Physik · Mechanik

Impuls: gerichtete Bewegungsgröße

Q: Was ist der Unterschied zwischen Impuls und kinetischer Energie?

Impuls p⃗ = mv⃗ ist ein Vektor; kinetische Energie $E_{\mathrm{kin}}=\frac12mv^2$ ist ein Skalar. Bei gleicher Masse wächst der Impulsbetrag linear mit dem Tempo, die Energie quadratisch. Zwei gleich schwere Körper mit entgegengesetzten Geschwindigkeiten können Gesamtimpuls null und trotzdem positive Gesamtenergie haben. Bei Stößen bleibt der Gesamtimpuls des gewählten Systems nur erhalten, wenn dessen äußerer Kraftstoß verschwindet oder vernachlässigbar ist. Die kinetische Energie bleibt zusätzlich nur beim elastischen Stoß erhalten. Haften zwei gleiche Massen mit gleichen entgegengesetzten Geschwindigkeiten danach zusammen, stehen sie in diesem Bezugssystem still. Ihre frühere Bewegungsenergie wird beispielsweise in innere Energie und Verformung umgewandelt, nicht vernichtet.

Der klassische Impuls ist Masse mal gerichtete Geschwindigkeit im gewählten Bezugssystem; in einer Dimension sind die Komponenten vorzeichenbehaftet.

GrundlegendPrüfungsrelevantSekundarstufe IIUni/Hochschule

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Formel

Berechnen

p = m \cdot v

p in kg·m/s = [N·s] · m in Kilogramm [kg] · v in m/s

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$p$	Impulsvektor; in 1D die vorzeichenbehaftete Komponente	kg·m/s
$m$	Masse des betrachteten Körpers	kg
$v$	Gerichtete Geschwindigkeit im festgelegten Bezugssystem	m/s

LaTeX

p = m \cdot v

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Eigene Grafik gerichteter Impulskomponenten: horizontale Achse vx/v₀, vertikale Achse px/(m·v₀), v₀ größer null. Die Gerade durch den Ursprung verläuft vom negativen zum positiven Quadranten. — Für dieselbe Masse in einem festen Bezugssystem gilt px = m·vx. Beide Komponenten wechseln zusammen das Vorzeichen. Die normierten Punkte (−1,−1), (0,0), (1,1) liegen auf einer Geraden.

Impuls berechnen

Impuls, Masse oder Geschwindigkeit eines Körpers entlang einer festen Richtung ausrechnen, mit Vorzeichen für die Richtung.

Gesucht

Masse m

Masse des Körpers, z. B. 450 g für einen Fußball.

Geschwindigkeit v

Geschwindigkeit mit Vorzeichen, positiv in die gewählte Richtung, negativ dagegen, z. B. 72 km/h.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach p, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach p umstellen
$p=mv$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- m = 450 g = 0,45 kg
- v = 72 km/h = 20 m/s
$p=0{,}45\cdot 20=9$
3. Ergebnis
p = 9 kg·m/s

Ergebnis: Impuls p (mit Vorzeichen)

p = 9 kg·m/s

Mit m = 450 g und v = 72 km/h ergibt sich p = 9 kg·m/s.

So rechnest du schneller

Formeldreieck: p oben, m und v unten. Halte die gesuchte Größe zu, der Rest ist die Rechnung, z. B. v = p : m.
Einheitenprobe: kg · m/s ist dasselbe wie N · s. Von Hand Gramm erst durch 1000 und km/h durch 3,6 teilen: 450 g sind 0,45 kg, 72 km/h sind 20 m/s.

Annahmen und Grenzen

Klassischer Impuls p = mv entlang einer festen Achse, m > 0. Der Körperimpuls ist kein Kraftstoß eines Zeitintervalls, obwohl beide dieselbe Dimension haben.

Herleitung & Hintergrund

Für konstante Masse im Inertialsystem gilt $\vec F_{\mathrm{net}}=\frac{d\vec p}{dt}$ . Der Kraftstoß ist das Integral $\int\vec F_{\mathrm{net}}\,dt=\Delta\vec p$ . F⃗Δt gilt bei konstanter oder zeitlich gemittelter resultierender Kraft. Längere Kontaktzeit verringert bei derselben Impulsänderung die mittlere Kraft, bestimmt aber weder Spitzenkraft noch den gesamten Belastungsverlauf.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

p⃗ = mv⃗ gilt klassisch für langsame Bewegung gegenüber c. Kraftstoßbeziehung für feste Auswahl von Materie im Inertialsystem; offene Systeme brauchen eine Impulsstrombilanz.

Herleitung in Schritten

Die klassische Impulsdefinition verbindet gerichtete Bewegung mit dem Kraftstoß.

1Lege Körper, Inertialsystem und positive Achsenrichtungen fest.
2Definiere den klassischen Impulsvektor als p⃗ = mv⃗; Komponenten erfüllen p_x = mv_x usw.
3Bei konstanter Masse folgt durch Ableiten dp⃗/dt = m dv⃗/dt = m a⃗.
4Mit Newtons zweitem Gesetz ist m a⃗ gleich der resultierenden Kraft; die Definition allein beweist dieses Naturgesetz nicht.
5Integriere über die Einwirkzeit: Δp⃗ = ∫F⃗net dt. Anfangs- und Endimpuls brauchen dasselbe Bezugssystem.
6Für konstante oder zeitlich gemittelte resultierende Kraft wird daraus Δp⃗ = F⃗mittelΔt; die mittlere Kraft ist keine Spitzenkraft.

Umstellen

Geschwindigkeit aus dem Impuls

v = \frac{p}{m}

Bei gleichem Impuls ist der leichtere Körper schneller.

Kraftstoß

\overline{\vec F}_{\mathrm{net}}\,\Delta t=\Delta\vec p

Gilt für die mittlere resultierende Kraft über $\Delta{}t >0$ ; bei unveränderter Impulsänderung senkt eine längere Dauer ihren Betrag, bestimmt aber nicht die Spitzenkraft.

Aufgabenvariante

Ein Körper hat $p =\frac{ 15 kg\cdot{}m}{s}$ bei $m = 3 kg$ . Bestimme v.

$v=\frac pm=\frac{15}{3}\,\mathrm{m\,s^{-1}}=5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .

Ein Ball ändert seinen Impuls um $\frac{10 kg\cdot{}m}{s}$ in 0,05 s. Welche mittlere Kraft wirkt?

$\overline F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{10}{0{,}05}\,\mathrm N=200\,\mathrm N$ .

Typische Fehler

Impuls mit kinetischer Energie verwechseln.

$p = m\cdot{}v$ ist linear in v und vektoriell; $E_{\mathrm{kin}} = \frac{1}{2}mv^{2}$ ist quadratisch und skalar.

Vorzeichen bei entgegengesetzten Bewegungen ignorieren.

Eine Richtung als positiv festlegen und Gegenrichtung negativ einsetzen.

