Physik · Mechanik

Impulserhaltung

Der Gesamtimpuls eines gewählten Systems bleibt erhalten, wenn der äußere Kraftstoß im betrachteten Zeitintervall null oder vernachlässigbar ist.

FortgeschrittenPrüfungsrelevantSekundarstufe IIUni/HochschuleBachelor-Grundlagen

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Formel

Berechnen

m_{1} v_{1} + m_{2} v_{2} = m_{1} v_{1}^{'} + m_{2} v_{2}^{'}

m in kg · v in m/s · Impulse in kg·m/s

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
m₁, m₂	Positive Massen der beiden Stoßpartner	kg
v₁, v₂	Vorzeichenbehaftete Geschwindigkeiten vor dem Stoß im selben Bezugssystem	m/s
v₁', v₂'	Vorzeichenbehaftete Geschwindigkeiten nach dem Stoß; Strich ist keine Ableitung	m/s

LaTeX

m_1 v_1 + m_2 v_2 = m_1 v_1' + m_2 v_2'

QUANTA STUDYquanta-study.de

Schema in zwei Zeilen: oben fährt der doppelt so breit gezeichnete Wagen m₁ = 2·m₂ mit v₁ auf den ruhenden Wagen m₂ zu, unten fährt m₁ mit v₁' = v₁/3 weiter und m₂ mit v₂' = 4/3·v₁ davon. — Elastischer Stoß mit m₁ = 2·m₂, die Geschwindigkeitspfeile sind maßstäblich: Der Gesamtimpuls ist vorher und nachher gleich, m₁v₁ + m₂v₂ = m₁v₁' + m₂v₂'.

Impulserhaltung beim unelastischen Stoß berechnen

Gemeinsame Geschwindigkeit nach einem Stoß ausrechnen, bei dem beide Körper zusammenbleiben und keine äußere Kraft in Stoßrichtung wirkt.

Erste Masse m₁

Masse des ersten Körpers, z. B. 200 g für einen Wagen auf der Luftkissenbahn.

Zweite Masse m₂

Masse des zweiten Körpers, z. B. 100 g.

Erste Anfangsgeschwindigkeit v₁

Geschwindigkeit des ersten Körpers vor dem Stoß, positiv in die gewählte Richtung, z. B. 0,6 m/s.

Zweite Anfangsgeschwindigkeit v₂

Geschwindigkeit des zweiten Körpers vor dem Stoß; kommt er entgegen, negativ, z. B. −0,3 m/s.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Ergebnis: Gemeinsame Endgeschwindigkeit v_e

v_e = 0,3 m/s

Mit m₁ = 200 g, m₂ = 100 g, v₁ = 0,6 m/s und v₂ = -0,3 m/s ergibt sich v_e = 0,3 m/s.

Rechenweg · umstellen nach vₑ, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach v_e umstellen
$v_f=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- m₁ = 200 g = 0,2 kg
- m₂ = 100 g = 0,1 kg
$v_f=\frac{0{,}2\cdot 0{,}6+0{,}1\cdot (-0{,}3)}{0{,}2+0{,}1}=0{,}3$
3. Ergebnis
v_e = 0,3 m/s

Impuls bleibt erhalten. Kinetische Energie bleibt bei diesem Stoßmodell im Allgemeinen nicht erhalten.

So rechnest du schneller

Gesamtimpuls durch Gesamtmasse: v = (m₁ · v₁ + m₂ · v₂) : (m₁ + m₂). Das Ergebnis liegt immer zwischen v₁ und v₂.
Gleich schwer und gleich schnell aufeinander zu: Danach stehen beide still. Bewegungsenergie geht dabei verloren, der Impuls nicht.

Annahmen und Grenzen

Zwei positive konstante Massen bleiben nach dem Stoß zusammen. Kein äußerer Impuls in der betrachteten Achse; alle Geschwindigkeiten sind im selben Inertialsystem gerichtet. Keine allgemeine elastische oder Vektorlösung.

Herleitung & Hintergrund

Summiert man Newtons Kraftbilanzen über die Körper, heben sich klassische innere Kraftpaare auf. Übrig bleibt $\frac{d\vec P}{dt}=\sum\vec F_{\mathrm{extern}}$ , also $\Delta\vec P=\vec J_{\mathrm{extern}}$ . Bei vernachlässigbarem äußeren Kraftstoß gilt die Impulserhaltung sowohl für elastische als auch unelastische Stöße. Kinetische Energie bleibt nur beim elastischen Stoß erhalten; Zusammenhaften ist der vollkommen unelastische Fall.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Feste materielle Systemgrenze, gemeinsames Inertialsystem und verschwindender oder vernachlässigbarer äußerer Kraftstoß in der betrachteten Richtung. Kinetische Energie ist eine getrennte Bilanz.

Herleitung in Schritten

Innere Kraftpaare kürzen sich; nur der äußere Kraftstoß ändert den Gesamtimpuls.

