Physik · Elektrodynamik

Faradaysches Induktionsgesetz

Q: Wie berechnet man die induzierte Spannung mit dem Faradayschen Gesetz?

Berechne zunächst die orientierte Flussverkettung und unterscheide zwischen einem Momentanwert und einem Zeitintervall. Faradays Gesetz liefert die Umlauf-EMK $\mathcal E=-\frac{\mathrm d\Psi}{\mathrm dt}$. Für ein endliches Intervall berechnest du dagegen den Mittelwert aus der Änderung der Flussverkettung geteilt durch die verstrichene Zeit, mit negativem Vorzeichen. Wenn 200 gleiche Windungen jeweils eine positive Flusszunahme von 50 Milliweber in 0,10 Sekunden erfahren, beträgt die mittlere EMK negative 100 Volt. Derselbe Wert gilt momentan nur bei linearer Flussänderung. Eine gemessene Klemmenspannung braucht zusätzlich einen definierten Messweg und ein geeignetes Stromkreismodell; sie ist nicht automatisch mit jeder Umlauf-EMK identisch.

Q: Was bedeutet das Minuszeichen im Faradayschen Gesetz?

Das Minuszeichen verbindet zwei vorher festgelegte Orientierungen: die positive Flächennormale und den dazu rechtshändigen positiven Umlauf. Nimmt der positive Fluss zu, ist die EMK in diesem Umlauf negativ. In einer geschlossenen ohmschen Schleife bedeutet das einen Strom im entgegengesetzten Umlaufsinn. Sein eigenes Feld wirkt der Flusszunahme entgegen. Nimmt der positive Fluss dagegen ab, erzeugt der Strom ein Feld, das diesen Rückgang abschwächt. Lenz bezieht sich deshalb auf die Änderung, nicht pauschal auf die Richtung des vorhandenen Feldes. Ohne geschlossenen Strompfad muss kein entsprechender Leitungsstrom fließen. Ändere eine Orientierung niemals mitten in der Rechnung, sonst verlierst du die nachvollziehbare Zuordnung der Vorzeichen.

Q: Wie kann man die induzierte Spannung erhöhen, ohne das Magnetfeld zu verstärken?

Du kannst bei gleicher Flussänderung pro Windung mehr gleich orientierte Windungen verwenden oder dieselbe Flussänderung in kürzerer Zeit erreichen. Auch eine größere wirksame Fläche oder eine veränderte Drehbewegung kann die Flussänderungsrate erhöhen. Entscheidend bleibt jedoch deren zeitliche Änderung: Eine größere ruhende Fläche im konstanten Feld erzeugt allein keine EMK. Bei einer drehenden ebenen Spule verändert sich der Winkel zur Normalen; schnelleres Drehen erhöht unter gleichen Bedingungen die EMK-Amplitude. Mehr Windungen verändern in einer realen Spule zugleich Widerstand und Induktivität. Eine größere berechnete Leerlauf-EMK garantiert daher weder proportional mehr Strom unter Last noch eine kostenlose Leistungssteigerung. Die zusätzliche elektrische Leistung benötigt eine entsprechende Energiequelle.

Q: Warum reicht ein starkes Magnetfeld allein nicht zur Induktion?

Induktion hängt von der Änderung des orientierten Flusses ab, nicht allein von der Stärke des Magnetfeldes. Eine ruhende Schleife mit unveränderter Fläche und Orientierung hat in einem zeitlich konstanten Feld keine Flussänderung und daher keine induzierte Umlauf-EMK. Das gilt auch bei einem starken Feld. Im selben konstanten Feld kann jedoch eine Bewegung die eingeschlossene Fläche oder Orientierung verändern und so eine EMK erzeugen. Umgekehrt kann ein veränderliches Feld in einer ruhenden Schleife induzieren. Prüfe deshalb Feldänderung, Flächenänderung und Drehung getrennt. Eine starre geschlossene Schleife, die vollständig durch ein homogenes konstantes Feld translatiert, besitzt insgesamt keine EMK; einzelne Leiterabschnitte können trotzdem entgegengesetzte motionale Beiträge haben.

Q: Was ist der Unterschied zwischen magnetischem Fluss und Flussdichte?

Die magnetische Flussdichte beschreibt das lokale Magnetfeld als Vektor und wird in Tesla angegeben. Der magnetische Fluss gehört dagegen zu einer ausgewählten orientierten Fläche und wird in Weber angegeben. Er ist das Flächenintegral der Normalkomponente dieses Feldes. Bei homogenem Feld und ebener Fläche wird daraus $\Phi_B=BA\cos\theta$. Dieselbe Flussdichte kann deshalb je nach Fläche und Orientierung unterschiedliche Flüsse liefern. Verdoppelt sich eine senkrecht zum Feld stehende Fläche, verdoppelt sich ihr Fluss; dreht sie sich parallel zum Feld, fällt er auf null. Für mehrere Windungen unterscheidest du zusätzlich die Flussverkettung als Summe der einzelnen Flüsse. Eine wörtliche Zahl gezeichneter Feldlinien definiert keine dieser Größen.

Eine Änderung der orientierten Flussverkettung erzeugt eine Umlauf-EMK. Eine Klemmenspannung erfordert zusätzlich ein definiertes Mess- und Schaltungsmodell.

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Formel

Berechnen

E = - N \frac{d Φ _{B}}{d t}

ℰ in V; N dimensionslos; ΦB in Wb = V·s, Fluss je Windung.

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$ℰ$	Orientierte induzierte Umlauf-EMK, nicht allgemein eine eindeutige Potentialdifferenz	V
$N$	Feste Zahl gleichorientierter Windungen mit gleichem Fluss	dimensionslos
$ΦB$	Orientierter magnetischer Fluss je Windung; allgemein ein Flächenintegral	Wb

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\mathcal E=-N\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}

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Fluss je Windung steigt von null auf 0,9 Milliweber in 30 Millisekunden und fällt bis 90 Millisekunden auf null. Die EMK bei achtzig Windungen beträgt zunächst minus 2,4 Volt und dann plus 1,2 Volt. — Eigenes Impulsbeispiel: N = 80 gleiche Windungen. Steilere Flusszunahme ergibt den größeren negativen EMK-Betrag. Beide Voltsekundenflächen heben sich auf; an den idealen Knicken ist die Ableitung nicht eindeutig. OpenStax §§13.1–13.2.

Induktionsspannung berechnen

Mittlere Induktionsspannung einer Spule aus der Flussänderung ausrechnen, oder umgekehrt Fluss und Zeit; das Vorzeichen folgt der Lenzschen Regel.

Gesucht

Windungszahl N

Anzahl der Windungen der Spule als ganze Zahl, z. B. 200.

Anfangsfluss je Windung Φ₁

Fluss durch eine Windung zu Beginn, Φ = B · A bei senkrechtem Feld, z. B. 1 mWb; zeigt B gegen die Normale, negativ.

Endfluss je Windung Φ₂

Fluss durch eine Windung am Ende, mit derselben Orientierung wie am Anfang, z. B. 4 mWb.

Zeitintervall Δt

Dauer der Flussänderung, z. B. 0,1 s; je schneller die Änderung, desto größer der Betrag der Spannung.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Ergebnis: Mittlere Induktionsspannung ε

ε = -6 V

Mit N = 200, Φ₁ = 1 mWb, Φ₂ = 4 mWb und Δt = 0,1 s ergibt sich ε = -6 V.

Rechenweg · umstellen nach ε, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach ε umstellen
$\bar\varepsilon=-N\frac{\Phi_2-\Phi_1}{\Delta t}$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- Φ₁ = 1 mWb = 0,001 Wb
- Φ₂ = 4 mWb = 0,004 Wb
$\bar\varepsilon=-200\cdot \frac{0{,}004-0{,}001}{0{,}1}=-6$
3. Ergebnis
ε = -6 V

So rechnest du schneller

Vorzeichen nach Lenz: Wächst der Fluss, ist die mittlere Spannung negativ, nimmt er ab, ist sie positiv. Der Betrag ist N · |ΔΦ| / Δt.
Einheitenprobe: 1 Wb = 1 V·s. Windungen mal Weber durch Sekunden ergibt also Volt, z. B. 200 · 3 mWb / 0,1 s = 6 V.