Die Einheit als Newton angeben.

Impuls hat $\frac{kg\cdot{}m}{s} (= N\cdot{}s)$ ; Newton ist die Einheit der Kraft.

Klausurkontext

Grundbaustein für Stoßaufgaben und Kraftstoß-Betrachtungen (Aufprallkräfte, Airbag), oft mit Impulserhaltung kombiniert.

Formelcluster

Impuls und Stoß

Impulsdefinition, Erhaltungssatz und Newtons Gesetze bilden eine Einheit.

p_vor = p_nach

Impulserhaltungssatz

ΣF_ext = F_res = ma

Newtons zweites Gesetz (resultierende Kraft)

Ekin = ½mv²

Kinetische Energie

Rechenbeispiel

Ein Fußball $(m = 0{,}43 kg)$ fliegt mit $v =\frac{ 25 m}{s}$ : $p = 0{,}43 \times{} 25 \approx{}\frac{ 10{,}8 kg\cdot{}m}{s}$ .

Anwendungsgebiete

Crashtest-Auswertung, Airbag-Auslegung, Raketenantrieb (Rückstoß), Ballsport-Analyse

Rechenbeispiel: Impuls

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Impuls (p = m·v).

1
Aufgabe
Ein Körper hat $p =\frac{ 15 kg\cdot{}m}{s}$ bei $m = 3 kg$ . Bestimme v.
Rechenweg
$v=\frac pm=\frac{15}{3}\,\mathrm{m\,s^{-1}}=5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .
2
Aufgabe
Ein Ball ändert seinen Impuls um $\frac{10 kg\cdot{}m}{s}$ in 0,05 s. Welche mittlere Kraft wirkt?
Rechenweg
$\overline F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{10}{0{,}05}\,\mathrm N=200\,\mathrm N$ .

Die Formel verstehen und anwenden

Ein schwerer Wagen und ein leichter Ball können gleich schnell sein und trotzdem sehr unterschiedlich auf einen Kraftstoß reagieren. Der Impuls verbindet Masse, Geschwindigkeit und Bewegungsrichtung. Mit ihm lässt sich beschreiben, was sich beim Abbremsen, Umlenken oder Zurückprallen ändert.

Impuls berechnen: Formelzeichen, Betrag und Richtung

Das Formelzeichen des Impulses ist p; als Vektor schreiben wir $\vec p$ . Der Impuls beantwortet zunächst eine Zustandsfrage: Welche gerichtete Bewegungsgröße hat dieser Körper jetzt? Im klassischen Modell definieren wir $\vec p=m\vec v$ . Bei gleicher Geschwindigkeit besitzt die doppelte Masse den doppelten Impuls; bei gleicher Masse verdoppelt eine doppelte Geschwindigkeit den Impuls. Für eine positive Masse zeigen Impuls und Geschwindigkeit in dieselbe Richtung. Die Angaben gelten immer relativ zu einem festgelegten Bezugssystem.[1][3]

\begin{aligned}&\vec p=m\vec v\\&p_x=mv_x\\&p_y=mv_y\\&p_z=mv_z\end{aligned}

Der Betrag ist $|\vec p|=m|\vec v|$ . In einer Dimension bezeichnet p_x dagegen eine vorzeichenbehaftete Komponente.

Eine positive x-Achse nach rechts bedeutet: Bewegung nach rechts liefert p_x > 0, Bewegung nach links p_x < 0. Ein Körper kann seinen Impuls ändern, obwohl sein Geschwindigkeitsbetrag gleich bleibt, etwa beim Umkehren. Auch eine Kreisbewegung mit konstantem Tempo hat einen sich ändernden Impulsvektor.

Bei einem ausgedehnten Körper addierst du die Impulse seiner Teile. Der Gesamtimpuls ist $\vec P=M\vec v_{\mathrm{CM}}$ , mit Gesamtmasse $M$ und Schwerpunktgeschwindigkeit. Eine Drehung um einen ruhenden Schwerpunkt kann trotzdem vorhandene Teilimpulse haben, deren Vektorsumme null ist. Für die Drehbewegung gibt es zusätzlich den Drehimpuls; er wird hier nicht mit dem linearen Impuls gleichgesetzt.[3]

Impulsänderung: Anfang und Ende vergleichen

Ein Impuls ist noch keine Kraft. Eine Kraft verändert den Impuls während einer Zeitspanne. Deshalb brauchst du für eine Änderung zwei Zustände und bildest Endimpuls minus Anfangsimpuls. Wähle die Achse vor der Rechnung; ein Minuszeichen bezeichnet die Gegenrichtung und nicht einen „negativen Bewegungsbetrag“.[2]

\begin{aligned}\Delta\vec p&=\vec p_2-\vec p_1\\\Delta\vec p&=m(\vec v_2-\vec v_1)\quad(m=\mathrm{const.})\end{aligned}

Die zweite Zeile setzt denselben Körper mit unveränderter Masse voraus.[2]

Bleibt ein Ball mit gleichem Tempo in der Gegenrichtung unterwegs, ist seine Energie wieder gleich groß, sein Impuls aber umgekehrt. Beim Abbremsen bis zum Stillstand verschwindet der Endimpuls. Beim Zurückprallen muss zusätzlich Impuls in die andere Richtung aufgebaut werden. Deshalb ist die Impulsänderung beim Richtungswechsel größer als beim bloßen Anhalten mit derselben Anfangsgeschwindigkeit.[1][4]

Welche Einheit hat der Impuls? Komponenten und Umstellungen

Die SI-Einheit des Impulses ist $\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$ , gleichwertig zu $\mathrm{N\,s}$ : Kilogramm mal Meter pro Sekunde beziehungsweise Newtonsekunde. $\mathrm N$ allein ist die Einheit einer Kraft. $\mathrm{N\,m}$ gehört dagegen zu Arbeit beziehungsweise Energie oder zum Drehmoment, nicht zum linearen Impuls.[1][2]

\begin{aligned}&1\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}=1\,\mathrm{N\,s}\\&\vec v=\frac{\vec p}{m}\\&|\vec p|=\sqrt{p_x^2+p_y^2+p_z^2}\end{aligned}

Die Geschwindigkeitsumstellung verlangt m > 0. Newtonsekunde ist Impuls, Newtonmeter ist dagegen eine andere Einheit.

Gramm in Kilogramm und km/h in m/s umrechnen. Für 120 g und 36 km/h gilt m = 0,120 kg, v = 10 m/s und damit |p⃗| = 1,20 kg·m/s. Die Richtung muss separat angegeben werden. Aus $m=\frac{p_x}{v_x}$ erhältst du nur dann eine sinnvolle Masse, wenn v_x ≠ 0 und beide Komponenten zum selben Zustand gehören.

