Mathematik · Algebra

Binomische Formeln

Die drei binomischen Formeln quadrieren Summen und Differenzen und faktorisieren rückwärts quadratische Terme.

GrundlegendPrüfungsrelevant

Formel als Prüfungsset lernen Ich habe schon ein Konto

Kostenlos · keine Kreditkarte · in 2 Minuten in deinem Lernplan

Formel

(a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2 ab + b^{2}, (a + b) (a - b) = a^{2} - b^{2}

LaTeX: (a \pm b)^{2} = a^{2} \pm 2ab + b^{2}, \quad (a+b)(a-b) = a^{2} - b^{2}

Dimensionslos (Algebra)

Variablen & Einheiten – Binomische Formeln

Symbol	Bedeutung	Einheit
a	Erster Summand (Term oder Zahl)	dimensionslos
b	Zweiter Summand (Term oder Zahl)	dimensionslos
2ab	Gemischtes Glied, fehlt es, liegt kein Binom vor	dimensionslos

Herleitung & Hintergrund – Binomische Formeln

Die drei binomischen Formeln sind Spezialfälle des Distributivgesetzes: (a + b)² = a² + 2ab + b², (a − b)² = a² − 2ab + b² und (a + b)(a − b) = a² − b². Geometrisch entspricht die erste Formel der Zerlegung eines Quadrats mit Seitenlänge a + b in vier Teilflächen; so wurde sie bereits in Euklids Elementen behandelt. Rückwärts gelesen sind sie das wichtigste Werkzeug zum Faktorisieren und für die quadratische Ergänzung.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Gelten für beliebige reelle Terme a und b, in beide Richtungen: ausmultiplizieren und faktorisieren. Sie sind Spezialfälle des Distributivgesetzes, keine eigenständigen Axiome.

Herleitung in Schritten

Ausmultiplizieren von (a + b)(a + b) mit dem Distributivgesetz.

1(a + b)(a + b) = a² + ab + ba + b²; die gemischten Glieder addieren sich zu 2ab.
2Mit b → −b folgt die zweite Formel, aus (a + b)(a − b) die dritte (±ab hebt sich).

Umstellen

Faktorisieren (rückwärts lesen)

a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)

Differenzen von Quadraten zerfallen sofort in Linearfaktoren.

Quadratische Ergänzung

x^{2} + p x = (x + \frac{p}{2})^{2} - (\frac{p}{2})^{2}

Grundlage der pq-Formel und der Scheitelpunktform.

Aufgabenvariante

Multipliziere (2x − 3)² aus.

(2x − 3)² = (2x)² − 2·2x·3 + 3² = 4x² − 12x + 9. Häufige Falle: (2x)² = 4x², nicht 2x².

Faktorisiere 9x² − 25.

Dritte binomische Formel mit a = 3x, b = 5: 9x² − 25 = (3x + 5)(3x − 5). Probe: (3x)² − 5² = 9x² − 25 ✓.

Typische Fehler

(a + b)² = a² + b² rechnen, das gemischte Glied 2ab weglassen.

Zahlentest: (2 + 3)² = 25, aber 4 + 9 = 13. 2ab gehört immer dazu.

Bei (2x + 3)² den Vorfaktor nicht mitquadrieren.

a = 2x, also a² = 4x².

Bei (a − b)² das Minus auch vor b² setzen.

Nur das gemischte Glied ist negativ: a² − 2ab + b².

Klausurkontext

Faktorisieren, Bruchterme kürzen, quadratische Ergänzung und Grenzwerte mit der dritten binomischen Formel.

Die typischen Fehler stecken als eigene Karten im Prüfungsset. Einmal aktiv trainiert, passieren sie in der Klausur selten.

Diese Fehler im Set trainieren Ich habe schon ein Konto

Formelcluster

Termumformung

Fundament für Gleichungslösen, Scheitelpunktform und viele Analysis-Umformungen.

x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q

pq-Formel

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Quadratische Formel (ABC-Formel)

Rechenbeispiel

103² = (100 + 3)² = 100² + 2·100·3 + 3² = 10000 + 600 + 9 = 10609. Rückwärts: x² + 10x + 25 = (x + 5)², denn 2·x·5 = 10x und 5² = 25.

Anwendungsgebiete

Terme vereinfachen und faktorisieren, quadratische Ergänzung, Scheitelpunktform, schnelles Kopfrechnen, Nenner rational machen

Quanta-Prüfungsset

Kuratiertes Prüfungsset für "Binomische Formeln":

Frage (Vorderseite)

Welche Formel beschreibt Binomische Formeln?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Wie stellst du (a ± b)² = a² ± 2ab + b² nach Faktorisieren (rückwärts lesen) um?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei (a ± b)² = a² ± 2ab + b²?

Antwort in deinem Set

+ 7 weitere Karten: Einheiten, Variablen, Herleitung, Beispiel, Klausuraufgabe

Diese 10 Karten sind fertig kuratiert. Ein Klick, und sie liegen in deinem Lernstapel, FSRS plant die Wiederholungen bis zur Klausur.

Set übernehmen, kostenlos Ich habe schon ein Konto

Wissenschaftliche Quellen

[1]Euklid (ca. 300 v. Chr.). Elemente, Buch II.

