Heisenbergsche Unschärferelation

Die Unschärferelation besagt, dass Ort und Impuls eines Teilchens nicht gleichzeitig beliebig genau bestimmt werden können. Das Produkt der beiden Unschärfen hat eine untere Grenze: $\Delta{}x\cdot{}\Delta{}p \ge{}\frac{ \hbar{}}{2}$, mit dem reduzierten Wirkungsquantum $\hbar{} \approx{} 1{,}055\times{}10^{-34} J\cdot{}s$. Je genauer der Ort festgelegt ist, desto größer wird zwangsläufig die Impulsunschärfe und umgekehrt. Diese Grenze ist keine Frage schlechter Messgeräte, sondern eine fundamentale Eigenschaft der Quantennatur. Δx und Δp sind dabei Standardabweichungen der jeweiligen Verteilungen. Für Alltagsobjekte ist die Grenze wegen des winzigen ℏ völlig unbedeutend, für Elektronen und andere Quantenteilchen aber entscheidend.

Die Unschärfe ist keine Ungenauigkeit der Messgeräte, sondern eine fundamentale Eigenschaft der Quantenzustände selbst. Ein Teilchen besitzt nicht gleichzeitig einen exakt scharfen Ort und einen exakt scharfen Impuls; diese Größen sind physikalisch gar nicht beliebig genau gemeinsam definiert. Δx und Δp sind Standardabweichungen der Wahrscheinlichkeitsverteilungen, die den Zustand beschreiben. Selbst mit perfekten Instrumenten bliebe die Grenze $\Delta{}x\cdot{}\Delta{}p \ge{}\frac{ \hbar{}}{2}$ bestehen. Der Grund liegt darin, dass Ort und Impuls Fourier-konjugierte Größen sind: Eine räumlich eng lokalisierte Wellenfunktion braucht viele verschiedene Wellenzahlen und damit ein breites Impulsspektrum. Diese Deutung als bloßen Messfehler zu behandeln, ist ein verbreiteter Irrtum.

Stelle die Unschärferelation nach Δp um: $\Delta{}p \ge{}\frac{ \hbar{}}{(2\cdot{}\Delta{}x)}$. Die minimale Impulsunschärfe ergibt sich, wenn du das Gleichheitszeichen nimmst. Setze das reduzierte Wirkungsquantum $\hbar{} \approx{} 1{,}055\times{}10^{-34} J\cdot{}s$ und die Ortsunschärfe Δx in Metern ein. Beispiel: Ein Elektron, das auf $\Delta{}x = 10^{-10} m$ lokalisiert ist, hat $\Delta{}p \ge{}\frac{ 1{,}055\times{}10^{-34}}{(2\cdot{}10^{-10})} \approx{}\frac{ 5{,}3\times{}10^{-25} kg\cdot{}m}{s}$. Über $\Delta{}p = m\cdot{}\Delta{}v$ folgt daraus eine Geschwindigkeitsunschärfe von rund $\frac{5{,}8\times{}10^{5} m}{s}$. Halbierst du die Ortsunschärfe, verdoppelt sich die minimale Impulsunschärfe, weil beide Größen zueinander umgekehrt proportional sind. Achte darauf, ℏ und nicht h zu verwenden.

Weil das reduzierte Wirkungsquantum ℏ mit rund $1{,}055\times{}10^{-34} J\cdot{}s$ unvorstellbar klein ist. Für makroskopische Objekte ist die durch $\Delta{}x\cdot{}\Delta{}p \ge{}\frac{ \hbar{}}{2}$ gesetzte Grenze so winzig, dass sie gegen jede praktisch erreichbare Messgenauigkeit völlig verschwindet. Ein Auto oder ein Ball hat einen so großen Impuls, dass die zugehörige Impuls- und Ortsunschärfe milliardenfach unter jeder Nachweisgrenze liegt. Deshalb erscheinen Alltagsobjekte scharf lokalisiert und mit definierter Geschwindigkeit. Erst bei extrem leichten Teilchen wie Elektronen, deren Impuls klein und deren Wellenlänge groß ist, wird die Unschärfe bedeutsam und bestimmt das Verhalten, etwa die Größe von Atomen und die Stabilität der Elektronenhülle.

In der Unschärferelation $\Delta{}x\cdot{}\Delta{}p \ge{}\frac{ \hbar{}}{2}$ steht das reduzierte Wirkungsquantum ℏ, nicht das gewöhnliche h. Beide hängen über $\hbar{} =\frac{ h}{(2\pi{})}$ zusammen, unterscheiden sich also um den Faktor $2\pi{} \approx{} 6{,}28$. Mit $h = 6{,}626\times{}10^{-34} J\cdot{}s$ ergibt sich $\hbar{} \approx{} 1{,}055\times{}10^{-34} J\cdot{}s$. Ein häufiger Fehler ist, versehentlich h statt ℏ einzusetzen; dann ist das Ergebnis um genau den Faktor 2π zu groß. Das reduzierte ℏ tritt überall dort auf, wo Kreisfrequenzen oder Drehimpulse eine Rolle spielen, während h zum Beispiel in $E = h\cdot{}f$ und in der De-Broglie-Beziehung $\lambda{} =\frac{ h}{p}$ erscheint. Prüfe in jeder Formel sorgfältig, welche Konstante verlangt ist.