Physik · Schwingungen und Wellen

Federpendel (Schwingungsdauer)

Die Schwingungsdauer eines Federpendels hängt nur von Masse und Federkonstante ab — nicht von der Amplitude.

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Formel

T = 2 π \frac{m}{k}

LaTeX: T = 2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}

T in Sekunden [s] · m in kg · k in N/m

Die harmonische Schwingung mit Amplitude A und Schwingungsdauer T, die nur von Masse und Federkonstante abhängt.

Variablen & Einheiten – Federpendel (Schwingungsdauer)

Symbol	Bedeutung	Einheit
T	Schwingungsdauer (Periodendauer)	s
m	Schwingende Masse	kg
k	Federkonstante	N/m

Herleitung & Hintergrund – Federpendel (Schwingungsdauer)

Die rücktreibende Kraft F = −k·x (Hooke) führt auf die Differentialgleichung m·ẍ = −k·x mit der Lösung x(t) = A·cos(ω·t), ω = √(k/m). Daraus folgt T = 2π/ω = 2π·√(m/k). Bemerkenswert: T ist amplitudenunabhängig (Isochronie) und — anders als beim Fadenpendel — auch unabhängig vom Ort, da g nicht vorkommt.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Gilt, solange die Feder dem Hookeschen Gesetz folgt (elastischer Bereich) und Reibung vernachlässigbar ist. Bei großer Dämpfung sinkt die Amplitude, die Periodendauer ändert sich leicht.

Herleitung in Schritten

Die rücktreibende Federkraft ist proportional zur Auslenkung — das erzwingt eine Sinusschwingung.

1Newton + Hooke: m·ẍ = −k·x, gelöst durch x(t) = A·cos(ωt) mit ω = √(k/m).
2Aus T = 2π/ω folgt T = 2π·√(m/k).

Umstellen

Federkonstante aus der Periodendauer

k = \frac{4 π ^{2} m}{T ^{2}}

So bestimmt man k experimentell aus einer Schwingungsmessung.

Masse aus der Periodendauer

m = \frac{k T ^{2}}{4 π ^{2}}

Prinzip von Massenmessgeräten in der Schwerelosigkeit.

Frequenz

f = \frac{1}{2 π} \frac{k}{m}

Steifere Feder oder kleinere Masse erhöhen die Frequenz.

Aufgabenvariante

Eine Masse von 0,5 kg schwingt mit T = 1 s. Bestimme die Federkonstante k.

k = 4π²·m/T² = 4 × 9,87 × 0,5 / 1 ≈ 19,7 N/m.

Wie ändert sich T, wenn die Masse vervierfacht wird?

T ∝ √m: Vierfache Masse verdoppelt die Periodendauer.

Typische Fehler

Annehmen, dass eine größere Amplitude die Periodendauer verlängert.

T ist amplitudenunabhängig (Isochronie) — nur m und k zählen.

Die Fadenpendel-Formel T = 2π√(l/g) verwenden.

Beim Federpendel stehen m und k unter der Wurzel, g kommt nicht vor.

m und k unter der Wurzel vertauschen.

Schwerere Masse schwingt langsamer: m steht im Zähler.

Klausurkontext

Typisch: k aus Dehnungsversuch bestimmen, T berechnen, dann Energie- oder Geschwindigkeitsbetrachtung im Nulldurchgang.

Die typischen Fehler stecken als eigene Karten im Prüfungsset. Einmal aktiv trainiert, passieren sie in der Klausur selten.

Diese Fehler im Set trainieren Ich habe schon ein Konto

Formelcluster

Harmonische Schwingungen

Hooke liefert die Kraft, das Federpendel den Zeitverlauf, die Welle die räumliche Ausbreitung.

F = k \cdot x

Hookesches Gesetz (Federkraft)

c = λ \cdot f

Wellengleichung (c = λ·f)

F_{z} = \frac{m \cdot v ^{2}}{r}

Zentripetalkraft (Kreisbewegung)

T = 2 π \frac{l}{g}

Fadenpendel (Schwingungsdauer)

Rechenbeispiel

Eine Masse m = 0,25 kg hängt an einer Feder mit k = 100 N/m: T = 2π × √(0,25/100) = 2π × 0,05 ≈ 0,31 s.

Anwendungsgebiete

Schwingungstilger in Hochhäusern, Fahrzeugfederung, Kraftmessung, Uhrenbau (Unruh)

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Wie stellst du T = 2π·√(m/k) nach Federkonstante aus der Periodendauer um?

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Welcher typische Fehler passiert bei T = 2π·√(m/k)?

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Wissenschaftliche Quellen

[1]Demtröder, W. (2021). Experimentalphysik 1: Mechanik und Wärme. Springer.