1Wähle eine feste Menge von Körpern, ein gemeinsames Inertialsystem und die zu bilanzierende Richtung.
2Schreibe für jeden Körper dp⃗_i/dt = F⃗_i,extern + Σ_jF⃗_i←_j.
3Summiere über alle Körper. Klassische innere Kraftpaare sind entgegengesetzt gleich und heben sich in dieser Summe auf.
4Damit gilt $\frac{d\vec P}{dt}=\sum\vec F_{\mathrm{extern}}$ ; integrieren liefert P⃗nach − P⃗vor = J⃗extern.
5Nur wenn J⃗extern null oder ausreichend klein ist, setze P⃗nach = P⃗vor. Für zwei Körper in 1D: $m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2} = m_{1}v_{1}$ ′ + m₂v₂′.
6Beim Zusammenhaften ergänze v₁′ = v₂′ = v′. Beim elastischen Stoß nutze stattdessen zusätzlich die Erhaltung der kinetischen Energie.

Umstellen

Endgeschwindigkeit beim unelastischen Stoß

v' = \frac{m_1 v_1 + m_2 v_2}{m_1 + m_2}

Beide Körper bewegen sich nach dem Stoß gemeinsam weiter.

Rückstoßgeschwindigkeit

v_2' = -\frac{m_1 v_1'}{m_2}

Aus $p_{\mathrm{ges}} = 0$ : Was nach vorn fliegt, stößt den Rest nach hinten.

Aufgabenvariante

Ein Wagen (3 kg, 4 m/s) kuppelt an einen ruhenden Wagen (1 kg) an. Bestimme v'.

$v^{\prime}=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}=\frac{3\cdot4+1\cdot0}{3+1}\,\mathrm{m\,s^{-1}}=3\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .

Eine anfangs ruhende Kanone (200 kg) feuert eine Kugel (2 kg) mit $\frac{100 m}{s}$ relativ zum Boden ab. Der äußere horizontale Kraftstoß ist vernachlässigbar. Wie groß ist der Rückstoß?

$0=2\cdot100\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}+200\,\mathrm{kg}\cdot v_2^{\prime}$ .
Daher $v_2^{\prime}=-\frac{200}{200}\,\mathrm{m\,s^{-1}}=-1\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ , also $\frac{1 m}{s}$ rückwärts.

Typische Fehler

Vorzeichen bei entgegengesetzten Geschwindigkeiten weglassen.

Eine Richtung als positiv definieren; Gegenverkehr bekommt negatives v.

Beim unelastischen Stoß zusätzlich Energieerhaltung der kinetischen Energie fordern.

Beim unelastischen Stoß wird kinetische Energie in andere Formen umgewandelt. Gesamtenergie bleibt im umfassenden isolierten System erhalten; Gesamtimpuls braucht zusätzlich vernachlässigbaren äußeren Kraftstoß.

Massen nach dem Ankuppeln nicht addieren.

Nach dem unelastischen Stoß bewegt sich die Gesamtmasse m₁+m₂ gemeinsam.

Impulserhaltung anwenden, obwohl äußere Kräfte dominieren.

Prüfe den äußeren Kraftstoß. Eine kurze Dauer allein garantiert keine Erhaltung; bei relevantem äußerem Beitrag gilt die vollständige Impulsbilanz.

Klausurkontext

Prüfungsklassiker: Ankuppeln von Wagen, ballistisches Pendel, Rückstoß — meist zweistufig mit Energiebetrachtung kombiniert.

Formelcluster

Erhaltungssätze

Impulsbilanz, Energiebetrachtung und eine passende Stoßbedingung ergänzen sich; sie bestimmen nicht automatisch Stoßdauer oder Spitzenkraft.

p = m·v

Impuls

Ekin = ½mv²

Kinetische Energie

ΣF_ext = F_res = ma

Newtons zweites Gesetz (resultierende Kraft)

Rechenbeispiel

Unelastischer Stoß: Ein Wagen (m₁ = 2 kg, v₁ = 3 m/s) trifft einen ruhenden Wagen $(m_{2} = 1 kg)$ und kuppelt an: $v'=\frac{2\cdot3+1\cdot0}{2+1}=2\,\mathrm{m/s}$ .

Anwendungsgebiete

Unfallrekonstruktion, Billard und Ballsport, Raketengleichung, Teilchenphysik (Streuexperimente)

Rechenbeispiel: Impulserhaltungssatz

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Impulserhaltungssatz (p_vor = p_nach).

1
Aufgabe
Ein Wagen (3 kg, 4 m/s) kuppelt an einen ruhenden Wagen (1 kg) an. Bestimme v'.
Rechenweg
$v^{\prime}=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}=\frac{3\cdot4+1\cdot0}{3+1}\,\mathrm{m\,s^{-1}}=3\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .
2
Aufgabe
Eine anfangs ruhende Kanone (200 kg) feuert eine Kugel (2 kg) mit $\frac{100 m}{s}$ relativ zum Boden ab. Der äußere horizontale Kraftstoß ist vernachlässigbar. Wie groß ist der Rückstoß?
Rechenweg
1. $0=2\cdot100\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}+200\,\mathrm{kg}\cdot v_2^{\prime}$ .
2. Daher $v_2^{\prime}=-\frac{200}{200}\,\mathrm{m\,s^{-1}}=-1\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ , also $\frac{1 m}{s}$ rückwärts.

