Spannenergie einer Feder

Setze Federkonstante und Auslenkung in E = ½·D·s² ein. Die Auslenkung muss in Metern stehen: Eine Feder mit D = 400 N/m, die um 10 cm = 0,1 m gedehnt wird, speichert E = ½ × 400 × 0,01 = 2 J. Der häufigste Fehler ist die Auslenkung in Zentimetern, er verfälscht wegen des Quadrats gleich um den Faktor 10.000. Zweithäufigster Fehler: den Faktor ½ vergessen. Ob die Feder gedehnt oder gestaucht wird, spielt keine Rolle, s² macht das Vorzeichen bedeutungslos. Die Formel gilt, solange die Feder dem Hookeschen Gesetz folgt, also im elastischen Bereich.

Aus dem linearen Kraftverlauf beim Spannen. Die Federkraft ist nicht konstant, sie wächst nach Hooke von null am Anfang bis D·s am Ende. Die Spannarbeit ist deshalb nicht Endkraft mal Weg, sondern das Integral der Kraft über den Weg, geometrisch die Fläche unter der F-s-Geraden. Diese Fläche ist ein Dreieck mit Grundseite s und Höhe D·s, also W = ½·(D·s)·s = ½·D·s². Man kann auch mit der mittleren Kraft argumentieren: Sie beträgt (0 + D·s)/2 = ½·D·s, und mittlere Kraft mal Weg liefert dasselbe Ergebnis. Wer die Endkraft nimmt, überschätzt die Energie exakt um den Faktor 2.

Sie beschreiben dieselbe Feder aus zwei Blickwinkeln: F = D·s ist die Kraft bei einer bestimmten Auslenkung, E = ½·D·s² die bis dahin insgesamt hineingesteckte Arbeit. Mathematisch ist die Energie das Integral der Kraft über den Weg, umgekehrt ist die Kraft die Ableitung der Energie nach der Auslenkung. Deshalb gelten beide Formeln exakt im selben Bereich: solange die Kennlinie eine Gerade ist. Jenseits der Proportionalitätsgrenze verformt sich die Feder plastisch, ein Teil der Arbeit geht in bleibende Verformung und Wärme, und beide Formeln versagen gemeinsam. Praktisch: Aus einer gemessenen F-s-Kennlinie liest man D als Steigung ab und bekommt die Energie als Fläche.

Über die Energieerhaltung: Beim Entspannen wandelt sich die Spannenergie in kinetische Energie um, ½·D·s² = ½·m·v², aufgelöst v = s·√(D/m). Beispiel Federgewehr: D = 500 N/m, s = 6 cm gespannt, Kugel m = 20 g. Gespeichert sind E = ½ × 500 × 0,0036 = 0,9 J, also v = √(2 × 0,9/0,02) = √90 ≈ 9,5 m/s. Real liegt die Mündungsgeschwindigkeit etwas darunter, weil Reibung und die mitbeschleunigte Federmasse Energie schlucken. Dasselbe Schema funktioniert vertikal mit Lageenergie (Trampolin: ½Ds² = mgh) und ist das Standardmuster für Klausuraufgaben mit Federn.

Weil beim Weiterspannen gegen eine immer größere Kraft gearbeitet wird. Auf den ersten Zentimetern ist die Gegenkraft klein, am Ende groß; der zweite Teil des Weges kostet deshalb mehr Arbeit als der erste. Quantitativ steckt das im Quadrat: E ∝ s², also bedeutet 2s die vierfache, 3s die neunfache Energie. Am Dreieck unter der Kraft-Weg-Geraden sieht man es sofort: Doppelte Grundseite und doppelte Höhe vervierfachen die Fläche. Konsequenz für Schwingungen: Ein Federpendel mit doppelter Amplitude trägt die vierfache Gesamtenergie, und beim Bogenschießen bewirken die letzten Zentimeter Auszug den größten Energiezuwachs.