Mathematik · Algebra

Mitternachtsformel (ABC-Formel)

Q: Wie löst man eine quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel?

Bringe die Gleichung zuerst in die Form $ax^2+bx+c=0$ und lies a, b und c ab. Setze sie dann in $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ein. Berechne zuerst die Diskriminante $b^2-4ac$ unter der Wurzel, ziehe die Wurzel und bilde mit dem Plus- und dem Minuszeichen die beiden Lösungen. Beispiel: $2x^2-4x-6=0$ ergibt $x=\frac{4\pm\sqrt{16+48}}4=\frac{4\pm8}4$, also $x_1=3$ und $x_2=-1$. Achte auf die Vorzeichen von b und c und vergiss das ± nicht, sonst verlierst du eine Lösung. Für die reelle Einsetzrechnung müssen $a,b,c\in\mathbb R$, $a\ne0$ und $D\ge0$ gelten.

Q: Was sagt die Diskriminante über die Lösungen aus?

Die Diskriminante $D=b^2-4ac$ steht unter der Wurzel und entscheidet über Anzahl und Art der reellen Lösungen. Ist D größer als null, existieren zwei verschiedene reelle Lösungen, weil die Wurzel einen positiven Wert liefert, der einmal addiert und einmal subtrahiert wird. Ist D gleich null, fallen beide Lösungen zu einer einzigen Doppellösung $x=-\frac b{2a}$ zusammen. Ist D kleiner als null, gibt es keine reelle Lösung, sondern nur zwei komplexe, weil man aus einer negativen Zahl keine reelle Wurzel ziehen kann. Du kannst also allein aus dem Vorzeichen der Diskriminante die Lösbarkeit beurteilen, bevor du weiterrechnest.

Q: Was ist der Unterschied zwischen der Mitternachtsformel und der pq-Formel?

Beide Formeln lösen quadratische Gleichungen, setzen aber unterschiedliche Ausgangsformen voraus. Die Mitternachtsformel oder ABC-Formel arbeitet mit der allgemeinen Form $ax^2+bx+c=0$ und liefert $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$; der Vorfaktor a darf jeden von null verschiedenen reellen Wert haben. Die pq-Formel verlangt dagegen die Normalform $x^2+px+q=0$ mit dem Leitkoeffizienten eins und liefert $x=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$. Willst du die pq-Formel nutzen, teilst du die Gleichung zuerst durch a. Beide führen zum selben Ergebnis; die Wahl ist Geschmackssache und hängt oft davon ab, welche Form die Aufgabe vorgibt.

Q: Was bedeutet es, wenn die Diskriminante genau null ist?

Ist die Diskriminante $b^2-4ac$ gleich null, verschwindet die Wurzel und die beiden Lösungen der Formel fallen zu einer einzigen zusammen: $x=-\frac b{2a}$. Man spricht von einer doppelten Nullstelle oder Doppellösung. Geometrisch bedeutet das, dass die zugehörige Parabel die x-Achse nicht schneidet, sondern nur berührt; der Scheitelpunkt liegt genau auf der Achse. Diese besondere Lage tritt bei Aufgaben zur Berührung von Kurven oder bei Grenzfällen auf, etwa wenn eine Gerade eine Parabel gerade eben tangiert. Erkennst du $D=0$, brauchst du das ± nicht mehr, weil beide Vorzeichen dasselbe Ergebnis liefern.

Q: Wie hängen die Lösungen mit dem Satz von Vieta zusammen?

Der Satz von Vieta verbindet die beiden Lösungen x₁ und x₂ einer quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$ direkt mit den Koeffizienten: Die Summe der Lösungen ist $x_1+x_2=-p$, ihr Produkt ist $x_1x_2=q$. Damit kannst du Lösungen oft im Kopf finden oder ein Ergebnis überprüfen, ohne die ganze Formel zu durchlaufen. Findest du zwei Zahlen, deren Summe −p und deren Produkt q ergibt, sind das genau die Nullstellen. Beispiel: $x^2-5x+6=0$ hat Lösungen mit Summe 5 und Produkt 6, also 2 und 3. Vieta eignet sich hervorragend zur schnellen Kontrolle deiner mit der Formel berechneten Werte.

Die ABC-Formel bestimmt die Lösungen von $ax^2+bx+c=0$ mit $a\ne0$ . Die Diskriminante entscheidet, ob zwei, eine oder keine reelle Lösung vorliegen.

