Kettenregel der Differentiation

Nach der Kettenregel gilt (f∘g)′$(x) = f$′$(g(x))\cdot{}g$′(x). Du leitest also die äußere Funktion ab und setzt in sie die unveränderte innere Funktion ein, dann multiplizierst du mit der Ableitung der inneren Funktion. Man merkt sich das als äußere Ableitung mal innere Ableitung. Beispiel: Für $e^{(3x^{2})}$ ist die äußere Funktion e hoch etwas mit Ableitung $e^{(3x^{2})}$, die innere Funktion $3x^{2}$ mit Ableitung 6x. Das Ergebnis ist also $6x\cdot{}e^{(3x^{2})}$. Der wichtigste Schritt ist, die innere Ableitung nicht zu vergessen; sie ist der häufigste Grund für falsche Ergebnisse bei verketteten Funktionen.

Bei einer verketteten Funktion f(g(x)) ist g die innere Funktion, weil sie zuerst auf x wirkt, und f die äußere Funktion, weil sie auf das Ergebnis von g angewendet wird. Du erkennst die innere Funktion daran, dass sie im Argument der äußeren steht, also in der Klammer oder unter dem Funktionszeichen. Bei $\sin{}(x^{2})$ ist $x^{2}$ innen und der Sinus außen. Bei $\sqrt{(2x + 1)}$ ist 2x + 1 innen und die Wurzel außen. Eine hilfreiche Frage ist: Was würde ich zuerst in den Taschenrechner eingeben? Diese zuerst berechnete Größe ist die innere Funktion. Ihre Ableitung liefert den entscheidenden Faktor der Kettenregel.

Weil eine Änderung von x zunächst die innere Größe verändert und diese Änderung dann über die äußere Funktion weitergegeben wird. Die Kettenregel dy/dx = dy/du · du/dx zeigt, dass sich die beiden Änderungsraten multiplizieren. Lässt du die innere Ableitung weg, berücksichtigst du nur, wie stark die äußere Funktion auf ihr Argument reagiert, nicht aber, wie schnell sich das Argument selbst mit x ändert. Beispiel: Bei sin(3x) ist die Ableitung $3\cdot{}\cos{}(3x)$, nicht nur cos(3x); der Faktor 3 stammt aus der inneren Ableitung. Ohne ihn wäre das Ergebnis um genau diesen Faktor zu klein. Deshalb ist die innere Ableitung unverzichtbar.

Bei mehrfach verschachtelten Funktionen wendest du die Kettenregel wiederholt an, sozusagen von außen nach innen. Für f(g(h(x))) gilt die Ableitung f′$(g(h(x)))\cdot{}g$′$(h(x))\cdot{}h$′(x). Du leitest also jede Schicht einzeln ab und multiplizierst alle inneren Ableitungen nacheinander an. Beispiel: $\sin{}(\sqrt{(x^{2} + 1)})$. Die äußerste ist der Sinus, dann die Wurzel, dann $x^{2} + 1$. Die Ableitung ist $\cos{}(\sqrt{(x^{2} + 1)})\cdot{}(\frac{1}{(2\sqrt{(x^{2} + 1)})})\cdot{}2x$. Arbeite dich systematisch von der äußersten Funktion nach innen vor und multipliziere alle Faktoren. Vergisst du eine Schicht, fehlt ein Faktor und das Ergebnis stimmt nicht.

Bei $e^{(kx)}$ ist die äußere Funktion die Exponentialfunktion, deren Ableitung wieder $e^{(kx)}$ ist, und die innere Funktion kx mit der Ableitung k. Nach der Kettenregel multiplizierst du beide und erhältst $k\cdot{}e^{(kx)}$. Der konstante Faktor k aus dem Exponenten kommt also als Vorfaktor nach vorn. Für $e^{(3x)}$ ist die Ableitung $3\cdot{}e^{(3x)}$, für $e^{(-0{,}5x)}$ ergibt sich $-0{,}5\cdot{}e^{(-0{,}5x)}$. Dieses Ergebnis ist die Grundlage aller Wachstums- und Zerfallsprozesse: Die Ableitung ist proportional zur Funktion selbst, mit der Rate k als Proportionalitätsfaktor. Genau deshalb beschreibt die e-Funktion exponentielles Wachstum und radioaktiven Zerfall so natürlich.