Merkmal	Quanta	Anki	Quizlet	StudySmarter	RemNote	ChatGPT
Algorithmus	FSRS-6 2024 (Log-Loss 0,35 — Ye et al. 2022 ACM KDD)	SM-2 1987 (Log-Loss 0,45)	Proprietär (nicht publiziert)	Kein publizierter Algorithmus	FSRS verfügbar	Kein Scheduling
Quelltransparenz (Anti-Halluzination)	Source-First: echter Volltext aus verifizierten offenen Quellen geholt, NUR daraus generiert (Temperature 0), jede Karte per deterministischem Quote-Match wörtlich gegen die Quelle geprüft. 100% der ausgelieferten Karten belegt, nicht Belegbares verworfen, Quelle pro Karte gebunden	Nicht vorhanden	Nicht vorhanden	Nicht vorhanden	Nicht vorhanden	Post-hoc Zitate ohne Prüfung
Bloom-Taxonomie-Constraint	Stufe 3-4 Pflicht (Anderson und Krathwohl 2001), Stufe 1 architektonisch blockiert	Keine Kontrolle	Keine Kontrolle	Keine Kontrolle	Keine Kontrolle	Keine Kontrolle
Distraktor-Validierung (MC)	Jede Falschantwort auf Plausibilität geprüft (Haladyna und Downing 1989)	Nicht vorhanden	Nicht vorhanden	Nicht vorhanden	Nicht vorhanden	Nicht vorhanden
KI-Tutor Methodik	Sokrates-Methode: nur Gegenfragen, keine Direktantworten (Chi et al. 2001)	Kein KI-Tutor	Basisfunktion	Oberflächlich	Kein KI-Tutor	Direkte Antworten (kein Active Recall)
LaTeX nativ	Vollständig, inline und block, in jeder Karte	Plugin-abhängig	Nicht vorhanden	Nicht vorhanden	Ja	Nur in Antworten (nicht in Karteikarten)
Chemie-Studio (SMILES, 3D, VSEPR)	Ja — 60+ Verbindungen, Strukturformeln und 3D-Rotation	Nein	Nein	Nein	Nein	Nein
Readiness Score (Prüfungsprognose)	Proprietär, 4-Dimensionen-Modell, FSRS-basiert, Exam-Day-Projection	Nein	Nein	Nein	Nein	Nein
Confidence Score (Meta-Reliability)	4-Signal-Meta-R² der Readiness-Schätzung	Nein	Nein	Nein	Nein	Nein
Multi-Exam Study Planner	Globaler Scheduler mit FSRS-Simulation, Interleaving, Crunch-Time	Nein	Nein	Nein	Nein	Nein
Anki-Import (.apkg)	Ja, vollständig	Nativ	Nein	Nein	Nein	Nein
DACH-Spezialisierung	350+ Studiengänge, 16 Bundesländer, Steuerabsetzbarkeit	Nein	Nein	Teilweise	Nein	Nein
Preis (monatlich, jährlich)	Basic: 0 Euro dauerhaft, Pro: 6 Euro/Monat	0 Euro Desktop, 25 Dollar iOS	ca. 3 Euro/Monat (jährlich)	ca. 5 Euro/Monat	ca. 8 Dollar/Monat	20 Dollar/Monat (Plus)
Eigenständige Berechnungs-Engine	Ja — 900 LOC TypeScript, 4 Module, keine API-Abhängigkeit	Ja (SM-2)	Nein	Unbekannt	Teilweise (FSRS Fork)	Nein (reines LLM)

Mathematik · Algebra

pq-Formel

Die pq-Formel löst jede quadratische Gleichung in Normalform x² + px + q = 0, also mit dem Leitkoeffizienten 1.

GrundlegendPrüfungsrelevant

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Formel

x₁,₂ = -p/2 \pm \sqrt((p/2)² - q)

LaTeX: x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2} - q}

Dimensionslos (Algebra)

Variablen & Einheiten – pq-Formel

Symbol	Bedeutung	Einheit
p	Koeffizient von x in der Normalform	dimensionslos
q	Absolutglied der Normalform	dimensionslos
x₁, x₂	Lösungen der Gleichung	dimensionslos
D	Diskriminante D = (p/2)² − q	dimensionslos

Herleitung & Hintergrund – pq-Formel

Die pq-Formel ist die deutsche Schulform der Lösungsformel für quadratische Gleichungen in Normalform. Sie entsteht durch quadratische Ergänzung. Der Ausdruck D = (p/2)² − q unter der Wurzel heißt Diskriminante: D > 0 bedeutet zwei Lösungen, D = 0 eine Doppellösung, D < 0 keine reelle Lösung. Gegenüber der ABC-Formel spart sie das Ablesen von a, verlangt aber vorheriges Normieren auf den Leitkoeffizienten 1.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Gilt nur für quadratische Gleichungen in Normalform x² + px + q = 0; steht ein Faktor vor x², zuerst durch ihn teilen. Reelle Lösungen existieren nur für (p/2)² − q ≥ 0.

