Mathematik · Algebra

pq-Formel

Q: Wie funktioniert die pq-Formel Schritt für Schritt?

Bringe die Gleichung zuerst in die Normalform $x^{2} + px + q = 0$; vor $x^{2}$ darf nichts stehen. Lies dann p und q mit Vorzeichen ab und setze in x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q) ein. Rechne zuerst $-\frac{p}{2}$ aus, dann den Ausdruck unter der Wurzel, ziehe die Wurzel und bilde mit Plus und Minus die beiden Lösungen. Beispiel: $x^{2} - 6x + 8 = 0$ hat $p = -6$ und $q = 8$, also x₁,₂ = 3 ± √(9 − 8) = 3 ± 1, das ergibt $x_{1} = 4$ und $x_{2} = 2$. Zum Schluss lohnt eine Probe durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung, das dauert nur Sekunden und fängt Vorzeichenfehler ab.

Q: Was ist der Unterschied zwischen pq-Formel und Mitternachtsformel?

Beide lösen quadratische Gleichungen und liefern identische Ergebnisse, sie verlangen aber verschiedene Ausgangsformen. Die pq-Formel braucht die Normalform $x^{2} + px + q = 0$ mit dem Leitkoeffizienten 1; steht ein Faktor a vor $x^{2}$, musst du zuerst durch a teilen. Die Mitternachtsformel (ABC-Formel) arbeitet direkt mit $ax^{2} + bx + c = 0$ und erspart das Normieren, dafür ist sie etwas länger. Welche du nutzt, ist Geschmacks- und Bundeslandsache: In vielen Schulen ist die pq-Formel Standard, in Bayern die Mitternachtsformel. Wichtig ist nur Konsequenz: Formel wählen, Form herstellen, Koeffizienten mit Vorzeichen ablesen. Bei $a = 1$ sind beide Wege gleich schnell.

Q: Was mache ich, wenn vor dem $x^{2}$ ein Faktor steht?

Teile die komplette Gleichung durch diesen Faktor, bevor du p und q abliest. Aus $2x^{2} - 8x + 6 = 0$ wird nach Division durch 2 die Normalform $x^{2} - 4x + 3 = 0$ mit $p = -4$ und $q = 3$; die pq-Formel liefert x₁,₂ = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1, also 3 und 1. Wichtig: Wirklich jeden Summanden teilen, auch das Absolutglied, und die rechte Seite (0/2 = 0 bleibt 0). Das Teilen verändert die Lösungsmenge nicht, weil beide Seiten gleich behandelt werden. Der häufigste Fehler ist, p und q aus der unnormierten Gleichung abzulesen; dann sind alle Folgeergebnisse falsch. Alternativ kannst du direkt die ABC-Formel verwenden, die den Faktor a mitverarbeitet.

Q: Was sagt der Ausdruck $(\frac{p}{2})^{2} - q$ unter der Wurzel aus?

Dieser Ausdruck ist die Diskriminante D der Normalform und entscheidet über die Lösbarkeit, bevor du fertig rechnest. Ist D positiv, liefert die Wurzel einen echten Wert und es gibt zwei verschiedene reelle Lösungen. Ist D genau null, verschwindet die Wurzel und beide Lösungen fallen zur Doppellösung $x = -\frac{p}{2}$ zusammen; die Parabel berührt die x-Achse nur. Ist D negativ, kann man im Reellen keine Wurzel ziehen, die Gleichung hat keine reelle Lösung und die Parabel liegt komplett über oder unter der x-Achse. In Klausuren lohnt es sich, D zuerst zu berechnen: Das beantwortet Fragen nach der Anzahl der Nullstellen ohne die komplette Formel.

Q: Wie kontrolliere ich meine Lösungen mit dem Satz von Vieta?

Der Satz von Vieta liefert eine Blitzprobe: Für $x^{2} + px + q = 0$ gilt $x_{1} + x_{2} = -p$ und $x_{1}\cdot{}x_{2} = q$. Hast du also zwei Lösungen berechnet, addiere und multipliziere sie und vergleiche mit −p und q. Beispiel: Für $x^{2} + 4x - 5 = 0$ sind $x_{1} = 1$ und $x_{2} = -5$ die Lösungen; ihre Summe ist $-4 = -p$ ✓ und ihr Produkt $-5 = q$ ✓. Stimmen beide Werte, sind deine Lösungen mit sehr hoher Sicherheit richtig; stimmt einer nicht, hast du fast immer ein Vorzeichen verdreht. Vieta funktioniert auch rückwärts: Bei ganzzahligen Lösungen findest du sie oft durch geschicktes Raten zweier Zahlen mit passender Summe und passendem Produkt.