Annahmen und Grenzen

N feste, gleich orientierte Windungen in Reihe. Φ ist der orientierte magnetische Fluss je Windung. Berechnet wird die mittlere EMK −NΔΦ/Δt, nicht eine beliebige momentane Ableitung; die Orientierung bestimmt das Vorzeichen.

Herleitung & Hintergrund

Faradays Gesetz ist experimentell begründet. Das Minuszeichen gehört zur Orientierung von Normale und Umlauf. Bei einer ohmschen geschlossenen Schleife wirkt der induzierte Strom der Flussänderung entgegen; er wirkt nicht stets gegen das bestehende Feld.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Orientierter Umlauf und Flussverkettung müssen zusammenpassen. Die N-Kurzform setzt gleiche Flüsse je Windung voraus. EMK ist nicht allgemein eine wegunabhängige Klemmenspannung; Mittelwert und Momentanwert unterscheiden.

Herleitung in Schritten

Faradays experimentell begründetes Gesetz verknüpft orientierte Flussänderung mit Umlauf-EMK; die Produktregel trennt mögliche Ursachen.

1Wähle eine positive Flächennormale und den rechtshändigen positiven Umlauf.
2Berechne $\Phi_k=\int_{S_k}\vec B\cdot\mathrm d\vec A$ je Windung.
3Summiere die Flussverkettung $\Psi=\sum_k\Phi_k$ .
4Wende das Gesetz $\mathcal E=-\frac{\mathrm d\Psi}{\mathrm dt}$ an; es folgt nicht allein aus der Definition.
5Nur bei gleichen orientierten Windungsflüssen und festem $N$ wird daraus $-N\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}$ .
6Differenziere alle zeitabhängigen Faktoren; eine endliche Differenz liefert nur den Mittelwert.
7Kontrolliere die Richtung mit Lenz und berechne Strom erst mit einem angegebenen Schaltungsmodell.

Umstellen

Flussänderungsrate

\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}=-\frac{\mathcal E}{N}

Gleicher orientierter Fluss je Windung und feste positive Windungszahl; EMK im zur Normalen gehörenden Umlauf. Für ein endliches Intervall den EMK-Mittelwert verwenden.

Aufgabenvariante

Wie erhöhst du den Betrag der Induktions-EMK, ohne den Feldbetrag zu vergrößern? Vergleiche eine ruhende Spule im konstanten Feld mit einer bewegten oder zeitlich veränderlichen Anordnung.

Ansatz: $\mathcal E=-\frac{\mathrm d\Psi}{\mathrm dt}$ .
Mehr gleichorientierte Windungen mit derselben Flussänderung je Windung oder eine schnellere Änderung erhöhen den Betrag.
Eine größere Fläche hilft nur, wenn sie eine größere zeitliche Flussänderung erzeugt.
Eine unveränderte ruhende Spule im konstanten Feld liefert weiterhin null EMK.
Reale Widerstände und Selbstinduktion bestimmen den belasteten Strom zusätzlich.

Typische Fehler

Nur B betrachten und Fläche oder Winkeländerung vergessen.

Für ein homogenes Feld und eine ebene Fläche ist $\Phi_B=BA\cos\theta$ . Differenziere alle tatsächlich zeitabhängigen Faktoren; konstanten Fluss nicht mit null Feld verwechseln.

Klausurkontext

Typisch in Generator-, Transformator- und Lenzsche-Regel-Aufgaben.

Formelcluster

Induktion und Felder

Schließt die Lücke zwischen Magnetkraft und elektrischer Spannung.

ΦB = BA cos θ

Magnetischer Fluss durch eine Fläche

|ℰmot| = Bℓv

Bewegungsinduktion (Motional-EMK)

U_ind = −L·(dI/dt)

Selbstinduktion einer Spule

U₁/U₂ = n₁/n₂ = I₂/I₁

Transformator (Übersetzung)

Rechenbeispiel

200 gleichorientierte Windungen; der Fluss je Windung steigt um 50 mWb in 0,1 s. Die mittlere EMK beträgt $\overline{\mathcal E}=-200\frac{0{,}050\,\mathrm{Wb}}{0{,}1\,\mathrm s}=-100\,\mathrm V$ . Nur bei linearer Flussänderung ist dies zugleich der konstante Momentanwert.

Anwendungsgebiete

Elektromotoren, Generatoren, Transformatoren, Induktionskochfeld

Rechenbeispiel: Faradaysches Induktionsgesetz

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Faradaysches Induktionsgesetz (ℰ = −N dΦB/dt).

1
Aufgabe
Wie erhöhst du den Betrag der Induktions-EMK, ohne den Feldbetrag zu vergrößern? Vergleiche eine ruhende Spule im konstanten Feld mit einer bewegten oder zeitlich veränderlichen Anordnung.
Rechenweg
1. Ansatz: $\mathcal E=-\frac{\mathrm d\Psi}{\mathrm dt}$ .
2. Mehr gleichorientierte Windungen mit derselben Flussänderung je Windung oder eine schnellere Änderung erhöhen den Betrag.
3. Eine größere Fläche hilft nur, wenn sie eine größere zeitliche Flussänderung erzeugt.
4. Eine unveränderte ruhende Spule im konstanten Feld liefert weiterhin null EMK.
5. Reale Widerstände und Selbstinduktion bestimmen den belasteten Strom zusätzlich.

Die Formel verstehen und anwenden

Eine Flussänderung bestimmt die umlaufbezogene elektromotorische Kraft, nicht automatisch einen beliebigen Messwert zwischen zwei Anschlüssen. Orientierung legt das Vorzeichen fest; Flussverkettung legt den Windungsfaktor fest. Ein Feldanstieg und ein Flusspuls zeigen, wie daraus Strom, transportierte Ladung und Wärme im klar benannten Schaltungsmodell entstehen.

Der Zeiger reagiert auf die Änderung

Eine Suchspule kann in einem starken, unveränderten Feld liegen und trotzdem keine Induktions-EMK liefern. Ändert sich der Fluss hingegen rasch, kann selbst eine kleine Änderung einen deutlichen Ausschlag erzeugen. Die entscheidende Frage lautet deshalb nicht nur „Wie groß ist der Fluss?“, sondern „Wie schnell und in welcher Richtung verändert er sich?“[1][2]

Du brauchst die orientierte Flusskurve, die tatsächlich verketteten Windungen und eine feste positive Umlaufrichtung. Eine Kurvensteigung liefert die momentane EMK; die Verbindung zweier Zeitpunkte nur den Mittelwert. Ob ein Strom fließt und wie groß er ist, klärt anschließend das Schaltungsmodell.[1][2]

Wann ist die Flussverkettung N-mal derselbe Fluss?

\begin{aligned}\Psi&=\sum_{k=1}^N\Phi_k\\\mathcal E&=-\frac{\mathrm d\Psi}{\mathrm dt}\\\Psi=N\Phi_B&\ \Longrightarrow\ \mathcal E=-N\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}\end{aligned}

Die Kurzform setzt eine feste Windungszahl und denselben orientierten Fluss je Windung voraus.[1][4]

EMK ist trotz ihres historischen Namens keine Kraft in Newton, sondern eine Größe in Volt. Sie beschreibt den antreibenden Beitrag pro Ladung für einen orientierten Umlauf. Der magnetische Fluss jeder Windung trägt zur Flussverkettung bei. Nur bei fester Windungszahl und gleichem orientierten Fluss je Windung ist die Summe N-mal dieser gemeinsame Fluss. Liegen Windungen in unterschiedlichen Feldern, dürfen sie nicht ungeprüft durch eine gemeinsame Fläche ersetzt werden. Ein Leiter ist für das Induktionsgesetz des elektrischen Feldes nicht erforderlich; erst eine leitende Verbindung und ihr Schaltungsmodell bestimmen einen Strom.[3][1]

Eine Normale bestimmt den positiven Umlauf

Wähle die positive Flächennormale; der rechtshändige Umlauf ist dazu positiv. Beim Blick von der positiven Normalenseite auf die Fläche entspricht das dem Gegenuhrzeigersinn. Steigt der positive Fluss, ist $\mathcal E<0$ : Ein einfacher Widerstandskreis führt dann einen Strom im negativen Umlauf. Fällt positiver Fluss, wird die EMK positiv. Die Lenzsche Regel richtet die Wirkung gegen die Änderung, nicht pauschal gegen das vorhandene Feld.[2][4]

\begin{aligned}\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}>0&\ \Longrightarrow\ \mathcal E<0\\\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}<0&\ \Longrightarrow\ \mathcal E>0\end{aligned}

Diese Vorzeichenaussagen gelten für die zuvor festgelegte Orientierung und gleichorientierte Windungen.[2]

Das Vorzeichen kann also geprüft werden, ohne eine neue Handregel auswendig zu lernen: Wähle eine Normale, lies die vorzeichenbehaftete Flusssteigung und kehre ihr Zeichen um. Erst für die räumliche Stromrichtung übersetzt du den gewählten Umlauf mit der rechten Hand.[2]

Induktionsspannung: Momentanwert oder mittlerer Wert?

