Kosinussatz

Entscheide nach den gegebenen Stücken. Der Kosinussatz ist zuständig, wenn kein vollständiges Seite-Gegenwinkel-Paar vorliegt: beim Fall SWS (zwei Seiten und der eingeschlossene Winkel, gesucht die dritte Seite) und beim Fall SSS (drei Seiten, gesucht die Winkel). Der Sinussatz braucht dagegen immer ein Paar aus Seite und gegenüberliegendem Winkel und bedient damit $\frac{WSW}{SWW}$ und SSW. Praktisches Vorgehen in Klausuren: Skizze machen, Gegebenes markieren, prüfen ob ein Seite-Gegenwinkel-Paar komplett ist. Wenn ja: Sinussatz (kürzer). Wenn nein: Kosinussatz. Oft kombiniert man beide, etwa erst mit dem Kosinussatz die dritte Seite aus SWS berechnen und dann die restlichen Winkel bequem mit dem Sinussatz oder erneut dem Kosinussatz bestimmen.

Löse c² = a² + b² − 2ab·cos γ nach cos γ auf: Bringe $c^{2}$ und den Kosinusterm auf verschiedene Seiten, dann ist cos γ = (a² + b² − c²)/(2ab), und $\gamma{} = \arccos{}$ davon. Beispiel mit $a = 4$, $b = 6$, $c = 8$: $\cos{} \gamma{} =\frac{ (16 + 36 - 64)}{48} = -\frac{12}{48} = -0{,}25$, also $\gamma{} = \arccos{}(-0{,}25) \approx{} 104{,}5$°. Das funktioniert für jeden Winkel, wenn du die Rollen zyklisch tauschst: $\cos{} \alpha{} =\frac{ (b^{2} + c^{2} - a^{2})}{(2bc)}$. Ein großer Vorteil gegenüber dem Sinussatz: arccos liefert im Bereich 0° bis 180° ein eindeutiges Ergebnis, es gibt keine Zweideutigkeit. Am Vorzeichen liest du die Winkelart direkt ab: positiver Kosinus heißt spitzer Winkel, negativer stumpfer.

Der Kosinussatz ist die Verallgemeinerung des Pythagoras auf beliebige Dreiecke: c² = a² + b² − 2ab·cos γ. Setzt du $\gamma{} = 90$°, wird $\cos{} \gamma{} = 0$, der Korrekturterm verschwindet und übrig bleibt $c^{2} = a^{2} + b^{2}$, der klassische Pythagoras. Für spitze Winkel $(\cos{} \gamma{} > 0)$ wird etwas abgezogen, c ist kürzer als im rechtwinkligen Fall; für stumpfe Winkel $(\cos{} \gamma{} < 0)$ wird effektiv addiert, c ist länger. Der Term −2ab·cos γ misst also genau, wie weit das Dreieck vom rechten Winkel abweicht. Diese Sichtweise taugt auch als Plausibilitätsprüfung im Kopf: Ist der eingeschlossene Winkel stumpf, muss die berechnete Gegenseite länger sein als $\sqrt{(a^{2} + b^{2})}$, sonst stimmt etwas nicht.

Im Dreieck liegen alle Winkel zwischen 0° und 180°, und auf diesem Bereich ist der Kosinus eine eindeutige, fallende Funktion: positiv für spitze Winkel (0° bis 90°), null bei 90°, negativ für stumpfe Winkel (90° bis 180°). Liefert die Umstellung des Kosinussatzes also einen negativen Wert wie $\cos{} \gamma{} = -0{,}25$, weißt du sofort ohne Taschenrechner: γ ist stumpf, hier $\arccos{}(-0{,}25) \approx{} 104{,}5$°. Das ist ein echter Informationsgewinn gegenüber dem Sinussatz, bei dem $\sin{} \beta{} = 0{,}9$ nicht verrät, ob $\beta{} \approx{} 64$° oder ≈ 116° gemeint ist. Deshalb gilt die Empfehlung: Winkel, insbesondere den größten Winkel eines Dreiecks (gegenüber der längsten Seite), lieber mit dem Kosinussatz berechnen, da ist Stumpfheit automatisch richtig erkannt.

Beim Fall SWS: Setze die beiden bekannten Seiten und den EINGESCHLOSSENEN Winkel ein und wurzle am Ende. Beispiel: $b = 3$, $c = 5$ und $\alpha{} = 50$° (der Winkel zwischen ihnen... beachte: α liegt der gesuchten Seite a gegenüber und zwischen b und c). $a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2bc\cdot{}\cos{} \alpha{} = 9 + 25 - 30\cdot{}\cos{} 50$° = 34 − 30·0,643 ≈ 14,7, also $a \approx{} 3{,}84$. Drei Kontrollen lohnen sich: Erstens muss der eingesetzte Winkel wirklich zwischen den beiden bekannten Seiten liegen (und damit der gesuchten Seite gegenüber). Zweitens Taschenrechner-Modus DEG prüfen. Drittens Dreiecksungleichung als Plausibilität: a muss zwischen $|b - c| = 2$ und $b + c = 8$ liegen, 3,84 passt. Das Vergessen der Wurzel am Schluss ist der banalste, aber häufigste Fehler.