Eulersche Formel

Die Eulersche Formel verbindet die komplexe Exponentialfunktion mit den trigonometrischen Funktionen. Sie besagt, dass e hoch i mal φ gleich dem Kosinus von φ plus i mal dem Sinus von φ ist. Geometrisch beschreibt $e^{(i\varphi{})}$ einen Punkt auf dem Einheitskreis in der komplexen Ebene, dessen Winkel zur reellen Achse gerade φ beträgt. Der Realteil ist cos φ, der Imaginärteil sin φ. Der Winkel φ muss dabei im Bogenmaß angegeben werden, nicht in Grad. Diese Formel ist ein zentrales Werkzeug, um Schwingungen, Drehungen und periodische Vorgänge kompakt und rechnerisch bequem darzustellen.

Setzt du in die Eulersche Formel $\varphi{} = \pi{}$ ein, erhältst du $e^{(i\pi{})} = \cos{} \pi{} + i\cdot{}\sin{} \pi{} = -1 + i\cdot{}0 = -1$. Umgestellt ergibt das die berühmte Eulersche Identität $e^{(i\pi{})} + 1 = 0$. Sie gilt als besonders schön, weil sie fünf der wichtigsten mathematischen Konstanten in einer einzigen Gleichung vereint: die Eulersche Zahl e, die imaginäre Einheit i, die Kreiszahl π, die Eins und die Null. Zusätzlich verbindet sie die Grundrechenarten Addition, Multiplikation und Potenzierung. Sie zeigt eindrucksvoll den tiefen Zusammenhang zwischen Analysis, komplexen Zahlen und Geometrie und ist deshalb ein Sinnbild mathematischer Eleganz.

Weil die Eulersche Formel aus dem Vergleich der Potenzreihen von $e^{x}$, Sinus und Kosinus folgt, und diese Reihen setzen den Winkel im Bogenmaß voraus. Nur im Bogenmaß gilt zum Beispiel die Ableitung von sin x gleich cos x ohne zusätzlichen Umrechnungsfaktor. Setzt du den Winkel in Grad ein, stimmen die Reihenentwicklungen und Ableitungen nicht mehr, und die Formel liefert falsche Werte. Ein voller Umlauf entspricht 2π im Bogenmaß, ein Halbkreis π. Rechne Gradangaben deshalb immer erst um, indem du mit $\frac{\pi{}}{180}$ multiplizierst. In Analysis und der komplexen Exponentialfunktion ist das Bogenmaß der natürliche und einzig korrekte Winkelbegriff.

Schreibst du die Eulersche Formel für +φ und für −φ auf und kombinierst beide, kannst du Sinus und Kosinus isolieren. Es gilt $\cos{} \varphi{} =\frac{ (e^{(i\varphi{})} + e^{(-i\varphi{})})}{2}$ und $\sin{} \varphi{} =\frac{ (e^{(i\varphi{})} - e^{(-i\varphi{})})}{(2i)}$. Der Kosinus ist also der Realteil, gewonnen durch Addition, der Sinus der Imaginärteil, gewonnen durch Subtraktion. Diese Darstellungen sind extrem nützlich, weil sich Produkte und Potenzen trigonometrischer Funktionen als Exponentialausdrücke viel einfacher rechnen lassen. Sie bilden die Grundlage der Fourier-Analyse und der Behandlung komplexer Signale in Physik und Elektrotechnik, wo Schwingungen bevorzugt in der komplexen Exponentialform beschrieben werden.

Die Eulersche Formel erlaubt es, Schwingungen und Wellen in der komplexen Exponentialform e^(iωt) statt mit Sinus und Kosinus zu beschreiben. Das vereinfacht Rechnungen erheblich, weil Ableiten und Integrieren einer Exponentialfunktion nur eine Multiplikation mit einem Faktor bedeutet. In der Wechselstromtechnik stellt man Spannungen und Ströme als komplexe Zeiger dar und rechnet mit Impedanzen statt mit Differentialgleichungen. In der Quantenmechanik enthält die Wellenfunktion den Faktor $e^{(i\varphi{})}$, und in der Optik beschreibt man Interferenz mit komplexen Amplituden. Am Ende nimmt man den Realteil, um das physikalisch messbare Ergebnis zu erhalten. So spart die komplexe Schreibweise viel Rechenaufwand.