Im EMK-Modell ist die momentane Induktionsspannung die negative zeitliche Ableitung der Flussverkettung. Für den mittleren Wert über ein Zeitintervall wird stattdessen die negative endliche Änderung der Flussverkettung durch die Zeitspanne geteilt. Faradays Gesetz wurde aus Induktionsversuchen gewonnen und ist Bestandteil der Maxwell-Gleichungen. Es wird hier nicht aus einer bloßen Flussdefinition bewiesen. Sobald es als Gesetz gegeben ist, erklärt Differenzieren die einzelnen Beiträge: Feldbetrag, Fläche und Orientierung können sich ändern. Bei einem homogenen Feld und einer ebenen Fläche sind diese Größen als Funktionen der Zeit zu behandeln; Faktoren dürfen nur dann aus der Ableitung herausgezogen werden, wenn sie tatsächlich konstant sind.[1][4]

\begin{aligned}\Phi_B&=BA\cos\theta\\\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}&=A\cos\theta\,\dot B\\&\quad+B\cos\theta\,\dot A\\&\quad-BA\sin\theta\,\dot\theta\end{aligned}

Die drei Zeilen beschreiben die Änderungsbeiträge, nicht drei verschiedene Gesetze.[4]

Bei einer bewegten Leiterschleife kann sich auch ihre Fläche ändern. Die Bewegungsinduktion erklärt am senkrecht bewegten Stab, wie die magnetische Kraft auf Ladungen und die Änderung des Flusses zusammenpassen; die Orientierung entscheidet über die Polung.[4]

Ist die induzierte EMK die gemessene Klemmenspannung?

\oint_C\vec E\cdot\mathrm d\vec\ell=-\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}

Für eine im betrachteten Bezugssystem feste Randkurve ist das induzierte elektrische Feld allgemein nicht konservativ.[3]

Die Umlauf-EMK ist nicht allgemein eine eindeutige elektrostatische Potentialdifferenz zwischen zwei Punkten. Die Messleitung legt selbst einen Weg fest und kann zusätzlichen Fluss umschließen. Eine angenäherte Klemmenspannung benötigt definierte Anschlüsse, Leitungsführung und ein konzentriertes Bauteilmodell. Im üblichen Suchspulenmodell mit hochohmiger Messung und vernachlässigbarer zusätzlicher Leitungsinduktion kann man die gemessene Spannung der modellierten EMK zuordnen. Bei Belastung treten zusätzlich Widerstandsabfälle und gegebenenfalls Selbstinduktion auf.[3][4]

Beispiel: ein linearer Feldanstieg

EMK und Wärme einer belasteten Messspule

Gegeben: 120 gleichorientierte Windungen, je $A=0{,}00600\,\mathrm{m^2}$ , Normale +z. Homogenes äußeres Feld +z wächst linear von 0,0500 auf 0,170 T in 0,0800 s. Gesamtwiderstand $R=18{,}0\,\Omega$ ; Eigeninduktion und Rückwirkung auf das vorgegebene Feld werden vernachlässigt.
Gesucht: Bestimme EMK, Stromrichtung und abgegebene Wärme während der Rampe.

Ansatz: Weil Fläche und Winkel konstant sind, wird nur das äußere Feld differenziert; der ideale Widerstand bestimmt anschließend den Strom.
$\begin{aligned}\mathcal E&=-NA\frac{\Delta B}{\Delta t}\\I&=\frac{\mathcal E}{R}\\Q_R&=I^2R\Delta t\end{aligned}$
Einsetzen mit positivem Feldanstieg; das Ergebnis ist negativ im positiven Umlauf.
$\begin{aligned}\frac{\Delta B}{\Delta t}&=\frac{0.170-0.0500}{0.0800}\,\mathrm{T/s}=1.50\,\mathrm{T/s}\\\mathcal E&=-(120)(0.00600)(1.50)\,\mathrm V=-1.08\,\mathrm V\\I&=\frac{-1.08\,\mathrm V}{18.0\,\Omega}=-0.0600\,\mathrm A\end{aligned}$
Die Wärme hängt vom Stromquadrat ab und ist trotz des negativen Stromvorzeichens positiv.
$\begin{aligned}P_R&=(0.0600\,\mathrm A)^2(18.0\,\Omega)=0.0648\,\mathrm W\\Q_R&=(0.0648\,\mathrm W)(0.0800\,\mathrm s)\\&=0.005184\,\mathrm J\end{aligned}$

Ergebnis: EMK −1,08 V, Strom −60,0 mA und Wärme 5,18 mJ. Von +z betrachtet fließt der Strom im Uhrzeigersinn und erzeugt einen Feldbeitrag nach −z.

Kontrolle: Die Flussänderung je Windung ist $A\Delta B=0{,}720\,\mathrm{mWb}$ . $\mathcal E\Delta t=-0{,}0864\,\mathrm{V\,s}$ stimmt mit $-N\Delta\Phi_B$ überein. $\mathcal E I=+0{,}0648\,\mathrm W$ stimmt mit der Widerstandsleistung überein; Energie liefert die Quelle des veränderlichen äußeren Feldes.

Beispiel: null Netto-Ladung, aber positive Wärme

Ein Flusspuls kehrt zum Anfang zurück

Gegeben: 80 gleichorientierte Windungen, Gesamtwiderstand 4,00 Ω. Fluss je Windung steigt linear von null auf +0,900 mWb in 0,0300 s und fällt anschließend linear auf null in 0,0600 s. Eigeninduktion ist vernachlässigbar; der äußere Flussverlauf ist vorgegeben.
Gesucht: Berechne beide EMK-Werte, die Netto-Ladung und die gesamte Wärme.

Ansatz: Für jede lineare Phase ist die EMK konstant. Ladung wird vorzeichenrichtig, Wärme quadratisch addiert.
$\begin{aligned}\mathcal E_j&=-N\frac{\Delta\Phi_j}{\Delta t_j}\\q_{\mathrm{net}}&=\sum_j\frac{\mathcal E_j}{R}\Delta t_j\\Q_R&=\sum_j\frac{\mathcal E_j^2}{R}\Delta t_j\end{aligned}$
Die schnellere Anstiegsphase besitzt den doppelt so großen EMK-Betrag.
$\begin{aligned}\mathcal E_1&=-80\frac{0.000900}{0.0300}\,\mathrm V=-2.40\,\mathrm V\\\mathcal E_2&=-80\frac{-0.000900}{0.0600}\,\mathrm V=+1.20\,\mathrm V\\q_1&=-0.0180\,\mathrm C\\q_2&=+0.0180\,\mathrm C\end{aligned}$
Für die Wärme heben sich die Vorzeichen nicht auf.
$\begin{aligned}Q_R&=\frac{(2.40)^2}{4.00}(0.0300)\,\mathrm J\\&\quad+\frac{(1.20)^2}{4.00}(0.0600)\,\mathrm J\\&=0.0432\,\mathrm J+0.0216\,\mathrm J\\&=0.0648\,\mathrm J\end{aligned}$

Ergebnis: EMK −2,40 V und +1,20 V; netto null transportierte Ladung im gewählten Umlauf, aber 64,8 mJ Wärme.

