Satz des Pythagoras

Quadriere die beiden Katheten, addiere die Quadrate und ziehe die Wurzel: c = √(a² + b²). Die Hypotenuse c ist immer die längste Seite und liegt dem rechten Winkel gegenüber. Beispiel: Bei Katheten von 5 und 12 ist c = √(25 + 144) = √169 = 13. Alle Längen müssen in derselben Einheit vorliegen. Achte darauf, erst zu quadrieren und zu addieren und dann die Wurzel zu ziehen; die Wurzel aus einer Summe ist nicht die Summe der Wurzeln. Der Satz gilt nur in rechtwinkligen Dreiecken, deshalb identifizierst du zuerst den rechten Winkel und die gegenüberliegende Seite.

Stelle den Satz nach der gesuchten Kathete um: a = √(c² − b²). Ziehe also das Quadrat der bekannten Kathete vom Quadrat der Hypotenuse ab und wurzle das Ergebnis. Wichtig ist die Reihenfolge, denn hier steht ein Minus, nicht ein Plus wie bei der Hypotenuse. Beispiel: Bei c = 13 und b = 5 folgt a = √(169 − 25) = √144 = 12. Achte darauf, immer das Quadrat der Hypotenuse zuerst zu setzen; ist der Ausdruck unter der Wurzel negativ, hast du Hypotenuse und Kathete verwechselt. Die Hypotenuse ist stets die längste Seite, ihr Quadrat also am größten.

Der Satz gilt ausschließlich in rechtwinkligen Dreiecken in der euklidischen, also der ebenen Geometrie. In einem Dreieck ohne rechten Winkel ist a² + b² ungleich c²; dort brauchst du stattdessen den Kosinussatz, der als Verallgemeinerung einen Zusatzterm mit dem eingeschlossenen Winkel enthält. Auch auf gekrümmten Flächen, etwa auf einer Kugeloberfläche, gilt der Satz nicht, weil dort die Winkelsumme im Dreieck von 180° abweicht. Ein häufiger Fehler ist, den Satz auf beliebige Dreiecke anzuwenden. Prüfe daher immer zuerst, ob wirklich ein rechter Winkel vorliegt, bevor du a² + b² = c² verwendest.

Der Abstand zweier Punkte in der Ebene ist die Hypotenuse eines rechtwinkligen Dreiecks, dessen Katheten die Differenzen der Koordinaten sind. Für die Punkte (x₁, y₁) und (x₂, y₂) gilt d = √((x₂ − x₁)² + (y₂ − y₁)²). Du bildest also die Differenzen in x- und y-Richtung, quadrierst sie, addierst und ziehst die Wurzel. Im Raum kommt einfach der Term (z₂ − z₁)² unter der Wurzel hinzu. Diese Abstandsformel ist eine direkte Anwendung des Satzes von Pythagoras und die Grundlage für Vektorlängen, den Betrag einer Verschiebung und viele Aufgaben der analytischen Geometrie.

Ein pythagoreisches Tripel besteht aus drei natürlichen Zahlen a, b und c, die die Gleichung a² + b² = c² exakt erfüllen. Das bekannteste ist 3, 4, 5, denn 9 + 16 = 25. Weitere sind 5, 12, 13 und 8, 15, 17. Vielfache eines Tripels, etwa 6, 8, 10, sind ebenfalls Tripel. Solche Zahlen sind praktisch, weil sie in Aufgaben glatte, ganzzahlige Ergebnisse liefern und Handwerker damit ohne Winkelmesser einen rechten Winkel abstecken können, etwa mit einer Zwölf-Knoten-Schnur. Erkennst du in einer Aufgabe ein bekanntes Tripel, kannst du die dritte Seite sofort ablesen, ohne die Wurzel ausrechnen zu müssen.