Quadratische Formel (ABC-Formel)

Bringe die Gleichung zuerst in die Form ax² + bx + c = 0 und lies a, b und c ab. Setze sie dann in x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a) ein. Berechne zuerst die Diskriminante b² − 4ac unter der Wurzel, ziehe die Wurzel und bilde mit dem Plus- und dem Minuszeichen die beiden Lösungen. Beispiel: 2x² − 4x − 6 = 0 ergibt x = (4 ± √(16 + 48))/4 = (4 ± 8)/4, also x₁ = 3 und x₂ = −1. Achte auf die Vorzeichen von b und c und vergiss das ± nicht, sonst verlierst du eine Lösung.

Die Diskriminante D = b² − 4ac steht unter der Wurzel und entscheidet über Anzahl und Art der reellen Lösungen. Ist D größer als null, existieren zwei verschiedene reelle Lösungen, weil die Wurzel einen positiven Wert liefert, der einmal addiert und einmal subtrahiert wird. Ist D gleich null, fallen beide Lösungen zu einer einzigen Doppellösung x = −b/(2a) zusammen. Ist D kleiner als null, gibt es keine reelle Lösung, sondern nur zwei komplexe, weil man aus einer negativen Zahl keine reelle Wurzel ziehen kann. Du kannst also allein aus dem Vorzeichen der Diskriminante die Lösbarkeit beurteilen, bevor du weiterrechnest.

Beide Formeln lösen quadratische Gleichungen, setzen aber unterschiedliche Ausgangsformen voraus. Die Mitternachtsformel oder ABC-Formel arbeitet mit der allgemeinen Form ax² + bx + c = 0 und liefert x = (−b ± √(b² − 4ac))/(2a); der Vorfaktor a darf beliebig sein. Die pq-Formel verlangt dagegen die Normalform x² + px + q = 0 mit dem Leitkoeffizienten eins und liefert x = −p/2 ± √((p/2)² − q). Willst du die pq-Formel nutzen, teilst du die Gleichung zuerst durch a. Beide führen zum selben Ergebnis; die Wahl ist Geschmackssache und hängt oft davon ab, welche Form die Aufgabe vorgibt.

Ist die Diskriminante b² − 4ac gleich null, verschwindet die Wurzel und die beiden Lösungen der Formel fallen zu einer einzigen zusammen: x = −b/(2a). Man spricht von einer doppelten Nullstelle oder Doppellösung. Geometrisch bedeutet das, dass die zugehörige Parabel die x-Achse nicht schneidet, sondern nur berührt; der Scheitelpunkt liegt genau auf der Achse. Diese besondere Lage tritt bei Aufgaben zur Berührung von Kurven oder bei Grenzfällen auf, etwa wenn eine Gerade eine Parabel gerade eben tangiert. Erkennst du D = 0, brauchst du das ± nicht mehr, weil beide Vorzeichen dasselbe Ergebnis liefern.

Der Satz von Vieta verbindet die beiden Lösungen x₁ und x₂ einer quadratischen Gleichung x² + px + q = 0 direkt mit den Koeffizienten: Die Summe der Lösungen ist x₁ + x₂ = −p, ihr Produkt ist x₁·x₂ = q. Damit kannst du Lösungen oft im Kopf finden oder ein Ergebnis überprüfen, ohne die ganze Formel zu durchlaufen. Findest du zwei Zahlen, deren Summe −p und deren Produkt q ergibt, sind das genau die Nullstellen. Beispiel: x² − 5x + 6 = 0 hat Lösungen mit Summe 5 und Produkt 6, also 2 und 3. Vieta eignet sich hervorragend zur schnellen Kontrolle deiner mit der Formel berechneten Werte.