Kontrolle: Die integrale EMK ist $-N(\Phi_f-\Phi_i)=0$ ; bei konstantem Widerstand ist deshalb auch die Netto-Ladung null. Die mittlere EMK über 0,0900 s ist null, ihr Effektivwert jedoch $\sqrt{2{,}88}\,\mathrm V\approx1{,}697\,\mathrm V$ .

Momentanwert, Mittelwert und Effektivwert

\begin{aligned}[\mathcal E]&=\frac{\mathrm{Wb}}{\mathrm s}=\mathrm V\\\overline{\mathcal E}&=-N\frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t}\\\mathcal E_{\mathrm{rms}}&=\sqrt{\frac1{\Delta t}\int_{t_1}^{t_2}\mathcal E(t)^2\,\mathrm dt}\end{aligned}

Die endliche Differenz liefert den Intervallmittelwert; nur bei linearer Flussänderung zugleich den konstanten Momentanwert.

Für einen sinusförmigen Verlauf mit Scheitelwert $\mathcal E_0$ gilt über volle Perioden $\mathcal E_{\mathrm{rms}}=\frac{\mathcal E_0}{\sqrt2}$ . Ein großer positiver und ein gleich großer negativer Anteil können im Mittel verschwinden, während Leistung positiv bleibt. Eine Spule mit 200 gleich verketteten Windungen und einer positiven Flussänderung von $50\,\mathrm{mWb}$ je Windung in $0{,}1\,\mathrm s$ liefert $-100\,\mathrm V$ als mittlere EMK; ohne Angabe eines linearen Verlaufs ist das kein gesicherter Momentanwert.

Bild ansehen: EMK einer gekrümmten Flusskurve

EMK folgt der Steigung, nicht der Flusshöhe

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Im dritten Beispiel wächst der Fluss quadratisch. Die EMK fällt linear von 0 auf −2 V; ihr Mittelwert ist −1 V. Die gestrichelte Linie ist ein Mittelwert, kein zweiter Signalverlauf.[1]

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Generator, Suchspule und Grenzen des Strommodells

\begin{aligned}\Phi_B(t)&=BA\cos(\omega t)\\\mathcal E(t)&=NBA\omega\sin(\omega t)\end{aligned}

Homogenes Feld, konstante Fläche und gleichförmige Rotation; die zweite Zeile folgt durch Differenzieren.[5][4]

Generatoren ändern die Orientierung, Suchspulen erfassen Flussänderungen und Transformatoren koppeln zeitabhängige Windungsflüsse. Mehr Windungen ändern zugleich reale Widerstände, Eigeninduktivität und Aufbau; ein proportional größerer unbelasteter EMK-Wert garantiert keine proportional größere nutzbare Leistung. Bei schnellen Änderungen oder stark induktiven Lasten darf der Strom nicht allein durch Ohms Gesetz festgelegt werden: Feldrückwirkung, Selbstinduktion und gespeicherte Energie gehören dann ins Modell.[5][4]

Beispiel: gekrümmter Flussverlauf

Mittelwert und Endwert auseinanderhalten

Gegeben: Eine feste Messspule mit $N=50$ , gleicher orientierter Fluss je Windung $\Phi(t)=\Phi_0(t/\tau)^2$ für $0\le t\le\tau$ , $\Phi_0=0{,}800\,\mathrm{mWb}$ , $\tau=0{,}0400\,\mathrm s$ . Eine Last ist nicht vorgegeben.
Gesucht: Bestimme die mittlere EMK und den linksseitigen Momentanwert am Ende.

Ansatz: Die Sekantensteigung bestimmt den Mittelwert; Differenzieren liefert den Verlauf.
$\begin{aligned}\overline{\mathcal E}&=-N\frac{\Phi_0}{\tau}\\\mathcal E(t)&=-\frac{2N\Phi_0}{\tau^2}t\end{aligned}$
Einsetzen: Die momentane Steigung wächst linear und erreicht am Ende den doppelten Mittelwert.
$\begin{aligned}\overline{\mathcal E}&=-50\frac{0.000800}{0.0400}\,\mathrm V=-1.00\,\mathrm V\\\mathcal E(\tau^-)&=-2.00\,\mathrm V\end{aligned}$

Ergebnis: Die mittlere EMK ist −1,00 V; unmittelbar vor dem Ende beträgt sie −2,00 V. Der Strom ist ohne Lastmodell nicht bestimmt.

Kontrolle: Die dreieckige EMK-Zeit-Fläche beträgt $-\frac12(2{,}00\,\mathrm V)(0{,}0400\,\mathrm s)=-0{,}0400\,\mathrm{V\,s}$ . Sie stimmt mit $-N\Phi_0$ überein.

Fünf Aufgaben zu Flussverlauf und EMK

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

40 Windungen mit je 0,0120 m², positive Normale parallel zu +z. Das homogene äußere Feld fällt linear von +0,300 auf +0,100 T in 0,0500 s. Bestimme EMK und Umlaufsinn einer rein ohmschen Last.

Hinweis anzeigen

Das Feld bleibt positiv, seine Ableitung ist negativ.

Lernziel: Eine negative Feldänderung in positive orientierte EMK übersetzen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\mathcal E=-NA\frac{\Delta B}{\Delta t}$ .
Das Ergebnis ist +1,92 V.
Von +z betrachtet treibt die EMK einen Gegenuhrzeigerstrom; dieser stützt den abnehmenden positiven Fluss.

Kontrolle: Die verkettete Flussänderung ist −0,0960 Wb, genau das Negative von EMK mal Dauer.

\mathcal E=-(40)(0.0120)\frac{0.100-0.300}{0.0500}\,\mathrm V=+1.92\,\mathrm V

[1][2]

Umstellen · Anwenden

Gleicher orientierter Fluss je Windung ändert sich um +0,250 mWb in 0,0400 s. Mindestens 0,200 V Betrag der mittleren EMK werden gefordert. Wie viele gleichorientierte Windungen sind mindestens nötig?

Hinweis anzeigen

Windungszahl muss ganzzahlig sein; runde gegebenenfalls auf.

Lernziel: Eine Mindestwindungszahl aus einer geforderten mittleren EMK finden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $N\ge\frac{|\overline{\mathcal E}|\Delta t}{|\Delta\Phi_B|}$ .
Hier ergibt sich exakt 32, also mindestens 32 Windungen.
Die mittlere EMK ist dann −0,200 V.

Kontrolle: 31 Windungen liefern nur 0,19375 V Betrag und erfüllen die Vorgabe nicht.

N_{\min}=\left\lceil\frac{(0.200)(0.0400)}{0.250\cdot10^{-3}}\right\rceil=32

[1]

Interpretieren · Anwenden

Eine Windung: Fluss steigt linear von 0 auf +2,00 mWb in 0,100 s, bleibt 0,200 s konstant und fällt in 0,0500 s auf null. Welche EMK liegt in den drei offenen Zeitintervallen vor? Idealisiere die Übergänge als Knicke.

Hinweis anzeigen

Die Steigung zählt; nicht die Höhe des Flussdiagramms.

Lernziel: Anstieg, Plateau und Abfall als EMK-Signal lesen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: In jedem Intervall die negative Flusssteigung bestimmen.
EMK-Werte −20,0 mV, null und +40,0 mV.
Der schnellere Abfall hat den doppelten Betrag.

Kontrolle: Beide EMK-Flächen addieren sich zu null, weil der Fluss am Ende zum Anfang zurückkehrt. An den idealen Knicken ist die gewöhnliche Ableitung nicht eindeutig.

\begin{aligned}\mathcal E_1&=-\frac{0.00200}{0.100}\,\mathrm V=-0.0200\,\mathrm V\\\mathcal E_2&=0\\\mathcal E_3&=-\frac{-0.00200}{0.0500}\,\mathrm V=+0.0400\,\mathrm V\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Eine ideale sinusförmige EMK mit Scheitelwert 6,00 V treibt einen Widerstand 12,0 Ω. Eigeninduktion vernachlässigbar. Ein Bericht nennt $\overline P=3{,}00\,\mathrm W$ über ganze Perioden. Korrigiere ihn.