GrundlegendPrüfungsrelevantSekundarstufe ISekundarstufe II

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Formel

Berechnen

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Dimensionslos (Algebra)

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$a$	Koeffizient von $x^{2} (a \ne{} 0)$	dimensionslos
$b$	Koeffizient von x	dimensionslos
$c$	Konstante	dimensionslos
$D$	Diskriminante $D = b^{2} - 4ac$	dimensionslos

LaTeX

x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}

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Schema: Eine nach oben geöffnete Parabel schneidet die x-Achse in den zwei Nullstellen x₁ und x₂, der Scheitel liegt unterhalb der Achse. — Parabel mit zwei Nullstellen x₁ und x₂, den beiden Lösungen der quadratischen Gleichung (D > 0).

Nullstellen mit der ABC-Formel berechnen

Beide reellen Lösungen von ax² + bx + c = 0 und die Diskriminante ausrechnen, mit Probe; für a = 0 die lineare Gleichung.

Rechenmodell

Gesucht

Koeffizient a

Zahl vor x² in der allgemeinen Form ax² + bx + c = 0, nicht 0, z. B. 2.

1

Koeffizient b

Zahl vor x mit ihrem Vorzeichen, z. B. −4.

1

Koeffizient c

Zahl ohne x mit ihrem Vorzeichen, z. B. −6.

1

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Ergebnis: Kleinere reelle Lösung x₁

x₁ = -1

Mit a = 2, b = -4 und c = -6 ergibt sich x₁ = -1.

Rechenweg · umstellen nach x₁, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach x₁ umstellen
$\begin{aligned}D&=b^2-4ac\\x_{1,2}&=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\quad(D\ge0)\end{aligned}$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
$\begin{aligned}D&=(-4)^2-4\cdot2\cdot(-6)=64\\x_{1,2}&=\frac{-(-4)\pm\sqrt{64}}{2\cdot2}\\x_1&=-1\\x_2&=3\\a\,x_1^2+b\,x_1+c&=2\cdot(-1)^2+(-4)\cdot(-1)+(-6)=0\\a\,x_2^2+b\,x_2+c&=2\cdot3^2+(-4)\cdot3+(-6)=0\end{aligned}$
3. Ergebnis
x₁ = -1

D > 0: zwei verschiedene reelle Lösungen, aufsteigend geordnet (x₁ < x₂).

Prüfe anschließend die ursprüngliche Definitionsmenge und die Bedingungen einer Sachaufgabe. Eine erfüllte Probe zeigt eine Lösung der Gleichung, nicht automatisch ihre fachliche Zulässigkeit.

So rechnest du schneller

Erst die allgemeine Form ax² + bx + c = 0 herstellen, dann die Koeffizienten mit Vorzeichen ablesen: Aus 3x² + 2 = 7x wird 3x² − 7x + 2 = 0, also b = −7.
Die Diskriminante D = b² − 4ac sagt vorher, was kommt: D > 0 zwei Lösungen, D = 0 eine doppelte, D < 0 keine reelle.

Annahmen und Grenzen

Reelle Koeffizienten der hergestellten Normalform ax²+bx+c=0, a≠0. Die Koeffizienten werden als Dezimalzahlen exakt ausgewertet, bei mehr als 15 signifikanten Stellen als nächste Gleitkommazahl. Vorzeichen und Nullfall der Diskriminante sind damit exakt: D = 0 ergibt genau eine doppelte Lösung, eine negative Diskriminante keine reelle Lösung. Die Lösungen werden mit dem numerisch stabilen q-Ansatz berechnet und im Rechenweg mit einer Probe gezeigt. Komplexe Zahlen bleiben eine gesonderte Artikelerklärung.

Herleitung & Hintergrund

Durch quadratische Ergänzung wird die Gleichung zu einem vollständigen Quadrat umgeformt. Für reelle Koeffizienten entscheidet $D=b^2-4ac$ : positiv bedeutet zwei verschiedene reelle Lösungen, null eine doppelte Lösung, negativ keine reelle Lösung. Komplexe Lösungen sind ein eigener Zahlenbereich.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Gilt für $ax^2+bx+c=0$ mit reellen Koeffizienten und $a\ne0$ . Die reelle Wurzelauswertung setzt $D\ge0$ voraus; komplexe Lösungen sind separat erklärt.

Herleitung in Schritten

Quadratische Ergänzung macht aus $ax^2+bx+c=0$ ein vollständiges Quadrat; beide Wurzelzweige liefern die Lösungsmenge.

