Hookesches Gesetz für die Federkraft

Hänge kleine Lasten nacheinander an eine Feder und miss jeweils ihre Verlängerung gegenüber der unbelasteten Länge. Verdoppelt sich die Verlängerung bei doppelter Zuglast, ist das ein Hinweis auf einen linearen Bereich. Die Steifigkeit beschreibt den Zusammenhang zwischen diesen Größen, nicht eine universelle Eigenschaft jeder Feder bei beliebiger Belastung. Vorzeichen kommen erst hinzu, wenn eine positive Bewegungsrichtung festgelegt wird.[1]

In der Formel oben ist F der positive Kraftbetrag und x der Betrag der Längenänderung. k ist die Federkonstante oder Federhärte, häufig auch D genannt. Eine Feder mit $k=80\,\mathrm{N\,m^{-1}}$ benötigt für 1 cm Längenänderung 0,8 N Haltekraft; für 2 cm sind es im linearen Modell 1,6 N. Größeres k bedeutet bei gleicher Auslenkung mehr Kraft.

Für eine vorzeichenbehaftete Längenänderung x gegenüber der natürlichen, unbelasteten Länge ist die gerichtete Federkraft $F_x=-kx$. Sie wirkt der Dehnung oder Stauchung entgegen. Bei einer horizontalen Feder ohne weitere konstante Kräfte ist diese natürliche Länge zugleich die Gleichgewichtslage. Bei einer vertikal belasteten Feder ist das anders: Die Federkraft ist im Gleichgewicht nicht null, sondern gleicht das Gewicht aus. Nur die Nettokraft lautet dann $F_{\mathrm{net}}=-ky$, wenn y vom belasteten Gleichgewicht aus gemessen wird.[1]

Die Einheit N/m beschreibt die Kraftzunahme pro Meter zusätzlicher Dehnung im linearen Bereich. Die absolute Federlänge l ist nicht die Auslenkung. Miss zuerst die unbelastete Länge l₀ und bilde $x=l-l_0$. Bei einer vorgespannten Feder kann der gewählte Arbeitspunkt schon eine Kraft F₀ tragen. Dann lautet die lokale lineare Beziehung $F_{\mathrm{hold}}-F_0=k(x-x_0)$. Eine durch den Ursprung gelegte Gerade würde diese Vorspannung übersehen.

Eigene Messprobe: 2 N bei 8 mm und 5 N bei 20 mm ergeben $k=\frac{\Delta F_{\mathrm{hold}}}{\Delta x}=\frac{3\,\mathrm N}{0{,}012\,\mathrm m}=250\,\mathrm{N\,m^{-1}}$. Der zweite Punkt liefert als Gegenprobe $kx=250\cdot0{,}020\,\mathrm N=5\,\mathrm N$. Mehrere Messpunkte zeigen, ob eine konstante Steigung sinnvoll ist; Last- und Entlastungskurven können zusätzliche Abweichungen sichtbar machen.

Eine Federkonstante in N/mm muss vor einer Rechnung mit Metern umgerechnet werden: $1\,\mathrm{N/mm}=1000\,\mathrm{N/m}$. Die hier bestimmte Steigung von 250 N/m entspricht 0,25 N/mm. Mit einer Verlängerung von 20 mm ergibt beides dieselbe Haltekraft von 5 N; die Federkraft zeigt in Gegenrichtung.

Das Hookesche Gesetz ist ein Material- und Bauteilmodell, keine Folgerung allein aus Newtons Bewegungsgesetz. Zeigt die Messung über einen Bereich eine konstante Steigung, gilt dort $\Delta F_{\mathrm{hold}}=k\Delta x$. Ohne Vorspannung und mit unbelastetem Nullpunkt folgt $F_{\mathrm{hold}}=kx$. Diese Schritte begründen die Formel aus einer beobachteten Linearität; sie beweisen nicht, dass jede Feder bei jeder Belastung linear ist.

