Potenzregel der Differentiation

Nach der Potenzregel gilt (x^n)′ = n·x^(n−1). Du ziehst also den Exponenten als Faktor nach vorne und verringerst den Exponenten um eins. Beide Schritte gehören zusammen. Beispiel: Für f(x) = 3x⁴ ist f′(x) = 3·4·x³ = 12x³; der konstante Vorfaktor 3 bleibt erhalten. Für g(x) = x⁻² ergibt sich g′(x) = −2·x⁻³. Die Regel gilt auch für negative und gebrochene Exponenten. Ein häufiger Fehler ist, nur einen der beiden Schritte auszuführen, also den Exponenten nach vorne zu ziehen, ihn aber nicht zu verringern, oder umgekehrt. Achte immer auf beide Schritte gleichzeitig.

Schreibe die Wurzel zuerst als Potenz mit gebrochenem Exponenten, dann kannst du die Potenzregel direkt anwenden. Die Quadratwurzel ist √x = x^(1/2). Ihre Ableitung ist (1/2)·x^(−1/2) = 1/(2√x). Für die dritte Wurzel gilt ∛x = x^(1/3) mit der Ableitung (1/3)·x^(−2/3). Der Trick ist immer, die Wurzel in eine Potenz umzuschreiben, die Regel anzuwenden und das Ergebnis bei Bedarf wieder als Wurzel darzustellen. So vermeidest du Sonderregeln und behandelst Wurzeln wie jede andere Potenzfunktion. Achte auf die negativen Exponenten im Ergebnis, die eine Wurzel im Nenner bedeuten.

Beim Ableiten verringerst du den Exponenten um eins und multiplizierst mit dem alten Exponenten: (x^n)′ = n·x^(n−1). Beim Integrieren gehst du genau umgekehrt vor: Du erhöhst den Exponenten um eins und teilst durch den neuen Exponenten, ∫x^n dx = x^(n+1)/(n+1) + C. Integrieren ist die Umkehrung des Ableitens, deshalb ist auch die Regel gespiegelt. Wichtig ist die Ausnahme n = −1: Für 1/x versagt die Integrationsregel, weil man durch null teilen würde; hier ist das Integral der natürliche Logarithmus ln|x|. Vergiss beim Integrieren außerdem nie die Integrationskonstante C, da die Ableitung einer Konstanten null ergibt und daher unbestimmt bleibt.

Die Potenzregel (x^n)′ = n·x^(n−1) gilt nicht nur für natürliche Zahlen, sondern für beliebige reelle Exponenten, also auch für negative. Ein negativer Exponent bedeutet einen Bruch, denn x⁻ⁿ ist dasselbe wie 1/xⁿ. Statt die Quotientenregel anzuwenden, schreibst du den Bruch bequem als Potenz mit negativem Exponenten und leitest direkt ab. Beispiel: 1/x = x⁻¹ hat die Ableitung −1·x⁻² = −1/x². Für 1/x² = x⁻² ergibt sich −2·x⁻³. Das Verfahren ist immer gleich: Exponent nach vorne, Exponent um eins verringern. Achte darauf, dass ein um eins verringerter negativer Exponent noch negativer wird, aus −2 wird also −3.

Ein Polynom leitest du Glied für Glied ab, weil die Ableitung einer Summe die Summe der Ableitungen ist. Auf jeden einzelnen Term wendest du die Potenzregel an und behältst konstante Vorfaktoren bei. Ein konstanter Summand fällt weg, denn die Ableitung einer Konstanten ist null. Beispiel: Für f(x) = 4x³ − 5x² + 2x − 7 ergibt sich f′(x) = 12x² − 10x + 2. Der lineare Term 2x wird zu 2, weil x¹ zu x⁰ = 1 wird, und die Konstante −7 verschwindet. Dieses gliedweise Vorgehen ist die Grundlage jeder Kurvendiskussion, weil du damit schnell die erste und zweite Ableitung eines Polynoms bestimmst.