Die Formel verstehen und anwenden

Zwei Wagen stoßen zusammen: Der eine wird langsamer, der andere schneller. Trotzdem kann ihre gemeinsame Impulsbilanz unverändert bleiben. Der Schlüssel ist die Systemgrenze. Erst wenn klar ist, welche Körper dazugehören und welche Kraftstöße von außen wirken, darfst du den Erhaltungssatz einsetzen.

Wann gilt der Impulserhaltungssatz?

Der Gesamtimpuls einer festen Auswahl klassischer Körper hat vor und nach einem Vorgang denselben Wert, wenn der äußere Kraftstoß im betrachteten Zeitintervall verschwindet. Alle Geschwindigkeiten müssen zum selben Inertialsystem gehören. Für eine einzelne Komponente genügt, dass der äußere Kraftstoß in dieser Richtung null ist.[1]

Betrachte zunächst beide Wagen gemeinsam und zeichne gedanklich eine Grenze um sie. Ihre gegenseitigen Kontaktkräfte sind dann innere Kräfte. Reibung von der Bahn oder ein Schub von außen sind äußere Kräfte. Wählst du dagegen nur einen Wagen, ist auch die Kontaktkraft des anderen Wagens äußerlich. „Innerlich“ und „äußerlich“ beschreiben also die gewählte Bilanz, nicht unterschiedliche Kraftarten.[1]

Eine feste Auswahl von Materie heißt geschlossen, wenn keine Masse ihre Grenze überschreitet. Das genügt noch nicht für Impulserhaltung: Die Umgebung kann ihr weiterhin einen Kraftstoß geben. Verschwindet der äußere Kraftstoß im betrachteten Intervall, sind Anfangs- und Endimpuls gleich. Ist die äußere resultierende Kraft sogar zu jedem Zeitpunkt null, bleibt der Gesamtimpuls während des ganzen Vorgangs konstant.[1]

\begin{aligned}&\vec P=\sum_i m_i\vec v_i\\&\vec P_{\mathrm{after}}-\vec P_{\mathrm{before}}=\int_{t_1}^{t_2}\vec F_{\mathrm{ext}}\,\mathrm dt\end{aligned}

Alle Geschwindigkeiten beziehen sich auf dasselbe Inertialsystem. Für äußeren Kraftstoß null folgt P⃗nach = P⃗vor.[1]

Ein Wagenpaar auf einer waagerechten Bahn kann seinen horizontalen Impuls näherungsweise erhalten, obwohl Gewicht und Stützkräfte wirken. Entscheidend ist deren horizontale Komponente und der horizontale Reibungskraftstoß. Komponenten lassen sich einzeln bilanzieren. Ein kurzer Stoß ist keine automatische Erlaubnis, jede äußere Kraft zu ignorieren; begründe, warum ihr Integral klein ist.[1]

Warum innere Kräfte in der Bilanz wegfallen

Die beiden Wagen dürfen sich beim Stoß gegenseitig stark beschleunigen. Nach Newtons drittem Gesetz sind ihre Kontaktkräfte dennoch zu jedem Zeitpunkt entgegengesetzt gleich: $\vec F_{1\leftarrow2}=-\vec F_{2\leftarrow1}$ . Das bedeutet nicht, dass an jedem Wagen die Kräfte null sind. Es bedeutet, dass ihre inneren Beiträge beim Addieren der beiden Bewegungsgleichungen paarweise wegfallen. Für jeden einzelnen Wagen verknüpft Newtons zweites Gesetz die resultierende Kraft mit der Änderung seines Impulses; erst die Summe beider Bilanzen beseitigt die inneren Beiträge.[6][8]

\begin{aligned}\frac{\mathrm d\vec p_1}{\mathrm dt}&=\vec F_{1,\mathrm{ext}}+\vec F_{1\leftarrow2}\\\frac{\mathrm d\vec p_2}{\mathrm dt}&=\vec F_{2,\mathrm{ext}}+\vec F_{2\leftarrow1}\\\frac{\mathrm d(\vec p_1+\vec p_2)}{\mathrm dt}&=\vec F_{1,\mathrm{ext}}+\vec F_{2,\mathrm{ext}}\end{aligned}

Für mehr Körper wird auf dieselbe Weise über alle Impulse und äußeren Kräfte summiert.[6]

\begin{aligned}&\frac{\mathrm d\vec P}{\mathrm dt}=\sum_i\vec F_{i,\mathrm{ext}}\\&\Delta\vec P=\vec J_{\mathrm{ext}}\end{aligned}

Die Integration liefert die Änderung über den Stoß; $\vec J_{\mathrm{ext}}=0$ ist die Erhaltungsbedingung.[6]

Für zwei Körper in einer Dimension wird daraus $m_1v_1+m_2v_2=m_1v_1^{\prime}+m_2v_2^{\prime}$ . Ein Strich kennzeichnet hier den Zustand nach dem Stoß, keine Ableitung. Bei zwei unbekannten Endgeschwindigkeiten ist das nur eine Gleichung. Du brauchst eine weitere passende Bedingung, etwa gemeinsames Weiterfahren oder bei einem elastischen Stoß zusätzlich Energieerhaltung.[2]

Elastisch, unelastisch oder vollständig unelastisch?

v_{\mathrm{joined}}=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}

Diese Umstellung gilt nur, wenn beide Körper danach gemeinsam fahren und der äußere Kraftstoß vernachlässigbar ist.