Herleitung in Schritten

Quadratische Ergänzung formt x² + px + q in ein verschobenes Quadrat um.

1Ergänze x² + px zu (x + p/2)² − (p/2)² und bringe q auf die andere Seite.
2Wurzelziehen und Auflösen nach x liefert x = −p/2 ± √((p/2)² − q).

Umstellen

Diskriminante bestimmen

D = \left(\frac{p}{2}\right)^{2} - q

D > 0: zwei Lösungen, D = 0: eine Doppellösung, D < 0: keine reelle Lösung.

Satz von Vieta

x_{1} + x_{2} = -p, \quad x_{1} \cdot x_{2} = q

Schnelle Probe: Summe und Produkt der Lösungen müssen −p und q ergeben.

Scheitelstelle der Parabel

x_{S} = -\frac{p}{2}

Die Lösungen liegen symmetrisch um die Scheitelstelle x = −p/2.

Aufgabenvariante

Löse x² + 4x − 5 = 0.

p = 4, q = −5. x₁,₂ = −2 ± √(4 + 5) = −2 ± 3, also x₁ = 1, x₂ = −5. Probe mit Vieta: 1 + (−5) = −4 = −p ✓ und 1·(−5) = −5 = q ✓.

Löse 2x² − 8x + 6 = 0 mit der pq-Formel.

Erst normieren: x² − 4x + 3 = 0, also p = −4, q = 3. x₁,₂ = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1, also x₁ = 3, x₂ = 1.

Typische Fehler

Vor x² steht ein Faktor a ≠ 1, trotzdem werden p und q direkt abgelesen.

Zuerst die ganze Gleichung durch a teilen, erst dann gilt die Normalform.

Vorzeichen von p falsch übernehmen: bei x² − 6x + 8 ist p = −6, nicht 6.

−p/2 wird dann +3; Vorzeichen konsequent mitführen.

Das ± vergessen und nur eine Lösung angeben.

Bei positiver Diskriminante gibt es immer zwei Lösungen.

(p/2)² als p²/2 rechnen.

Erst halbieren, dann quadrieren: (6/2)² = 9, nicht 36/2 = 18.

Klausurkontext

Standardwerkzeug für Nullstellen, Schnittpunkte und Substitutionsaufgaben in Klausuren.

Die typischen Fehler stecken als eigene Karten im Prüfungsset. Einmal aktiv trainiert, passieren sie in der Klausur selten.

Diese Fehler im Set trainieren Ich habe schon ein Konto

Formelcluster

Quadratische Gleichungen

pq-Formel, ABC-Formel und binomische Formeln lösen dieselbe Gleichungsklasse.

x = (-b \pm \sqrtD) / 2a

Quadratische Formel (ABC-Formel)

(a \pm b)² = a² \pm 2ab + b²

Binomische Formeln

d/dx(xⁿ) = n\cdotxⁿ⁻¹

Potenzregel der Differentiation

Rechenbeispiel

x² − 6x + 8 = 0: p = −6, q = 8. x₁,₂ = 3 ± √(9 − 8) = 3 ± 1, also x₁ = 4, x₂ = 2. Probe: 4² − 6·4 + 8 = 0 ✓ und 2² − 6·2 + 8 = 0 ✓.

Anwendungsgebiete

Nullstellen von Parabeln, Schnittpunkte von Funktionsgraphen, Wurf- und Bremswegaufgaben, Substitution bei biquadratischen Gleichungen

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Frage (Vorderseite)

Welche Formel beschreibt pq-Formel?

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Frage (Vorderseite)

Wie stellst du x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q) nach Diskriminante bestimmen um?

Antwort in deinem Set

Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)?

Antwort in deinem Set

+ 7 weitere Karten: Einheiten, Variablen, Herleitung, Beispiel, Klausuraufgabe

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Wissenschaftliche Quellen

[1]Bronstein, I.N. et al. (2020). Taschenbuch der Mathematik. Springer.

Häufige Schreibweisen & Suchanfragen

x=-p/2±sqrt((p/2)^2-q)x^2+px+q=0pq Formelp q Formelminus p halbe plus minus wurzelPQ-Formel Rechnerquadratische Gleichung Normalformpq formulaMitternachtsformel Unterschied

Weitere Mathematik-Formeln

a² + b² = c²

Satz des Pythagoras

x = (-b \pm \sqrtD) / 2a

Quadratische Formel (ABC-Formel)

e^(iφ) = cos φ + i\cdotsin φ

Eulersche Formel

(fg)' = f'g + fg'

Produktregel der Differentiation

Spaced Repetition

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Häufige Fragen zu pq-Formel

Wie funktioniert die pq-Formel Schritt für Schritt?+

Bringe die Gleichung zuerst in die Normalform x² + px + q = 0; vor x² darf nichts stehen. Lies dann p und q mit Vorzeichen ab und setze in x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q) ein. Rechne zuerst −p/2 aus, dann den Ausdruck unter der Wurzel, ziehe die Wurzel und bilde mit Plus und Minus die beiden Lösungen. Beispiel: x² − 6x + 8 = 0 hat p = −6 und q = 8, also x₁,₂ = 3 ± √(9 − 8) = 3 ± 1, das ergibt x₁ = 4 und x₂ = 2. Zum Schluss lohnt eine Probe durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung, das dauert nur Sekunden und fängt Vorzeichenfehler ab.

