Lincoln-Index (Fang-Wiederfang-Methode)

Man fängt eine erste Gruppe Tiere, markiert sie unauffällig und lässt sie wieder frei. Nach einer Weile, in der sich die markierten Tiere gleichmäßig mit den übrigen mischen, fängt man erneut eine Gruppe. In diesem zweiten Fang zählt man, wie viele markierte Tiere dabei sind. Die Idee ist ein Dreisatz: Der Anteil markierter Tiere im zweiten Fang entspricht dem Anteil markierter Tiere in der ganzen Population. Daraus folgt die Formel $N =\frac{ M\cdot{}C}{R}$ mit den markierten Tieren M, dem gesamten zweiten Fang C und den darin wiedergefangenen Markierten R. Je größer der Anteil Markierter im zweiten Fang, desto kleiner ist die geschätzte Population. So lässt sich die Größe von Populationen abschätzen, die man nicht vollständig zählen kann, etwa Fische in einem Teich.

Man setzt die drei gemessenen Zahlen in die Formel $N =\frac{ M\cdot{}C}{R}$ ein. M ist die Zahl der im ersten Fang markierten und freigelassenen Tiere, C die Gesamtzahl im zweiten Fang und R die Zahl der markierten Tiere, die man im zweiten Fang wiederfängt. Beispiel: Man markiert $M = 40$ Fische. Im zweiten Fang sind $C = 50$ Fische, davon $R = 8$ markiert. Dann ist $N =\frac{ (40\cdot{}50)}{8} =\frac{ 2000}{8} = 250$ Fische. Wichtig ist, C und R nicht zu verwechseln: C ist der ganze zweite Fang, R nur der markierte Teil davon. Bei kleinem R wird die Schätzung ungenau und tendenziell zu hoch; dann verwendet man die Chapman-Korrektur $N =\frac{ (M+1)(C+1)}{(R+1)} - 1$, die für dasselbe Beispiel etwa 231 ergibt.

Die Methode setzt eine geschlossene Population voraus: Zwischen den beiden Fängen darf es keine Geburten, Todesfälle, Zu- oder Abwanderung geben, sonst stimmt das Verhältnis nicht mehr. Außerdem müssen sich die markierten Tiere gleichmäßig mit den unmarkierten mischen, damit die Stichprobe repräsentativ ist; dafür braucht es genug Zeit zwischen den Fängen. Die Markierung darf weder das Überleben noch die Fangbarkeit beeinflussen: Markierte Tiere dürfen nicht auffälliger für Räuber, nicht scheuer und nicht leichter wieder zu fangen sein. Auch dürfen keine Markierungen verloren gehen. Schließlich sollte jedes Tier die gleiche Fangwahrscheinlichkeit haben. Sind diese Bedingungen verletzt, wird die Schätzung verzerrt. In der Praxis wählt man Markierungen und Zeitabstände so, dass die Annahmen möglichst gut erfüllt sind, und nutzt bei Bedarf erweiterte Modelle.

Der Wiederfang R steht im Nenner der Formel $N =\frac{ M\cdot{}C}{R}$. Ist R klein, wirken sich schon kleine Zählunterschiede stark auf das Ergebnis aus: Ob man 2 oder 3 markierte Tiere wiederfängt, verändert die Schätzung erheblich. Zudem ist die einfache Formel bei kleinem R systematisch nach oben verzerrt, sie überschätzt die Population im Mittel. Der Grund liegt in der Statistik des Ziehens: Bei wenigen Wiederfängen ist der geschätzte Anteil Markierter zufälliger und im Erwartungswert verzerrt. Deshalb nutzt man die Chapman-Korrektur $N =\frac{ (M+1)(C+1)}{(R+1)} - 1$, die diese Verzerrung deutlich verringert und selbst dann funktioniert, wenn $R = 0$ ist. Grundsätzlich sollte man M und C groß genug wählen, damit man genügend markierte Tiere wiederfängt, in der Regel mindestens etwa zehn, um verlässliche Schätzungen zu erhalten.

Die Methode dient überall dort, wo man Populationen nicht vollständig zählen kann, weil die Tiere mobil, versteckt oder zu zahlreich sind. In der Fischereibiologie schätzt man damit Fischbestände in Seen und Flüssen, um Fangquoten festzulegen. Im Wildtiermanagement erfasst man Säugetier- oder Vogelbestände für den Naturschutz, oft mit Ringen, Ohrmarken oder Fotofallen als Markierung. Bei Insekten und Schnecken bestimmt man lokale Populationsgrößen in ökologischen Studien. Sogar in der Epidemiologie nutzt man das gleiche Prinzip, um die Dunkelziffer von Krankheitsfällen zu schätzen, indem man zwei unabhängige Melderegister vergleicht. Der große Vorteil ist, dass eine vollständige Zählung entfällt und schon zwei Stichproben eine brauchbare Schätzung liefern. Voraussetzung bleibt, dass die Annahmen der Methode hinreichend erfüllt sind, sonst wird das Ergebnis verzerrt.