Die pq-Formel löst jede quadratische Gleichung in Normalform $x^{2} + px + q = 0$ , also mit dem Leitkoeffizienten 1.

GrundlegendPrüfungsrelevantSekundarstufe ISekundarstufe II

Karteikarten oder Test erstellen Ich habe schon ein Konto

Ansehen kostenlos · Karteikarten oder Multiple-Choice-Test · übernehmen ab Essential

Formel

x_{1, 2} = - \frac{p}{2} \pm (\frac{p}{2})^{2} - q

Dimensionslos (Algebra)

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$p$	Koeffizient von x in der Normalform	dimensionslos
$q$	Absolutglied der Normalform	dimensionslos
x₁, x₂	Lösungen der Gleichung	dimensionslos
$D$	Diskriminante $D = (\frac{p}{2})^{2} - q$	dimensionslos

LaTeX

x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2} - q}

QUANTA STUDYquanta-study.de

Eine nach oben geöffnete Normalparabel hat bei −p/2 eine gestrichelte Symmetrieachse, von der zwei Pfeile der Länge √D zu den Nullstellen x₂ und x₁ führen. — Die Nullstellen x₁ und x₂ liegen symmetrisch zur Scheitelstelle −p/2, jeweils im Abstand √D.

Herleitung & Hintergrund

Die pq-Formel ist die deutsche Schulform der Lösungsformel für quadratische Gleichungen in Normalform. Sie entsteht durch quadratische Ergänzung. Der Ausdruck $D = (\frac{p}{2})^{2} - q$ unter der Wurzel heißt Diskriminante: $D > 0$ bedeutet zwei Lösungen, $D = 0$ eine Doppellösung, $D < 0$ keine reelle Lösung. Gegenüber der ABC-Formel spart sie das Ablesen von a, verlangt aber vorheriges Normieren auf den Leitkoeffizienten 1.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Normalform $x^2+px+q=0$ mit Leitkoeffizient 1, sonst vorher normieren. Reelle Lösungen erfordern $(\frac{p}{2})^2-q\ge0$ .

Herleitung in Schritten

Quadratische Ergänzung formt $x^{2} + px + q$ in ein verschobenes Quadrat um.

1Ergänze $x^{2} + px$ zu $(x +\frac{ p}{2})^{2} - (\frac{p}{2})^{2}$ und bringe q auf die andere Seite.
2Wurzelziehen und Auflösen nach x liefert $x = -\frac{p}{2} \pm{} \sqrt{((\frac{p}{2})^{2} - q)}$ .

Umstellen

Diskriminante bestimmen

D = \left(\frac{p}{2}\right)^{2} - q

$D > 0$ : zwei Lösungen, $D = 0$ : eine Doppellösung, $D < 0$ : keine reelle Lösung.

Satz von Vieta

x_{1} + x_{2} = -p, \quad x_{1} \cdot x_{2} = q

Schnelle Probe: Summe und Produkt der Lösungen müssen −p und q ergeben.

Scheitelstelle der Parabel

x_{S} = -\frac{p}{2}

Die Lösungen liegen symmetrisch um die Scheitelstelle $x = -\frac{p}{2}$ .

Aufgabenvariante

Löse $x^{2} + 4x - 5 = 0$ .

$p = 4$ , $q = -5$ . x₁,₂ = −2 ± √(4 + 5) = −2 ± 3, also $x_{1} = 1$ , $x_{2} = -5$ .
Probe mit Vieta: $1 + (-5) = -4 = -p$ ✓ und $1\cdot{}(-5) = -5 = q$ ✓.

Löse $2x^{2} - 8x + 6 = 0$ mit der pq-Formel.

Erst normieren: $x^{2} - 4x + 3 = 0$ , also $p = -4$ , $q = 3$ . x₁,₂ = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1, also $x_{1} = 3$ , $x_{2} = 1$ .