Bei fester Masse ist jede Impulskomponente linear in der zugehörigen Geschwindigkeitskomponente. Im normierten Diagramm liegen $\frac{p_x}{mv_0}$ und $\frac{v_x}{v_0}$ deshalb auf derselben Geraden mit Steigung eins. Negative Werte gehören zu derselben Beziehung, sofern das Bezugssystem unverändert bleibt.

Was unterscheidet Impuls und Kraftstoß?

Der Impuls beschreibt einen Bewegungszustand; der Kraftstoß beschreibt die Impulsänderung durch die resultierende Kraft über eine Zeitspanne. Für einen Körper mit konstanter Masse im Inertialsystem ergibt das Ableiten der Definition $\frac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt}=m\frac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt}=m\vec a$ . Newtons zweites Gesetz setzt diesen Ausdruck gleich der resultierenden Kraft. Die Impulsdefinition allein beweist das Kraftgesetz nicht; sie macht dessen Zusammenhang mit der Bewegungsänderung sichtbar.[2]

\begin{aligned}\frac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt}&=m\frac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt}\\&=m\vec a=\vec F_{\mathrm{net}}\end{aligned}

Bei konstanter Masse wird Newtons Kraftgesetz in der Sprache des Impulses geschrieben.[2]

\begin{aligned}&\vec F_{\mathrm{net}}=\frac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt}\\&\vec J=\int_{t_1}^{t_2}\vec F_{\mathrm{net}}(t)\,\mathrm dt=\vec p_2-\vec p_1\end{aligned}

J⃗ bezeichnet hier den Kraftstoß, nicht die Einheit Joule. Im Kraft-Zeit-Diagramm ist seine Komponente die vorzeichenbehaftete Fläche.[2]

$\vec F\Delta t$ darfst du nur für eine konstante Kraft oder für die zeitlich gemittelte resultierende Kraft verwenden. Bei festem $\Delta\vec p$ verringert längere Wechselwirkungszeit den Betrag dieser mittleren Kraft. Daraus folgt keine eindeutige Spitzenkraft: Unterschiedliche Kurven können dieselbe Fläche haben. Bei Schutzsystemen gehören außerdem Weg, Belastungsverlauf und Energieaufnahme zur Beurteilung.[2]

Gleiche Impulsänderung, unterschiedliche Kraftverläufe

Ein Kraft-Zeit-Diagramm macht sichtbar, was die mittlere Kraft verbirgt. Die horizontale Achse ist Zeit, die vertikale Achse eine signierte Komponente der resultierenden Kraft. Flächen oberhalb der Achse zählen positiv, darunter negativ. Ein hoher kurzer Kraftpuls und ein niedriger längerer Puls können dieselbe Fläche und damit dieselbe Impulsänderung erzeugen.[2]

Rechteckpuls und Dreieckpuls vergleichen

Gegeben: Ein Körper erfährt nach rechts entweder konstant 50 N für 0,040 s oder einen dreieckigen Kraftpuls gleicher Dauer: von null linear auf 100 N und wieder auf null. Die Masse bleibt konstant.
Gesucht: Vergleiche Kraftstoß, mittlere Kraft und Spitzenkraft.

Ansatz: Der Kraftstoß ist jeweils die Fläche unter der resultierenden Kraftkomponente.
$J_{\mathrm{rect}}=F\Delta t,\qquad J_{\mathrm{tri}}=\frac12F_{\mathrm{peak}}\Delta t$
Die rechteckige Fläche berechnen; für das Dreieck den Faktor ein Halb berücksichtigen.
$\begin{aligned}J_{\mathrm{rect}}&=(50\,\mathrm N)(0.040\,\mathrm s)=2.0\,\mathrm{N\,s}\\J_{\mathrm{tri}}&=\frac12(100\,\mathrm N)(0.040\,\mathrm s)=2.0\,\mathrm{N\,s}\\\overline F&=\frac{2.0\,\mathrm{N\,s}}{0.040\,\mathrm s}=50\,\mathrm N\end{aligned}$

Ergebnis: Beide Verläufe liefern +2,0 N·s und dieselbe mittlere Kraft von +50 N. Ihre Spitzen unterscheiden sich: 50 N beziehungsweise 100 N.

Kontrolle: Kontrolle: Die mittlere Kraft des symmetrischen Dreiecks ist halb so groß wie seine Spitze. Die gleiche Impulsänderung legt die Spitzenkraft daher nicht fest.

Gleicher Kraftstoß, verschiedene Spitzen

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Beide Verläufe übertragen im Intervall von 0 bis 0,04 s einen Kraftstoß von 2 N·s nach rechts. Die Flächen unter den Kurven sind gleich: 50 N mal 0,04 s beim Rechteck und ein Halb mal 100 N mal 0,04 s beim Dreieck. Die gemeinsame mittlere Kraft ist 50 N.[2]

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Zwei Beispiele mit Richtungen

Ein Impulsvektor in der Ebene

Gegeben: Masse m = 0,36 kg; Geschwindigkeit v⃗ = (3; 4) m/s in einem festen kartesischen Bezugssystem.
Gesucht: Berechne beide Impulskomponenten, Betrag und Richtung.

Ansatz: Im klassischen Modell ist $\vec p=m\vec v$ ; die Komponenten und der Vektorbetrag werden im selben Bezugssystem berechnet. Jede Komponente mit derselben Masse multiplizieren.
$\vec p=(0.36\cdot3,\;0.36\cdot4)=(1.08,\;1.44)\,\mathrm{kg\,m/s}$
Den Vektorbetrag über die Quadratsumme bestimmen.
$|\vec p|=\sqrt{1.08^2+1.44^2}=1.80\,\mathrm{kg\,m/s}$
Beide Komponenten sind positiv; den Winkel vom positiven x-Strahl berechnen.
$\theta=\arctan(\frac{1.44}{1.08})\approx53.13^\circ$

Ergebnis: p⃗ = (1,08; 1,44) kg·m/s; Betrag 1,80 kg·m/s, Richtung etwa 53,1° über der positiven x-Achse.

Kontrolle: Die Geschwindigkeit hat Betrag $5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ . $m|\vec v|=0{,}36\cdot5\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}=1{,}80\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$ bestätigt den Betrag. Der Impulswinkel ist derselbe wie der Geschwindigkeitswinkel.

Ein Ball kehrt seine Richtung um

Gegeben: m = 0,25 kg; v₁ = −8 m/s, v₂ = +6 m/s; Kontaktzeit 0,020 s. Die Werte beschreiben dasselbe Bezugssystem und dieselbe Achse.
Gesucht: Bestimme Impulsänderung und mittlere resultierende Kraft während des Kontakts.