Wähle eine positive Achsenrichtung und trage Bewegungen in der Gegenrichtung negativ ein. Massen sind positiv. Nach dem Zusammenkuppeln liegt die gemeinsame Geschwindigkeit zwischen den beiden Anfangsgeschwindigkeiten, weil sie ein massengewichteter Mittelwert ist. Ein Ergebnis außerhalb dieses Bereichs weist in diesem Modell auf einen Vorzeichen- oder Rechenfehler hin.

Beim elastischen Stoß bleibt zusätzlich die Summe der kinetischen Energien erhalten. Beim unelastischen Stoß ändert sie sich; ein Teil kann in innere Energie, Verformung und Schall übergehen. Vollkommen unelastisch bedeutet Zusammenhaften. Die Gesamtenergie eines ausreichend umfassenden isolierten Systems bleibt erhalten, auch wenn seine kinetische Energie abnimmt.[2]

Warum genügt eine Impulsgleichung nicht für jeden Stoß?

Sind beide Endgeschwindigkeiten unbekannt, lässt die eindimensionale Impulsbilanz viele mögliche Ergebnisse zu. Zusammenhaften fügt die Bedingung gleicher Endgeschwindigkeiten hinzu. Ein elastischer Stoß fügt stattdessen die Erhaltung der kinetischen Energie hinzu. Den Stoßtyp musst du aus der Aufgabe oder einem begründeten Modell kennen; er folgt nicht aus dem Wort „Stoß“.[2]

Ein konkreter Vergleich: Ein Wagen von 1 kg fährt mit +4 m/s auf einen ruhenden Wagen von 1 kg zu. Bei Zusammenhaften fahren beide anschließend mit +2 m/s. Im ideal elastischen eindimensionalen Stoß gibt der erste Wagen seine Geschwindigkeit an den zweiten ab: Er steht danach, der zweite fährt mit +4 m/s. Beide Ergebnisse erhalten denselben Gesamtimpuls; nur das zweite erhält auch die kinetische Energie.[2]

\begin{aligned}P_{\mathrm{before}}&=4\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\\P_{\mathrm{stick}}&=(1+1)(2)\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}=4\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\\P_{\mathrm{elastic}}&=(1)(0)+(1)(4)=4\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}\\K_{\mathrm{before}}&=8\,\mathrm J\\K_{\mathrm{stick}}&=4\,\mathrm J,\qquad K_{\mathrm{elastic}}=8\,\mathrm J\end{aligned}

Die gleichen Anfangsdaten ergeben unterschiedliche Stoßergebnisse, wenn die zusätzliche Modellbedingung wechselt.[2]

Wie berechnet man gemeinsame Geschwindigkeit und Kraftstoß?

Zusammenkuppeln mit Gegenverkehr

Gegeben: m₁ = 2 kg, v₁ = +3 m/s; m₂ = 1 kg, v₂ = −1 m/s. Danach fahren beide gemeinsam; äußerer horizontaler Kraftstoß vernachlässigbar.
Gesucht: Bestimme gemeinsame Geschwindigkeit und Änderung der kinetischen Energie.

Ansatz: Ohne äußeren horizontalen Kraftstoß ist $P=m_1v_1+m_2v_2=(m_1+m_2)v^{\prime}$ ; kinetische Energien werden getrennt bilanziert. Vorzeichenbehafteten Gesamtimpuls bilden.
$P_{\mathrm{before}}=2\cdot3+1\cdot(-1)=5\,\mathrm{kg\,m/s}$
Diesen Impuls durch die gemeinsame Masse teilen.
$v^{\prime}=\frac5{2+1}=\frac53\,\mathrm{m/s}$
Anfangsenergie als Summe beider Einzelenergien berechnen.
$E_{\mathrm{before}}=\frac12\cdot2\cdot3^2+\frac12\cdot1\cdot(-1)^2=9.50\,\mathrm J$
Gemeinsame Endenergie und Differenz bestimmen.
$\begin{aligned}E_{\mathrm{after}}&=\frac12\cdot3\left(\frac53\right)^2=\frac{25}6\,\mathrm J\\{} \Delta E_{\mathrm{kin}}&=-\frac{16}3\,\mathrm J\end{aligned}$

Ergebnis: Beide bewegen sich mit +1,667 m/s. Die kinetische Energie nimmt um 5,333 J ab.

Kontrolle: $3\cdot\frac53\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}=5\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$ . Das bestätigt den Gesamtimpuls. Die Endgeschwindigkeit liegt zwischen −1 und +3 m/s. Die Energiedifferenz ist kein Verlust der Gesamtenergie, sondern eine Umwandlung.

Gleiche Gegenkraftstöße, verschiedene Geschwindigkeitsänderungen

Gegeben: m₁ = 4 kg, v₁ = +2 m/s; m₂ = 2 kg, v₂ = −1 m/s. Beide kuppeln; äußere horizontale Kräfte sind vernachlässigbar. Kontaktzeit 0,050 s.
Gesucht: Berechne Endgeschwindigkeit, die beiden Kraftstöße und mittleren Kontaktkräfte.