Typische Fehler

Vor $x^{2}$ steht ein Faktor $a \ne{} 1$ , trotzdem werden p und q direkt abgelesen.

Zuerst die ganze Gleichung durch a teilen, erst dann gilt die Normalform.

Vorzeichen von p falsch übernehmen: bei $x^{2} - 6x + 8$ ist $p = -6$ , nicht 6.

$-\frac{p}{2}$ wird dann +3; Vorzeichen konsequent mitführen.

Das ± vergessen und nur eine Lösung angeben.

Bei positiver Diskriminante gibt es immer zwei Lösungen.

$(\frac{p}{2})^{2}$ als $\frac{p^{2}}{2}$ rechnen.

Erst halbieren, dann quadrieren: $(\frac{6}{2})^{2} = 9$ , nicht $\frac{36}{2} = 18$ .

Klausurkontext

Standardwerkzeug für Nullstellen, Schnittpunkte und Substitutionsaufgaben in Klausuren.

Formelcluster

Quadratische Gleichungen

pq-Formel, ABC-Formel und binomische Formeln lösen dieselbe Gleichungsklasse.

x = (−b ± √D) / 2a

Quadratische Formel (ABC-Formel)

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

Binomische Formeln

d/dx(xⁿ) = n·xⁿ⁻¹

Potenzregel der Differentiation

Rechenbeispiel

$x^{2} - 6x + 8 = 0$ : $p = -6$ , $q = 8$ . $x_{1,2} = 3 \pm \sqrt{9-8} = 3 \pm 1$ , also $x_{1} = 4$ , $x_{2} = 2$ . Probe: $4^{2} - 6\cdot{}4 + 8 = 0$ ✓ und $2^{2} - 6\cdot{}2 + 8 = 0$ ✓.

Anwendungsgebiete

Nullstellen von Parabeln, Schnittpunkte von Funktionsgraphen, Wurf- und Bremswegaufgaben, Substitution bei biquadratischen Gleichungen

Rechenbeispiel: pq-Formel

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: pq-Formel (x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)).

1
Aufgabe
Löse $x^{2} + 4x - 5 = 0$ .
Rechenweg
1. $p = 4$ , $q = -5$ . x₁,₂ = −2 ± √(4 + 5) = −2 ± 3, also $x_{1} = 1$ , $x_{2} = -5$ .
2. Probe mit Vieta: $1 + (-5) = -4 = -p$ ✓ und $1\cdot{}(-5) = -5 = q$ ✓.
2
Aufgabe
Löse $2x^{2} - 8x + 6 = 0$ mit der pq-Formel.
Rechenweg
Erst normieren: $x^{2} - 4x + 3 = 0$ , also $p = -4$ , $q = 3$ . x₁,₂ = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1, also $x_{1} = 3$ , $x_{2} = 1$ .

Häufige Fragen: pq-Formel

Wie funktioniert die pq-Formel Schritt für Schritt?+

Bringe die Gleichung zuerst in die Normalform $x^{2} + px + q = 0$ ; vor $x^{2}$ darf nichts stehen. Lies dann p und q mit Vorzeichen ab und setze in x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q) ein. Rechne zuerst $-\frac{p}{2}$ aus, dann den Ausdruck unter der Wurzel, ziehe die Wurzel und bilde mit Plus und Minus die beiden Lösungen. Beispiel: $x^{2} - 6x + 8 = 0$ hat $p = -6$ und $q = 8$ , also x₁,₂ = 3 ± √(9 − 8) = 3 ± 1, das ergibt $x_{1} = 4$ und $x_{2} = 2$ . Zum Schluss lohnt eine Probe durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung, das dauert nur Sekunden und fängt Vorzeichenfehler ab.

Was ist der Unterschied zwischen pq-Formel und Mitternachtsformel?+

Beide lösen quadratische Gleichungen und liefern identische Ergebnisse, sie verlangen aber verschiedene Ausgangsformen. Die pq-Formel braucht die Normalform $x^{2} + px + q = 0$ mit dem Leitkoeffizienten 1; steht ein Faktor a vor $x^{2}$ , musst du zuerst durch a teilen. Die Mitternachtsformel (ABC-Formel) arbeitet direkt mit $ax^{2} + bx + c = 0$ und erspart das Normieren, dafür ist sie etwas länger. Welche du nutzt, ist Geschmacks- und Bundeslandsache: In vielen Schulen ist die pq-Formel Standard, in Bayern die Mitternachtsformel. Wichtig ist nur Konsequenz: Formel wählen, Form herstellen, Koeffizienten mit Vorzeichen ablesen. Bei $a = 1$ sind beide Wege gleich schnell.

