Eulersche Formel
Die Eulersche Formel verbindet Exponentialfunktion mit Winkelfunktionen in der komplexen Ebene.
Formel
e^{i\varphi} = \cos\varphi + i \cdot \sin\varphiVariablen & Einheiten – Eulersche Formel
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| e | Eulersche Zahl (≈ 2,718) | dimensionslos |
| i | Imaginäre Einheit (i² = −1) | dimensionslos |
| φ | Winkel (in Radiant) | rad |
Herleitung & Hintergrund – Eulersche Formel
Leonhard Euler bewies die Formel 1748. Sonderfall φ = π: e^(iπ) + 1 = 0 — die Eulersche Identität, oft als "schönste Gleichung der Mathematik" bezeichnet, da sie e, π, i, 1 und 0 verbindet.
Rechenbeispiel
φ = π/2: e^(iπ/2) = cos(π/2) + i·sin(π/2) = 0 + i·1 = i. φ = π: e^(iπ) = −1 → e^(iπ) + 1 = 0.
Anwendungsgebiete
Signalverarbeitung (Fourier-Transformation), Quantenmechanik (Wellenfunktionen), AC-Stromanalyse
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Frage (Vorderseite)
Was beschreibt die Formel e^(iφ) = cos φ + i·sin φ? Nenne alle Variablen und Einheiten.
Antwort (Rückseite)
Die Eulersche Formel verbindet Exponentialfunktion mit Winkelfunktionen in der komplexen Ebene.. e: Eulersche Zahl (≈ 2,718) (dimensionslos); i: Imaginäre Einheit (i² = −1) (dimensionslos); φ: Winkel (in Radiant) (rad).
Wissenschaftliche Quellen
- [1]Euler, L. (1748). Introductio in analysin infinitorum. Lausanne.
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