Ansatz: Zuerst gilt $v^{\prime}=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}$ ; dann für jeden Wagen $J_i=m_i(v^{\prime}-v_i)$ und $\overline F_i=\frac{J_i}{\Delta t}$ . Gesamtimpuls erhalten und durch die Gesamtmasse teilen.
$v^{\prime}=\frac{4\cdot2+2\cdot(-1)}6=1\,\mathrm{m/s}$
Jede Impulsänderung mit der zugehörigen Masse bestimmen.
$\begin{aligned}J_1&=4(1-2)=-4\,\mathrm{N\,s}\\{} J_2&=2(1-(-1))=+4\,\mathrm{N\,s}\end{aligned}$
Die mittlere Kontaktwirkung aus $\overline F_i=\frac{J_i}{\Delta t}$ berechnen.
$\begin{aligned}\overline F_{1,x}&=-80\,\mathrm N\\{} \overline F_{2,x}&=+80\,\mathrm N\end{aligned}$

Ergebnis: Die Endgeschwindigkeit ist +1 m/s. Die Kontaktkraftstöße sind −4 und +4 N·s; die mittleren Kräfte sind −80 und +80 N.

Kontrolle: $J_1+J_2=0$ ; Gesamtimpuls vorher und nachher jeweils 6 kg·m/s. Trotzdem sind $\Delta v_1=-1\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ und $\Delta v_2=+2\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ verschieden, weil die Massen verschieden sind.

Wie bilanziert man Impuls in mehreren Richtungen?

\begin{aligned}&P_x=\sum_i m_iv_{i,x}\\&P_y=\sum_i m_iv_{i,y}\\&\vec P=M\vec v_{\mathrm{CM}}\end{aligned}

Jede erhaltene Komponente braucht verschwindenden äußeren Kraftstoß in genau dieser Richtung.[3]

Die Stoßgrafik zeigt einen elastischen Sonderfall: $m_1=2m_2$ , v₂ = 0, $v_1^{\prime}=\frac{v_1}{3}$ und $v_2^{\prime}=\frac{4v_1}{3}$ . Die unterschiedlich langen Pfeile sind Geschwindigkeitspfeile, keine Kraftpfeile. Einsetzen ergibt vor und nach dem Stoß denselben Impuls sowie dieselbe kinetische Energie. Für zusammenhaftende Wagen wären die Endgeschwindigkeiten hingegen gleich.

Bei zwei gleich schweren Körpern mit Anfangsgeschwindigkeiten (2; 0) und (0; 2) m/s ergibt Zusammenhaften $\vec v^{\prime}=(1;1)\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ . Der Betrag ist √2 m/s, nicht 2 m/s. Löse zuerst jede Komponente und bilde erst anschließend den Betrag. Ohne äußere resultierende Kraft bewegt sich der Schwerpunkt gleichförmig weiter, selbst wenn sich einzelne Teile heftig beschleunigen.[3]

Wie erklärt man Rückstoß bei festen Massen und bei Raketen?

Stoßen zwei anfangs ruhende Körper auseinander, folgt $m_1v_1+m_2v_2=0$ . Ein 6-kg-Körper mit +2 m/s erfordert bei einem zweiten Körper von 12 kg die Geschwindigkeit −1 m/s, sofern der äußere Kraftstoß null ist. Die neue kinetische Energie kommt etwa aus einer entspannten Feder oder gespeicherter innerer Energie; Impulserhaltung legt ihre Quelle nicht fest.

Für eine Rakete plus ausgestoßenes Gas kann man ein geschlossenes System wählen. Die Rakete allein ist dagegen ein offenes System: Gas transportiert Impuls über die Grenze. Die Formel für zwei feste Massen darf nicht einfach mit einer zeitabhängigen Raketenmasse verwendet werden. Gravitation und Luftwiderstand liefern zudem äußere Kraftbeiträge.[4]

Wann ist ein äußerer Kraftstoß klein genug?

Bei einem kurzen Stoß wird die äußere Reibung oft vernachlässigt. Begründe das mit einer Größenordnung: Multipliziere eine bekannte obere Grenze der äußeren Kraft mit der Stoßdauer. Vergleiche diesen möglichen äußeren Kraftstoß mit den Impulsen, deren Änderung du auflösen möchtest. Bei fast vollständiger Aufhebung großer Anfangsimpulse kann auch ein kleiner äußerer Beitrag für den verbleibenden Gesamtimpuls wichtig sein.[1]

Genauigkeit einer Wagenbilanz abschätzen

Gegeben: Zwei zusammenhaftende Wagen haben Gesamtmasse 4,0 kg und Anfangsimpuls +6,0 kg·m/s. Der Stoß dauert 0,020 s; der Betrag der gesamten äußeren horizontalen Kraft ist höchstens 2,0 N.
Gesucht: Schätze ab, wie weit die tatsächliche Endgeschwindigkeit vom Ergebnis ohne äußeren Kraftstoß abweichen kann.

