pq-Formel
Die pq-Formel löst jede quadratische Gleichung in Normalform x² + px + q = 0, also mit dem Leitkoeffizienten 1.
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Formel
x_{1,2} = -\frac{p}{2} \pm \sqrt{\left(\frac{p}{2}\right)^{2} - q}Variablen & Einheiten – pq-Formel
| Symbol | Bedeutung | Einheit |
|---|---|---|
| p | Koeffizient von x in der Normalform | dimensionslos |
| q | Absolutglied der Normalform | dimensionslos |
| x₁, x₂ | Lösungen der Gleichung | dimensionslos |
| D | Diskriminante D = (p/2)² − q | dimensionslos |
Herleitung & Hintergrund – pq-Formel
Die pq-Formel ist die deutsche Schulform der Lösungsformel für quadratische Gleichungen in Normalform. Sie entsteht durch quadratische Ergänzung. Der Ausdruck D = (p/2)² − q unter der Wurzel heißt Diskriminante: D > 0 bedeutet zwei Lösungen, D = 0 eine Doppellösung, D < 0 keine reelle Lösung. Gegenüber der ABC-Formel spart sie das Ablesen von a, verlangt aber vorheriges Normieren auf den Leitkoeffizienten 1.
Prüfungs-Blueprint
Gültigkeitsbereich
Gilt nur für quadratische Gleichungen in Normalform x² + px + q = 0; steht ein Faktor vor x², zuerst durch ihn teilen. Reelle Lösungen existieren nur für (p/2)² − q ≥ 0.
Herleitung in Schritten
Quadratische Ergänzung formt x² + px + q in ein verschobenes Quadrat um.
- 1Ergänze x² + px zu (x + p/2)² − (p/2)² und bringe q auf die andere Seite.
- 2Wurzelziehen und Auflösen nach x liefert x = −p/2 ± √((p/2)² − q).
Umstellen
Diskriminante bestimmen
D > 0: zwei Lösungen, D = 0: eine Doppellösung, D < 0: keine reelle Lösung.
Satz von Vieta
Schnelle Probe: Summe und Produkt der Lösungen müssen −p und q ergeben.
Scheitelstelle der Parabel
Die Lösungen liegen symmetrisch um die Scheitelstelle x = −p/2.
Aufgabenvariante
Löse x² + 4x − 5 = 0.
p = 4, q = −5. x₁,₂ = −2 ± √(4 + 5) = −2 ± 3, also x₁ = 1, x₂ = −5. Probe mit Vieta: 1 + (−5) = −4 = −p ✓ und 1·(−5) = −5 = q ✓.
Löse 2x² − 8x + 6 = 0 mit der pq-Formel.
Erst normieren: x² − 4x + 3 = 0, also p = −4, q = 3. x₁,₂ = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1, also x₁ = 3, x₂ = 1.
Typische Fehler
Vor x² steht ein Faktor a ≠ 1, trotzdem werden p und q direkt abgelesen.
Zuerst die ganze Gleichung durch a teilen, erst dann gilt die Normalform.
Vorzeichen von p falsch übernehmen: bei x² − 6x + 8 ist p = −6, nicht 6.
−p/2 wird dann +3; Vorzeichen konsequent mitführen.
Das ± vergessen und nur eine Lösung angeben.
Bei positiver Diskriminante gibt es immer zwei Lösungen.
(p/2)² als p²/2 rechnen.
Erst halbieren, dann quadrieren: (6/2)² = 9, nicht 36/2 = 18.
Klausurkontext
- Standardwerkzeug für Nullstellen, Schnittpunkte und Substitutionsaufgaben in Klausuren.
Die typischen Fehler stecken als eigene Karten im Prüfungsset. Einmal aktiv trainiert, passieren sie in der Klausur selten.
Formelcluster
Quadratische Gleichungen
pq-Formel, ABC-Formel und binomische Formeln lösen dieselbe Gleichungsklasse.
Rechenbeispiel
x² − 6x + 8 = 0: p = −6, q = 8. x₁,₂ = 3 ± √(9 − 8) = 3 ± 1, also x₁ = 4, x₂ = 2. Probe: 4² − 6·4 + 8 = 0 ✓ und 2² − 6·2 + 8 = 0 ✓.
Anwendungsgebiete
Nullstellen von Parabeln, Schnittpunkte von Funktionsgraphen, Wurf- und Bremswegaufgaben, Substitution bei biquadratischen Gleichungen
Quanta-Prüfungsset
Kuratiertes Prüfungsset für "pq-Formel":
Frage (Vorderseite)
Welche Formel beschreibt pq-Formel?
Antwort in deinem Set
Frage (Vorderseite)
Wie stellst du x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q) nach Diskriminante bestimmen um?
Antwort in deinem Set
Frage (Vorderseite)
Welcher typische Fehler passiert bei x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)?
