Federpendel

Ziehst du eine Masse aus ihrer Gleichgewichtslage und lässt sie los, beschleunigt die Feder sie zurück. An der Gleichgewichtslage verschwindet die resultierende Kraft, aber die Masse besitzt dort Geschwindigkeit und bewegt sich weiter. Deshalb wiederholt sich die Bewegung. Ein ideal lineares Kraftgesetz macht diesen Verlauf sinusförmig.[1]

Du brauchst die Federkonstante, Newtons Kraftgesetz und die Unterscheidung zwischen momentanem Abstand und größtem Abstand. Wir messen die Auslenkung von der Gleichgewichtslage. Bei einer senkrechten Feder ist das nicht die unbelastete Federposition: Die Gewichtskraft verschiebt zuerst den Ruhepunkt.[1]

Ein Körper mit konstanter Masse m bewegt sich entlang einer festen Achse. $x=0$ bezeichnet seine stabile Gleichgewichtslage. Die resultierende rückstellende Kraft soll −kx sein, mit $k>0$; das Minuszeichen bedeutet, dass die Kraft gegen die Auslenkung gerichtet ist. Reibung, externe periodische Kräfte und die eigene Trägheit der Feder werden zunächst vernachlässigt. x ist eine gerichtete Koordinate, während die Amplitude A ein nichtnegativer Abstand vom Gleichgewicht ist. Innerhalb dieses idealen linearen, ungedämpften Modells hängt die Periode nicht von der Amplitude ab; große Auslenkungen dürfen nicht über den linearen Federbereich hinaus verallgemeinert werden.[1]

Für eine senkrechte Feder sei y die Dehnung nach unten gegenüber der unbelasteten Länge. Die resultierende Kraft ist $mg-ky$; im Gleichgewicht gilt $y_{\mathrm{eq}}=\frac{mg}{k}$. Mit $x=y-y_{\mathrm{eq}}$ wird daraus $F_{\mathrm{net}}=-kx$. Die Gewichtskraft verschiebt somit den Ruhepunkt. Bei konstanten m und k bleibt die ideale Eigenperiode gleich. Ändert die Feder ihre Steifigkeit mit der Vorlast, muss dieser zusätzliche Effekt gesondert beschrieben werden.

Für eine konstante wirksame Masse $m>0$ und lineare Federkonstante $k>0$ gilt im ungedämpften Modell $T=2\pi\sqrt{\frac{m}{k}}$. Manche Aufgaben nennen die Federkonstante $D$ statt $k$. Das Hookesche Gesetz liefert die lineare Rückstellkraft; Newtons Bewegungsgleichung führt zur Periode.[1]

Newton liefert $m\ddot x=-kx$. Die Beschleunigung ist also proportional zu x und entgegengesetzt gerichtet. Eine Kosinusfunktion besitzt genau diese Eigenschaft: Zweimaliges Ableiten von $A\cos(\omega_0t+\varphi)$ ergibt $-\omega_0^2x$. Beim Einsetzen muss $m\omega_0^2=k$ gelten. Dieser Vergleich begründet die Eigenkreisfrequenz innerhalb des linearen Modells; er ist kein Nachweis, dass jede reale Feder linear arbeitet.

Die allgemeine Lösung kann auch als $x_0\cos(\omega_0t)+\frac{v_0}{\omega_0}\sin(\omega_0t)$ geschrieben werden. Damit sind Anfangsort und Anfangsgeschwindigkeit getrennt sichtbar. Die Amplitude ist $A=\sqrt{x_0^2+\frac{v_0^2}{\omega_0^2}}$; nur bei $v_0=0$ liegt der Start am Umkehrpunkt und $A=|x_0|$. Ein beliebiger Anfangsort ist deshalb nicht automatisch die Amplitude.

An Umkehrpunkten ist $v=0$; die Schwingungsenergie liegt dann im wirksamen Potential. Beim Durchgang durch $x=0$ ist die kinetische Energie maximal. Eine waagerechte unbelastete Feder ist dort entspannt, eine senkrechte Feder weiterhin um $\frac{mg}{k}$ gedehnt. Bei dieser gleichen Lage heben sich die linearen Anteile der Feder- und Gravitationsenergie auf. Relativ zum Gleichgewicht bleibt das Potential $\frac12kx^2$. Die Aussage „ganz kinetisch“ betrifft diesen veränderlichen Schwingungsanteil, nicht jede absolute Energie der vorgedehnten Feder. Die Spannenergie einer Feder bezieht sich dagegen auf ihre tatsächliche Dehnung gegenüber der unbelasteten Länge. Gerade bei einer senkrechten Feder muss dieser Bezug von der Schwingungsenergie relativ zum Gleichgewicht getrennt bleiben.

$\mathrm{N\,m^{-1}}=\mathrm{kg\,s^{-2}}$, deshalb hat die Wurzel $\sqrt{\frac{m}{k}}$ die Einheit Sekunde. Vierfache Masse verdoppelt T; vierfache Steifigkeit halbiert T. Die Amplitude steht nicht in der Periodenformel, wächst aber in vmax linear und in Eosc quadratisch. Verdoppelte Amplitude liefert bei gleicher Periode doppelte maximale Geschwindigkeit und vierfache Schwingungsenergie, sofern die Feder im selben linearen Bereich bleibt. Die Frequenz $f=\frac1T$ zählt Schwingungen pro Sekunde in Hertz; die Kreisfrequenz $\omega_0=2\pi f$ wird in Radiant pro Sekunde angegeben. Beim Fadenpendel gilt eine andere Modellabhängigkeit: Im Kleinwinkelmodell hängt seine Periode von Länge und Ortsfaktor ab, nicht von der Pendelmasse.[5]

Die Formel setzt eine lineare resultierende Rückstellkraft und eine wirksame konstante Masse voraus. Große Dehnung kann k verändern; Reibung oder Luftwiderstand lassen die Amplitude abnehmen. Eine schwere Feder speichert selbst Bewegungsenergie, sodass die angehängte Masse allein nicht das vollständige Trägheitsmodell bildet. Zusätzliche Federn müssen zu einer passenden effektiven Steifigkeit zusammengefasst werden; eine seitlich schwingende Aufhängung kann weitere Freiheitsgrade besitzen.

Bei viskoser Unterdämpfung ist die freie Kreisfrequenz $\omega_d=\sqrt{\frac km-\beta^2}$, kleiner als $\sqrt{\frac km}$. Starke Dämpfung kann freie Schwingungen ganz verhindern. Mit periodischem Antrieb folgt die eingeschwungene Bewegung der Antriebsfrequenz; ihre beobachtete Periode muss daher nicht die Eigenperiode sein. Fahrzeugfederungen oder Schwingungstilger brauchen solche Erweiterungen, auch wenn das Idealmodell einen ersten Vergleichsmaßstab liefert. Eine gedämpfte harmonische Schwingung erfordert daher das passende Dämpfungsmodell; eine antreibende Kraft ist eine zusätzliche Modellannahme.[3][4]

Die Anfangsauslenkung kann null sein, obwohl die spätere Amplitude nicht null ist. Ein Anschub liefert dafür die Energie und den Sinusanteil der Anfangswertlösung.[1][2]

Wähle zuerst die Gleichgewichtslage. Die Steifigkeit und schwingende Masse bestimmen die Kreisfrequenz; Anfangsort und Anfangsgeschwindigkeit bestimmen Amplitude und Phase. Kraft null bedeutet nicht Geschwindigkeit null. Die erhaltene Schwingungsenergie wechselt zwischen Bewegung und elastischem Potential relativ zum Gleichgewicht.[1][2]