Ansatz: Erst den äußeren Kraftstoß begrenzen, dann durch die gemeinsame Masse teilen.
$\begin{aligned}|J_{\mathrm{ext}}|&\le F_{\mathrm{max}}\Delta t\\v_f&=\frac{P_i+J_{\mathrm{ext}}}{M}\\|v_f-v_0|&\le\frac{F_{\mathrm{max}}\Delta t}{M}\end{aligned}$
Den idealisierten Wert und die maximale Abweichung berechnen.
$\begin{aligned}v_0&=\frac{6.0}{4.0}\,\mathrm{m\,s^{-1}}=1.50\,\mathrm{m\,s^{-1}}\\|J_{\mathrm{ext}}|&\le0.040\,\mathrm{N\,s}\\|v_f-v_0|&\le0.010\,\mathrm{m\,s^{-1}}\end{aligned}$

Ergebnis: Die tatsächliche Endgeschwindigkeit liegt zwischen +1,49 und +1,51 m/s.

Kontrolle: Die maximal mögliche Impulsänderung von 0,040 N·s entspricht etwa 0,67 % des Anfangsimpulses. Die Richtung der äußeren Kraft ist unbekannt, deshalb wird ein Intervall angegeben.

Was ein Erhaltungssatz nicht allein beantwortet

Impulserhaltung bestimmt ohne weitere Angaben weder Stoßdauer noch Spitzenkraft, Verformung oder beide Endgeschwindigkeiten. Bei einer Kollision mit einem fest verankerten Hindernis ist der Impuls des Fahrzeugs allein nicht erhalten. Für ein System aus Fahrzeug, Hindernis und Erde können deren Kontaktkräfte innere Kräfte sein; die Systemgrenze entscheidet.

Die hier verwendete Ableitung arbeitet mit klassischen Körpern und paarweisen inneren Kräften. In elektromagnetischen Systemen kann auch das Feld Impuls tragen; dann genügt die Summe der Teilchenimpulse allein nicht. Bei relativistischen Teilchen bleibt Gesamtimpuls eine zentrale Bilanz, aber $\vec p=m\vec v$ muss durch den passenden relativistischen Ausdruck ersetzt werden.[5][7]

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Ein 1,5-kg-Wagen fährt mit +4 m/s auf einen ruhenden Wagen mit 2,5 kg. Beide kuppeln ohne äußeren horizontalen Kraftstoß. Bestimme v′.

Hinweis anzeigen

Anfangsimpuls durch die gemeinsame Masse teilen.

Lernziel: Die gemeinsame Geschwindigkeit nach einem klebenden Stoß berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

$P=6\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}},\quad M=4\,\mathrm{kg}$ .
Damit gilt $v^{\prime}=\frac PM=+1{,}5\,\mathrm{m\,s^{-1}}$ .

v^{\prime}=+1.5\,\mathrm{m/s}

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Zwei Körper von je 0,5 kg haben v₁ = +2 m/s und v₂ = −2 m/s und bleiben zusammen. Wie groß sind v′ und die umgewandelte kinetische Energie?

Hinweis anzeigen

Impuls und Energie getrennt addieren.

Lernziel: Impulsbilanz und umgewandelte kinetische Energie getrennt prüfen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

$P=0$ , also $v^{\prime}=0$ .
Anfangsenergie $\frac12\cdot0{,}5\cdot4\,\mathrm J+\frac12\cdot0{,}5\cdot4\,\mathrm J=2\,\mathrm J$ ; Endenergie 0.
Es werden 2 J kinetische Energie umgewandelt.

\begin{aligned}v^{\prime}&=0\\{} \Delta E_{\mathrm{kin}}&=-2\,\mathrm J\end{aligned}

Transfer · Anwenden

Ein System hat anfangs P_x = 6 kg·m/s. Während 0,20 s wirkt von außen eine konstante Kraft F_x = −5 N. Welchen Endimpuls hat es?

Hinweis anzeigen

Hier die Bilanz mit äußerem Kraftstoß verwenden, nicht $P_{\mathrm{nach}}=P_{\mathrm{vor}}$ .

Lernziel: Gesamtimpuls bei vorgegebenem äußerem Kraftstoß fortschreiben.

Lösung und Rechenweg anzeigen

$J_{\mathrm{extern}}=-1\,\mathrm{N\,s}$ ; $P_{x,\mathrm{nach}}=(6-1)\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}=5\,\mathrm{kg\,m\,s^{-1}}$ .
Der Gesamtimpuls ist in diesem Zeitintervall nicht erhalten.

P_{x,\mathrm{after}}=5\,\mathrm{kg\,m/s}

Interpretieren · Anwenden

Auf einer ideal horizontalen Bahn drückt eine gespannte Feder zwei zunächst ruhende Wagen auseinander, mit Massen 1 kg und 3 kg. Danach fährt der leichte Wagen mit +6 m/s. Die Feder sei masselos, äußere horizontale Kräfte seien null. Bestimme die Geschwindigkeit des schweren Wagens. Warum ist der Impuls des einzelnen leichten Wagens nicht erhalten, der des Systems aus beiden Wagen und Feder dagegen schon?

Hinweis anzeigen

Die Federkraft ist am Einzelwagen äußerlich, im Gesamtsystem jedoch eine innere Wechselwirkung. Bilanziere den anfänglichen Gesamtimpuls null.