Ansatz: Die Impulsbilanz lautet $J_x=\Delta p_x=m(v_2-v_1)$ ; die mittlere resultierende Kraft ist $\overline F_x=\frac{J_x}{\Delta t}$ . Vorzeichenbehaftete Anfangs- und Endimpulse berechnen.
$\begin{aligned}p_1&=-2.00\,\mathrm{kg\,m/s}\\{} p_2&=+1.50\,\mathrm{kg\,m/s}\end{aligned}$
Endimpuls minus Anfangsimpuls bilden.
$\Delta p=1.50-(-2.00)=+3.50\,\mathrm{N\,s}$
Durch die Kontaktzeit teilen.
$\overline F_{\mathrm{net},x}=\frac{3.50}{0.020}=+175\,\mathrm N$

Ergebnis: Der Kraftstoß beträgt +3,50 N·s; die mittlere resultierende Kraft wirkt mit 175 N nach rechts.

Kontrolle: $\Delta v=+14\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ und $m\Delta v=3{,}50\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$ bestätigen das Resultat. Die bloße Differenz der Geschwindigkeitsbeträge 6 − 8 beschreibt den Richtungswechsel falsch. Die Kontaktkraft einer Wand allein ist nur dann gleich der resultierenden Kraft, wenn weitere x-Kräfte vernachlässigbar sind.

Warum Impuls keine Energie ist

E_{\mathrm{kin}}=\frac{|\vec p|^2}{2m},\qquad m>0

Diese Beziehung gilt klassisch und für denselben Körper im selben Bezugssystem.[4]

Zwei Körper mit je 1 kg und Geschwindigkeiten +4 und −4 m/s haben insgesamt Impuls null. Ihre kinetischen Energien sind jedoch je 8 J, zusammen 16 J. Die Impulsbeträge dürfen beim Addieren des Gesamtimpulses nicht zusammengezählt werden. Energie ist ein Skalar; ihre Summe wird nicht durch entgegengesetzte Richtungen aufgehoben.

Bei gleichem Impulsbetrag hat ein Körper mit halber Masse die doppelte kinetische Energie. Gleicher Impuls bedeutet deshalb weder gleiche Energie noch gleiche Bremskraft. Letztere hängt zusätzlich von Dauer und Verlauf der Impulsänderung ab.

Bezugssysteme und Systemgrenzen

\begin{aligned}&\vec v\,^{\prime}=\vec v-\vec u\\&\vec p\,^{\prime}=\vec p-m\vec u\end{aligned}

u⃗ ist die konstante Geschwindigkeit des zweiten Inertialsystems relativ zum ersten.[9]

Ein 2-kg-Paket bewegt sich im Bodenbezug mit +5 m/s: $p=+10\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$ . In einem Wagenbezug, der sich mit +3 m/s bewegt, hat es $v^{\prime}=+2\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ und $p^{\prime}=+4\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$ . Beide Angaben sind richtig für ihr Bezugssystem. Bei einem konstanten Rahmenwechsel bleibt Δp gleich, sofern die Masse desselben Körpers konstant bleibt.

Ein einzelner Ball bewahrt seinen Impuls beim Wandkontakt nicht. Für die Impulserhaltung brauchst du ein System und eine Bilanz seines äußeren Kraftstoßes. Nimmst du Ball, Wand und Erde zusammen, sind die Kontaktkräfte zwischen ihnen innere Kräfte. Die große Erdmasse kann eine äußerst kleine Geschwindigkeitsänderung haben und dabei den fehlenden Impuls aufnehmen.[5]

Wo $p=mv$ ergänzt werden muss

Für eine Rakete oder einen Materialstrom ist die Masse innerhalb der gewählten Systemgrenze veränderlich. Eine unbedachte Verwendung von F = ma oder der Ableitung eines wechselnden Teilbestands übersieht den Impuls, der mit austretender oder eintretender Masse transportiert wird. Wähle ein geschlossenes Gesamtsystem oder ergänze die Impulsstrombilanz.[6]

\begin{aligned}\vec p&=\gamma m\vec v\\{} \gamma&=\frac1{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{aligned}

Für ein massives Punktteilchen bei relativistischen Geschwindigkeiten ist dieser Ausdruck nötig; m bezeichnet die Ruhemasse.[7]

Wenn v gegenüber c klein ist, liegt γ nahe bei eins und die klassische Definition ist die passende Näherung. Für Licht kannst du m = 0 nicht in $p=mv$ einsetzen und daraus Impuls null schließen. Photonen besitzen Impuls; ihr Zusammenhang mit Energie lautet $p=\frac Ec$ .[7][8]

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Eine Masse von 150 g bewegt sich mit −12 m/s. Bestimme p_x und seinen Betrag.

Hinweis anzeigen

Erst Masse umrechnen, dann das Vorzeichen beibehalten.

Lernziel: Signierte Impulskomponente und Impulsbetrag getrennt bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

$m=0{,}150\,\mathrm{kg}$ ; $p_x=mv_x=-1{,}80\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$ ; der Betrag ist 1,80 kg·m/s.

p_x=-1.80\,\mathrm{kg\,m/s}

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Ein 3-kg-Körper hat p⃗ = (−6; 9) kg·m/s. Bestimme seine Geschwindigkeit.

Hinweis anzeigen

Jede Komponente nach $v_i=\frac{p_i}{m}$ durch dieselbe Masse teilen.

Lernziel: Geschwindigkeitskomponenten aus einem Impulsvektor rekonstruieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

$\vec v=\frac{\vec p}{m}=(-2;3)\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .
Der Geschwindigkeitsbetrag ist $\begin{aligned}|\vec v|&=\sqrt{(-2)^2+3^2}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\\{}&=\sqrt{13}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\approx3{,}606\,\mathrm{m\,s^{-1}}\text{.}\end{aligned}$

\vec v=(-2,3)\,\mathrm{m/s}

Transfer · Anwenden

Ein konstanter resultierender Kraftbetrag von 15 N wirkt 0,40 s nach rechts auf einen 2-kg-Körper, der anfangs mit −1 m/s fährt. Bestimme die Endgeschwindigkeit.

Hinweis anzeigen

$J=F\Delta t$ zum vorzeichenbehafteten Anfangsimpuls addieren.

Lernziel: Einen gerichteten Kraftstoß mit einer vorhandenen Anfangsgeschwindigkeit verbinden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

$p_1=-2\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$ , $J=+6\,\mathrm{N\,s}$ , $p_2=p_1+J=+4\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$ .
Daher $v_2=\frac{p_2}{m}=+2\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .

v_2=+2\,\mathrm{m/s}

Interpretieren · Anwenden

Ein klassischer Körper von 2 kg bewegt sich in System S mit +5 m/s. Ein zweites Inertialsystem S′ bewegt sich relativ zu S mit +3 m/s in derselben Richtung. Berechne den Impuls in beiden Systemen. Ein Diagramm zeigt dafür zwei unterschiedliche Pfeillängen. Verletzt dieser Unterschied die Physik?

Hinweis anzeigen

Transformiere zuerst die Geschwindigkeit mit der Galilei-Transformation. Vergleiche nicht ungeprüft Impulse aus verschiedenen Bezugssystemen.