1Normalform $ax^2+bx+c=0$ herstellen und $a\ne0$ prüfen.
2Durch a dividieren und $\frac ca$ subtrahieren: $x^2+\frac ba x=-\frac ca$ .
3Auf beiden Seiten $\left(\frac{b}{2a}\right)^2$ addieren: $\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}$ .
4 $D=b^2-4ac$ bilden. Für $D\ge0$ mit beiden Vorzeichen die Wurzel ziehen; $\sqrt{4a^2}=2|a|$ beachten.
5 $\frac{b}{2a}$ subtrahieren: $x=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}$ . Bei negativem a tauschen die beiden Zweige nur ihre Reihenfolge.
6 $D<0$ bedeutet keine reelle Lösung. Gefundene Lösungen in der Ausgangsgleichung und gegebenenfalls im Sachkontext prüfen.

Umstellen

Diskriminante bestimmen

D = b^2 - 4ac

D entscheidet über Anzahl und Art der reellen Lösungen.

Aufgabenvariante

Was bedeutet $D=0$ ?

Es gibt genau eine reelle Doppellösung $x=-\frac b{2a}$ .

Typische Fehler

Das ± vor der Wurzel vergessen.

Bei $D>0$ entstehen zwei Lösungen.

Klausurkontext

Typisch bei Nullstellen, Wurfparabeln, Schnittpunkten und Optimierung.

Formelcluster

Algebraische Lösungsverfahren

Verbindet Gleichungen, Parabeln und Diskriminantenanalyse.

a² + b² = c²

Satz des Pythagoras

d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹

Potenzregel der Differentiation

f(x) = Σ f⁽ⁿ⁾(a)/n! · (x−a)ⁿ

Taylor-Reihe

Rechenbeispiel

$2x^2-4x-6=0$ → $x=\frac{4\pm\sqrt{16+48}}4=\frac{4\pm8}4$ → $x_1=3$ , $x_2=-1$ .

Anwendungsgebiete

Quadratische Nullstellen, Schnittpunkte, geometrische Flächenaufgaben und Bewegungsgleichungen mit konstanten Beschleunigungen

Rechenbeispiel: Quadratische Formel (ABC-Formel)

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Quadratische Formel (ABC-Formel) (x = (−b ± √D) / 2a).

1
Aufgabe
Was bedeutet $D=0$ ?
Rechenweg
Es gibt genau eine reelle Doppellösung $x=-\frac b{2a}$ .

Die Formel verstehen und anwenden

Die ABC-Formel löst quadratische Gleichungen unabhängig davon, ob ihre Faktoren leicht erkennbar sind. Hier wird jede Umformung begründet: von der Normalform über quadratische Ergänzung und Diskriminante bis zur Probe und zur Auswahl einer sinnvollen Lösung im Sachproblem.

Erst verstehen, was du lösen sollst

Du suchst Zahlen, für die die linke und die rechte Seite einer Gleichung gleich sind. Bei einer quadratischen Gleichung steht die Unbekannte auch im Quadrat. Deshalb können zwei Zahlen passen, eine Zahl doppelt auftreten oder reelle Lösungen fehlen. Die ABC-Formel liefert die Kandidaten; eine Probe zeigt, ob sie die ursprüngliche Gleichung erfüllen.[1]

Vorwissen: Terme zusammenfassen, Gleichungen auf beiden Seiten gleich verändern und negative Zahlen in Klammern quadrieren.
Vereinbare den Zahlenbereich: In vielen Schulaufgaben werden reelle Lösungen gesucht. Komplexe Lösungen kommen erst in der gekennzeichneten Vertiefung hinzu.

Zuerst die Normalform herstellen

Die allgemeine Form lautet $ax^2+bx+c=0$ , wobei $a,b,c\in\mathbb R$ und $a\ne0$ . Bringe zuerst alle Terme auf eine Seite und fasse gleiche Potenzen zusammen. Fehlt der lineare Term, ist $b=0$ ; fehlt der konstante Term, ist $c=0$ . Lies die Koeffizienten immer mit ihrem Vorzeichen ab.[1]

x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}

Das Pluszeichen liefert einen, das Minuszeichen den anderen Formelzweig.

Für $a=0$ ist die Gleichung nicht quadratisch: Bei $b\ne0$ folgt x = $-\frac cb$ . Sind auch b und c null, erfüllt jedes x die Gleichung; bei $b=0$ und $c\ne0$ erfüllt sie kein x. Die Division durch 2a wäre in allen diesen Fällen unzulässig.

Herleitung durch quadratische Ergänzung

Gesucht wird ein vollständiges Quadrat. Da $a\ne0$ gilt, darf durch a dividiert werden. Danach wird $\frac ca$ auf die rechte Seite gebracht.[2]

ax^2+bx+c=0\quad\Longleftrightarrow\quad x^2+\frac ba x=-\frac ca

Durch a dividieren und $\frac ca$ subtrahieren.

