Potenzregel der Differentiation
Die Potenzregel ist die fundamentalste Ableitungsregel: Sie erlaubt die Ableitung jedes Monoms unmittelbar — Einstieg in die gesamte Differentialrechnung.
Formel
\frac{d}{dx}(x^n) = n \cdot x^{n-1}Variablen & Einheiten – Potenzregel der Differentiation
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| x | Unabhängige Variable | dimensionslos |
| n | Exponent (beliebige reelle Zahl) | dimensionslos |
| d/dx | Ableitungsoperator nach x | dimensionslos |
Herleitung & Hintergrund – Potenzregel der Differentiation
Newton und Leibniz entwickelten die Differentialrechnung (1670er). Die Potenzregel gilt für alle reellen n: n = 0 (Konstante → 0), n = 1 (linear → 1), n = −1 (1/x → −1/x²), n = 1/2 (√x → 1/(2√x)).
Rechenbeispiel
f(x) = 3x⁴ → f'(x) = 12x³. g(x) = x⁻² → g'(x) = −2x⁻³. h(x) = √x = x^(1/2) → h'(x) = (1/2)x^(−1/2) = 1/(2√x).
Anwendungsgebiete
Physik (Geschwindigkeit/Beschleunigung), Optimierungsprobleme, Ingenieurwesen, Ökonometrie, Signalverarbeitung
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Frage (Vorderseite)
Was beschreibt die Formel d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹? Nenne alle Variablen und Einheiten.
Antwort (Rückseite)
Die Potenzregel ist die fundamentalste Ableitungsregel: Sie erlaubt die Ableitung jedes Monoms unmittelbar — Einstieg in die gesamte Differentialrechnung.. x: Unabhängige Variable (dimensionslos); n: Exponent (beliebige reelle Zahl) (dimensionslos); d/dx: Ableitungsoperator nach x (dimensionslos).
Wissenschaftliche Quellen
- [1]Forster, O. (2016). Analysis 1. Springer Vieweg.
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