Was mache ich, wenn vor dem

x^{2}

ein Faktor steht?+

Teile die komplette Gleichung durch diesen Faktor, bevor du p und q abliest. Aus $2x^{2} - 8x + 6 = 0$ wird nach Division durch 2 die Normalform $x^{2} - 4x + 3 = 0$ mit $p = -4$ und $q = 3$ ; die pq-Formel liefert x₁,₂ = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1, also 3 und 1. Wichtig: Wirklich jeden Summanden teilen, auch das Absolutglied, und die rechte Seite (0/2 = 0 bleibt 0). Das Teilen verändert die Lösungsmenge nicht, weil beide Seiten gleich behandelt werden. Der häufigste Fehler ist, p und q aus der unnormierten Gleichung abzulesen; dann sind alle Folgeergebnisse falsch. Alternativ kannst du direkt die ABC-Formel verwenden, die den Faktor a mitverarbeitet.

Was sagt der Ausdruck

(\frac{p}{2})^{2} - q

unter der Wurzel aus?+

Dieser Ausdruck ist die Diskriminante D der Normalform und entscheidet über die Lösbarkeit, bevor du fertig rechnest. Ist D positiv, liefert die Wurzel einen echten Wert und es gibt zwei verschiedene reelle Lösungen. Ist D genau null, verschwindet die Wurzel und beide Lösungen fallen zur Doppellösung $x = -\frac{p}{2}$ zusammen; die Parabel berührt die x-Achse nur. Ist D negativ, kann man im Reellen keine Wurzel ziehen, die Gleichung hat keine reelle Lösung und die Parabel liegt komplett über oder unter der x-Achse. In Klausuren lohnt es sich, D zuerst zu berechnen: Das beantwortet Fragen nach der Anzahl der Nullstellen ohne die komplette Formel.

Wie kontrolliere ich meine Lösungen mit dem Satz von Vieta?+

Der Satz von Vieta liefert eine Blitzprobe: Für $x^{2} + px + q = 0$ gilt $x_{1} + x_{2} = -p$ und $x_{1}\cdot{}x_{2} = q$ . Hast du also zwei Lösungen berechnet, addiere und multipliziere sie und vergleiche mit −p und q. Beispiel: Für $x^{2} + 4x - 5 = 0$ sind $x_{1} = 1$ und $x_{2} = -5$ die Lösungen; ihre Summe ist $-4 = -p$ ✓ und ihr Produkt $-5 = q$ ✓. Stimmen beide Werte, sind deine Lösungen mit sehr hoher Sicherheit richtig; stimmt einer nicht, hast du fast immer ein Vorzeichen verdreht. Vieta funktioniert auch rückwärts: Bei ganzzahligen Lösungen findest du sie oft durch geschicktes Raten zweier Zahlen mit passender Summe und passendem Produkt.

Quanta-Prüfungsset

Kuratiertes Prüfungsset für "pq-Formel":

Frage (Vorderseite)

Welche Formel beschreibt pq-Formel?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Wie stellst du x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q) nach Diskriminante bestimmen um?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)?

Antwort in deinem Set

+ 7 weitere Karten: Einheiten, Variablen, Herleitung, Beispiel, Klausuraufgabe

Das Formelset enthält 10 Karten. Nach der Übernahme kannst du sie prüfen und lernen; deine Bewertungen bestimmen die weiteren Wiederholungen.

