Zentripetalkraft

Lege den Kreismittelpunkt und den Radius $r>0$ fest. Der Geschwindigkeitsvektor zeigt entlang der Tangente, während die radiale Beschleunigung zum Mittelpunkt zeigt. Für einen klassischen Körper mit konstanter Masse ist die nötige radiale Resultierende $F_z=\frac{mv^2}{r}$. Zeichne dafür keine neue Wechselwirkung neben den realen Kräften ein: „Zentripetal“ bedeutet nach innen gerichtet und beschreibt deren radiale Summe. Diese radiale Bilanz ist Newtons zweites Gesetz für die zum Mittelpunkt gerichtete Komponente.[1]

Bei gleichförmiger Kreisbewegung ist die gesamte resultierende Kraft radial. Ändert sich der Geschwindigkeitsbetrag auf derselben Kreisbahn, kommt eine tangentiale Resultierende hinzu. Die Formel $\frac{mv^2}{r}$ bleibt für die radiale Komponente gültig, beschreibt dann aber nicht den gesamten Kraftbetrag.[2]

Vergleiche zwei nahe Zeitpunkte einer gleichförmigen Kreisbewegung. Beide Geschwindigkeitsvektoren sind gleich lang, aber gegeneinander verdreht. Schiebe ihre Anfangspunkte zusammen und verbinde ihre Spitzen. Dieser Verbindungsvektor ist die Geschwindigkeitsänderung. Die beiden Geschwindigkeitsvektoren bilden denselben Winkel wie die beiden Radiusvektoren; ihre Dreiecke sind ähnlich.[2]

Der erste Geschwindigkeitsfaktor stammt aus der Richtungsänderung pro Zeit: Bei höherem Tempo dreht sich die Bewegungsrichtung schneller. Der zweite Geschwindigkeitsfaktor beschreibt die Länge des Vektors, dessen Richtung geändert wird. Deshalb verlangt doppeltes Tempo auf demselben Kreis vierfache radiale Beschleunigung. Newtons zweites Gesetz multipliziert diese kinematische Größe anschließend mit der Masse.[2][1]

Für eine Kreisbahn mit konstanter Winkelgeschwindigkeit kann der Ortsvektor direkt parametrisiert werden. Wähle den Ursprung im Kreismittelpunkt. Einmaliges Ableiten liefert die tangentiale Geschwindigkeit, zweimaliges Ableiten einen zum Mittelpunkt gerichteten Vektor. So wird die Richtungsänderung sichtbar, ohne ein zusätzliches Kraftgesetz zu erfinden.[2]

Für nicht gleichförmige Bewegung setze θ(t) statt ωt ein. Der Geschwindigkeitsbetrag ist $v=r|\dot\theta|$; die radiale Beschleunigung zeigt mit $a_r=r\dot\theta^2=\frac{v^2}{r}$ nach innen. Wählst du die positive Tangentenrichtung in Richtung zunehmender θ, ist die vorzeichenbehaftete tangentiale Komponente $a_\theta=r\ddot\theta$. Sie ist nur bei positiver Winkelgeschwindigkeit gleich $\frac{\mathrm dv}{\mathrm dt}$; bei negativer Winkelgeschwindigkeit hat sie das entgegengesetzte Vorzeichen. Der Gesamtbetrag bleibt $a=\sqrt{a_r^2+a_\theta^2}$.

Eine Drehzahl von 90 Umdrehungen pro Minute entspricht f = 1,5 s⁻¹ und ω = 3π rad/s. Der Faktor 60 muss vor dem Quadrieren berücksichtigt werden. v ist die tangentiale Bahngeschwindigkeit, kein zurückgelegter Winkel. kg·(m/s)²/m ergibt kg·m/s² = N. Die Winkelgeschwindigkeit beschreibt dagegen den Winkelzuwachs pro Zeit; bei gleichförmiger Kreisbewegung verbindet die Umlaufzeit sie mit der Frequenz.

Bei festem v sinkt die benötigte Kraft mit größerem r. Bei festem ω wächst sie dagegen mit r, weil $v=\omega r$ ebenfalls zunimmt. Die Aussagen widersprechen sich nicht: Sie halten unterschiedliche Größen konstant. Verdoppeltes v bei unverändertem r und m verlangt vierfache Radialkraft.