Hinweis anzeigen

Der Periodenmittelwert des Sinusquadrats ist ein Halb.

Lernziel: Scheitelwert nicht mit thermisch wirksamem Effektivwert verwechseln.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\overline P=\frac{\mathcal E_{\mathrm{rms}}^2}{R}$ , nicht das Scheitelquadrat dividiert durch den Widerstand.
Effektivwert etwa 4,24 V, mittlere Leistung 1,50 W.
Die genannten 3,00 W sind die maximale Momentanleistung.

Kontrolle: Der mittlere Betrag des Stroms wird hier nicht zur Leistungsrechnung benötigt.

\begin{aligned}\mathcal E_{\mathrm{rms}}&=\frac{6.00}{\sqrt2}\,\mathrm V\\\overline P&=\frac{(6.00\,\mathrm V)^2}{2(12.0\,\Omega)}=1.50\,\mathrm W\end{aligned}

[5]

Transfer · Anwenden

Zwei in Reihe liegende gleichorientierte Windungen haben während eines Intervalls $\dot\Phi_1=+0{,}00300\,\mathrm{Wb/s}$ und $\dot\Phi_2=-0{,}00100\,\mathrm{Wb/s}$ . Bestimme die gesamte EMK. Erkläre, warum zweimal der erste Beitrag falsch ist.

Hinweis anzeigen

Summiere die Flüsse vor dem Differenzieren.

Lernziel: Ungleiche Windungsflüsse als verkettete Summe behandeln.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\mathcal E=-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\Phi_1+\Phi_2)$ .
Gesamt-EMK −2,00 mV.
Zweimal der erste Beitrag ergäbe −6,00 mV und ignoriert den anders verlaufenden zweiten Fluss.

Kontrolle: Die einzelnen EMK-Werte −3,00 und +1,00 mV ergeben in orientierter Reihensumme −2,00 mV.

\mathcal E=-(0.00300-0.00100)\,\mathrm V=-0.00200\,\mathrm V

[1]

Kurz zusammengefasst

Faraday verknüpft die Änderung der gesamten Flussverkettung mit der orientierten EMK. Die Steigung liefert den Momentanwert, die endliche Differenz den Mittelwert. Lenz prüft die Richtung. Strom, Klemmenspannung und Wärme erfordern anschließend ein ausdrücklich benanntes Schaltungsmodell.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

1. Oktober 2026DE/EN-Erklärung mit orientierter Herleitung, zwei eigenen Rechenbeispielen und fünf verschiedenen gelösten Aufgaben ausgearbeitet.
1. Oktober 2026Lernverlauf und Modellbegründung erweitert, drittes durchgerechnetes Beispiel und eigene quantitative Grafik ergänzt; Formelsatz und Schlusszusammenfassung präzisiert.
1. Oktober 2026Momentane und mittlere Induktionsspannung sprachlich getrennt, Windungsbedingung und Klemmenspannungsfrage hervorgehoben und passende Anschlussformeln verlinkt.
2. Oktober 2026Bestehende Transformatorerklärung verlinkt und Bewegungsinduktion als Anschluss eingeordnet.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Faradaysches Induktionsgesetz. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/induktion-faraday

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Faradaysches Induktionsgesetz

Wie berechnet man die induzierte Spannung mit dem Faradayschen Gesetz?+

Berechne zunächst die orientierte Flussverkettung und unterscheide zwischen einem Momentanwert und einem Zeitintervall. Faradays Gesetz liefert die Umlauf-EMK $\mathcal E=-\frac{\mathrm d\Psi}{\mathrm dt}$ . Für ein endliches Intervall berechnest du dagegen den Mittelwert aus der Änderung der Flussverkettung geteilt durch die verstrichene Zeit, mit negativem Vorzeichen. Wenn 200 gleiche Windungen jeweils eine positive Flusszunahme von 50 Milliweber in 0,10 Sekunden erfahren, beträgt die mittlere EMK negative 100 Volt. Derselbe Wert gilt momentan nur bei linearer Flussänderung. Eine gemessene Klemmenspannung braucht zusätzlich einen definierten Messweg und ein geeignetes Stromkreismodell; sie ist nicht automatisch mit jeder Umlauf-EMK identisch.

Was bedeutet das Minuszeichen im Faradayschen Gesetz?+

Das Minuszeichen verbindet zwei vorher festgelegte Orientierungen: die positive Flächennormale und den dazu rechtshändigen positiven Umlauf. Nimmt der positive Fluss zu, ist die EMK in diesem Umlauf negativ. In einer geschlossenen ohmschen Schleife bedeutet das einen Strom im entgegengesetzten Umlaufsinn. Sein eigenes Feld wirkt der Flusszunahme entgegen. Nimmt der positive Fluss dagegen ab, erzeugt der Strom ein Feld, das diesen Rückgang abschwächt. Lenz bezieht sich deshalb auf die Änderung, nicht pauschal auf die Richtung des vorhandenen Feldes. Ohne geschlossenen Strompfad muss kein entsprechender Leitungsstrom fließen. Ändere eine Orientierung niemals mitten in der Rechnung, sonst verlierst du die nachvollziehbare Zuordnung der Vorzeichen.

Wie kann man die induzierte Spannung erhöhen, ohne das Magnetfeld zu verstärken?+

Du kannst bei gleicher Flussänderung pro Windung mehr gleich orientierte Windungen verwenden oder dieselbe Flussänderung in kürzerer Zeit erreichen. Auch eine größere wirksame Fläche oder eine veränderte Drehbewegung kann die Flussänderungsrate erhöhen. Entscheidend bleibt jedoch deren zeitliche Änderung: Eine größere ruhende Fläche im konstanten Feld erzeugt allein keine EMK. Bei einer drehenden ebenen Spule verändert sich der Winkel zur Normalen; schnelleres Drehen erhöht unter gleichen Bedingungen die EMK-Amplitude. Mehr Windungen verändern in einer realen Spule zugleich Widerstand und Induktivität. Eine größere berechnete Leerlauf-EMK garantiert daher weder proportional mehr Strom unter Last noch eine kostenlose Leistungssteigerung. Die zusätzliche elektrische Leistung benötigt eine entsprechende Energiequelle.

Warum reicht ein starkes Magnetfeld allein nicht zur Induktion?+

Induktion hängt von der Änderung des orientierten Flusses ab, nicht allein von der Stärke des Magnetfeldes. Eine ruhende Schleife mit unveränderter Fläche und Orientierung hat in einem zeitlich konstanten Feld keine Flussänderung und daher keine induzierte Umlauf-EMK. Das gilt auch bei einem starken Feld. Im selben konstanten Feld kann jedoch eine Bewegung die eingeschlossene Fläche oder Orientierung verändern und so eine EMK erzeugen. Umgekehrt kann ein veränderliches Feld in einer ruhenden Schleife induzieren. Prüfe deshalb Feldänderung, Flächenänderung und Drehung getrennt. Eine starre geschlossene Schleife, die vollständig durch ein homogenes konstantes Feld translatiert, besitzt insgesamt keine EMK; einzelne Leiterabschnitte können trotzdem entgegengesetzte motionale Beiträge haben.

Was ist der Unterschied zwischen magnetischem Fluss und Flussdichte?+

Die magnetische Flussdichte beschreibt das lokale Magnetfeld als Vektor und wird in Tesla angegeben. Der magnetische Fluss gehört dagegen zu einer ausgewählten orientierten Fläche und wird in Weber angegeben. Er ist das Flächenintegral der Normalkomponente dieses Feldes. Bei homogenem Feld und ebener Fläche wird daraus $\Phi_B=BA\cos\theta$ . Dieselbe Flussdichte kann deshalb je nach Fläche und Orientierung unterschiedliche Flüsse liefern. Verdoppelt sich eine senkrecht zum Feld stehende Fläche, verdoppelt sich ihr Fluss; dreht sie sich parallel zum Feld, fällt er auf null. Für mehrere Windungen unterscheidest du zusätzlich die Flussverkettung als Summe der einzelnen Flüsse. Eine wörtliche Zahl gezeichneter Feldlinien definiert keine dieser Größen.