Lernziel: Impuls als vom Inertialsystem abhängige gerichtete Größe einordnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: In jedem Bezugssystem die dortige Geschwindigkeit mit derselben Masse multiplizieren.
In S sind es +10 kg·m/s, in S′ +4 kg·m/s.
Der Unterschied ist erwartbar: Impuls ist bezugssystemabhängig.

Kontrolle: Die Differenz beträgt Masse mal Relativgeschwindigkeit, hier 6 kg·m/s. Eine Erhaltungsbilanz muss jeweils vollständig in einem festen Inertialsystem aufgestellt werden.

\begin{aligned}v'&=v-u=5-3=2\,\mathrm{m/s}\\p&=mv=+10\,\mathrm{kg\,m/s}\\p'&=mv'=+4\,\mathrm{kg\,m/s}\\p-p'&=mu=6\,\mathrm{kg\,m/s}\end{aligned}

[1][9]

Fehleranalyse · Anwenden

Zwei getrennte Körper von je 0,40 kg haben im gleichen Inertialsystem Geschwindigkeiten +3 m/s und −3 m/s. Eine Lösung behauptet: „Gesamtimpuls null, also sind beide in Ruhe und die gesamte kinetische Energie ist null.“ Prüfe beide Schlussfolgerungen mit den einzelnen Impulsen und Energien. Es findet kein Stoß statt.

Hinweis anzeigen

Impuls wird mit Vorzeichen addiert. Kinetische Energie enthält das Quadrat der Geschwindigkeit und ist für jeden bewegten Körper positiv.

Lernziel: Null Gesamtimpuls von fehlender Bewegung oder kinetischer Energie unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Erst die beiden gerichteten Impulse addieren, dann die beiden skalaren Energien.
Die Impulse +1,2 und −1,2 kg·m/s ergeben tatsächlich null.
Jeder Körper besitzt aber 1,8 J; zusammen sind es 3,6 J.
Beide Schlussfolgerungen sind falsch.

Kontrolle: Das System hat ruhenden Schwerpunkt und gleichzeitig innere Bewegung; diese beiden Aussagen widersprechen einander nicht.

\begin{aligned}p_1&=+1.2\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\\{}p_2&=-1.2\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\\{}P&=p_1+p_2=0\\{}E_{\mathrm{tot}}&=2\left(\frac12\cdot0.40\cdot3^2\right)\,\mathrm J=3.6\,\mathrm J\end{aligned}

[1][4][3]

Das solltest du mitnehmen

Lege zuerst Körper, Bezugssystem und positive Richtung fest. Berechne Impuls komponentenweise, eine Änderung immer als Ende minus Anfang. Eine Kraft-Zeit-Fläche liefert den Kraftstoß, nicht Arbeit. Gleiche Gesamtimpulse können verschiedene Bewegungen und Energien beschreiben; die mittlere Kraft verrät keine Spitzenkraft.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 1. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

1. Oktober 2026Formelzeichen und SI-Einheit des Impulses direkt erklärt und Kraftstoß gegenüber Bewegungszustand abgegrenzt; Newtons Gesetz, kinetische Energie und Impulserhaltung in den vorhandenen Erklärabsätzen verlinkt.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Einstieg und Lernverlauf überarbeitet; erklärende Zwischenschritte, ein zusätzliches Anwendungsbeispiel und eine Zusammenfassung ergänzt. Bestehende Beispiele und fünf Aufgaben erhalten.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Impuls. Stand 1. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/impuls

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Impuls

Wie berechnet man den Impuls eines Körpers?+

Multipliziere die Masse in Kilogramm mit der Geschwindigkeit in Meter pro Sekunde: $p = m\cdot{}v$ , die Einheit ist $\frac{kg\cdot{}m}{s}$ . Ein Fußball von 0,43 kg mit $v =\frac{ 25 m}{s}$ hat $p = 0{,}43 \times{} 25 \approx{}\frac{ 10{,}8 kg\cdot{}m}{s}$ . Wichtig: Der Impuls ist ein Vektor — er zeigt in die Bewegungsrichtung, und bei Aufgaben mit Gegenverkehr brauchen die beiden Richtungen entgegengesetzte Vorzeichen. Anders als bei der kinetischen Energie geht die Geschwindigkeit nur linear ein: Ein doppelt so schneller Ball hat den doppelten Impuls, aber die vierfache Energie. Rechne $\frac{km}{h}$ vor dem Einsetzen in $\frac{m}{s}$ um (durch 3,6 teilen), sonst stimmt die Einheit nicht.

Was ist der Unterschied zwischen Impuls und kinetischer Energie?+

Impuls p⃗ = mv⃗ ist ein Vektor; kinetische Energie $E_{\mathrm{kin}}=\frac12mv^2$ ist ein Skalar. Bei gleicher Masse wächst der Impulsbetrag linear mit dem Tempo, die Energie quadratisch. Zwei gleich schwere Körper mit entgegengesetzten Geschwindigkeiten können Gesamtimpuls null und trotzdem positive Gesamtenergie haben. Bei Stößen bleibt der Gesamtimpuls des gewählten Systems nur erhalten, wenn dessen äußerer Kraftstoß verschwindet oder vernachlässigbar ist. Die kinetische Energie bleibt zusätzlich nur beim elastischen Stoß erhalten. Haften zwei gleiche Massen mit gleichen entgegengesetzten Geschwindigkeiten danach zusammen, stehen sie in diesem Bezugssystem still. Ihre frühere Bewegungsenergie wird beispielsweise in innere Energie und Verformung umgewandelt, nicht vernichtet.

Was ist der Kraftstoß und was hat er mit dem Impuls zu tun?+

Der Kraftstoß ist das Zeitintegral der resultierenden Kraft: J⃗ = ∫F⃗net $dt = \Delta{}p$ ⃗. F⃗Δt ist dieselbe Beziehung für konstante Kraft oder die zeitlich gemittelte resultierende Kraft. Im Kraft-Zeit-Diagramm entspricht eine Komponente der vorzeichenbehafteten Fläche. Bei derselben Impulsänderung verringert eine längere Einwirkzeit die mittlere Kraft, bestimmt aber nicht ihre Spitze. Für $\Delta{}p = 10 N\cdot{}s$ ergeben 0,05 s im Mittel 200 N, während 0,5 s im Mittel 20 N ergeben. Das erklärt einen Teil der Wirkung längerer Abbremsvorgänge. Für Belastung und Schutzwirkung brauchst du zusätzlich den tatsächlichen Kraftverlauf, den Weg und die Energieaufnahme.

