Taylor-Reihe

Du entwickelst die Funktion um einen Punkt a und summierst Terme der Form $\frac{f^{(n)}(a)}{n}$! · (x−a)^n über alle n von null bis unendlich. Jeder Koeffizient enthält die n-te Ableitung an der Entwicklungsstelle, geteilt durch die Fakultät von n. Praktisch berechnest du zuerst die Ableitungen an der Stelle a, teilst durch n! und multiplizierst mit der Potenz $(x-a)^{n}$. Beispiel Sinus um $a = 0$: sin x = x − x³/6 + x⁵/120 − …, weil die Ableitungen abwechselnd Sinus und Kosinus ergeben. Für $x = 0{,}1$ liefert schon die erste Näherung $\sin{}(0{,}1) \approx{} 0{,}09983$, sehr nah am exakten Wert.

Bricht man die Taylorreihe nach dem Glied für $n = 1$ ab, bleibt f(a) + f′$(a)\cdot{}(x-a)$ übrig. Das ist genau die Gleichung der Tangente an die Funktion im Punkt a, also die lineare Näherung oder Linearisierung. Der konstante Term f(a) legt den Funktionswert fest, der lineare Term f′$(a)\cdot{}(x-a)$ die Steigung. In der Nähe der Entwicklungsstelle beschreibt diese Gerade die Funktion sehr gut, weil höhere Potenzen von (x−a) dort noch sehr klein sind. Physik und Technik nutzen diese Näherung ständig, etwa bei kleinen Auslenkungen eines Pendels, wo sin x durch x ersetzt wird. Höhere Taylor-Glieder verbessern die Genauigkeit weiter.

Eine Taylorreihe beschreibt eine Funktion nur lokal und stimmt nicht automatisch überall mit ihr überein. Zwei Bedingungen müssen erfüllt sein: Die Reihe muss konvergieren, also innerhalb ihres Konvergenzradius bleiben, und der Restterm muss für wachsende Gliederzahl gegen null gehen. Außerhalb des Konvergenzradius divergiert die Reihe und liefert unbrauchbare Werte. Es gibt sogar Funktionen, deren Taylorreihe zwar konvergiert, aber nicht gegen die Funktion selbst. Ein häufiger Fehler ist anzunehmen, endlich viele Glieder seien überall exakt. Für praktische Näherungen wählst du deshalb einen Entwicklungspunkt nahe der interessierenden Stelle und schätzt den Fehler über den Restterm ab.

Taylorreihen ersetzen komplizierte Funktionen durch Polynome, mit denen sich viel leichter rechnen lässt. Taschenrechner und Computer berechnen Sinus, Kosinus, Exponential- und Logarithmusfunktion intern über solche Reihen, weil nur Addition und Multiplikation nötig sind. In der Physik linearisiert man mit dem ersten Glied schwierige Zusammenhänge, etwa die Pendelgleichung für kleine Winkel. In der Fehlerrechnung schätzt man mit Taylor, wie sich Messunsicherheiten fortpflanzen. Auch Grenzwerte unbestimmter Form lassen sich durch Reihenentwicklung bestimmen. Schließlich nutzt man Taylor in numerischen Verfahren, um Ableitungen und Integrale näherungsweise zu berechnen. Die Idee, lokal durch ein Polynom zu ersetzen, ist eines der mächtigsten Werkzeuge der Analysis.

Eine Maclaurin-Reihe ist einfach der Spezialfall einer Taylorreihe mit dem Entwicklungspunkt $a = 0$. Während die allgemeine Taylorreihe um einen beliebigen Punkt a entwickelt und Potenzen von (x−a) enthält, entwickelt die Maclaurin-Reihe um den Ursprung und enthält reine Potenzen von x. Dadurch werden die Formeln einfacher, weil die Ableitungen nur bei null ausgewertet werden müssen. Die bekannten Reihen für $e^{x}$, sin x und cos x sind alle Maclaurin-Reihen. Man wählt den Entwicklungspunkt so, dass er nahe an der interessierenden Stelle liegt und die Ableitungen dort leicht zu berechnen sind; für viele Standardfunktionen ist das gerade der Nullpunkt.