De-Broglie-Wellenlänge

Teile das Plancksche Wirkungsquantum $h = 6{,}626\times{}10^{-34} J\cdot{}s$ durch den Impuls p des Teilchens: $\lambda{} =\frac{ h}{p}$. Für ein nichtrelativistisches Teilchen ist $p = m\cdot{}v$, also $\lambda{} =\frac{ h}{(m\cdot{}v)}$. Ein Elektron mit $v =\frac{ 10^{6} m}{s}$ hat $\lambda{} =\frac{ 6{,}626\times{}10^{-34}}{(9{,}11\times{}10^{-31}\cdot{}10^{6})} \approx{} 0{,}73 nm$, was in der Größenordnung von Atomabständen liegt und Elektronenbeugung ermöglicht. Setze die Masse in Kilogramm und die Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde ein, dann kommt die Wellenlänge in Metern heraus. Kleine Wellenlängen bedeuten großen Impuls, große Wellenlängen kleinen Impuls.

Weil ihr Impuls makroskopisch riesig ist und $\lambda{} =\frac{ h}{p}$ deshalb eine unvorstellbar kleine Wellenlänge liefert. Das Plancksche Wirkungsquantum h ist mit $6{,}626\times{}10^{-34} J\cdot{}s$ extrem winzig. Ein Fußball von 0,4 kg mit $\frac{10 m}{s}$ hat einen Impuls von $\frac{4 kg\cdot{}m}{s}$ und damit eine Wellenlänge von etwa $1{,}7\times{}10^{-34} m$, milliardenfach kleiner als ein Atomkern. Solche Wellenlängen sind mit keinem Experiment messbar, es gibt kein Objekt mit passend kleinem Spalt. Wellencharakter zeigt sich nur bei sehr leichten Teilchen wie Elektronen, deren geringe Masse zu messbaren Wellenlängen im Nanometerbereich führt.

h ist das Plancksche Wirkungsquantum mit $6{,}626\times{}10^{-34} J\cdot{}s$ und erscheint in der De-Broglie-Beziehung $\lambda{} =\frac{ h}{p}$ sowie in $E = h\cdot{}f$. Das reduzierte Wirkungsquantum ℏ ist definiert als $\hbar{} =\frac{ h}{(2\pi{})} \approx{} 1{,}055\times{}10^{-34} J\cdot{}s$. Es tritt überall dort auf, wo Kreisfrequenzen oder Drehimpulse im Spiel sind, etwa in der Heisenbergschen Unschärferelation $\Delta{}x\cdot{}\Delta{}p \ge{}\frac{ \hbar{}}{2}$. Ein häufiger Fehler ist, h und ℏ zu verwechseln; sie unterscheiden sich um den Faktor $2\pi{} \approx{} 6{,}28$. Prüfe in jeder Formel genau, ob die normale oder die reduzierte Konstante verlangt ist, sonst weicht dein Ergebnis um diesen Faktor ab.

Wird ein Elektron durch eine Spannung U beschleunigt, gewinnt es die kinetische Energie $E_{\mathrm{kin}} = e\cdot{}U$. Über $E_{\mathrm{kin}} =\frac{ p^{2}}{(2m)}$ lässt sich der Impuls bestimmen: $p = \sqrt{(2\cdot{}m\cdot{}e\cdot{}U)}$. Setzt du dies in $\lambda{} =\frac{ h}{p}$ ein, erhältst du $\lambda{} =\frac{ h}{\sqrt{(2\cdot{}m\cdot{}e\cdot{}U)}}$. Die Wellenlänge sinkt also mit steigender Spannung, weil ein schnelleres Elektron mehr Impuls hat. Diese Beziehung ist die Grundlage des Elektronenmikroskops: Hohe Spannungen erzeugen sehr kleine Wellenlängen und damit eine viel höhere Auflösung als sichtbares Licht. Für sehr hohe Spannungen musst du zusätzlich relativistisch korrigieren.

De Broglie übertrug 1924 die für Photonen bekannte Beziehung $p =\frac{ h}{\lambda{}}$ auf Materieteilchen und postulierte, dass auch Elektronen eine Wellenlänge besitzen. Kurz darauf bestätigten Davisson und Germer dies experimentell durch Beugung von Elektronen an einem Kristallgitter, ein typisches Wellenphänomen. Damit war klar, dass Teilchen wie Elektronen sowohl Teilchen- als auch Welleneigenschaften zeigen, je nach Experiment. Die Wellenlänge $\lambda{} =\frac{ h}{p}$ verbindet die Teilchengröße Impuls mit der Wellengröße Wellenlänge über die Naturkonstante h. Dieser Dualismus ist ein Grundpfeiler der Quantenmechanik und erklärt Phänomene wie Interferenz und Beugung von Materie.