Die binomische Formel $(x+d)^2=x^2+2dx+d^2$ verrät den fehlenden Term: Wähle $d=\frac{b}{2a}$ , damit der mittlere Term passt. Addiere anschließend $d^2$ auf beiden Seiten. Die linke Seite wird so zu einem Quadrat, während die Lösungsmenge erhalten bleibt.

\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2=\frac{b^2}{4a^2}-\frac ca=\frac{b^2-4ac}{4a^2}

Links das vollständige Quadrat bilden; rechts auf einen gemeinsamen Nenner bringen.

Für $D=b^2-4ac\ge0$ entstehen beim Wurzelziehen beide Vorzeichen. Streng genommen ist $\sqrt{4a^2}=2|a|$ . Der Wechsel von |a| zu a vertauscht bei negativem a nur die beiden Zweige; die Menge der Lösungen bleibt gleich.

x=-\frac{b}{2a}\pm\frac{\sqrt D}{2|a|}\quad\Longrightarrow\quad x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}

$\frac{b}{2a}$ subtrahieren und beide Formelzweige gemeinsam ausdrücken.

Was die Diskriminante und das Diagramm zeigen

$D>0$ : zwei verschiedene reelle Lösungen; die Parabel schneidet die x-Achse zweimal.
$D=0$ : eine doppelte reelle Lösung x = $-\frac{b}{2a}$ ; die Parabel berührt die x-Achse im Scheitel.
$D<0$ : keine reellen Lösungen. Über den komplexen Zahlen gibt es für reelle Koeffizienten zwei konjugierte Lösungen.

[1][3]

f(x)=a\left(x+\frac{b}{2a}\right)^2-\frac{D}{4a},\qquad S=\left(-\frac{b}{2a},-\frac{D}{4a}\right)

Scheitelform und Scheitelkoordinaten der zugehörigen quadratischen Funktion.[3]

a bestimmt die Öffnungsrichtung: positiv nach oben, negativ nach unten. Die Anzahl reeller Nullstellen wird durch D bestimmt. Beides sind unterschiedliche Informationen; eine nach unten geöffnete Parabel kann ebenfalls zwei, eine oder keine reellen Nullstellen besitzen.[3]

Zwei Schnittpunkte, ein Berührpunkt oder kein Schnittpunkt

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Die selbst gewählten Funktionen

y=(x-2)^2-1

,

y=(x-2)^2

und

y=(x-2)^2+1

haben die Diskriminanten 4, 0 und −4. Ihre reellen Nullstellen sind 1 und 3, nur 2 beziehungsweise keine. Die Achsen zeigen reine Zahlen. Die Legende, die vertikale Lage und der Unterschied zwischen durchgezogener und gestrichelten Linien helfen beim Zuordnen; die beiden gestrichelten Kurven haben dasselbe Linienmuster.[3][1]

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Die Scheitelpunktform der Parabel verbindet die Diskriminante mit der Lage des Scheitels: Seine y-Koordinate ist $-\frac{D}{4a}$ . Ob die Parabel nach oben oder unten geöffnet ist, bestimmt allein das Vorzeichen von a; die Diskriminante entscheidet das nicht.[3]

Drei Beispiele mit Ansatz und Probe

Negative Koeffizienten sicher einsetzen

Gegeben: $3x^2+2=7x$ . Gesucht werden alle reellen Lösungen.
Gesucht: Normalform herstellen, beide Zweige berechnen und beide Lösungen prüfen.

Ansatz: Bringe die Gleichung zuerst in die Normalform, damit das Vorzeichen des linearen Koeffizienten eindeutig ist. Die Diskriminante entscheidet über die reellen Zweige; beide Lösungen werden in der Ausgangsgleichung geprüft.
$\begin{aligned}ax^2+bx+c&=0\\{}D&=b^2-4ac\\{}x_{1,2}&=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}\end{aligned}$
7x subtrahieren: $3x^2-7x+2=0$ . Damit $a=3,\ b=-7,\ c=2$ .
b mit Klammern quadrieren und 4ac abziehen.
$D=(-7)^2-4\cdot3\cdot2=49-24=25$
$-b=7$ und $\sqrt D=5$ einsetzen; der gesamte Zähler wird durch 6 geteilt.
$x_{1,2}=\frac{7\pm5}{6}\quad\Longrightarrow\quad x_1=2,\;x_2=\frac13$
Probe in der ursprünglichen Gleichung: Für $x=2$ sind beide Seiten 14. Für $x=\frac13$ sind beide Seiten $\frac73$ .