Warum ist der Impuls ein Vektor und warum ist das wichtig?+

Weil die Geschwindigkeit eine Richtung hat, erbt der Impuls $p = m\cdot{}v$ diese Richtung. Praktisch heißt das: Bei allen Aufgaben legst du zuerst eine positive Richtung fest und gibst Bewegungen dagegen ein negatives Vorzeichen. Ein Auto mit $p = +\frac{20\,000 kg\cdot{}m}{s}$ und ein entgegenkommendes mit $p = -\frac{15\,000 kg\cdot{}m}{s}$ haben zusammen $+\frac{5\,000 kg\cdot{}m}{s}$ , nicht 35.000. Auch bei Richtungsumkehr zählt der Vektor: Prallt ein Ball $(m = 0{,}5 kg)$ mit $\frac{10 m}{s}$ auf eine Wand und kommt mit $\frac{8 m}{s}$ zurück, ist $\Delta{}p = 0{,}5\cdot{}(-8 - 10) = -\frac{9 kg\cdot{}m}{s}$ — die Beträge addieren sich. Wer hier nur Beträge subtrahiert, unterschätzt die Impulsänderung und damit die Kraft deutlich.

Welche Einheit hat der Impuls und wie prüft man sie?+

Die SI-Einheit des Impulses ist Kilogramm mal Meter pro Sekunde. Sie entspricht der Newtonsekunde, denn $1\,\mathrm N=1\,\mathrm{kg\,m\,s^{-2}}$ . Die Form $\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$ passt zu $\vec p=m\vec v$ ; $\mathrm{N\,s}$ passt zur Kraftstoßbilanz. Eine Einheitenkontrolle hilft beim Unterscheiden: Joule gehört zur Energie, Newton zur Kraft. Andere konsistente Einheiten sind ebenfalls zulässig. Vor einem Zahlenvergleich musst du die Impulse jedoch in dieselbe Einheit umrechnen und dasselbe Bezugssystem verwenden. Gramm oder Kilometer pro Stunde verursachen Fehler, wenn ihre Zahlen ohne Umrechnung als Kilogramm oder Meter pro Sekunde eingesetzt werden. Beispielsweise ergeben 100 g bei $\frac{36 km}{h}$ nach Umrechnung $p=1\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$ .

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Wie stellst du p = m·v nach Geschwindigkeit aus dem Impuls um?

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Welcher typische Fehler passiert bei p = m·v?

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Vol. 1, §9.1 Linear Momentum

Weitere Formeln: Mechanik

F_G = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}

Newtonsches Gravitationsgesetz

E_{pot} = m \cdot g \cdot h

Potentielle Energie (Lagehöhe)

F = k \cdot x

Hookesches Gesetz (Federkraft)

s = \frac{1}{2} a t^2 + v_0 t

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Weg-Zeit-Gesetz)

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Impuls: gerichtete Bewegungsgröße

Der klassische Impuls ist Masse mal gerichtete Geschwindigkeit im gewählten Bezugssystem; in einer Dimension sind die Komponenten vorzeichenbehaftet.

GrundlegendPrüfungsrelevantSekundarstufe IIUni/Hochschule

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Symbol

Bedeutung

Einheit

p

Impulsvektor; in 1D die vorzeichenbehaftete Komponente

kg·m/s

m

Masse des betrachteten Körpers

v

Gerichtete Geschwindigkeit im festgelegten Bezugssystem

m/s

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

p⃗ = mv⃗ gilt klassisch für langsame Bewegung gegenüber c. Kraftstoßbeziehung für feste Auswahl von Materie im Inertialsystem; offene Systeme brauchen eine Impulsstrombilanz.

Herleitung in Schritten

Die klassische Impulsdefinition verbindet gerichtete Bewegung mit dem Kraftstoß.

1Lege Körper, Inertialsystem und positive Achsenrichtungen fest.
2Definiere den klassischen Impulsvektor als p⃗ = mv⃗; Komponenten erfüllen p_x = mv_x usw.
3Bei konstanter Masse folgt durch Ableiten dp⃗/dt = m dv⃗/dt = m a⃗.
4Mit Newtons zweitem Gesetz ist m a⃗ gleich der resultierenden Kraft; die Definition allein beweist dieses Naturgesetz nicht.
5Integriere über die Einwirkzeit: Δp⃗ = ∫F⃗net dt. Anfangs- und Endimpuls brauchen dasselbe Bezugssystem.
6Für konstante oder zeitlich gemittelte resultierende Kraft wird daraus Δp⃗ = F⃗mittelΔt; die mittlere Kraft ist keine Spitzenkraft.

Rechenbeispiel: Impuls

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Impuls (p = m·v).

Aufgabe

Ein Körper hat $p =\frac{ 15 kg\cdot{}m}{s}$ bei $m = 3 kg$ . Bestimme v.

Rechenweg

$v=\frac pm=\frac{15}{3}\,\mathrm{m\,s^{-1}}=5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .

Aufgabe

Ein Ball ändert seinen Impuls um $\frac{10 kg\cdot{}m}{s}$ in 0,05 s. Welche mittlere Kraft wirkt?

Rechenweg

$\overline F=\frac{\Delta p}{\Delta t}=\frac{10}{0{,}05}\,\mathrm N=200\,\mathrm N$ .

Impuls berechnen: Formelzeichen, Betrag und Richtung

\begin{aligned}&\vec p=m\vec v\\&p_x=mv_x\\&p_y=mv_y\\&p_z=mv_z\end{aligned}

Der Betrag ist $|\vec p|=m|\vec v|$ . In einer Dimension bezeichnet p_x dagegen eine vorzeichenbehaftete Komponente.

Impulsänderung: Anfang und Ende vergleichen

\begin{aligned}\Delta\vec p&=\vec p_2-\vec p_1\\\Delta\vec p&=m(\vec v_2-\vec v_1)\quad(m=\mathrm{const.})\end{aligned}

Die zweite Zeile setzt denselben Körper mit unveränderter Masse voraus.[2]

Welche Einheit hat der Impuls? Komponenten und Umstellungen

\begin{aligned}&1\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}=1\,\mathrm{N\,s}\\&\vec v=\frac{\vec p}{m}\\&|\vec p|=\sqrt{p_x^2+p_y^2+p_z^2}\end{aligned}

Die Geschwindigkeitsumstellung verlangt m > 0. Newtonsekunde ist Impuls, Newtonmeter ist dagegen eine andere Einheit.

Was unterscheidet Impuls und Kraftstoß?

\begin{aligned}\frac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt}&=m\frac{\mathrm d\vec v}{\mathrm dt}\\&=m\vec a=\vec F_{\mathrm{net}}\end{aligned}

Bei konstanter Masse wird Newtons Kraftgesetz in der Sprache des Impulses geschrieben.[2]

\begin{aligned}&\vec F_{\mathrm{net}}=\frac{\mathrm d\vec p}{\mathrm dt}\\&\vec J=\int_{t_1}^{t_2}\vec F_{\mathrm{net}}(t)\,\mathrm dt=\vec p_2-\vec p_1\end{aligned}

J⃗ bezeichnet hier den Kraftstoß, nicht die Einheit Joule. Im Kraft-Zeit-Diagramm ist seine Komponente die vorzeichenbehaftete Fläche.[2]

Gleiche Impulsänderung, unterschiedliche Kraftverläufe

Rechteckpuls und Dreieckpuls vergleichen

Gegeben: Ein Körper erfährt nach rechts entweder konstant 50 N für 0,040 s oder einen dreieckigen Kraftpuls gleicher Dauer: von null linear auf 100 N und wieder auf null. Die Masse bleibt konstant.
Gesucht: Vergleiche Kraftstoß, mittlere Kraft und Spitzenkraft.

