Mathematik · Analysis

Kettenregel der Differentiation

Die Kettenregel leitet verkettete Funktionen f(g(x)) ab: Äußere Ableitung mal innere Ableitung.

GrundlegendPrüfungsrelevant

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Formel

(f \circ g)^{'} (x) = f^{'} (g (x)) \cdot g^{'} (x)

LaTeX: (f \circ g)'(x) = f'(g(x)) \cdot g'(x)

Dimensionslos (Analysis)

Variablen & Einheiten – Kettenregel der Differentiation

Symbol	Bedeutung	Einheit
f	Äußere Funktion	dimensionslos
g	Innere Funktion	dimensionslos
f', g'	Ableitungen	dimensionslos

Herleitung & Hintergrund – Kettenregel der Differentiation

Merkhilfe: "Außen ableiten, innen stehen lassen, mal innere Ableitung." Leibniz-Notation: dy/dx = (dy/du)·(du/dx). Grundlage des Backpropagation-Algorithmus in neuronalen Netzen.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Gilt für verkettete Funktionen, wenn innere und äußere Funktion an den passenden Stellen differenzierbar sind.

Herleitung in Schritten

Eine Änderung von x verändert zuerst die innere Größe und diese dann den äußeren Funktionswert.

1Setze u = g(x).
2Dann gilt dy/dx = dy/du · du/dx.

Umstellen

Innere Ableitung isolieren

g^{'} (x) = \frac{( f \circ g ) ^{'} ( x )}{f ^{'} ( g ( x ))}

Nur sinnvoll, wenn f'(g(x)) nicht null ist.

Aufgabenvariante

Leite e^{3x²} ab.

Äußere Ableitung e^{3x²}, innere Ableitung 6x. Ergebnis: 6x e^{3x²}.

Typische Fehler

Die innere Ableitung vergessen.

Nach dem äußeren Ableiten immer mit g'(x) multiplizieren.

Klausurkontext

Kernregel für Exponential-, Logarithmus-, trigonometrische und Substitutionsaufgaben.

Die typischen Fehler stecken als eigene Karten im Prüfungsset. Einmal aktiv trainiert, passieren sie in der Klausur selten.

Diese Fehler im Set trainieren Ich habe schon ein Konto

Formelcluster

Verkettete Funktionen

Zentrale Brücke zwischen elementaren Ableitungen und komplexen Modellen.

(f \cdot g)^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}

Produktregel der Differentiation

\frac{d}{d x} (x^{n}) = n \cdot x^{n - 1}

Potenzregel der Differentiation

f (x) = \sum_{n = 0}^{\infty} \frac{f ^{(n)} ( a )}{n !} (x - a)^{n}

Taylor-Reihe

Rechenbeispiel

sin(x²): äußere Funktion sin, innere x². → cos(x²) · 2x. Kontrolle bei x = 0: cos(0)·0 = 0 (lokales Minimum) ✓

Anwendungsgebiete

Machine Learning (Backpropagation), Physik (Relativität, verkettete Koordinatentransformationen)

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Kuratiertes Prüfungsset für "Kettenregel der Differentiation":

Frage (Vorderseite)

Welche Formel beschreibt Kettenregel der Differentiation?

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Frage (Vorderseite)

Wie stellst du (f∘g)' = f'(g(x))·g'(x) nach Innere Ableitung isolieren um?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei (f∘g)' = f'(g(x))·g'(x)?

Antwort in deinem Set

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Wissenschaftliche Quellen

[1]Leibniz, G.W. (1684). Nova methodus.