Ergebnis: $L=\left\{\frac13,2\right\}$ . Beide verschiedenen reellen Lösungen sind geprüft.

Kontrolle: Zusatzprobe: Summe $\frac73=-\frac ba$ und Produkt $\frac23=\frac ca$ . Die Reihenfolge $x_1$ oder $x_2$ ist für die Lösungsmenge unerheblich.

Eine algebraische Lösung im Sachproblem auswählen

Gegeben: Ein Rechteck hat 84 cm² Fläche. Seine Länge ist 5 cm größer als seine Breite. x bezeichnet die Breite in cm.
Gesucht: Breite und Länge bestimmen.

Ansatz: Die numerische Breite in Zentimetern ist x, die Länge daher x plus fünf. Die Flächenbedingung liefert eine quadratische Gleichung; nur eine positive Breite ist im Sachmodell zulässig.
$\begin{aligned}x(x+5)&=84\\{}x^2+5x-84&=0\end{aligned}$
Fläche als Produkt schreiben: $x(x+5)=84$ . Normalform: $x^2+5x-84=0$ .
Diskriminante berechnen: $25+336=361=19^2$ .
$x_{1,2}=\frac{-5\pm19}{2}\quad\Longrightarrow\quad x_1=7,\;x_2=-12$
Eine Breite muss positiv sein. $x=-12$ ist als algebraische Lösung korrekt, passt aber nicht zu diesem Rechteck.

Ergebnis: Breite 7 cm, Länge 12 cm.

Kontrolle: $7\cdot12=84$ und $12-7=5$ . Die Sachbedingungen werden nach der Rechnung geprüft; eine negative Lösung wird nicht grundsätzlich bei jeder quadratischen Gleichung verworfen.

Warum keine reelle Lösung entsteht

Gegeben: $2x^2-4x+7=0$ ; gesucht sind reelle Lösungen.
Gesucht: Den fehlenden reellen Schnittpunkt rechnerisch und anschaulich begründen.

Ansatz: Die Diskriminante zeigt, ob die Wurzel über den reellen Zahlen möglich ist. Eine zweite Prüfung nutzt die Scheitelform.
$D=b^2-4ac$
Die Koeffizienten mit ihren Vorzeichen einsetzen.
$D=(-4)^2-4\cdot2\cdot7=16-56=-40<0$
Ein reelles Quadrat ist nie negativ. In der Scheitelform ist deshalb auch der gesamte linke Ausdruck immer positiv.
$2x^2-4x+7=2(x-1)^2+5\ge5$

Ergebnis: Über $\mathbb R$ ist die Lösungsmenge leer.

Kontrolle: Die Parabel öffnet sich nach oben und ihr kleinster Funktionswert ist fünf. Sie erreicht die x-Achse nicht.

ABC-Formel, pq-Formel oder Faktorisieren?

Die ABC-Formel funktioniert für jedes $a\ne0$ . Die pq-Formel setzt die vorherige Division durch a voraus: p = $\frac ba$ und q = $\frac ca$ . Ist die Faktorisierung sofort erkennbar, kann der Satz vom Nullprodukt kürzer sein. Bei $x^2=d$ genügt Wurzelziehen mit beiden Vorzeichen, sofern $d\ge0$ .[2]

x_{1,2}=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q},\qquad p=\frac ba,\;q=\frac ca

pq-Formel für die normierte Gleichung $x^2+px+q=0$ .

Die Rechenwege müssen dieselbe Lösungsmenge ergeben. In Beispiel 1 ist $(3x-1)(x-2)=0$ eine unabhängige schnelle Probe der beiden gefundenen Werte. Bei einem Bruchterm oder einer vorher quadrierten Gleichung muss zusätzlich die Definitionsmenge beziehungsweise die ursprüngliche Gleichung geprüft werden.

Die pq-Formel ist nach korrekter Normierung eine gleichwertige Lösungsformel. Ein Vorzeichen darf bei der Division nicht verloren gehen: Die Koeffizienten b und c werden durch denselben von null verschiedenen Wert a geteilt. Wähle danach den Rechenweg, dessen Zwischenschritte du sicher prüfen kannst.[1][2]

Vertiefung anzeigen: Komplexe Lösungen

Ein negatives D bedeutet keine reelle Lösung, nicht das Ende aller Algebra. Über den komplexen Zahlen gilt $i^2=-1$ . Für reelle Koeffizienten und $D<0$ erhältst du zwei konjugierte Zahlen. Diese Erweiterung ist nur nötig, wenn der geforderte Zahlenbereich sie zulässt.[1]

x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-D}}{2a},\qquad a,b,c\in\mathbb R,\;a\ne0,\;D<0

Der Radikand −D ist positiv. Die beiden Werte unterscheiden sich im Vorzeichen ihres Imaginärteils.