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Wie stellst du ℰ = −N dΦB/dt nach Flussänderungsrate um?

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Welcher typische Fehler passiert bei ℰ = −N dΦB/dt?

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Vol. 2, §13.1 Faraday’s Law

Weitere Formeln: Elektrizität und Magnetismus

\oint_{\partial V} \mathbf{E}\cdot d\mathbf{A} = \frac{Q_{\mathrm{innen}}}{\varepsilon_0}

Gaußsches Gesetz der Elektrostatik

U = R \cdot I

Ohmsches Gesetz

P = U \cdot I

Elektrische Leistung

R_{ges} = R_1 + R_2 \qquad \frac{1}{R_{ges}} = \frac{1}{R_1} + \frac{1}{R_2}

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Faradaysches Induktionsgesetz

Eine Änderung der orientierten Flussverkettung erzeugt eine Umlauf-EMK. Eine Klemmenspannung erfordert zusätzlich ein definiertes Mess- und Schaltungsmodell.

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Symbol

Bedeutung

Einheit

ℰ

Orientierte induzierte Umlauf-EMK, nicht allgemein eine eindeutige Potentialdifferenz

N

Feste Zahl gleichorientierter Windungen mit gleichem Fluss

dimensionslos

ΦB

Orientierter magnetischer Fluss je Windung; allgemein ein Flächenintegral

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Faradays experimentell begründetes Gesetz verknüpft orientierte Flussänderung mit Umlauf-EMK; die Produktregel trennt mögliche Ursachen.

1Wähle eine positive Flächennormale und den rechtshändigen positiven Umlauf.
2Berechne $\Phi_k=\int_{S_k}\vec B\cdot\mathrm d\vec A$ je Windung.
3Summiere die Flussverkettung $\Psi=\sum_k\Phi_k$ .
4Wende das Gesetz $\mathcal E=-\frac{\mathrm d\Psi}{\mathrm dt}$ an; es folgt nicht allein aus der Definition.
5Nur bei gleichen orientierten Windungsflüssen und festem $N$ wird daraus $-N\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}$ .
6Differenziere alle zeitabhängigen Faktoren; eine endliche Differenz liefert nur den Mittelwert.
7Kontrolliere die Richtung mit Lenz und berechne Strom erst mit einem angegebenen Schaltungsmodell.

Rechenbeispiel: Faradaysches Induktionsgesetz

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Faradaysches Induktionsgesetz (ℰ = −N dΦB/dt).

Aufgabe

Wie erhöhst du den Betrag der Induktions-EMK, ohne den Feldbetrag zu vergrößern? Vergleiche eine ruhende Spule im konstanten Feld mit einer bewegten oder zeitlich veränderlichen Anordnung.

Rechenweg

Ansatz: $\mathcal E=-\frac{\mathrm d\Psi}{\mathrm dt}$ .
Mehr gleichorientierte Windungen mit derselben Flussänderung je Windung oder eine schnellere Änderung erhöhen den Betrag.
Eine größere Fläche hilft nur, wenn sie eine größere zeitliche Flussänderung erzeugt.
Eine unveränderte ruhende Spule im konstanten Feld liefert weiterhin null EMK.
Reale Widerstände und Selbstinduktion bestimmen den belasteten Strom zusätzlich.

Die Formel verstehen und anwenden

Der Zeiger reagiert auf die Änderung

Wann ist die Flussverkettung N-mal derselbe Fluss?

\begin{aligned}\Psi&=\sum_{k=1}^N\Phi_k\\\mathcal E&=-\frac{\mathrm d\Psi}{\mathrm dt}\\\Psi=N\Phi_B&\ \Longrightarrow\ \mathcal E=-N\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}\end{aligned}

Die Kurzform setzt eine feste Windungszahl und denselben orientierten Fluss je Windung voraus.[1][4]

Eine Normale bestimmt den positiven Umlauf

\begin{aligned}\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}>0&\ \Longrightarrow\ \mathcal E<0\\\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}<0&\ \Longrightarrow\ \mathcal E>0\end{aligned}

Diese Vorzeichenaussagen gelten für die zuvor festgelegte Orientierung und gleichorientierte Windungen.[2]

Induktionsspannung: Momentanwert oder mittlerer Wert?

\begin{aligned}\Phi_B&=BA\cos\theta\\\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}&=A\cos\theta\,\dot B\\&\quad+B\cos\theta\,\dot A\\&\quad-BA\sin\theta\,\dot\theta\end{aligned}

Die drei Zeilen beschreiben die Änderungsbeiträge, nicht drei verschiedene Gesetze.[4]

Ist die induzierte EMK die gemessene Klemmenspannung?

\oint_C\vec E\cdot\mathrm d\vec\ell=-\frac{\mathrm d\Phi_B}{\mathrm dt}

Für eine im betrachteten Bezugssystem feste Randkurve ist das induzierte elektrische Feld allgemein nicht konservativ.[3]

Beispiel: ein linearer Feldanstieg

EMK und Wärme einer belasteten Messspule

Gegeben: 120 gleichorientierte Windungen, je $A=0{,}00600\,\mathrm{m^2}$ , Normale +z. Homogenes äußeres Feld +z wächst linear von 0,0500 auf 0,170 T in 0,0800 s. Gesamtwiderstand $R=18{,}0\,\Omega$ ; Eigeninduktion und Rückwirkung auf das vorgegebene Feld werden vernachlässigt.
Gesucht: Bestimme EMK, Stromrichtung und abgegebene Wärme während der Rampe.

Ansatz: Weil Fläche und Winkel konstant sind, wird nur das äußere Feld differenziert; der ideale Widerstand bestimmt anschließend den Strom.
$\begin{aligned}\mathcal E&=-NA\frac{\Delta B}{\Delta t}\\I&=\frac{\mathcal E}{R}\\Q_R&=I^2R\Delta t\end{aligned}$
Einsetzen mit positivem Feldanstieg; das Ergebnis ist negativ im positiven Umlauf.
$\begin{aligned}\frac{\Delta B}{\Delta t}&=\frac{0.170-0.0500}{0.0800}\,\mathrm{T/s}=1.50\,\mathrm{T/s}\\\mathcal E&=-(120)(0.00600)(1.50)\,\mathrm V=-1.08\,\mathrm V\\I&=\frac{-1.08\,\mathrm V}{18.0\,\Omega}=-0.0600\,\mathrm A\end{aligned}$
Die Wärme hängt vom Stromquadrat ab und ist trotz des negativen Stromvorzeichens positiv.
$\begin{aligned}P_R&=(0.0600\,\mathrm A)^2(18.0\,\Omega)=0.0648\,\mathrm W\\Q_R&=(0.0648\,\mathrm W)(0.0800\,\mathrm s)\\&=0.005184\,\mathrm J\end{aligned}$

Ergebnis: EMK −1,08 V, Strom −60,0 mA und Wärme 5,18 mJ. Von +z betrachtet fließt der Strom im Uhrzeigersinn und erzeugt einen Feldbeitrag nach −z.

Beispiel: null Netto-Ladung, aber positive Wärme

Ein Flusspuls kehrt zum Anfang zurück

Gegeben: 80 gleichorientierte Windungen, Gesamtwiderstand 4,00 Ω. Fluss je Windung steigt linear von null auf +0,900 mWb in 0,0300 s und fällt anschließend linear auf null in 0,0600 s. Eigeninduktion ist vernachlässigbar; der äußere Flussverlauf ist vorgegeben.
Gesucht: Berechne beide EMK-Werte, die Netto-Ladung und die gesamte Wärme.