Lernziel: Die Systemgrenze einer Impulsbilanz sinnvoll wählen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Beide Wagen einschließlich der masselosen Feder als System wählen und die horizontale Impulsbilanz aufstellen.
Der schwere Wagen erhält −2 m/s.
Der leichte Wagen allein erfährt einen Federkraftstoß, sein Impuls steigt auf +6 kg·m/s.

Kontrolle: Der schwere Wagen hat −6 kg·m/s. Die Bewegung wird durch gespeicherte Federenergie ermöglicht; Impulserhaltung allein bestimmt diese Energie nicht.

\begin{aligned}P_{\mathrm{initial}}&=0\\0&=m_1v_1+m_2v_2\\v_2&=-\frac{m_1v_1}{m_2}=-\frac{(1\,\mathrm{kg})(6\,\mathrm{m/s})}{3\,\mathrm{kg}}=-2\,\mathrm{m/s}\end{aligned}

[1][3]

Fehleranalyse · Anwenden

Ein Wagen von 2 kg mit +3 m/s trifft einen ruhenden Wagen von 2 kg; sie bleiben zusammen. Der äußere Impulsstoß ist vernachlässigbar. Eine Lösung erhält aus Erhaltung der kinetischen Energie eine gemeinsame Geschwindigkeit $\frac3{\sqrt2}\,\mathrm{m/s}$ . Korrigiere den Ansatz und zeige über Gesamtimpuls und Energieverlust, warum dieses Ergebnis unmöglich ist.

Hinweis anzeigen

Beim vollständig unelastischen Stoß ist der Gesamtimpuls erhalten, nicht die kinetische Energie. Prüfe den vorgeschlagenen Endimpuls.

Lernziel: Eine unzulässige Erhaltung kinetischer Energie bei klebendem Stoß erkennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die gemeinsame Geschwindigkeit aus dem erhaltenen Gesamtimpuls bestimmen.
Sie beträgt +1,5 m/s.
Die kinetische Energie sinkt von 9 J auf 4,5 J; 4,5 J werden in andere Energieformen überführt.

Kontrolle: Der falsche Vorschlag ergäbe etwa 8,49 kg·m/s statt der anfänglichen 6 kg·m/s und benötigte einen nicht vorhandenen äußeren Impulsstoß.

\begin{aligned}v_f&=\frac{m_1v_1+m_2v_2}{m_1+m_2}=1.5\,\mathrm{m/s}\\E_i&=\frac12(2)(3^2)\,\mathrm J=9\,\mathrm J\\E_f&=\frac12(4)(1.5^2)\,\mathrm J=4.5\,\mathrm J\\P_{\mathrm{wrong}}&=4\frac3{\sqrt2}\,\mathrm{kg\,m/s}\approx8.49\,\mathrm{kg\,m/s}\end{aligned}

[1][2]

Das solltest du mitnehmen

Wähle zuerst die Systemgrenze und bilanziere den äußeren Kraftstoß. Addiere Impulse mit Richtung und Vorzeichen im selben Bezugssystem. Zusammenhaften und elastisches Abprallen sind verschiedene Zusatzbedingungen. Impulserhaltung bestimmt weder Stoßdauer noch Spitzenkraft und ersetzt keine vollständige Energiebetrachtung.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 1. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

1. Oktober 2026Gültigkeitsbedingungen direkt erläutert; vorhandene Stoß-, Rückstoß- und Komponentenfragen erschlossen und Impuls, Newton und Energie im Kontext verlinkt.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Einstieg und Lernverlauf überarbeitet; erklärende Zwischenschritte, ein zusätzliches Anwendungsbeispiel und eine Zusammenfassung ergänzt. Bestehende Beispiele und fünf Aufgaben erhalten.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Impulserhaltungssatz. Stand 1. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/impulserhaltung

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Impulserhaltungssatz

Wie wendet man den Impulserhaltungssatz bei Stößen an?+

Wähle zuerst das System, ein gemeinsames Inertialsystem und eine positive Richtung. Prüfe, ob der äußere Kraftstoß in dieser Richtung während des betrachteten Intervalls vernachlässigbar ist. Dann bilde mit Vorzeichen Pvor = m₁v₁ + m₂v₂ und setze Pnach = Pvor. Beim vollkommen unelastischen Stoß haften die Körper zusammen: v′ = (m₁v₁ + m₂v₂)/(m₁ + m₂). Ein Wagen mit 2 kg und $+\frac{3 m}{s}$ , der an einen ruhenden 1-kg-Wagen kuppelt, ergibt $+\frac{2 m}{s}$ . Bei zwei getrennten unbekannten Endgeschwindigkeiten reicht die Impulsbilanz allein nicht. Für einen elastischen Stoß ergänzt du Energieerhaltung; für andere Stöße brauchst du eine passende weitere Bedingung.