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

1. Löse $2x^2+5x-3=0$ über den reellen Zahlen.

Hinweis anzeigen

$a=2,\ b=5,\ c=-3$ . Berechne zuerst D.

Lernziel: Zwei reelle Lösungen und Probe finden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Berechne $D=b^2-4ac$ und setze bei nichtnegativem Ergebnis in $x_{1,2}=\frac{-b\pm\sqrt D}{2a}$ ein.
Hier ist $D=25+24=49$ .
$x=\frac{-5\pm7}{4}$ ergibt $\frac12$ und $-3$ .

Probe: $2\left(\frac12\right)^2+5\left(\frac12\right)-3=0$ ; $18-15-3=0$ .

x_{1,2}=\frac{-5\pm7}{4}

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

2. Löse $x^2-6x+9=0$ . Wie viele verschiedene Lösungen gibt es?

Hinweis anzeigen

Vergleiche die Diskriminante mit null.

Lernziel: Doppelte Nullstelle erkennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Bestimme $D=b^2-4ac$ ; bei $D=0$ ist $x=-\frac{b}{2a}$ die doppelte Lösung.
Hier ist $D=36-36=0$ .
Es gibt eine verschiedene Lösung $x=3$ mit Vielfachheit zwei.
Kontrolle durch Faktorisieren: $(x-3)^2=0$ .

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

3. Löse $x^2+4x+8=0$ zuerst über ℝ, dann über ℂ.

Hinweis anzeigen

D ist negativ. Für komplexe Lösungen gilt $i^2=-1$ .

Lernziel: Reelle und komplexe Lösungsräume unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Prüfe $D=b^2-4ac$ .
Bei $D<0$ sind reelle Lösungen ausgeschlossen; über $\mathbb C$ gilt $x_{1,2}=\frac{-b\pm i\sqrt{-D}}{2a}$ .
Hier ist $D=16-32=-16$ .
Über $\mathbb R$ ist die Lösungsmenge leer; über $\mathbb C$ entstehen $x=\frac{-4\pm4i}{2}=-2\pm2i$ .

Kontrolle: $(x+2)^2+4=0$ , denn $(\pm2i)^2=-4$ .

x_{1,2}=-2\pm2i

Interpretieren · Anwenden

Die Parabel $y=x^2-4x+k$ hat einen unbekannten reellen Parameter k. Welche k-Werte liefern zwei, eine oder keine verschiedenen reellen Nullstellen? Gib für den Berührungsfall den Berührpunkt an.

Hinweis anzeigen

Der Parameter verschiebt die Parabel vertikal; die Diskriminante entscheidet.

Lernziel: Tangentialen Achsenkontakt aus einem Parameter bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Diskriminante ist 16 minus vier k.
Positiver Wert liefert zwei Schnittpunkte für k kleiner als vier, null liefert den Berührfall bei k gleich vier, negativer Wert liefert keinen Schnittpunkt.
Quadratische Ergänzung zeigt dann den Berührpunkt (2,0).
Das bedeutet eine verschiedene Nullstelle mit Vielfachheit zwei.

\begin{aligned}D&=16-4k\\{}y&=(x-2)^2+(k-4)\\{}k=4&\Rightarrow x=2\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Für $x^2-5x=0$ dividiert jemand durch x und erhält nur $x=5$ . Prüfe den Schritt und stelle die vollständige reelle Lösungsmenge mit Gegenprobe her.

Hinweis anzeigen

Division setzt einen von null verschiedenen Divisor voraus.

Lernziel: Division durch eine unbekannte Größe auf Lösungsverlust prüfen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Faktorisiere ohne Division durch die Unbekannte.
Das Produkt x mal (x−5) verschwindet genau bei x gleich null oder fünf.
Beide Werte lösen die Ausgangsgleichung.
Die Division war nur im Teilfall x ungleich null zulässig und entfernte den anderen Fall; die Diskriminantenformel ergibt dieselben zwei Lösungen.

\begin{aligned}x(x-5)&=0\\{}x_{1,2}&=\frac{5\pm\sqrt{25}}2\in\{0,5\}\end{aligned}

[1]

Fehler vermeiden und Ergebnisse einordnen

Nicht vor der Normalform ablesen: Bei $3x^2+2=7x$ ist $b=-7$ , nicht +7.
Negative Zahlen in Klammern quadrieren: $(-7)^2=49$ , aber $-7^2=-49$ .
Den gesamten Zähler durch 2a teilen. $-b+\frac{\sqrt D}{2a}$ ist eine andere Rechnung.
Nicht vorzeitig runden. Exakte Brüche oder Wurzeln bis zum Endergebnis erhalten.
Die ±-Zeichen vollständig auswerten und anschließend jede Lösung in die Ausgangsgleichung einsetzen.