Ansatz: Für jede lineare Phase ist die EMK konstant. Ladung wird vorzeichenrichtig, Wärme quadratisch addiert.
$\begin{aligned}\mathcal E_j&=-N\frac{\Delta\Phi_j}{\Delta t_j}\\q_{\mathrm{net}}&=\sum_j\frac{\mathcal E_j}{R}\Delta t_j\\Q_R&=\sum_j\frac{\mathcal E_j^2}{R}\Delta t_j\end{aligned}$
Die schnellere Anstiegsphase besitzt den doppelt so großen EMK-Betrag.
$\begin{aligned}\mathcal E_1&=-80\frac{0.000900}{0.0300}\,\mathrm V=-2.40\,\mathrm V\\\mathcal E_2&=-80\frac{-0.000900}{0.0600}\,\mathrm V=+1.20\,\mathrm V\\q_1&=-0.0180\,\mathrm C\\q_2&=+0.0180\,\mathrm C\end{aligned}$
Für die Wärme heben sich die Vorzeichen nicht auf.
$\begin{aligned}Q_R&=\frac{(2.40)^2}{4.00}(0.0300)\,\mathrm J\\&\quad+\frac{(1.20)^2}{4.00}(0.0600)\,\mathrm J\\&=0.0432\,\mathrm J+0.0216\,\mathrm J\\&=0.0648\,\mathrm J\end{aligned}$

Ergebnis: EMK −2,40 V und +1,20 V; netto null transportierte Ladung im gewählten Umlauf, aber 64,8 mJ Wärme.

Momentanwert, Mittelwert und Effektivwert

\begin{aligned}[\mathcal E]&=\frac{\mathrm{Wb}}{\mathrm s}=\mathrm V\\\overline{\mathcal E}&=-N\frac{\Delta\Phi_B}{\Delta t}\\\mathcal E_{\mathrm{rms}}&=\sqrt{\frac1{\Delta t}\int_{t_1}^{t_2}\mathcal E(t)^2\,\mathrm dt}\end{aligned}

Die endliche Differenz liefert den Intervallmittelwert; nur bei linearer Flussänderung zugleich den konstanten Momentanwert.

Bild ansehen: EMK einer gekrümmten Flusskurve

EMK folgt der Steigung, nicht der Flusshöhe

QUANTA STUDYquanta-study.de

Im dritten Beispiel wächst der Fluss quadratisch. Die EMK fällt linear von 0 auf −2 V; ihr Mittelwert ist −1 V. Die gestrichelte Linie ist ein Mittelwert, kein zweiter Signalverlauf.[1]

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Generator, Suchspule und Grenzen des Strommodells

\begin{aligned}\Phi_B(t)&=BA\cos(\omega t)\\\mathcal E(t)&=NBA\omega\sin(\omega t)\end{aligned}

Homogenes Feld, konstante Fläche und gleichförmige Rotation; die zweite Zeile folgt durch Differenzieren.[5][4]

Beispiel: gekrümmter Flussverlauf

Mittelwert und Endwert auseinanderhalten

Gegeben: Eine feste Messspule mit $N=50$ , gleicher orientierter Fluss je Windung $\Phi(t)=\Phi_0(t/\tau)^2$ für $0\le t\le\tau$ , $\Phi_0=0{,}800\,\mathrm{mWb}$ , $\tau=0{,}0400\,\mathrm s$ . Eine Last ist nicht vorgegeben.
Gesucht: Bestimme die mittlere EMK und den linksseitigen Momentanwert am Ende.

Ansatz: Die Sekantensteigung bestimmt den Mittelwert; Differenzieren liefert den Verlauf.
$\begin{aligned}\overline{\mathcal E}&=-N\frac{\Phi_0}{\tau}\\\mathcal E(t)&=-\frac{2N\Phi_0}{\tau^2}t\end{aligned}$
Einsetzen: Die momentane Steigung wächst linear und erreicht am Ende den doppelten Mittelwert.
$\begin{aligned}\overline{\mathcal E}&=-50\frac{0.000800}{0.0400}\,\mathrm V=-1.00\,\mathrm V\\\mathcal E(\tau^-)&=-2.00\,\mathrm V\end{aligned}$

Ergebnis: Die mittlere EMK ist −1,00 V; unmittelbar vor dem Ende beträgt sie −2,00 V. Der Strom ist ohne Lastmodell nicht bestimmt.

Kontrolle: Die dreieckige EMK-Zeit-Fläche beträgt $-\frac12(2{,}00\,\mathrm V)(0{,}0400\,\mathrm s)=-0{,}0400\,\mathrm{V\,s}$ . Sie stimmt mit $-N\Phi_0$ überein.

Fünf Aufgaben zu Flussverlauf und EMK

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

40 Windungen mit je 0,0120 m², positive Normale parallel zu +z. Das homogene äußere Feld fällt linear von +0,300 auf +0,100 T in 0,0500 s. Bestimme EMK und Umlaufsinn einer rein ohmschen Last.

Hinweis anzeigen

Das Feld bleibt positiv, seine Ableitung ist negativ.

Lernziel: Eine negative Feldänderung in positive orientierte EMK übersetzen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\mathcal E=-NA\frac{\Delta B}{\Delta t}$ .
Das Ergebnis ist +1,92 V.
Von +z betrachtet treibt die EMK einen Gegenuhrzeigerstrom; dieser stützt den abnehmenden positiven Fluss.

Kontrolle: Die verkettete Flussänderung ist −0,0960 Wb, genau das Negative von EMK mal Dauer.

\mathcal E=-(40)(0.0120)\frac{0.100-0.300}{0.0500}\,\mathrm V=+1.92\,\mathrm V

[1][2]

Umstellen · Anwenden

Gleicher orientierter Fluss je Windung ändert sich um +0,250 mWb in 0,0400 s. Mindestens 0,200 V Betrag der mittleren EMK werden gefordert. Wie viele gleichorientierte Windungen sind mindestens nötig?

Hinweis anzeigen

Windungszahl muss ganzzahlig sein; runde gegebenenfalls auf.

Lernziel: Eine Mindestwindungszahl aus einer geforderten mittleren EMK finden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $N\ge\frac{|\overline{\mathcal E}|\Delta t}{|\Delta\Phi_B|}$ .
Hier ergibt sich exakt 32, also mindestens 32 Windungen.
Die mittlere EMK ist dann −0,200 V.

Kontrolle: 31 Windungen liefern nur 0,19375 V Betrag und erfüllen die Vorgabe nicht.

N_{\min}=\left\lceil\frac{(0.200)(0.0400)}{0.250\cdot10^{-3}}\right\rceil=32

[1]

Interpretieren · Anwenden

Eine Windung: Fluss steigt linear von 0 auf +2,00 mWb in 0,100 s, bleibt 0,200 s konstant und fällt in 0,0500 s auf null. Welche EMK liegt in den drei offenen Zeitintervallen vor? Idealisiere die Übergänge als Knicke.

Hinweis anzeigen

Die Steigung zählt; nicht die Höhe des Flussdiagramms.

Lernziel: Anstieg, Plateau und Abfall als EMK-Signal lesen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: In jedem Intervall die negative Flusssteigung bestimmen.
EMK-Werte −20,0 mV, null und +40,0 mV.
Der schnellere Abfall hat den doppelten Betrag.

Kontrolle: Beide EMK-Flächen addieren sich zu null, weil der Fluss am Ende zum Anfang zurückkehrt. An den idealen Knicken ist die gewöhnliche Ableitung nicht eindeutig.

\begin{aligned}\mathcal E_1&=-\frac{0.00200}{0.100}\,\mathrm V=-0.0200\,\mathrm V\\\mathcal E_2&=0\\\mathcal E_3&=-\frac{-0.00200}{0.0500}\,\mathrm V=+0.0400\,\mathrm V\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Eine ideale sinusförmige EMK mit Scheitelwert 6,00 V treibt einen Widerstand 12,0 Ω. Eigeninduktion vernachlässigbar. Ein Bericht nennt $\overline P=3{,}00\,\mathrm W$ über ganze Perioden. Korrigiere ihn.

Hinweis anzeigen

Der Periodenmittelwert des Sinusquadrats ist ein Halb.

