Sinussatz

Der Sinussatz sagt: In jedem Dreieck ist das Verhältnis aus Seite und Sinus des gegenüberliegenden Winkels konstant, $\frac{a}{\sin{}} \alpha{} =\frac{ b}{\sin{}} \beta{} =\frac{ c}{\sin{}} \gamma{}$. Du pickst dir zwei der drei Quotienten heraus und löst nach der gesuchten Größe auf. Voraussetzung ist, dass mindestens ein Paar aus Seite und Gegenwinkel vollständig bekannt ist. Beispiel: $c = 10$, $\gamma{} = 80$°, $\alpha{} = 40$° ergibt $a =\frac{ c\cdot{}\sin{} \alpha{}}{\sin{}} \gamma{} =\frac{ 10\cdot{}0{,}643}{0{,}985} \approx{} 6{,}53$. Typische Fälle: WSW/SWW (zwei Winkel und eine Seite; den dritten Winkel liefert die Winkelsumme 180°) und SSW (zwei Seiten und ein nicht eingeschlossener Winkel, Vorsicht Mehrdeutigkeit). Fehlt ein komplettes Paar, etwa bei SWS oder SSS, ist der Kosinussatz das richtige Werkzeug.

Sind zwei Seiten und ein NICHT eingeschlossener Winkel gegeben, kann es zwei verschiedene Dreiecke geben. Der Grund: Der Sinussatz liefert nur sin β, und wegen sin(180° − β) = sin β passen zu diesem Wert zwei Winkel, ein spitzer und ein stumpfer. Beispiel: $a = 7$, $b = 9$, $\alpha{} = 45$° gibt $\sin{} \beta{} = 9\cdot{}\sin{} 45$°/7 ≈ 0,909, also $\beta{}_{1} \approx{} 65{,}4$° oder $\beta{}_{2} \approx{} 114{,}6$°. Beide sind gültig, wenn die Winkelsumme mit dem dritten Winkel positiv bleibt: $\gamma{}_{1} \approx{} 69{,}6$° und $\gamma{}_{2} \approx{} 20{,}4$°, hier existieren also wirklich zwei Dreiecke. Prüfschema: $\beta{}_{2} = 180$° − β₁ berechnen und testen, ob $\alpha{} + \beta{}_{2} < 180$° gilt. Eindeutig ist die Lage immer dann, wenn die dem gegebenen Winkel gegenüberliegende Seite die längere ist.

Stelle das passende Quotientenpaar auf und löse nach der Seite auf: $b =\frac{ a\cdot{}\sin{} \beta{}}{\sin{}} \alpha{}$. Kenne dazu ein vollständiges Paar (a und α) sowie den Gegenwinkel β der gesuchten Seite. Beispiel: $a = 8$, $\alpha{} = 45$°, $\beta{} = 60$° liefert $b = 8\cdot{}\sin{} 60$°/sin 45° = 8·0,866/0,707 ≈ 9,80. Fehlt der Gegenwinkel der gesuchten Seite, berechne ihn zuerst über die Winkelsumme: $\gamma{} = 180$° $- \alpha{} - \beta{} = 75$°, dann $c = 8\cdot{}\sin{} 75$°/sin 45° ≈ 10,93. Kontrolle über die Ordnungsregel: Die größere Seite liegt immer dem größeren Winkel gegenüber; hier wächst die Kette $a < b < c$ passend zu 45° < 60° < 75°. Taschenrechner auf DEG stellen und Zwischenwerte nicht zu früh runden.

Der gemeinsame Wert der drei Quotienten hat eine geometrische Bedeutung: $\frac{a}{\sin{}} \alpha{} =\frac{ b}{\sin{}} \beta{} =\frac{ c}{\sin{}} \gamma{} = 2R$, wobei R der Radius des Umkreises ist, also des Kreises durch alle drei Eckpunkte. Das folgt aus dem Peripheriewinkelsatz: Der Winkel α erscheint über der Sehne a, und die Sehnenlänge ist $a = 2R\cdot{}\sin{} \alpha{}$. Diese erweiterte Form beantwortet Zusatzfragen elegant: Aus $a = 6$ und $\alpha{} = 30$° folgt sofort $2R =\frac{ 6}{0{,}5} = 12$, der Umkreis hat Radius 6. Umgekehrt erklärt sie, warum der Sinussatz überhaupt gilt: Alle drei Seiten sind Sehnen desselben Kreises, ihre Längen skalieren daher einheitlich mit den Sinuswerten ihrer Umfangswinkel.

Weil die Umkehrfunktion arcsin nur Werte zwischen 0° und 90° (für positive Eingaben) ausgibt. Ein Dreieckswinkel kann aber stumpf sein, und wegen sin(180° − β) = sin β sieht der Rechner keinen Unterschied zwischen β und seinem Ergänzungswinkel. Beispiel: Ist der wahre Winkel 114,6°, zeigt arcsin(0,909) trotzdem 65,4° an. Deshalb musst du nach jedem arcsin beim Sinussatz aktiv prüfen, ob stattdessen 180° minus Anzeige gemeint sein könnte: Passt die Winkelsumme? Liegt die größte Seite dem größten Winkel gegenüber? Sagt die Skizze stumpf oder spitz? Als Ausweichstrategie kannst du große Winkel mit dem Kosinussatz berechnen, dessen arccos den vollen Bereich bis 180° eindeutig abdeckt, oder grundsätzlich zuerst die kleineren Winkel bestimmen.