Karteikarten oder Test erstellen Ich habe schon ein Konto

Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, College Algebra 2e, §2.5: Quadratic Equations

Weitere Formeln: Algebra und Gleichungen

\log_{b}(x \cdot y) = \log_{b} x + \log_{b} y, \quad \log_{b}(x^{r}) = r \cdot \log_{b} x

Logarithmengesetze

\exists\,\mathbf{v}\ne\mathbf{0}: A\mathbf{v}=\lambda\mathbf{v} \quad\Longleftrightarrow\quad \det(A-\lambda I)=0

Eigenwerte und Eigenvektoren

\widehat{\mathbf{x}} = \arg\min_{\mathbf{x}} \|A\mathbf{x}-\mathbf{b}\|_2^2 \quad A^T A\widehat{\mathbf{x}}=A^T\mathbf{b}

Lineare Ausgleichsrechnung (Methode der kleinsten Quadrate)

\operatorname{rang}(A)=\operatorname{rang}([A|b])

Lineares Gleichungssystem und Matrixrang

Spaced Repetition

Formeln nachhaltig lernen

Aktiver Abruf

Abrufen statt wiederlesen

FSRS vs. SM-2

Optimaler Algorithmus

Formel-Prüfungsset erstellen

Ab Essential in Quanta

pq-Formel prüfungssicher behalten

Erstelle ein kuratiertes FSRS-Prüfungsset für x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q): Formelabruf, Variablen, Herleitung, Umstellung, Beispiel, typische Fehler und Klausurkontext.

Karteikarten oder Test erstellen Schon registriert? Direkt weiter

Kuratiertes Formelset · LaTeX · FSRS Spaced Repetition · übernehmen ab Essential

Quanta Study Redaktion

pq-Formel

Die pq-Formel löst jede quadratische Gleichung in Normalform

x^{2} + px + q = 0

, also mit dem Leitkoeffizienten 1.

GrundlegendPrüfungsrelevantSekundarstufe ISekundarstufe II

Ansehen kostenlos · Karteikarten oder Multiple-Choice-Test · übernehmen ab Essential

Symbol

Bedeutung

Einheit

p

Koeffizient von x in der Normalform

dimensionslos

q

Absolutglied der Normalform

dimensionslos

x₁, x₂

Lösungen der Gleichung

dimensionslos

D

Diskriminante

D = (\frac{p}{2})^{2} - q

dimensionslos

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Normalform $x^2+px+q=0$ mit Leitkoeffizient 1, sonst vorher normieren. Reelle Lösungen erfordern $(\frac{p}{2})^2-q\ge0$ .

Herleitung in Schritten

Quadratische Ergänzung formt $x^{2} + px + q$ in ein verschobenes Quadrat um.

1Ergänze $x^{2} + px$ zu $(x +\frac{ p}{2})^{2} - (\frac{p}{2})^{2}$ und bringe q auf die andere Seite.
2Wurzelziehen und Auflösen nach x liefert $x = -\frac{p}{2} \pm{} \sqrt{((\frac{p}{2})^{2} - q)}$ .

Rechenbeispiel: pq-Formel

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: pq-Formel (x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)).

Aufgabe

Löse $x^{2} + 4x - 5 = 0$ .

Rechenweg

$p = 4$ , $q = -5$ . x₁,₂ = −2 ± √(4 + 5) = −2 ± 3, also $x_{1} = 1$ , $x_{2} = -5$ .
Probe mit Vieta: $1 + (-5) = -4 = -p$ ✓ und $1\cdot{}(-5) = -5 = q$ ✓.

Aufgabe

Löse $2x^{2} - 8x + 6 = 0$ mit der pq-Formel.

Rechenweg

Erst normieren: $x^{2} - 4x + 3 = 0$ , also $p = -4$ , $q = 3$ . x₁,₂ = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1, also $x_{1} = 3$ , $x_{2} = 1$ .

Häufige Fragen: pq-Formel

Wie funktioniert die pq-Formel Schritt für Schritt?+

Was ist der Unterschied zwischen pq-Formel und Mitternachtsformel?+

Was mache ich, wenn vor dem

x^{2}

ein Faktor steht?+

Was sagt der Ausdruck

(\frac{p}{2})^{2} - q

unter der Wurzel aus?+

Wie kontrolliere ich meine Lösungen mit dem Satz von Vieta?+

pq-Formel prüfungssicher behalten

Erstelle ein kuratiertes FSRS-Prüfungsset für x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q): Formelabruf, Variablen, Herleitung, Umstellung, Beispiel, typische Fehler und Klausurkontext.

Kuratiertes Formelset · LaTeX · FSRS Spaced Repetition · übernehmen ab Essential