Das zweite Beispiel betrachtet die belastete vertikale Gleichgewichtslage. Für eine harmonische Schwingung des Federpendels wird die anschließende Bewegung relativ zu dieser Lage gemessen, nicht relativ zur unbelasteten Federlänge.[1]

Die Spannenergie der Feder ergibt sich aus der Arbeit beim Dehnen oder Stauchen. Beim langsamen Spannen steigt die Haltekraft von null bis kx. Im Kraft-Weg-Diagramm ist die verrichtete Arbeit daher die Dreiecksfläche und nicht das Rechteck aus Endkraft mal Weg. Die gespeicherte Energie ist bei Dehnung und Kompression positiv, wenn der entspannte Zustand als Energienullpunkt gewählt wird.[2]

Für die Feder aus dem ersten Beispiel ist die mittlere Haltekraft 5,6 N. Mit 0,035 m Weg ergibt sich $5{,}6\cdot0{,}035\,\mathrm J=0{,}196\,\mathrm J$. Endkraft mal Weg wäre 0,392 J und damit doppelt zu groß. Wird eine bereits gedehnte Feder weiter gedehnt, ist die Energieänderung $\frac12k(x_2^2-x_1^2)$, nicht $\frac12k(x_2-x_1)^2$.

Die folgenden Beziehungen ergeben sich direkt aus dem linearen Modell für ideale Federn und masselose Verbindungspunkte. Parallel angeordnete Federn erfahren dieselbe Längenänderung; ihre Kräfte addieren sich. In Reihe wirkt im statischen Gleichgewicht durch beide Federn derselbe Kraftbetrag; ihre Längenänderungen addieren sich.

Eigene Gegenüberstellung: 120 N/m und 180 N/m ergeben parallel 300 N/m, in Reihe 72 N/m. Unter 6 N dehnt sich die parallele Anordnung um 2 cm. In Reihe sind es 5 cm und rund 3,33 cm, zusammen rund 8,33 cm. Die unterschiedliche Kraft- und Wegverteilung erklärt den Unterschied ohne eine auswendig gelernte Regel.

Elastisch bedeutet, dass eine Verformung nach Entlastung zurückgeht; linear bedeutet konstante Steigung. Eine elastische, aber gekrümmte Kennlinie ist deshalb nicht automatisch durch ein konstantes k beschrieben. Bei bleibender Verformung, Windungskontakt oder anderen geometrischen Grenzen darf die Gerade nicht einfach fortgesetzt werden.[3]

Im Modell $F_x=-kx$ und ohne weitere Kräfte folgt mit Newton $m\ddot x=-kx$. Das beschreibt eine ungedämpfte harmonische Schwingung mit $\omega=\sqrt{\frac km}$. Reale Dämpfer erzeugen zusätzliche, häufig geschwindigkeitsabhängige Kräfte. Eine Feder ist daher kein vollständiges Stoßdämpfermodell. Eine vertikale Gewichtskraft verschiebt das Gleichgewicht, ohne in diesem idealen Modell die Frequenz zu verändern.[1]

Lege zuerst fest, ob die Koordinate von der natürlichen Länge oder vom belasteten Gleichgewicht aus gemessen wird. Entscheide dann, ob F einen Betrag, die gerichtete Federkraft oder die Nettokraft meint. Im Diagramm der äußeren Haltekraft gegen die Längenänderung ist die Steigung im linearen Bereich k; für die gerichtete Federkraft ist sie −k. Bei vertauschten Achsen lauten die entsprechenden Steigungen $\frac1k$ und $-\frac1k$. Prüfe außerdem Einheiten, Vorspannung und den gemessenen linearen Bereich.

Die eigene Kraft-Auslenkungs-Abbildung oberhalb zeigt Haltekraft, Rückstellkraft und gespeicherte Energie. Für einen Zahlenwert muss k angegeben oder aus Messdaten bestimmt sein; eine schematische Zeichnung liefert keine kalibrierte Federkonstante. Die nachfolgenden FAQ bündeln die typischen Fragen zu Vorzeichen und Grenzen.

Die lineare Federkraft ist proportional zur Auslenkung relativ zur unbelasteten Gleichgewichtslage. Die Rückstellkraft wirkt entgegengesetzt, die quasistatische Haltekraft in Auslenkungsrichtung. Prüfe zuerst den elastischen linearen Bereich; die gesamte Federlänge ist keine Auslenkung.