Auf einer ebenen, nicht überhöhten Straße kann die Haftreibung die horizontale Radialkraft liefern. Im einfachen Modell mit Normalkraft $N=mg$ gilt $\frac{mv^2}{r}\le\mu_smg$. Ihr Betrag ist nicht immer μs mg; das ist ihr maximal verfügbarer Betrag. Ohne weitere horizontale Kräfte ergibt sich als Grenzwert $v_{\mathrm{max}}=\sqrt{\mu_sgr}$.[1]

In einem senkrechten Kreis müssen mehrere radiale Beiträge addiert werden. Am tiefsten Punkt eines an einem Seil geführten Körpers gilt bei Zugspannung S: $S-mg=\frac{mv^2}{r}$. Am höchsten Punkt gilt $S+mg=\frac{mv^2}{r}$. Die Seilspannung ist deshalb nicht überall gleich der benötigten Radialkraft. Ein Seil kann ziehen, aber nicht drücken.

Die Kraftbilder brauchen reale Kräfte mit ihrem jeweiligen Angriffspunkt. Zeichne nicht zusätzlich einen Pfeil $\frac{mv^2}{r}$ zu bereits eingezeichneter Seilspannung und Gewicht: $\frac{mv^2}{r}$ ist das Ergebnis der radialen Bilanz, kein weiterer Summand. In einer idealisierten Kreisbahn um eine kugelsymmetrische Masse kann die Gravitation die radiale Resultierende liefern. Das Gravitationsgesetz bestimmt dann die verfügbare Kraft; die Kreisbewegungsbilanz bestimmt die dazu passende Bahngeschwindigkeit.[3]

Am oberen Punkt eines senkrechten Seilkreises liegt der Mittelpunkt unter dem Körper. Sowohl das Gewicht als auch der Seilzug zeigen deshalb nach innen. Wähle nach innen hier als positive Richtung. Erst ihre Summe liefert die benötigte Radialkraft. Die Seilkraft ergibt sich durch Abziehen des schon vorhandenen Gewichtsbeitrags.[1]

Würde die Umstellung eine negative Seilspannung verlangen, wäre das angenommene Modell einer gespannten Schnur nicht möglich: Eine Schnur kann nicht drücken. Der Grenzfall $S=0$ am oberen Punkt ergibt $v=\sqrt{gr}$. Diese Bedingung betrifft nur diesen Punkt; um die ganze Kreisbahn zu erreichen, muss auch die Bewegung davor mit Energie und Kontaktbedingungen geprüft werden.[1]

Im Inertialsystem beschleunigt die reale radiale Resultierende den Körper nach innen. In einem Bezugssystem, das mit konstanter Winkelgeschwindigkeit mitrotiert, kann derselbe Körper ruhen. Um dort die Bewegungsgleichung in der gewohnten Form zu schreiben, ergänzt man die nach außen gerichtete Zentrifugalscheinkraft. Sie ist keine zusätzliche Wechselwirkung mit einem zweiten Körper.[1]

Die Zentrifugalscheinkraft ist insbesondere nicht die Reaktionskraft zur Seilspannung. Die zugehörige Gegenkraft nach Newtons drittem Gesetz wirkt auf das Seil, nicht zusätzlich auf die kreisende Masse. Bei Bewegung relativ zum rotierenden System können weitere Scheinkräfte nötig sein; nur Zentrifugalkraft einzusetzen reicht dann nicht allgemein aus.

Fällt die Führung plötzlich weg und wirken danach keine Kräfte, setzt der Körper seine Bewegung mit der momentanen tangentialen Geschwindigkeit geradlinig fort. Er fliegt nicht plötzlich radial vom Mittelpunkt weg. Bei unzureichender Führung und weiterhin anderen Kräften muss die neue Bahn aus diesen verbleibenden Kräften bestimmt werden. Auf der geführten Kreisbahn steht die radiale Kraft senkrecht zur momentanen Geschwindigkeit. Ihr eigener Leistungsbeitrag ist deshalb null; eine tangentiale Kraft kann trotzdem das Tempo ändern.

Die Gleichung ist klassisch und setzt eine festgelegte Kreisgeometrie sowie konstante Masse voraus. Bei relativistischen Teilchenbahnen ist nicht einfach F = ma mit unverändertem m anzusetzen. Bei einer beliebigen glatten Kurve kann lokal der Krümmungsradius an die Stelle des Kreisradius treten; er darf entlang der Bahn wechseln.

Kreisbewegung ändert die Richtung der Geschwindigkeit und benötigt radiale Beschleunigung. Bilanziere alle realen Kräfte nach innen; ergänze keine zusätzliche Kraftart. Bei verändertem Tempo kommt eine tangentiale Komponente hinzu. Prüfe, ob Seil, Kontakt oder Haftreibung die benötigte Kraft tatsächlich liefern können, und verwende im Inertial- oder rotierenden System jeweils die passende Bilanz.