Häufige Schreibweisen & Suchanfragen

T=2*pi*sqrt(m/k)T=2π√(m/k)Schwingungsdauer FederpendelFederpendel Formelharmonische Schwingung FormelPeriodendauer Federspring pendulum periodEigenfrequenz Feder

Weitere Physik-Formeln

F = m \cdot a

Newtons zweites Gesetz

F_{G} = G \cdot \frac{m _{1} \cdot m _{2}}{r ^{2}}

Newtonsches Gravitationsgesetz

E_{kin} = \frac{1}{2} m v^{2}

Kinetische Energie

E_{p o t} = m \cdot g \cdot h

Potentielle Energie (Lagehöhe)

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Häufige Fragen zu Federpendel (Schwingungsdauer)

Wie berechnet man die Schwingungsdauer eines Federpendels?+

Setze Masse und Federkonstante in T = 2π·√(m/k) ein. Beispiel: Eine Masse von 0,25 kg an einer Feder mit k = 100 N/m schwingt mit T = 2π·√(0,25/100) = 2π·0,05 ≈ 0,31 s — gut drei Schwingungen pro Sekunde. Die Masse steht im Zähler unter der Wurzel: Mehr Masse macht die Schwingung träger und langsamer. Die Federkonstante steht im Nenner: Eine steifere Feder zieht stärker zurück und verkürzt die Periode. Wegen der Wurzel wirken beide Einflüsse gedämpft — die vierfache Masse verdoppelt T nur. Die Frequenz ist der Kehrwert f = 1/T, hier etwa 3,2 Hz.

Warum hängt die Schwingungsdauer nicht von der Amplitude ab?+

Das ist die Isochronie der harmonischen Schwingung, und sie folgt aus dem linearen Kraftgesetz F = −k·x. Lenkt man weiter aus, wird der Weg pro Schwingung zwar länger, aber die rücktreibende Kraft wächst im exakt gleichen Verhältnis mit — der Körper ist entsprechend schneller unterwegs. Beide Effekte kompensieren sich vollständig, sodass jede Schwingung gleich lange dauert. Mathematisch steckt das darin, dass die Amplitude A in der Lösung x(t) = A·cos(ωt) nur als Vorfaktor auftaucht, während ω = √(k/m) allein von System-Eigenschaften abhängt. Diese Eigenschaft machte Federn und Pendel zu Taktgebern der Uhrentechnik. Sie gilt nur, solange die Feder im linearen Hooke-Bereich bleibt — bei Überdehnung wird die Schwingung anharmonisch.

Wie bestimmt man die Federkonstante aus einer Schwingungsmessung?+

Stelle die Periodenformel nach k um: k = 4π²·m/T². Miss dafür die Zeit für viele Schwingungen und teile — zehn Schwingungen in 10 s bedeuten T = 1 s. Beispiel: Bei m = 0,5 kg und T = 1 s ist k = 4π² × 0,5 / 1 ≈ 19,7 N/m. Das Messen über viele Perioden reduziert den Stoppuhr-Fehler erheblich; das ist der wichtigste Praxistipp im Versuch. Alternativ liefert der statische Weg dasselbe k: Hänge eine bekannte Masse an und miss die Dehnung, k = m·g/x. Stimmen beide Methoden überein, ist das eine schöne Bestätigung des Modells — eine Standardauswertung im Physikpraktikum und beliebte Klausuraufgabe.

Was ist der Unterschied zwischen Federpendel und Fadenpendel?+

Beim Federpendel gilt T = 2π·√(m/k): Die Periode hängt von Masse und Federkonstante ab, aber nicht vom Ort — g kommt nicht vor, die Formel gilt unverändert auf dem Mond. Beim Fadenpendel gilt T = 2π·√(l/g): Die Periode hängt von Fadenlänge und Ortsfaktor ab, aber überraschenderweise nicht von der Masse. Der Grund: Beim Fadenpendel liefert die Schwerkraft die Rückstellkraft, und diese ist selbst proportional zur Masse, die sich dadurch herauskürzt. Außerdem ist das Fadenpendel nur für kleine Winkel (unter etwa 10°) harmonisch, während das Federpendel im gesamten Hooke-Bereich exakt harmonisch schwingt. Beide Formeln zu verwechseln ist einer der häufigsten Klausurfehler im Kapitel Schwingungen.

Wie bewegt sich die Energie im schwingenden Federpendel?+

Sie pendelt verlustfrei zwischen zwei Formen: An den Umkehrpunkten steckt alles in der Spannenergie der Feder, E = ½kA² mit der Amplitude A, und die Geschwindigkeit ist null. Im Nulldurchgang ist die Feder entspannt und die gesamte Energie kinetisch, E = ½mv_max² — dort ist der Körper am schnellsten, mit v_max = ω·A. Gleichsetzen liefert die maximale Geschwindigkeit direkt: ½kA² = ½mv_max². Beispiel: k = 100 N/m, m = 0,25 kg, A = 0,04 m ergibt v_max = A·√(k/m) = 0,04 × 20 = 0,8 m/s. Reale Pendel verlieren durch Reibung pro Schwingung etwas Energie — die Amplitude klingt ab, die Periodendauer bleibt dabei nahezu unverändert.