Antwort in deinem Set
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Wissenschaftliche Quellen
Häufige Schreibweisen & Suchanfragen
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Weitere Mathematik-Formeln
Häufige Fragen zu pq-Formel
Wie funktioniert die pq-Formel Schritt für Schritt?+
Bringe die Gleichung zuerst in die Normalform x² + px + q = 0; vor x² darf nichts stehen. Lies dann p und q mit Vorzeichen ab und setze in x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q) ein. Rechne zuerst −p/2 aus, dann den Ausdruck unter der Wurzel, ziehe die Wurzel und bilde mit Plus und Minus die beiden Lösungen. Beispiel: x² − 6x + 8 = 0 hat p = −6 und q = 8, also x₁,₂ = 3 ± √(9 − 8) = 3 ± 1, das ergibt x₁ = 4 und x₂ = 2. Zum Schluss lohnt eine Probe durch Einsetzen in die Ausgangsgleichung, das dauert nur Sekunden und fängt Vorzeichenfehler ab.
Was ist der Unterschied zwischen pq-Formel und Mitternachtsformel?+
Beide lösen quadratische Gleichungen und liefern identische Ergebnisse, sie verlangen aber verschiedene Ausgangsformen. Die pq-Formel braucht die Normalform x² + px + q = 0 mit dem Leitkoeffizienten 1; steht ein Faktor a vor x², musst du zuerst durch a teilen. Die Mitternachtsformel (ABC-Formel) arbeitet direkt mit ax² + bx + c = 0 und erspart das Normieren, dafür ist sie etwas länger. Welche du nutzt, ist Geschmacks- und Bundeslandsache: In vielen Schulen ist die pq-Formel Standard, in Bayern die Mitternachtsformel. Wichtig ist nur Konsequenz: Formel wählen, Form herstellen, Koeffizienten mit Vorzeichen ablesen. Bei a = 1 sind beide Wege gleich schnell.
Was mache ich, wenn vor dem x² ein Faktor steht?+
Teile die komplette Gleichung durch diesen Faktor, bevor du p und q abliest. Aus 2x² − 8x + 6 = 0 wird nach Division durch 2 die Normalform x² − 4x + 3 = 0 mit p = −4 und q = 3; die pq-Formel liefert x₁,₂ = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1, also 3 und 1. Wichtig: Wirklich jeden Summanden teilen, auch das Absolutglied, und die rechte Seite (0/2 = 0 bleibt 0). Das Teilen verändert die Lösungsmenge nicht, weil beide Seiten gleich behandelt werden. Der häufigste Fehler ist, p und q aus der unnormierten Gleichung abzulesen; dann sind alle Folgeergebnisse falsch. Alternativ kannst du direkt die ABC-Formel verwenden, die den Faktor a mitverarbeitet.
Was sagt der Ausdruck (p/2)² − q unter der Wurzel aus?+
Dieser Ausdruck ist die Diskriminante D der Normalform und entscheidet über die Lösbarkeit, bevor du fertig rechnest. Ist D positiv, liefert die Wurzel einen echten Wert und es gibt zwei verschiedene reelle Lösungen. Ist D genau null, verschwindet die Wurzel und beide Lösungen fallen zur Doppellösung x = −p/2 zusammen; die Parabel berührt die x-Achse nur. Ist D negativ, kann man im Reellen keine Wurzel ziehen, die Gleichung hat keine reelle Lösung und die Parabel liegt komplett über oder unter der x-Achse. In Klausuren lohnt es sich, D zuerst zu berechnen: Das beantwortet Fragen nach der Anzahl der Nullstellen ohne die komplette Formel.
Wie kontrolliere ich meine Lösungen mit dem Satz von Vieta?+
Der Satz von Vieta liefert eine Blitzprobe: Für x² + px + q = 0 gilt x₁ + x₂ = −p und x₁·x₂ = q. Hast du also zwei Lösungen berechnet, addiere und multipliziere sie und vergleiche mit −p und q. Beispiel: Für x² + 4x − 5 = 0 sind x₁ = 1 und x₂ = −5 die Lösungen; ihre Summe ist −4 = −p ✓ und ihr Produkt −5 = q ✓. Stimmen beide Werte, sind deine Lösungen mit sehr hoher Sicherheit richtig; stimmt einer nicht, hast du fast immer ein Vorzeichen verdreht. Vieta funktioniert auch rückwärts: Bei ganzzahligen Lösungen findest du sie oft durch geschicktes Raten zweier Zahlen mit passender Summe und passendem Produkt.
pq-Formel prüfungssicher behalten
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Wie berechnet man mit pq-Formel?
So gehst du eine typische Aufgabe zu pq-Formel (x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)) Schritt für Schritt an:
- 1
Aufgabe
Löse x² + 4x − 5 = 0.
Rechenweg
p = 4, q = −5. x₁,₂ = −2 ± √(4 + 5) = −2 ± 3, also x₁ = 1, x₂ = −5. Probe mit Vieta: 1 + (−5) = −4 = −p ✓ und 1·(−5) = −5 = q ✓.
- 2
Aufgabe
Löse 2x² − 8x + 6 = 0 mit der pq-Formel.
Rechenweg
Erst normieren: x² − 4x + 3 = 0, also p = −4, q = 3. x₁,₂ = 2 ± √(4 − 3) = 2 ± 1, also x₁ = 3, x₂ = 1.