Spannenergie einer Feder

Schon während des Spannens wächst die benötigte Haltekraft. Deshalb ist die verrichtete Arbeit kleiner als Endkraft mal Gesamtweg: Die größte Kraft wirkt erst am Ende. Eine Kraft-Weg-Zeichnung zeigt diesen Unterschied unmittelbar. Beginnt die Feder unbelastet und bleibt sie linear, ist die Fläche ein Dreieck; bei vorhandener Vorspannung kommt eine zusätzliche rechteckige Fläche hinzu.[1]

D ist die konstante Federsteifigkeit in N/m, häufig auch k genannt. s ist die signierte Längenänderung relativ zur kraftfreien natürlichen Länge. Bei einer idealen Feder mit gleichem linearem Verhalten in Zug und Druck liefern +s und −s dieselbe gespeicherte Energie. Die Federkraft auf den beweglichen Körper lautet dagegen $F_s=-Ds$ und hat ein Richtungszeichen.[1]

„Ruhelage“ ist ohne Zusatz mehrdeutig. Eine senkrecht belastete Feder kann ruhen, obwohl sie gedehnt ist. Ihre Federenergie ist dann nicht null, wenn das Nullniveau an der natürlichen Länge liegt. Die Auslenkung um das belastete Gleichgewicht ist eine andere Koordinate; für sie muss die gesamte potentielle Energie einschließlich der Gewichtskraft betrachtet werden.[3]

Spanne die ideale Feder langsam von $s=0$ aus, sodass die kinetische Energie unverändert bleibt und keine Verluste auftreten. Die äußere Kraft gleicht dann die Federkraft aus: $F_{\mathrm{ext}}=Ds$. Die zugeführte mechanische Arbeit ist das Integral dieser veränderlichen Kraft. Der Mittelwert entlang des Weges beträgt bei einer Geraden durch den Ursprung nur die halbe Endkraft.[2]

Entspannt sich die Feder von s₁ > 0 auf null, sinkt ihre Energie und ihre Arbeit am Körper ist positiv. Wird sie weiter gespannt, steigt ihre Energie und ihre Arbeit ist negativ. Bei schnellem Spannen kann äußere Arbeit zusätzlich Bewegungsenergie erzeugen; sie ist dann nicht automatisch ausschließlich die Federenergiezunahme.

Energie bestimmt aus dieser Gleichung nur |s|, nicht Zug oder Druck. 12 cm werden vor dem Quadrieren 0,12 m. Eine Steifigkeit von 2 N/mm entspricht 2000 N/m. Beim Umrechnen von Zentimetern bleibt der quadratische Faktor entscheidend: 10 cm ist 0,1 m, nicht 10 m.

Eigener Zahlencheck: Für $D=250\,\mathrm{N\,m^{-1}}$ sind bei $s=0{,}04\,\mathrm m$ 0,20 J gespeichert und bei $s=0{,}12\,\mathrm m$ 1,80 J. Die Zunahme beträgt 1,60 J. Das Quadrat der Änderung ergäbe $\frac12D(0{,}08\,\mathrm m)^2=0{,}80\,\mathrm J$ und ist falsch für diese beiden Zustände.

Bei U = 0 und D > 0 ist s = 0. Aus U = 0 und s = 0 lässt sich D dagegen nicht bestimmen: Jede positive Steifigkeit passt. Eine positive Energie bei s = 0 widerspricht dem gewählten Nullniveau. Negative U-Werte sind bei diesem Nullniveau im idealen linearen Modell ausgeschlossen.[1]

Die kinetische Energie beschreibt hier die reine Translation des Wagens. Das folgende Beispiel setzt deshalb eine horizontale reibungsfreie Bahn und eine masselose Feder voraus.[3]

Für eine senkrechte Feder sei s nach unten positiv. Dann ist $U_{\mathrm{gesamt}}(s)=\frac12Ds^2-mgs+C$ und das statische Gleichgewicht $s_{\mathrm{eq}}=\frac{mg}{D}$. Mit $q=s-s_{\mathrm{eq}}$ lässt sich die gesamte potentielle Energie als $\frac12Dq^2$ plus Konstante schreiben. Der lineare Anteil der Federenergie wird hierbei durch den linearen Gravitationsanteil aufgehoben; in der Federenergie allein verschwindet er nicht.[3]

Eine Spannungsvorrichtung mit eigener konstanter Anfangszugkraft kann eine Kennlinie $F_{\mathrm{ext}}(q)=F_0+Dq$ haben. Die zugeführte Energie relativ zu $q=0$ beträgt dann $F_0q+\frac12Dq^2$. Lege die konkrete Kennlinie und den erlaubten Wegbereich offen; „vorspannt“ ist kein ausreichender Grund, beliebig die Nullpunktformel zu verwenden.

Elastisch heißt nicht automatisch linear. Bei einer konservativen nichtlinearen Feder wird Energie durch das Integral der tatsächlichen Kraftkennlinie bestimmt. Außerhalb des linearen Bereichs darfst du D nicht als denselben konstanten Faktor verwenden. Ob die gespeicherte Energie größer oder kleiner als ½Ds² ist, hängt von der Kennlinie ab; es gibt keine allgemeine Richtung dieser Abweichung.

Hysterese, innere Reibung und plastische Verformung können dafür sorgen, dass beim Entladen weniger Arbeit zurückgewonnen wird als beim Spannen zugeführt wurde. Eine Dämpfungskraft ist kein zusätzlicher Teil der idealen gespeicherten Federenergie. Bei schweren Federn, rotierenden Anbauteilen oder Reibung verteilt sich Energie außerdem auf weitere Anteile; $\frac12Ds^2=\frac12mv^2$ allein reicht dann nicht.[2][3]

Die Federenergie wächst mit dem Quadrat der Auslenkung. Für eine zusätzliche Dehnung brauchst du die Differenz der Energien an beiden Endpunkten; die Differenz der Auslenkungen allein darf nicht quadriert werden. Im quasistatischen verlustfreien Modell entspricht diese Zunahme der von außen verrichteten Arbeit.