Häufige Schreibweisen & Suchanfragen

(a+b)^2=a^2+2ab+b^2(a-b)^2(a+b)(a-b)=a^2-b^2a plus b hoch 2binomische Formel 1 2 3binoische FormelnBinome auflösenbinomial formulasdritte binomische Formel

Weitere Mathematik-Formeln

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Satz des Pythagoras

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Quadratische Formel (ABC-Formel)

e^{i φ} = cos φ + i \cdot sin φ

Eulersche Formel

(f \cdot g)^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}

Produktregel der Differentiation

Spaced Repetition

Formeln nachhaltig lernen

Aktiver Abruf

Abrufen statt wiederlesen

FSRS vs. SM-2

Optimaler Algorithmus

Formel-Prüfungsset erstellen

Kostenlos in Quanta

Häufige Fragen zu Binomische Formeln

Wie lauten die drei binomischen Formeln?+

Die erste binomische Formel quadriert eine Summe: (a + b)² = a² + 2ab + b². Die zweite quadriert eine Differenz: (a − b)² = a² − 2ab + b²; nur das gemischte Glied wechselt das Vorzeichen, b² bleibt positiv. Die dritte multipliziert Summe mal Differenz: (a + b)(a − b) = a² − b²; hier heben sich die gemischten Glieder +ab und −ab gegenseitig auf. Alle drei sind Spezialfälle des Ausmultiplizierens, aber so häufig, dass man sie auswendig können muss. Zahlenbeispiel zur Kontrolle: (3 + 2)² = 25 = 9 + 12 + 4 ✓, (3 − 2)² = 1 = 9 − 12 + 4 ✓ und (3 + 2)(3 − 2) = 5 = 9 − 4 ✓.

Warum ist (a + b)² nicht einfach a² + b²?+

Weil das Quadrat einer Summe ein Produkt zweier Klammern ist: (a + b)² = (a + b)(a + b). Beim Ausmultiplizieren trifft jeder Summand der ersten Klammer auf jeden der zweiten, es entstehen also vier Produkte: a², ab, ba und b². Die beiden gemischten Produkte addieren sich zu 2ab, das beim falschen „gliedweisen Quadrieren" komplett fehlt. Ein Zahlentest entlarvt den Fehler sofort: (2 + 3)² = 5² = 25, aber 2² + 3² = 4 + 9 = 13. Die Differenz 12 ist genau 2·2·3 = 2ab. Geometrisch ist 2ab die Fläche der beiden Rechtecke, die neben den Quadraten a² und b² im großen Quadrat mit Seite a + b liegen.

Wie erkenne ich, ob sich ein Term mit den binomischen Formeln faktorisieren lässt?+

Prüfe drei Muster. Erstens: Zwei Quadrate mit Minus dazwischen, wie 9x² − 25, zerfallen nach der dritten Formel in (3x + 5)(3x − 5). Zweitens: Drei Glieder der Form a² ± 2ab + b² bilden ein vollständiges Quadrat; kontrolliere, ob das mittlere Glied wirklich das Doppelte des Produkts der Wurzeln der äußeren ist. Bei x² + 10x + 25 sind die Wurzeln x und 5, das Doppelte ist 10x ✓, also (x + 5)². Stimmt das mittlere Glied nicht, etwa bei x² + 8x + 25, liegt kein Binom vor. Drittens: a² + b² ohne gemischtes Glied lässt sich im Reellen überhaupt nicht faktorisieren. Diese Mustererkennung ist der Schlüssel beim Kürzen von Bruchtermen.

Wofür braucht man die binomischen Formeln in der Oberstufe noch?+

Sie tauchen überall auf, oft versteckt. Die quadratische Ergänzung, mit der du Scheitelpunktform und pq-Formel herleitest, ist die erste binomische Formel rückwärts. Beim Ableiten mit dem Differenzenquotienten brauchst du (x + h)². In der Integralrechnung vereinfachst du Integranden wie (x + 1)² vor dem Aufleiten. Bei Grenzwerten mit Wurzeln erweiterst du mit der dritten binomischen Formel, um √(x + 1) − √x zu bändigen. In der Vektorgeometrie steckt sie im Ausmultiplizieren von |a⃗ + b⃗|² = |a⃗|² + 2·a⃗·b⃗ + |b⃗|². Und beim Kürzen von Bruchtermen ist das Erkennen von a² − b² Standard. Wer die Formeln nicht sicher kann, verliert in fast jedem Analysis-Kapitel Zeit.

Wie hilft die dritte binomische Formel beim Kopfrechnen?+

Produkte symmetrisch um eine glatte Zahl lassen sich blitzschnell rechnen: 19·21 = (20 − 1)(20 + 1) = 400 − 1 = 399, und 98·102 = (100 − 2)(100 + 2) = 10000 − 4 = 9996. Auch Quadrate nahe glatter Zahlen gehen mit der ersten und zweiten Formel: 103² = (100 + 3)² = 10000 + 600 + 9 = 10609 und 99² = (100 − 1)² = 10000 − 200 + 1 = 9801. Derselbe Trick „rational machen" hilft bei Brüchen mit Wurzeln im Nenner: 1/(√5 − 2) erweiterst du mit (√5 + 2) und erhältst wegen (√5)² − 2² = 1 einfach √5 + 2. Das Muster ist immer dasselbe: Summe mal Differenz gleich Quadrat minus Quadrat.