Federpendel (Schwingungsdauer)

Setze Masse und Federkonstante in T = 2π·√(m/k) ein. Beispiel: Eine Masse von 0,25 kg an einer Feder mit k = 100 N/m schwingt mit T = 2π·√(0,25/100) = 2π·0,05 ≈ 0,31 s — gut drei Schwingungen pro Sekunde. Die Masse steht im Zähler unter der Wurzel: Mehr Masse macht die Schwingung träger und langsamer. Die Federkonstante steht im Nenner: Eine steifere Feder zieht stärker zurück und verkürzt die Periode. Wegen der Wurzel wirken beide Einflüsse gedämpft — die vierfache Masse verdoppelt T nur. Die Frequenz ist der Kehrwert f = 1/T, hier etwa 3,2 Hz.

Das ist die Isochronie der harmonischen Schwingung, und sie folgt aus dem linearen Kraftgesetz F = −k·x. Lenkt man weiter aus, wird der Weg pro Schwingung zwar länger, aber die rücktreibende Kraft wächst im exakt gleichen Verhältnis mit — der Körper ist entsprechend schneller unterwegs. Beide Effekte kompensieren sich vollständig, sodass jede Schwingung gleich lange dauert. Mathematisch steckt das darin, dass die Amplitude A in der Lösung x(t) = A·cos(ωt) nur als Vorfaktor auftaucht, während ω = √(k/m) allein von System-Eigenschaften abhängt. Diese Eigenschaft machte Federn und Pendel zu Taktgebern der Uhrentechnik. Sie gilt nur, solange die Feder im linearen Hooke-Bereich bleibt — bei Überdehnung wird die Schwingung anharmonisch.

Stelle die Periodenformel nach k um: k = 4π²·m/T². Miss dafür die Zeit für viele Schwingungen und teile — zehn Schwingungen in 10 s bedeuten T = 1 s. Beispiel: Bei m = 0,5 kg und T = 1 s ist k = 4π² × 0,5 / 1 ≈ 19,7 N/m. Das Messen über viele Perioden reduziert den Stoppuhr-Fehler erheblich; das ist der wichtigste Praxistipp im Versuch. Alternativ liefert der statische Weg dasselbe k: Hänge eine bekannte Masse an und miss die Dehnung, k = m·g/x. Stimmen beide Methoden überein, ist das eine schöne Bestätigung des Modells — eine Standardauswertung im Physikpraktikum und beliebte Klausuraufgabe.

Beim Federpendel gilt T = 2π·√(m/k): Die Periode hängt von Masse und Federkonstante ab, aber nicht vom Ort — g kommt nicht vor, die Formel gilt unverändert auf dem Mond. Beim Fadenpendel gilt T = 2π·√(l/g): Die Periode hängt von Fadenlänge und Ortsfaktor ab, aber überraschenderweise nicht von der Masse. Der Grund: Beim Fadenpendel liefert die Schwerkraft die Rückstellkraft, und diese ist selbst proportional zur Masse, die sich dadurch herauskürzt. Außerdem ist das Fadenpendel nur für kleine Winkel (unter etwa 10°) harmonisch, während das Federpendel im gesamten Hooke-Bereich exakt harmonisch schwingt. Beide Formeln zu verwechseln ist einer der häufigsten Klausurfehler im Kapitel Schwingungen.

Sie pendelt verlustfrei zwischen zwei Formen: An den Umkehrpunkten steckt alles in der Spannenergie der Feder, E = ½kA² mit der Amplitude A, und die Geschwindigkeit ist null. Im Nulldurchgang ist die Feder entspannt und die gesamte Energie kinetisch, E = ½mv_max² — dort ist der Körper am schnellsten, mit v_max = ω·A. Gleichsetzen liefert die maximale Geschwindigkeit direkt: ½kA² = ½mv_max². Beispiel: k = 100 N/m, m = 0,25 kg, A = 0,04 m ergibt v_max = A·√(k/m) = 0,04 × 20 = 0,8 m/s. Reale Pendel verlieren durch Reibung pro Schwingung etwas Energie — die Amplitude klingt ab, die Periodendauer bleibt dabei nahezu unverändert.