Häufige Schreibweisen & Suchanfragen

(f(g(x)))'=f'(g(x))*g'(x)außere mal innere Ableitungd/dx f(g(x))Kettenregel Ableitungverkettete Funktionen ableitenchain rule derivativeinnere äußere Ableitung Formel

Weitere Mathematik-Formeln

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Satz des Pythagoras

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Quadratische Formel (ABC-Formel)

e^{i φ} = cos φ + i \cdot sin φ

Eulersche Formel

(f \cdot g)^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}

Produktregel der Differentiation

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Häufige Fragen zu Kettenregel der Differentiation

Wie leitet man eine verkettete Funktion mit der Kettenregel ab?+

Nach der Kettenregel gilt (f∘g)′(x) = f′(g(x))·g′(x). Du leitest also die äußere Funktion ab und setzt in sie die unveränderte innere Funktion ein, dann multiplizierst du mit der Ableitung der inneren Funktion. Man merkt sich das als äußere Ableitung mal innere Ableitung. Beispiel: Für e^(3x²) ist die äußere Funktion e hoch etwas mit Ableitung e^(3x²), die innere Funktion 3x² mit Ableitung 6x. Das Ergebnis ist also 6x·e^(3x²). Der wichtigste Schritt ist, die innere Ableitung nicht zu vergessen; sie ist der häufigste Grund für falsche Ergebnisse bei verketteten Funktionen.

Was ist die innere und was die äußere Funktion?+

Bei einer verketteten Funktion f(g(x)) ist g die innere Funktion, weil sie zuerst auf x wirkt, und f die äußere Funktion, weil sie auf das Ergebnis von g angewendet wird. Du erkennst die innere Funktion daran, dass sie im Argument der äußeren steht, also in der Klammer oder unter dem Funktionszeichen. Bei sin(x²) ist x² innen und der Sinus außen. Bei √(2x + 1) ist 2x + 1 innen und die Wurzel außen. Eine hilfreiche Frage ist: Was würde ich zuerst in den Taschenrechner eingeben? Diese zuerst berechnete Größe ist die innere Funktion. Ihre Ableitung liefert den entscheidenden Faktor der Kettenregel.

Warum darf man die innere Ableitung nicht vergessen?+

Weil eine Änderung von x zunächst die innere Größe verändert und diese Änderung dann über die äußere Funktion weitergegeben wird. Die Kettenregel dy/dx = dy/du · du/dx zeigt, dass sich die beiden Änderungsraten multiplizieren. Lässt du die innere Ableitung weg, berücksichtigst du nur, wie stark die äußere Funktion auf ihr Argument reagiert, nicht aber, wie schnell sich das Argument selbst mit x ändert. Beispiel: Bei sin(3x) ist die Ableitung 3·cos(3x), nicht nur cos(3x); der Faktor 3 stammt aus der inneren Ableitung. Ohne ihn wäre das Ergebnis um genau diesen Faktor zu klein. Deshalb ist die innere Ableitung unverzichtbar.

Wie leitet man mehrfach verschachtelte Funktionen ab?+

Bei mehrfach verschachtelten Funktionen wendest du die Kettenregel wiederholt an, sozusagen von außen nach innen. Für f(g(h(x))) gilt die Ableitung f′(g(h(x)))·g′(h(x))·h′(x). Du leitest also jede Schicht einzeln ab und multiplizierst alle inneren Ableitungen nacheinander an. Beispiel: sin(√(x² + 1)). Die äußerste ist der Sinus, dann die Wurzel, dann x² + 1. Die Ableitung ist cos(√(x² + 1))·(1/(2√(x² + 1)))·2x. Arbeite dich systematisch von der äußersten Funktion nach innen vor und multipliziere alle Faktoren. Vergisst du eine Schicht, fehlt ein Faktor und das Ergebnis stimmt nicht.

Wie leitet man e^(kx) mit der Kettenregel ab?+

Bei e^(kx) ist die äußere Funktion die Exponentialfunktion, deren Ableitung wieder e^(kx) ist, und die innere Funktion kx mit der Ableitung k. Nach der Kettenregel multiplizierst du beide und erhältst k·e^(kx). Der konstante Faktor k aus dem Exponenten kommt also als Vorfaktor nach vorn. Für e^(3x) ist die Ableitung 3·e^(3x), für e^(−0,5x) ergibt sich −0,5·e^(−0,5x). Dieses Ergebnis ist die Grundlage aller Wachstums- und Zerfallsprozesse: Die Ableitung ist proportional zur Funktion selbst, mit der Rate k als Proportionalitätsfaktor. Genau deshalb beschreibt die e-Funktion exponentielles Wachstum und radioaktiven Zerfall so natürlich.