Ansatz: Der Kraftstoß ist jeweils die Fläche unter der resultierenden Kraftkomponente.
$J_{\mathrm{rect}}=F\Delta t,\qquad J_{\mathrm{tri}}=\frac12F_{\mathrm{peak}}\Delta t$
Die rechteckige Fläche berechnen; für das Dreieck den Faktor ein Halb berücksichtigen.
$\begin{aligned}J_{\mathrm{rect}}&=(50\,\mathrm N)(0.040\,\mathrm s)=2.0\,\mathrm{N\,s}\\J_{\mathrm{tri}}&=\frac12(100\,\mathrm N)(0.040\,\mathrm s)=2.0\,\mathrm{N\,s}\\\overline F&=\frac{2.0\,\mathrm{N\,s}}{0.040\,\mathrm s}=50\,\mathrm N\end{aligned}$

Ergebnis: Beide Verläufe liefern +2,0 N·s und dieselbe mittlere Kraft von +50 N. Ihre Spitzen unterscheiden sich: 50 N beziehungsweise 100 N.

Kontrolle: Kontrolle: Die mittlere Kraft des symmetrischen Dreiecks ist halb so groß wie seine Spitze. Die gleiche Impulsänderung legt die Spitzenkraft daher nicht fest.

Gleicher Kraftstoß, verschiedene Spitzen

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Zwei Beispiele mit Richtungen

Ein Impulsvektor in der Ebene

Gegeben: Masse m = 0,36 kg; Geschwindigkeit v⃗ = (3; 4) m/s in einem festen kartesischen Bezugssystem.
Gesucht: Berechne beide Impulskomponenten, Betrag und Richtung.

Ansatz: Im klassischen Modell ist $\vec p=m\vec v$ ; die Komponenten und der Vektorbetrag werden im selben Bezugssystem berechnet. Jede Komponente mit derselben Masse multiplizieren.
$\vec p=(0.36\cdot3,\;0.36\cdot4)=(1.08,\;1.44)\,\mathrm{kg\,m/s}$
Den Vektorbetrag über die Quadratsumme bestimmen.
$|\vec p|=\sqrt{1.08^2+1.44^2}=1.80\,\mathrm{kg\,m/s}$
Beide Komponenten sind positiv; den Winkel vom positiven x-Strahl berechnen.
$\theta=\arctan(\frac{1.44}{1.08})\approx53.13^\circ$

Ergebnis: p⃗ = (1,08; 1,44) kg·m/s; Betrag 1,80 kg·m/s, Richtung etwa 53,1° über der positiven x-Achse.

Ein Ball kehrt seine Richtung um

Gegeben: m = 0,25 kg; v₁ = −8 m/s, v₂ = +6 m/s; Kontaktzeit 0,020 s. Die Werte beschreiben dasselbe Bezugssystem und dieselbe Achse.
Gesucht: Bestimme Impulsänderung und mittlere resultierende Kraft während des Kontakts.

Ansatz: Die Impulsbilanz lautet $J_x=\Delta p_x=m(v_2-v_1)$ ; die mittlere resultierende Kraft ist $\overline F_x=\frac{J_x}{\Delta t}$ . Vorzeichenbehaftete Anfangs- und Endimpulse berechnen.
$\begin{aligned}p_1&=-2.00\,\mathrm{kg\,m/s}\\{} p_2&=+1.50\,\mathrm{kg\,m/s}\end{aligned}$
Endimpuls minus Anfangsimpuls bilden.
$\Delta p=1.50-(-2.00)=+3.50\,\mathrm{N\,s}$
Durch die Kontaktzeit teilen.
$\overline F_{\mathrm{net},x}=\frac{3.50}{0.020}=+175\,\mathrm N$

Ergebnis: Der Kraftstoß beträgt +3,50 N·s; die mittlere resultierende Kraft wirkt mit 175 N nach rechts.

Warum Impuls keine Energie ist

E_{\mathrm{kin}}=\frac{|\vec p|^2}{2m},\qquad m>0

Diese Beziehung gilt klassisch und für denselben Körper im selben Bezugssystem.[4]

Bezugssysteme und Systemgrenzen

\begin{aligned}&\vec v\,^{\prime}=\vec v-\vec u\\&\vec p\,^{\prime}=\vec p-m\vec u\end{aligned}

u⃗ ist die konstante Geschwindigkeit des zweiten Inertialsystems relativ zum ersten.[9]

Wo $p=mv$ ergänzt werden muss

\begin{aligned}\vec p&=\gamma m\vec v\\{} \gamma&=\frac1{\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}}\end{aligned}

Für ein massives Punktteilchen bei relativistischen Geschwindigkeiten ist dieser Ausdruck nötig; m bezeichnet die Ruhemasse.[7]

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Eine Masse von 150 g bewegt sich mit −12 m/s. Bestimme p_x und seinen Betrag.

Hinweis anzeigen

Erst Masse umrechnen, dann das Vorzeichen beibehalten.

Lernziel: Signierte Impulskomponente und Impulsbetrag getrennt bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

$m=0{,}150\,\mathrm{kg}$ ; $p_x=mv_x=-1{,}80\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$ ; der Betrag ist 1,80 kg·m/s.

p_x=-1.80\,\mathrm{kg\,m/s}

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Ein 3-kg-Körper hat p⃗ = (−6; 9) kg·m/s. Bestimme seine Geschwindigkeit.

Hinweis anzeigen

Jede Komponente nach $v_i=\frac{p_i}{m}$ durch dieselbe Masse teilen.

Lernziel: Geschwindigkeitskomponenten aus einem Impulsvektor rekonstruieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

$\vec v=\frac{\vec p}{m}=(-2;3)\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .
Der Geschwindigkeitsbetrag ist $\begin{aligned}|\vec v|&=\sqrt{(-2)^2+3^2}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\\{}&=\sqrt{13}\,\mathrm{m\,s^{-1}}\approx3{,}606\,\mathrm{m\,s^{-1}}\text{.}\end{aligned}$

\vec v=(-2,3)\,\mathrm{m/s}

Transfer · Anwenden

Ein konstanter resultierender Kraftbetrag von 15 N wirkt 0,40 s nach rechts auf einen 2-kg-Körper, der anfangs mit −1 m/s fährt. Bestimme die Endgeschwindigkeit.

Hinweis anzeigen

$J=F\Delta t$ zum vorzeichenbehafteten Anfangsimpuls addieren.