Was ist der Unterschied zwischen elastischem und unelastischem Stoß?+

Beide Stoßarten erlauben die Impulserhaltung, wenn der äußere Kraftstoß auf das gewählte System null oder vernachlässigbar ist. Elastisch bedeutet zusätzlich, dass die gesamte kinetische Energie vor und nach dem Stoß gleich ist. Beim unelastischen Stoß ändert sich diese Energie durch Austausch mit anderen Energieformen, beispielsweise innerer Energie oder Verformung. Zusammenhaften kennzeichnet den vollkommen unelastischen Fall; nicht jeder unelastische Stoß führt zum Zusammenhaften. Ein kurzer Kontakt macht einen Stoß nicht automatisch elastisch. Entscheidend ist die Energiebilanz. Die Gesamtenergie eines ausreichend umfassenden isolierten Systems bleibt bei beiden Arten erhalten, auch wenn seine kinetische Energie nachher geringer ist. Prüfe daher Impuls- und Energiebilanz getrennt.

Warum bleibt der Impuls erhalten, die kinetische Energie aber nicht immer?+

Für eine feste Menge klassischer Körper sind ihre gegenseitigen inneren Kräfte entgegengesetzt gleich. Beim Summieren der Kraftbilanzen heben sich diese Beiträge auf. Der Gesamtimpuls ändert sich deshalb nur um den äußeren Kraftstoß. Ist dieser null, bleibt P⃗ erhalten; ein bloß geschlossener Massenbestand reicht dafür noch nicht. Kinetische Energie ist eine andere Bilanz und kann während eines Stoßes in innere Energie, Schall oder Verformung übergehen. Die Gesamtenergie verschwindet dabei nicht. Elastisch heißt, dass die kinetische Energie der betrachteten Körper vor und nach dem Stoß gleich bleibt. Aus Impulserhaltung allein darfst du diese zusätzliche Eigenschaft niemals ableiten; sie muss zur Aufgabenannahme oder zum Modell gehören.

Wie berechnet man den Rückstoß, etwa bei einer Kanone oder Rakete?+

Für zwei anfangs ruhende Körper und verschwindenden äußeren Kraftstoß gilt nach dem Auseinanderstoßen $0 = m_{1}v_{1} + m_{2}v_{2}$ . Deshalb ist $v_{2} = -(\frac{m_{1}}{m_{2}})v_{1}$ , wobei beide Geschwindigkeiten im selben ursprünglichen Bezugssystem gemessen werden. Für eine 200-kg-Kanone und ein 2-kg-Geschoss mit $+\frac{100 m}{s}$ im Bodenbezug folgt $-\frac{1 m}{s}$ für die frei rücklaufende Kanone. Eine Geschwindigkeit relativ zur Kanone müsste zunächst umgerechnet werden. Verankerung oder Reibung übertragen zusätzlichen äußeren Impuls. Bei einer Rakete fließt laufend Gas über die Grenze der Rakete allein; hier brauchst du eine Impulsstrombilanz oder das geschlossene Gesamtsystem aus Rakete und Gas. Die einfache Zwei-Massen-Formel ersetzt die Raketengleichung nicht.

Wann darf man die Impulserhaltung nicht anwenden?+

Setze Pnach = Pvor nicht ein, wenn der äußere Kraftstoß des gewählten Systems im Zeitintervall relevant ist. Verwende dann die allgemeinere Bilanz ΔP⃗ = ∫F⃗extern dt. Ein Fahrzeug allein behält beim Aufprall auf eine verankerte Wand seinen Impuls nicht; Kontaktkräfte übertragen Impuls an Wand und Erde. Eine größere Systemgrenze kann diese Beiträge zu inneren Kräften machen. Kurze Stoßdauer allein garantiert aber keine vernachlässigbare äußere Wirkung. Auch bei längeren Vorgängen kann eine Komponente erhalten bleiben, wenn ihr äußerer Kraftstoß null ist. Entscheidend sind Systemgrenze, Richtung und Kraft-Zeit-Integral, nicht die pauschale Regel „Stoß ja, Dauerprozess nein“. Bei offenem Massenstrom kommt eine Impulsstrombilanz hinzu.

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[1]OpenStax, University Physics Vol. 1, §9.3 Conservation of Linear Momentum

Weitere Formeln: Mechanik

F_G = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}

Newtonsches Gravitationsgesetz

E_{pot} = m \cdot g \cdot h

Potentielle Energie (Lagehöhe)

F = k \cdot x

Hookesches Gesetz (Federkraft)

s = \frac{1}{2} a t^2 + v_0 t

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Weg-Zeit-Gesetz)

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Fünf Aufgaben mit Lösungen

Ein 1,5-kg-Wagen fährt mit +4 m/s auf einen ruhenden Wagen mit 2,5 kg. Beide kuppeln ohne äußeren horizontalen Kraftstoß. Bestimme v′.

Zwei Körper von je 0,5 kg haben v1 = +2 m/s und v2 = −2 m/s und bleiben zusammen. Wie groß sind v′ und die umgewandelte kinetische Energie?

Ein System hat anfangs Px = 6 kg·m/s. Während 0,20 s wirkt von außen eine konstante Kraft Fx = −5 N. Welchen Endimpuls hat es?

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Zwei Körper von je 0,5 kg haben v₁ = +2 m/s und v₂ = −2 m/s und bleiben zusammen. Wie groß sind v′ und die umgewandelte kinetische Energie?

Ein System hat anfangs P_x = 6 kg·m/s. Während 0,20 s wirkt von außen eine konstante Kraft F_x = −5 N. Welchen Endimpuls hat es?