Was ist der Unterschied zwischen pq-Formel und Mitternachtsformel?+

Beide lösen quadratische Gleichungen und liefern identische Ergebnisse, sie verlangen aber verschiedene Ausgangsformen. Die pq-Formel braucht die Normalform x² + px + q = 0 mit dem Leitkoeffizienten 1; steht ein Faktor a vor x², musst du zuerst durch a teilen. Die Mitternachtsformel (ABC-Formel) arbeitet direkt mit ax² + bx + c = 0 und erspart das Normieren, dafür ist sie etwas länger. Welche du nutzt, ist Geschmacks- und Bundeslandsache: In vielen Schulen ist die pq-Formel Standard, in Bayern die Mitternachtsformel. Wichtig ist nur Konsequenz: Formel wählen, Form herstellen, Koeffizienten mit Vorzeichen ablesen. Bei a = 1 sind beide Wege gleich schnell.

Was mache ich, wenn vor dem x² ein Faktor steht?+

Teile die komplette Gleichung durch diesen Faktor, bevor du p und q abliest. Aus 2x² − 8x + 6 = 0 wird nach Division durch 2 die Normalform x² − 4x + 3 = 0 mit p = −4 und q = 3; die pq-Formel liefert x₁,₂ = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1, also 3 und 1. Wichtig: Wirklich jeden Summanden teilen, auch das Absolutglied, und die rechte Seite (0/2 = 0 bleibt 0). Das Teilen verändert die Lösungsmenge nicht, weil beide Seiten gleich behandelt werden. Der häufigste Fehler ist, p und q aus der unnormierten Gleichung abzulesen; dann sind alle Folgeergebnisse falsch. Alternativ kannst du direkt die ABC-Formel verwenden, die den Faktor a mitverarbeitet.

Was sagt der Ausdruck (p/2)² − q unter der Wurzel aus?+

Dieser Ausdruck ist die Diskriminante D der Normalform und entscheidet über die Lösbarkeit, bevor du fertig rechnest. Ist D positiv, liefert die Wurzel einen echten Wert und es gibt zwei verschiedene reelle Lösungen. Ist D genau null, verschwindet die Wurzel und beide Lösungen fallen zur Doppellösung x = −p/2 zusammen; die Parabel berührt die x-Achse nur. Ist D negativ, kann man im Reellen keine Wurzel ziehen, die Gleichung hat keine reelle Lösung und die Parabel liegt komplett über oder unter der x-Achse. In Klausuren lohnt es sich, D zuerst zu berechnen: Das beantwortet Fragen nach der Anzahl der Nullstellen ohne die komplette Formel.

Wie kontrolliere ich meine Lösungen mit dem Satz von Vieta?+

Der Satz von Vieta liefert eine Blitzprobe: Für x² + px + q = 0 gilt x₁ + x₂ = −p und x₁·x₂ = q. Hast du also zwei Lösungen berechnet, addiere und multipliziere sie und vergleiche mit −p und q. Beispiel: Für x² + 4x − 5 = 0 sind x₁ = 1 und x₂ = −5 die Lösungen; ihre Summe ist −4 = −p ✓ und ihr Produkt −5 = q ✓. Stimmen beide Werte, sind deine Lösungen mit sehr hoher Sicherheit richtig; stimmt einer nicht, hast du fast immer ein Vorzeichen verdreht. Vieta funktioniert auch rückwärts: Bei ganzzahligen Lösungen findest du sie oft durch geschicktes Raten zweier Zahlen mit passender Summe und passendem Produkt.

pq-Formel prüfungssicher behalten

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Wie berechnet man mit pq-Formel?

So gehst du eine typische Aufgabe zu pq-Formel (x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)) Schritt für Schritt an:

1
Aufgabe
Löse x² + 4x − 5 = 0.
Rechenweg
p = 4, q = −5. x₁,₂ = −2 ± √(4 + 5) = −2 ± 3, also x₁ = 1, x₂ = −5. Probe mit Vieta: 1 + (−5) = −4 = −p ✓ und 1·(−5) = −5 = q ✓.
2
Aufgabe
Löse 2x² − 8x + 6 = 0 mit der pq-Formel.
Rechenweg
Erst normieren: x² − 4x + 3 = 0, also p = −4, q = 3. x₁,₂ = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1, also x₁ = 3, x₂ = 1.

x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q) · 10 Karten fertig

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Für welche Studiengänge und Fächer ist Quanta geeignet?

Quanta vs. Konkurrenz — Technische Vergleichsmatrix (Stand Mai 2026)

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Quadratische Gleichungen

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