Binomische Formeln

Die erste binomische Formel quadriert eine Summe: (a + b)² = a² + 2ab $+ b^{2}$. Die zweite quadriert eine Differenz: (a − b)² = a² − 2ab $+ b^{2}$; nur das gemischte Glied wechselt das Vorzeichen, $b^{2}$ bleibt positiv. Die dritte multipliziert Summe mal Differenz: $(a + b)(a - b) = a^{2} - b^{2}$; hier heben sich die gemischten Glieder +ab und −ab gegenseitig auf. Alle drei sind Spezialfälle des Ausmultiplizierens, aber so häufig, dass man sie auswendig können muss. Zahlenbeispiel zur Kontrolle: $(3 + 2)^{2} = 25 = 9 + 12 + 4$ ✓, $(3 - 2)^{2} = 1 = 9 - 12 + 4$ ✓ und $(3 + 2)(3 - 2) = 5 = 9 - 4$ ✓.

Weil das Quadrat einer Summe ein Produkt zweier Klammern ist: $(a + b)^{2} = (a + b)(a + b)$. Beim Ausmultiplizieren trifft jeder Summand der ersten Klammer auf jeden der zweiten, es entstehen also vier Produkte: $a^{2}$, ab, ba und $b^{2}$. Die beiden gemischten Produkte addieren sich zu 2ab, das beim falschen „gliedweisen Quadrieren" komplett fehlt. Ein Zahlentest entlarvt den Fehler sofort: $(2 + 3)^{2} = 5^{2} = 25$, aber $2^{2} + 3^{2} = 4 + 9 = 13$. Die Differenz 12 ist genau 2·2·3 = 2ab. Geometrisch ist 2ab die Fläche der beiden Rechtecke, die neben den Quadraten $a^{2}$ und $b^{2}$ im großen Quadrat mit Seite a + b liegen.

Prüfe drei Muster. Erstens: Zwei Quadrate mit Minus dazwischen, wie $9x^{2} - 25$, zerfallen nach der dritten Formel in (3x + 5)(3x − 5). Zweitens: Drei Glieder der Form a² ± 2ab $+ b^{2}$ bilden ein vollständiges Quadrat; kontrolliere, ob das mittlere Glied wirklich das Doppelte des Produkts der Wurzeln der äußeren ist. Bei $x^{2} + 10x + 25$ sind die Wurzeln x und 5, das Doppelte ist 10x ✓, also $(x + 5)^{2}$. Stimmt das mittlere Glied nicht, etwa bei $x^{2} + 8x + 25$, liegt kein Binom vor. Drittens: $a^{2} + b^{2}$ ohne gemischtes Glied lässt sich im Reellen überhaupt nicht faktorisieren. Diese Mustererkennung ist der Schlüssel beim Kürzen von Bruchtermen.

Sie tauchen überall auf, oft versteckt. Die quadratische Ergänzung, mit der du Scheitelpunktform und pq-Formel herleitest, ist die erste binomische Formel rückwärts. Beim Ableiten mit dem Differenzenquotienten brauchst du $(x + h)^{2}$. In der Integralrechnung vereinfachst du Integranden wie $(x + 1)^{2}$ vor dem Aufleiten. Bei Grenzwerten mit Wurzeln erweiterst du mit der dritten binomischen Formel, um $\sqrt{(x + 1)} - \sqrt{x}$ zu bändigen. In der Vektorgeometrie steckt sie im Ausmultiplizieren von |a⃗ + b⃗$|^{2} = |a$⃗$|^{2} + 2\cdot{}a$⃗·b⃗ + |b⃗$|^{2}$. Und beim Kürzen von Bruchtermen ist das Erkennen von $a^{2} - b^{2}$ Standard. Wer die Formeln nicht sicher kann, verliert in fast jedem Analysis-Kapitel Zeit.

Produkte symmetrisch um eine glatte Zahl lassen sich blitzschnell rechnen: $19\cdot{}21 = (20 - 1)(20 + 1) = 400 - 1 = 399$, und $98\cdot{}102 = (100 - 2)(100 + 2) = 10000 - 4 = 9996$. Auch Quadrate nahe glatter Zahlen gehen mit der ersten und zweiten Formel: $103^{2} = (100 + 3)^{2} = 10000 + 600 + 9 = 10609$ und $99^{2} = (100 - 1)^{2} = 10000 - 200 + 1 = 9801$. Derselbe Trick „rational machen" hilft bei Brüchen mit Wurzeln im Nenner: $\frac{1}{(\sqrt{5} - 2)}$ erweiterst du mit $(\sqrt{5} + 2)$ und erhältst wegen $(\sqrt{5})^{2} - 2^{2} = 1$ einfach $\sqrt{5} + 2$. Das Muster ist immer dasselbe: Summe mal Differenz gleich Quadrat minus Quadrat.