Die Formel löst quadratische Gleichungen. Eine Gleichung vierten Grades kann nur dann so behandelt werden, wenn eine passende Substitution sie tatsächlich quadratisch macht; anschließend müssen die Substitution und ihre Bedingungen rückgängig gemacht werden. Die Lösungsformel allein ersetzt diese Prüfung nicht.

Das Wichtigste für deine Rechnung

Zuerst die allgemeine Form mit null auf einer Seite herstellen. Dann die drei Koeffizienten samt Vorzeichen notieren und die Diskriminante berechnen. Nur bei nichtnegativer Diskriminante reelle Wurzelzweige auswerten. Jeden gefundenen Wert in der ursprünglichen Gleichung prüfen und bei Sachaufgaben zusätzlich die erlaubten Werte beachten.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Passende Formelverbindungen und Modellabgrenzungen ergänzt; bestehende Herleitungen, Aufgaben und eigene Abbildungen erhalten.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Einstieg und Vorwissen erläutert, ein drittes vollständiges Beispiel sowie eine eigene Abbildung und Schlusszusammenfassung ergänzt; Zusatzwissen gezielt aufklappbar gemacht.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Quadratische Formel (ABC-Formel). Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/quadratische-formel

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Quadratische Formel (ABC-Formel)

Wie löst man eine quadratische Gleichung mit der Mitternachtsformel?+

Bringe die Gleichung zuerst in die Form $ax^2+bx+c=0$ und lies a, b und c ab. Setze sie dann in $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ein. Berechne zuerst die Diskriminante $b^2-4ac$ unter der Wurzel, ziehe die Wurzel und bilde mit dem Plus- und dem Minuszeichen die beiden Lösungen. Beispiel: $2x^2-4x-6=0$ ergibt $x=\frac{4\pm\sqrt{16+48}}4=\frac{4\pm8}4$ , also $x_1=3$ und $x_2=-1$ . Achte auf die Vorzeichen von b und c und vergiss das ± nicht, sonst verlierst du eine Lösung. Für die reelle Einsetzrechnung müssen $a,b,c\in\mathbb R$ , $a\ne0$ und $D\ge0$ gelten.

Was sagt die Diskriminante über die Lösungen aus?+

Die Diskriminante $D=b^2-4ac$ steht unter der Wurzel und entscheidet über Anzahl und Art der reellen Lösungen. Ist D größer als null, existieren zwei verschiedene reelle Lösungen, weil die Wurzel einen positiven Wert liefert, der einmal addiert und einmal subtrahiert wird. Ist D gleich null, fallen beide Lösungen zu einer einzigen Doppellösung $x=-\frac b{2a}$ zusammen. Ist D kleiner als null, gibt es keine reelle Lösung, sondern nur zwei komplexe, weil man aus einer negativen Zahl keine reelle Wurzel ziehen kann. Du kannst also allein aus dem Vorzeichen der Diskriminante die Lösbarkeit beurteilen, bevor du weiterrechnest.

Was ist der Unterschied zwischen der Mitternachtsformel und der pq-Formel?+

Beide Formeln lösen quadratische Gleichungen, setzen aber unterschiedliche Ausgangsformen voraus. Die Mitternachtsformel oder ABC-Formel arbeitet mit der allgemeinen Form $ax^2+bx+c=0$ und liefert $x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$ ; der Vorfaktor a darf jeden von null verschiedenen reellen Wert haben. Die pq-Formel verlangt dagegen die Normalform $x^2+px+q=0$ mit dem Leitkoeffizienten eins und liefert $x=-\frac p2\pm\sqrt{\left(\frac p2\right)^2-q}$ . Willst du die pq-Formel nutzen, teilst du die Gleichung zuerst durch a. Beide führen zum selben Ergebnis; die Wahl ist Geschmackssache und hängt oft davon ab, welche Form die Aufgabe vorgibt.

Was bedeutet es, wenn die Diskriminante genau null ist?+

Ist die Diskriminante $b^2-4ac$ gleich null, verschwindet die Wurzel und die beiden Lösungen der Formel fallen zu einer einzigen zusammen: $x=-\frac b{2a}$ . Man spricht von einer doppelten Nullstelle oder Doppellösung. Geometrisch bedeutet das, dass die zugehörige Parabel die x-Achse nicht schneidet, sondern nur berührt; der Scheitelpunkt liegt genau auf der Achse. Diese besondere Lage tritt bei Aufgaben zur Berührung von Kurven oder bei Grenzfällen auf, etwa wenn eine Gerade eine Parabel gerade eben tangiert. Erkennst du $D=0$ , brauchst du das ± nicht mehr, weil beide Vorzeichen dasselbe Ergebnis liefern.

