Standardabweichung

Bei einer diskreten Zufallsgröße: Zuerst den Erwartungswert μ = Σx_i·p_i bestimmen. Dann für jeden Wert die Abweichung x_i − μ bilden, quadrieren und mit p_i gewichten; die Summe ist die Varianz Var(X) = Σ(x_i − μ)²·p_i. Zum Schluss die Wurzel ziehen: σ = √Var(X). Beispiel Würfel: $\mu{} = 3{,}5$, $E(X^{2}) =\frac{ 91}{6} \approx{} 15{,}17$, also Var = 15,17 − 3,5² = 2,92 und $\sigma{} \approx{} 1{,}71$. Oft schneller ist der Verschiebungssatz Var(X) = E(X²) − μ², bei dem du nur die quadrierten Werte mitteln musst. Bei binomialverteilten Größen sparst du dir alles: $\sigma{} = \sqrt{(n\cdot{}p\cdot{}(1-p))}$. Wichtig: Erst ganz am Ende wurzeln, nie die einzelnen Abweichungen.

σ ist die theoretische Standardabweichung einer Verteilung, berechnet aus dem Wahrscheinlichkeitsmodell. s ist die empirische Standardabweichung einer Stichprobe, berechnet aus Daten, und dort teilt man durch n − 1 statt durch n: s = √(Σ(x_i − x̄)²/(n − 1)). Der Grund für die Bessel-Korrektur: Der Stichprobenmittelwert x̄ liegt automatisch „mitten in" den eigenen Daten, die Abweichungen von x̄ fallen also systematisch kleiner aus als die vom wahren μ. Das Teilen durch n − 1 gleicht diese Unterschätzung aus und macht $s^{2}$ zu einem erwartungstreuen Schätzer der Varianz. Bei großen n ist der Unterschied winzig. Taschenrechner und Tabellenkalkulationen bieten beide Varianten an (σ_n und s_n−1 bzw. STDEV.P und STDEV.S); wähle nach Kontext: ganze Population oder Stichprobe.

Für eine Bernoulli-Kette mit n Versuchen und Trefferwahrscheinlichkeit p gilt $\sigma{} = \sqrt{(n\cdot{}p\cdot{}(1-p))}$; q steht für 1 − p. Beispiel: $n = 400$ Bewerbungen mit $p = 0{,}25$ ergeben $\mu{} = 100$ und $\sigma{} = \sqrt{75} \approx{} 8{,}66$. Das Normalnäherungsintervall μ ± 2σ reicht ungefähr von 83 bis 117. Für diese ganzzahligen Treffer ergibt die exakte Binomialsumme etwa 95,69 %; die stetige 2σ-Regel selbst liefert 95,45 %. Die Laplace-Bedingung $\sigma{} > 3$ ist erfüllt, garantiert aber keine identische Abdeckung. Die Formel gilt nur für Binomialverteilungen. Unter der Wurzel steht $n\cdot{}p\cdot{}q$, nicht dessen Quadrat. σ ist bei $p = 0{,}5$ maximal, weil dort die Bernoulli-Versuche am stärksten streuen.

Sie misst, wie weit die Ergebnisse typischerweise vom Erwartungswert entfernt liegen: kleines σ bedeutet eng gebündelte, großes σ weit gestreute Werte. Zwei Verteilungen können denselben Mittelwert und völlig verschiedene Streuung haben; erst μ und σ zusammen charakterisieren die Lage. Greifbar wird σ über die Sigma-Regeln (bei annähernd glockenförmigen Verteilungen): Etwa 68 % der Ergebnisse liegen in μ ± σ, 95 % in μ ± 2σ, 99,7 % in μ ± 3σ. Ein Ergebnis außerhalb von 2σ ist also schon bemerkenswert, außerhalb von 3σ sehr ungewöhnlich; genau darauf bauen Hypothesentests und industrielle Qualitätskontrolle. Wichtig für die Interpretation: σ trägt dieselbe Einheit wie die Messgröße selbst, im Gegensatz zur Varianz mit ihrer Quadrateinheit.

Weil das einfache Mitteln der Abweichungen immer null ergibt: Positive und negative Abstände vom Erwartungswert heben sich exakt auf, Σ(x_i − μ)·p_i = 0 ist eine definierende Eigenschaft von μ. Man braucht also einen Trick, der die Vorzeichen beseitigt. Das Quadrieren tut das und ist mathematisch besonders gutmütig: Es ist differenzierbar, bestraft große Ausreißer überproportional und führt zu schönen Rechenregeln wie der Additivität der Varianz bei unabhängigen Größen, aus der die √(npq)-Formel folgt. Die Alternative, Beträge zu mitteln, ergibt die mittlere absolute Abweichung; sie ist anschaulich, aber rechnerisch sperrig und spielt in der Schulstochastik keine Rolle. Damit die Einheit wieder stimmt, zieht man nach dem Quadrieren die Wurzel: genau das ist σ.