Satz des Pythagoras

Eine Leiter, eine Bildschirmdiagonale oder die direkte Verbindung zweier Punkte: Erst der rechte Winkel macht den Satz des Pythagoras zum passenden Werkzeug. Die längste Seite liegt gegenüber diesem Winkel. Du rechnest mit Quadraten von Längen; erst die Wurzel liefert wieder die gesuchte Länge.

Die beiden Seiten am rechten Winkel sind die Katheten a und b. Die gegenüberliegende Seite c ist die Hypotenuse und die längste Seite des Dreiecks. Die Buchstaben sind austauschbar: In einer Aufgabe könnte die Hypotenuse auch h oder d heißen. Entscheidend ist die Lage zum rechten Winkel, nicht das gewählte Zeichen.

Die Quadrate lassen sich als Flächen verstehen: Ein Quadrat mit Seitenlänge a hat Fläche a². Die beiden Kathetenquadrate ergeben zusammen die Fläche des Hypotenusenquadrats. Daraus folgt keine Addition der Seitenlängen $a+b=c$. Die eigene Grafik oberhalb zeigt genau diese drei Quadrate.

Die Trigonometrie im rechtwinkligen Dreieck ergänzt die Seitenbeziehung um Winkel. Auch dabei hängt die Zuordnung von Gegenkathete und Ankathete vom betrachteten spitzen Winkel ab. Die Hypotenuse bleibt die Seite gegenüber dem rechten Winkel.[5]

Nimm vier kongruente rechtwinklige Dreiecke mit Katheten a und b. Ordne sie in den Ecken eines großen Quadrats der Seitenlänge a + b so an, dass ihre Hypotenusen ein inneres Viereck begrenzen. Jede innere Seite hat Länge c. Die beiden spitzen Winkel eines Dreiecks ergänzen sich zu 90°; deshalb hat das innere Viereck rechte Winkel und ist ein Quadrat.

Der Beweis verwendet den rechten Winkel wesentlich. Ein schiefwinkliges Dreieck lässt sich nicht unter denselben Annahmen einsetzen. Euklids klassischer Beweis in Buch I, Satz 47, nutzt eine andere Flächenkonstruktion. Beide Beweiswege zeigen eine allgemeine Beziehung; ein einzelnes Zahlenbeispiel allein wäre kein Beweis.[1]

Für c werden die Kathetenquadrate addiert. Für eine Kathete wird das Quadrat der anderen Kathete vom Hypotenusenquadrat abgezogen. Es reicht nicht, die Seitenlängen zu subtrahieren. Wenn $c^2-b^2$ negativ ist, sind Hypotenuse, Daten oder Annahme des rechten Winkels nicht passend. Ein Radikand null ergibt ein entartetes Dreieck.

Alle Längen müssen zuerst dieselbe Einheit erhalten. Quadrate haben dann die entsprechende Flächeneinheit; nach dem Wurzelziehen erhältst du wieder eine Längeneinheit. Bei $a=1{,}20\,\mathrm m$ und $b=50\,\mathrm{cm}$ rechnest du mit $b=0{,}50\,\mathrm m$, nicht mit der Zahl 50 neben Metern.

Die Umkehrung gilt ebenfalls: Erfüllen die Seiten eines Dreiecks $a^2+b^2=c^2$ mit c als längster Seite, dann ist der Winkel gegenüber c ein rechter Winkel. Prüfe davor, ob positive Längen und die Dreiecksungleichung ein nicht entartetes Dreieck erlauben.[2]

Eigene Prüfung: 12, 35 und 37 erfüllen $12+35>37$ sowie $12^2+35^2=144+1225=1369=37^2$. Das Dreieck ist rechtwinklig. Für 12, 35 und 36 wäre $36^2=1296$ statt 1369; diese Seiten erfüllen den Satz nicht.

Bei Messwerten beweist eine ungefähr passende Gleichung keinen exakt rechten Winkel. Messunsicherheit und Rundung beeinflussen die Quadrate. Verwende für eine praktische Prüfung eine zur Messgenauigkeit passende Toleranz und formuliere das Ergebnis entsprechend.

Zwei Punkte in einem kartesischen Koordinatensystem unterscheiden sich horizontal um Δx und vertikal um Δy. Diese Änderungen bilden senkrechte Katheten. Daher ist der euklidische Abstand die Wurzel aus $(\Delta x)^2+(\Delta y)^2$. Negative Koordinatendifferenzen sind zulässig; ihre Quadrate sind nicht negativ. Beide Achsen müssen in derselben räumlichen Einheit skaliert sein.[3]

Eigene Punkte $A=(-2,1)$ und $B=(4,9)$ ergeben $\Delta x=6$ und $\Delta y=8$, also d = 10 Längeneinheiten. Für einen Quader mit Kanten 2, 3 und 6 ist die Raumdiagonale $\sqrt{2^2+3^2+6^2}=7$. Auf einer gekrümmten Erdoberfläche ist die direkte Anwendung auf Breiten- und Längengrade keine exakte Entfernungsrechnung.

Bei einer regelmäßigen geraden quadratischen Pyramide steht die Spitze senkrecht über dem Mittelpunkt der Grundfläche. Bezeichne die Grundkante mit a und die Seitenkante zur Ecke mit k. Die halbe Grunddiagonale ist $\frac{a}{\sqrt2}$; sie bildet mit der senkrechten Höhe h und der Seitenkante k ein rechtwinkliges Dreieck. Die Seitenhöhe einer Dreiecksfläche ist dagegen eine andere Strecke.[1]

Eigene Rechnung: Für $a=6\,\mathrm m$ und $k=5\,\mathrm m$ gilt $h=\sqrt{25-18}\,\mathrm m=\sqrt7\,\mathrm m\approx2{,}646\,\mathrm m$. Die Probe lautet $h^2+\frac{a^2}{2}=7+18=25$. Erst mit dieser senkrechten Höhe lässt sich ein passendes Pyramidenvolumen berechnen.[1]

Für $\gamma=90^\circ$ ist $\cos\gamma=0$ und der Satz des Pythagoras entsteht als Spezialfall. Bei anderem Winkel ist der zusätzliche Term im Allgemeinen nicht null. Ein gleichseitiges Dreieck mit Seitenlänge 2 hat $c^2=4$, während $a^2+b^2=8$ wäre. Die bloße Angabe zweier Seiten rechtfertigt den rechten Winkel deshalb nicht.

Ähnlich darfst du $\sqrt{a^2+b^2}$ nicht zu a + b vereinfachen. Mit $a=b=1$ ist die Wurzel √2, nicht 2. Runde zudem erst am Ende; Zwischenschritte mit wenig Stellen können die spätere Kontrolle verfälschen.

Der Kosinussatz führt die Seitenrechnung bei einem gegebenen anderen Winkel weiter. Nutze diesen Zusammenhang, wenn die Rechtwinkligkeit nicht feststeht; die bloße Form einer Zeichnung genügt nicht als Begründung.[4]

Zuerst den rechten Winkel nachweisen und die gegenüberliegende Hypotenuse bestimmen. Alle Längen in dieselbe Einheit umrechnen. Für die Hypotenuse Quadrate addieren, für eine Kathete das bekannte Kathetenquadrat vom Hypotenusenquadrat abziehen. Die positive Wurzel liefert die Seitenlänge. Zum Schluss durch Einsetzen und mit der Dreiecksungleichung prüfen.