Wie hängen die Lösungen mit dem Satz von Vieta zusammen?+

Der Satz von Vieta verbindet die beiden Lösungen x₁ und x₂ einer quadratischen Gleichung $x^2+px+q=0$ direkt mit den Koeffizienten: Die Summe der Lösungen ist $x_1+x_2=-p$ , ihr Produkt ist $x_1x_2=q$ . Damit kannst du Lösungen oft im Kopf finden oder ein Ergebnis überprüfen, ohne die ganze Formel zu durchlaufen. Findest du zwei Zahlen, deren Summe −p und deren Produkt q ergibt, sind das genau die Nullstellen. Beispiel: $x^2-5x+6=0$ hat Lösungen mit Summe 5 und Produkt 6, also 2 und 3. Vieta eignet sich hervorragend zur schnellen Kontrolle deiner mit der Formel berechneten Werte.

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Wie stellst du x = (−b ± √D) / 2a nach Diskriminante bestimmen um?

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Welcher typische Fehler passiert bei x = (−b ± √D) / 2a?

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, College Algebra 2e, §2.5: Quadratic Equations

Weitere Formeln: Algebra und Gleichungen

x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2} - q}

pq-Formel

(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2ab + b^{2}, \quad (a+b)(a-b) = a^{2} - b^{2}

Binomische Formeln

\log_{b}(x \cdot y) = \log_{b} x + \log_{b} y, \quad \log_{b}(x^{r}) = r \cdot \log_{b} x

Logarithmengesetze

\exists\,\mathbf{v}\ne\mathbf{0}: A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v} \quad\Longleftrightarrow\quad \det(A-\lambda I)=0

Eigenwerte und Eigenvektoren

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Formeln nachhaltig lernen

Aktiver Abruf

Abrufen statt wiederlesen

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Optimaler Algorithmus

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Quadratische Formel (ABC-Formel) prüfungssicher behalten

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Mitternachtsformel (ABC-Formel)

Variablen & Einheiten

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Rechenbeispiel: Quadratische Formel (ABC-Formel)

Erst verstehen, was du lösen sollst

Zuerst die Normalform herstellen

Herleitung durch quadratische Ergänzung

Was die Diskriminante und das Diagramm zeigen

Zwei Schnittpunkte, ein Berührpunkt oder kein Schnittpunkt

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Negative Koeffizienten sicher einsetzen

Eine algebraische Lösung im Sachproblem auswählen

Warum keine reelle Lösung entsteht

ABC-Formel, pq-Formel oder Faktorisieren?

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Fünf Aufgaben mit Lösungen

1. Löse 2x2+5x−3=02x^2+5x-3=02x2+5x−3=0 über den reellen Zahlen.

2. Löse x2−6x+9=0x^2-6x+9=0x2−6x+9=0. Wie viele verschiedene Lösungen gibt es?

3. Löse x2+4x+8=0x^2+4x+8=0x2+4x+8=0 zuerst über ℝ, dann über ℂ.

Die Parabel y=x2−4x+ky=x^2-4x+ky=x2−4x+k hat einen unbekannten reellen Parameter k. Welche k-Werte liefern zwei, eine oder keine verschiedenen reellen Nullstellen? Gib für den Berührungsfall den Berührpunkt an.

Für x2−5x=0x^2-5x=0x2−5x=0 dividiert jemand durch x und erhält nur x=5x=5x=5. Prüfe den Schritt und stelle die vollständige reelle Lösungsmenge mit Gegenprobe her.

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1. Löse $2x^2+5x-3=0$ über den reellen Zahlen.

2. Löse $x^2-6x+9=0$ . Wie viele verschiedene Lösungen gibt es?

3. Löse $x^2+4x+8=0$ zuerst über ℝ, dann über ℂ.

Die Parabel $y=x^2-4x+k$ hat einen unbekannten reellen Parameter k. Welche k-Werte liefern zwei, eine oder keine verschiedenen reellen Nullstellen? Gib für den Berührungsfall den Berührpunkt an.

Für $x^2-5x=0$ dividiert jemand durch x und erhält nur $x=5$ . Prüfe den Schritt und stelle die vollständige reelle Lösungsmenge mit Gegenprobe her.