Lernziel: Scheitelwert nicht mit thermisch wirksamem Effektivwert verwechseln.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\overline P=\frac{\mathcal E_{\mathrm{rms}}^2}{R}$ , nicht das Scheitelquadrat dividiert durch den Widerstand.
Effektivwert etwa 4,24 V, mittlere Leistung 1,50 W.
Die genannten 3,00 W sind die maximale Momentanleistung.

Kontrolle: Der mittlere Betrag des Stroms wird hier nicht zur Leistungsrechnung benötigt.

\begin{aligned}\mathcal E_{\mathrm{rms}}&=\frac{6.00}{\sqrt2}\,\mathrm V\\\overline P&=\frac{(6.00\,\mathrm V)^2}{2(12.0\,\Omega)}=1.50\,\mathrm W\end{aligned}

[5]

Transfer · Anwenden

Zwei in Reihe liegende gleichorientierte Windungen haben während eines Intervalls $\dot\Phi_1=+0{,}00300\,\mathrm{Wb/s}$ und $\dot\Phi_2=-0{,}00100\,\mathrm{Wb/s}$ . Bestimme die gesamte EMK. Erkläre, warum zweimal der erste Beitrag falsch ist.

Hinweis anzeigen

Summiere die Flüsse vor dem Differenzieren.

Lernziel: Ungleiche Windungsflüsse als verkettete Summe behandeln.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\mathcal E=-\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(\Phi_1+\Phi_2)$ .
Gesamt-EMK −2,00 mV.
Zweimal der erste Beitrag ergäbe −6,00 mV und ignoriert den anders verlaufenden zweiten Fluss.

Kontrolle: Die einzelnen EMK-Werte −3,00 und +1,00 mV ergeben in orientierter Reihensumme −2,00 mV.

\mathcal E=-(0.00300-0.00100)\,\mathrm V=-0.00200\,\mathrm V

[1]

Kurz zusammengefasst

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

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1. Oktober 2026DE/EN-Erklärung mit orientierter Herleitung, zwei eigenen Rechenbeispielen und fünf verschiedenen gelösten Aufgaben ausgearbeitet.
1. Oktober 2026Lernverlauf und Modellbegründung erweitert, drittes durchgerechnetes Beispiel und eigene quantitative Grafik ergänzt; Formelsatz und Schlusszusammenfassung präzisiert.
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Wie berechnet man die induzierte Spannung mit dem Faradayschen Gesetz?+

Was bedeutet das Minuszeichen im Faradayschen Gesetz?+

Wie kann man die induzierte Spannung erhöhen, ohne das Magnetfeld zu verstärken?+

Warum reicht ein starkes Magnetfeld allein nicht zur Induktion?+

Was ist der Unterschied zwischen magnetischem Fluss und Flussdichte?+

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Faradaysches Induktionsgesetz

Variablen & Einheiten

Induktionsspannung berechnen

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Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

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Aufgabenvariante

Typische Fehler

Klausurkontext

Induktion und Felder

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel: Faradaysches Induktionsgesetz

Der Zeiger reagiert auf die Änderung

Wann ist die Flussverkettung N-mal derselbe Fluss?

Eine Normale bestimmt den positiven Umlauf

Induktionsspannung: Momentanwert oder mittlerer Wert?

Ist die induzierte EMK die gemessene Klemmenspannung?

Beispiel: ein linearer Feldanstieg

EMK und Wärme einer belasteten Messspule

Beispiel: null Netto-Ladung, aber positive Wärme

Ein Flusspuls kehrt zum Anfang zurück

Momentanwert, Mittelwert und Effektivwert

EMK folgt der Steigung, nicht der Flusshöhe

Generator, Suchspule und Grenzen des Strommodells

Beispiel: gekrümmter Flussverlauf

Mittelwert und Endwert auseinanderhalten

Fünf Aufgaben zu Flussverlauf und EMK

40 Windungen mit je 0,0120 m2, positive Normale parallel zu +z. Das homogene äußere Feld fällt linear von +0,300 auf +0,100 T in 0,0500 s. Bestimme EMK und Umlaufsinn einer rein ohmschen Last.

Gleicher orientierter Fluss je Windung ändert sich um +0,250 mWb in 0,0400 s. Mindestens 0,200 V Betrag der mittleren EMK werden gefordert. Wie viele gleichorientierte Windungen sind mindestens nötig?

Eine Windung: Fluss steigt linear von 0 auf +2,00 mWb in 0,100 s, bleibt 0,200 s konstant und fällt in 0,0500 s auf null. Welche EMK liegt in den drei offenen Zeitintervallen vor? Idealisiere die Übergänge als Knicke.

Eine ideale sinusförmige EMK mit Scheitelwert 6,00 V treibt einen Widerstand 12,0 Ω. Eigeninduktion vernachlässigbar. Ein Bericht nennt P‾=3,00 W\overline P=3{,}00\,\mathrm WP=3,00W über ganze Perioden. Korrigiere ihn.

Kurz zusammengefasst

Belege zu dieser Erklärung

Häufige Fragen: Faradaysches Induktionsgesetz

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Verwandte Formeln

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Variablen & Einheiten

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Typische Fehler

Klausurkontext

Induktion und Felder

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel: Faradaysches Induktionsgesetz

Der Zeiger reagiert auf die Änderung

Wann ist die Flussverkettung N-mal derselbe Fluss?

Eine Normale bestimmt den positiven Umlauf

Induktionsspannung: Momentanwert oder mittlerer Wert?

Ist die induzierte EMK die gemessene Klemmenspannung?

Beispiel: ein linearer Feldanstieg

EMK und Wärme einer belasteten Messspule

Beispiel: null Netto-Ladung, aber positive Wärme

Ein Flusspuls kehrt zum Anfang zurück

Momentanwert, Mittelwert und Effektivwert

EMK folgt der Steigung, nicht der Flusshöhe

Generator, Suchspule und Grenzen des Strommodells

Beispiel: gekrümmter Flussverlauf

Mittelwert und Endwert auseinanderhalten

Fünf Aufgaben zu Flussverlauf und EMK

40 Windungen mit je 0,0120 m2, positive Normale parallel zu +z. Das homogene äußere Feld fällt linear von +0,300 auf +0,100 T in 0,0500 s. Bestimme EMK und Umlaufsinn einer rein ohmschen Last.

Gleicher orientierter Fluss je Windung ändert sich um +0,250 mWb in 0,0400 s. Mindestens 0,200 V Betrag der mittleren EMK werden gefordert. Wie viele gleichorientierte Windungen sind mindestens nötig?

Eine Windung: Fluss steigt linear von 0 auf +2,00 mWb in 0,100 s, bleibt 0,200 s konstant und fällt in 0,0500 s auf null. Welche EMK liegt in den drei offenen Zeitintervallen vor? Idealisiere die Übergänge als Knicke.

Eine ideale sinusförmige EMK mit Scheitelwert 6,00 V treibt einen Widerstand 12,0 Ω. Eigeninduktion vernachlässigbar. Ein Bericht nennt P‾=3,00 W\overline P=3{,}00\,\mathrm WP=3,00W über ganze Perioden. Korrigiere ihn.

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Häufige Fragen: Faradaysches Induktionsgesetz

40 Windungen mit je 0,0120 m², positive Normale parallel zu +z. Das homogene äußere Feld fällt linear von +0,300 auf +0,100 T in 0,0500 s. Bestimme EMK und Umlaufsinn einer rein ohmschen Last.

Eine ideale sinusförmige EMK mit Scheitelwert 6,00 V treibt einen Widerstand 12,0 Ω. Eigeninduktion vernachlässigbar. Ein Bericht nennt $\overline P=3{,}00\,\mathrm W$ über ganze Perioden. Korrigiere ihn.

40 Windungen mit je 0,0120 m², positive Normale parallel zu +z. Das homogene äußere Feld fällt linear von +0,300 auf +0,100 T in 0,0500 s. Bestimme EMK und Umlaufsinn einer rein ohmschen Last.

Eine ideale sinusförmige EMK mit Scheitelwert 6,00 V treibt einen Widerstand 12,0 Ω. Eigeninduktion vernachlässigbar. Ein Bericht nennt $\overline P=3{,}00\,\mathrm W$ über ganze Perioden. Korrigiere ihn.