Produktregel der Differentiation

Nach der Produktregel gilt $(f\cdot{}g)$′ = f′·g + f·g′. Du leitest also den ersten Faktor ab und multiplizierst ihn mit dem unveränderten zweiten, addierst dann den unveränderten ersten Faktor mal die Ableitung des zweiten. Beispiel: Für $x^{2}\cdot{}e^{x}$ ist $f = x^{2}$ mit f′ = 2x und $g = e^{x}$ mit g′ = e^x. Damit ergibt sich $(x^{2}\cdot{}e^{x})$′ = 2x·e^x + x²·e^x = e^x·(2x + x²). Wichtig ist, dass du nicht einfach die beiden Ableitungen multiplizierst; das ist der häufigste Fehler. Beide Summanden gehören dazu, weil sich beim Grenzübergang beide Faktoren gleichzeitig ändern.

Weil sich beim Ableiten eines Produkts beide Faktoren gleichzeitig ändern und beide Änderungsanteile berücksichtigt werden müssen. Im Differenzenquotienten von $f\cdot{}g$ addiert und subtrahiert man einen Zwischenterm, wodurch zwei Beiträge entstehen: einer von der Änderung von f bei festgehaltenem g, einer von der Änderung von g bei festgehaltenem f. Daraus folgt $(f\cdot{}g)$′ = f′·g + f·g′. Würde man nur f′·g′ nehmen, ließe man die gemischten Beiträge weg und erhielte ein falsches Ergebnis. Ein einfacher Test: Für $f = g = x$ ist $(x\cdot{}x)$′ = (x²)′ = 2x, während f′·g′ = 1·1 = 1 wäre, was offensichtlich falsch ist.

Die Produktregel gilt, wenn zwei Funktionen miteinander multipliziert werden, also bei einem Ausdruck der Form $f(x)\cdot{}g(x)$, zum Beispiel $x^{2}\cdot{}\sin{} x$. Die Kettenregel gilt dagegen bei verschachtelten Funktionen, bei denen eine Funktion in eine andere eingesetzt wird, also bei f(g(x)), zum Beispiel $\sin{}(x^{2})$. Der Schlüssel ist die Struktur: Ein Mal-Zeichen zwischen zwei eigenständigen Funktionen deutet auf die Produktregel, eine innere Funktion im Argument einer äußeren auf die Kettenregel. Oft treten beide Regeln in einer Aufgabe kombiniert auf, etwa bei $x^{2}\cdot{}\sin{}(3x)$; dann wendest du zuerst die Produktregel an und nutzt die Kettenregel für den verschachtelten Faktor.

Die Produktregel lässt sich auf drei Faktoren erweitern. Für $f\cdot{}g\cdot{}h$ gilt $(f\cdot{}g\cdot{}h)$′ = f′·g·h + f·g′·h + f·g·h′. Du leitest also der Reihe nach jeweils einen Faktor ab und lässt die anderen beiden unverändert, dann addierst du alle drei Terme. Das Muster setzt sich für beliebig viele Faktoren fort: In jedem Summanden wird genau ein Faktor abgeleitet. Alternativ kannst du zwei Faktoren zu einem zusammenfassen und die gewöhnliche Produktregel zweimal anwenden. Beispiel: $(x\cdot{}\sin{} x\cdot{}e^{x})$′ = 1·sin x·e^x + x·cos x·e^x + x·sin x·e^x. Achte darauf, in jedem Term nur eine einzige Ableitung zu bilden.

Eine gute Kontrolle ist, das Ergebnis an einer bekannten Stelle mit einer erwarteten Eigenschaft zu prüfen. Bei $(x^{2}\cdot{}\sin{} x)$′ = 2x·sin x + x²·cos x sollte die Steigung bei $x = 0$ gleich null sein, denn dort ist die Funktion selbst null und hat ein lokales Extremum: $2\cdot{}0\cdot{}0 + 0^{2}\cdot{}1 = 0$, passt. Zusätzlich kannst du das Produkt in Sonderfällen ausrechnen, etwa wenn ein Faktor konstant ist; dann muss die Produktregel dasselbe liefern wie das einfache Ableiten mit einem konstanten Vorfaktor. Auch das Nachrechnen an einem gerundeten Zahlenwert mit dem Differenzenquotienten bestätigt, ob deine symbolische Ableitung stimmt.