Lernziel: Einen gerichteten Kraftstoß mit einer vorhandenen Anfangsgeschwindigkeit verbinden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

$p_1=-2\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$ , $J=+6\,\mathrm{N\,s}$ , $p_2=p_1+J=+4\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$ .
Daher $v_2=\frac{p_2}{m}=+2\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .

v_2=+2\,\mathrm{m/s}

Interpretieren · Anwenden

Ein klassischer Körper von 2 kg bewegt sich in System S mit +5 m/s. Ein zweites Inertialsystem S′ bewegt sich relativ zu S mit +3 m/s in derselben Richtung. Berechne den Impuls in beiden Systemen. Ein Diagramm zeigt dafür zwei unterschiedliche Pfeillängen. Verletzt dieser Unterschied die Physik?

Hinweis anzeigen

Transformiere zuerst die Geschwindigkeit mit der Galilei-Transformation. Vergleiche nicht ungeprüft Impulse aus verschiedenen Bezugssystemen.

Lernziel: Impuls als vom Inertialsystem abhängige gerichtete Größe einordnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: In jedem Bezugssystem die dortige Geschwindigkeit mit derselben Masse multiplizieren.
In S sind es +10 kg·m/s, in S′ +4 kg·m/s.
Der Unterschied ist erwartbar: Impuls ist bezugssystemabhängig.

Kontrolle: Die Differenz beträgt Masse mal Relativgeschwindigkeit, hier 6 kg·m/s. Eine Erhaltungsbilanz muss jeweils vollständig in einem festen Inertialsystem aufgestellt werden.

\begin{aligned}v'&=v-u=5-3=2\,\mathrm{m/s}\\p&=mv=+10\,\mathrm{kg\,m/s}\\p'&=mv'=+4\,\mathrm{kg\,m/s}\\p-p'&=mu=6\,\mathrm{kg\,m/s}\end{aligned}

[1][9]

Fehleranalyse · Anwenden

Zwei getrennte Körper von je 0,40 kg haben im gleichen Inertialsystem Geschwindigkeiten +3 m/s und −3 m/s. Eine Lösung behauptet: „Gesamtimpuls null, also sind beide in Ruhe und die gesamte kinetische Energie ist null.“ Prüfe beide Schlussfolgerungen mit den einzelnen Impulsen und Energien. Es findet kein Stoß statt.

Hinweis anzeigen

Impuls wird mit Vorzeichen addiert. Kinetische Energie enthält das Quadrat der Geschwindigkeit und ist für jeden bewegten Körper positiv.

Lernziel: Null Gesamtimpuls von fehlender Bewegung oder kinetischer Energie unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Erst die beiden gerichteten Impulse addieren, dann die beiden skalaren Energien.
Die Impulse +1,2 und −1,2 kg·m/s ergeben tatsächlich null.
Jeder Körper besitzt aber 1,8 J; zusammen sind es 3,6 J.
Beide Schlussfolgerungen sind falsch.

Kontrolle: Das System hat ruhenden Schwerpunkt und gleichzeitig innere Bewegung; diese beiden Aussagen widersprechen einander nicht.

\begin{aligned}p_1&=+1.2\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\\{}p_2&=-1.2\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\\{}P&=p_1+p_2=0\\{}E_{\mathrm{tot}}&=2\left(\frac12\cdot0.40\cdot3^2\right)\,\mathrm J=3.6\,\mathrm J\end{aligned}

[1][4][3]

Das solltest du mitnehmen

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 1. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

1. Oktober 2026Formelzeichen und SI-Einheit des Impulses direkt erklärt und Kraftstoß gegenüber Bewegungszustand abgegrenzt; Newtons Gesetz, kinetische Energie und Impulserhaltung in den vorhandenen Erklärabsätzen verlinkt.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Einstieg und Lernverlauf überarbeitet; erklärende Zwischenschritte, ein zusätzliches Anwendungsbeispiel und eine Zusammenfassung ergänzt. Bestehende Beispiele und fünf Aufgaben erhalten.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Impuls. Stand 1. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/impuls

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Impuls

Wie berechnet man den Impuls eines Körpers?+

Was ist der Unterschied zwischen Impuls und kinetischer Energie?+

Was ist der Kraftstoß und was hat er mit dem Impuls zu tun?+

Warum ist der Impuls ein Vektor und warum ist das wichtig?+

Welche Einheit hat der Impuls und wie prüft man sie?+

Impuls: gerichtete Bewegungsgröße

Variablen & Einheiten

Impuls berechnen

So rechnest du schneller

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Umstellen

Aufgabenvariante

Typische Fehler

Klausurkontext

Impuls und Stoß

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel: Impuls

Impuls berechnen: Formelzeichen, Betrag und Richtung

Impulsänderung: Anfang und Ende vergleichen

Welche Einheit hat der Impuls? Komponenten und Umstellungen

Was unterscheidet Impuls und Kraftstoß?

Gleiche Impulsänderung, unterschiedliche Kraftverläufe

Rechteckpuls und Dreieckpuls vergleichen

Gleicher Kraftstoß, verschiedene Spitzen

Zwei Beispiele mit Richtungen

Ein Impulsvektor in der Ebene

Ein Ball kehrt seine Richtung um

Warum Impuls keine Energie ist

Bezugssysteme und Systemgrenzen

Wo p=mvp=mvp=mv ergänzt werden muss

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Eine Masse von 150 g bewegt sich mit −12 m/s. Bestimme px und seinen Betrag.

Ein 3-kg-Körper hat p⃗ = (−6; 9) kg·m/s. Bestimme seine Geschwindigkeit.

Ein konstanter resultierender Kraftbetrag von 15 N wirkt 0,40 s nach rechts auf einen 2-kg-Körper, der anfangs mit −1 m/s fährt. Bestimme die Endgeschwindigkeit.

Das solltest du mitnehmen

Belege zu dieser Erklärung

Häufige Fragen: Impuls

Fachquellen und weiterführende Literatur

Verwandte Formeln

Weitere Formeln: Mechanik

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Impuls: gerichtete Bewegungsgröße

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Was unterscheidet Impuls und Kraftstoß?

Gleiche Impulsänderung, unterschiedliche Kraftverläufe

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Gleicher Kraftstoß, verschiedene Spitzen

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Ein Impulsvektor in der Ebene

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Warum Impuls keine Energie ist

Bezugssysteme und Systemgrenzen

Wo p=mvp=mvp=mv ergänzt werden muss

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Eine Masse von 150 g bewegt sich mit −12 m/s. Bestimme px und seinen Betrag.

Ein 3-kg-Körper hat p⃗ = (−6; 9) kg·m/s. Bestimme seine Geschwindigkeit.

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Wo $p=mv$ ergänzt werden muss

Eine Masse von 150 g bewegt sich mit −12 m/s. Bestimme p_x und seinen Betrag.

Wo $p=mv$ ergänzt werden muss

Eine Masse von 150 g bewegt sich mit −12 m/s. Bestimme p_x und seinen Betrag.