich 400 J.

Die eigene Grafik zeigt dagegen die aufsummierte Arbeit $W(t)=(40\,\mathrm J)\left(\frac t{1\,\mathrm s}\right)^2$. Zwischen 1 s und 3 s steigt sie von 40 auf 360 J; die Sekantensteigung ist $\frac{(360-40)\,\mathrm J}{2\,\mathrm s}=160\,\mathrm W$. Die Tangentensteigung bei 3 s ist $\frac{\mathrm dW}{\mathrm dt}=240\,\mathrm W$. Eine Kurve W(t) zeigt Leistung als Steigung; bei einer Kurve P(t) beschreibt dagegen die Fläche die Arbeit.

Eine bremsende Kraft hat bei Fahrt in Gegenrichtung zur Kraft negative mechanische Leistung am bewegten Körper. Bei regenerativem Bremsen kann ein Teil davon als elektrische Energie zurückgewonnen werden. Die rückgewonnene elektrische Leistung ist wegen anderer Energiewege und Verluste nicht automatisch gleich dem Betrag der mechanischen Bremsleistung.

Zeigt die vertikale Achse bereits Arbeit in Joule, verrät die Steigung, wie schnell diese Arbeit zunimmt: Sie ist Leistung. Zeigt die vertikale Achse dagegen Leistung in Watt, müssen die Beiträge über die Zeit aufsummiert werden: Die Fläche liefert Arbeit. Ein steilerer Arbeitsverlauf und eine größere Fläche unter einer Leistungskurve beschreiben deshalb unterschiedliche grafische Eigenschaften.[1]

Die mittlere Leistung zwischen zwei Zeitpunkten ist nicht allgemein das arithmetische Mittel zweier Momentanleistungen. Dafür müsste der Verlauf zwischen ihnen passend sein, beispielsweise linear. Bei ungleich langen Betriebsphasen muss jede Leistungsstufe mit ihrer eigenen Dauer gewichtet werden; diese Unterscheidung wird in den Aufgaben unten geprüft.[1]

$P=Fv$ sagt allein nicht, welche Kraft ein Motor aus dem Stillstand liefern kann. Bei v = 0 kann eine endliche Kraft wirken, während ihre momentane mechanische Leistung null ist. Die Umstellung $F=\frac Pv$ ist dort unzulässig. Drehmoment, Übersetzung und Betriebsgrenzen müssen zusätzlich berücksichtigt werden.

Für eine reine Rotation um eine feste Achse lautet die entsprechende Beziehung $P=\tau\omega$ für das Achsdrehmoment τ. Die translatorische Beziehung verwendet dagegen die passende lineare Geschwindigkeit. Unterscheide mechanische Ausgangsleistung eines Antriebs auch vom Stoffwechselumsatz einer Person; beide sind bei Bewegung nicht identisch.[3]

Arbeit beschreibt einen Energieübertrag, Leistung dessen Geschwindigkeit. Trenne Mittelwert über eine Dauer von Momentanleistung am Angriffspunkt. Kennzeichne Eingangs-, Ausgangs- und Nutzleistung. Eine hohe Antriebsleistung kann Widerstände ausgleichen, ohne den Körper zu beschleunigen. Im Arbeitsdiagramm ist Leistung eine Steigung, im Leistungsdiagramm ist Arbeit eine Fläche.