Standardabweichung

Bei einer diskreten Zufallsgröße: Zuerst den Erwartungswert μ = Σxᵢ·pᵢ bestimmen. Dann für jeden Wert die Abweichung xᵢ − μ bilden, quadrieren und mit pᵢ gewichten; die Summe ist die Varianz Var(X) = Σ(xᵢ − μ)²·pᵢ. Zum Schluss die Wurzel ziehen: σ = √Var(X). Beispiel Würfel: μ = 3,5, E(X²) = 91/6 ≈ 15,17, also Var = 15,17 − 3,5² = 2,92 und σ ≈ 1,71. Oft schneller ist der Verschiebungssatz Var(X) = E(X²) − μ², bei dem du nur die quadrierten Werte mitteln musst. Bei binomialverteilten Größen sparst du dir alles: σ = √(n·p·(1−p)). Wichtig: Erst ganz am Ende wurzeln, nie die einzelnen Abweichungen.

σ ist die theoretische Standardabweichung einer Verteilung, berechnet aus dem Wahrscheinlichkeitsmodell. s ist die empirische Standardabweichung einer Stichprobe, berechnet aus Daten, und dort teilt man durch n − 1 statt durch n: s = √(Σ(xᵢ − x̄)²/(n − 1)). Der Grund für die Bessel-Korrektur: Der Stichprobenmittelwert x̄ liegt automatisch „mitten in" den eigenen Daten, die Abweichungen von x̄ fallen also systematisch kleiner aus als die vom wahren μ. Das Teilen durch n − 1 gleicht diese Unterschätzung aus und macht s² zu einem erwartungstreuen Schätzer der Varianz. Bei großen n ist der Unterschied winzig. Taschenrechner und Tabellenkalkulationen bieten beide Varianten an (σₙ und sₙ₋₁ bzw. STDEV.P und STDEV.S); wähle nach Kontext: ganze Population oder Stichprobe.

Für eine Bernoulli-Kette mit n Versuchen und Trefferwahrscheinlichkeit p gilt die Kurzformel σ = √(n·p·(1−p)); q steht für 1 − p. Beispiel: n = 400 Bewerbungen mit Erfolgsquote p = 0,25 ergeben μ = 100 und σ = √(400·0,25·0,75) = √75 ≈ 8,66. Damit baust du Prognoseintervalle: Rund 95 % der Ergebnisse liegen in [μ − 2σ; μ + 2σ] ≈ [83; 117]. Die Sigma-Regeln setzen die Laplace-Bedingung σ > 3 voraus, hier klar erfüllt. Zwei Stolperfallen: Die Formel gilt NUR für binomialverteilte Größen, nicht für beliebige Verteilungen; und unter der Wurzel steht das Produkt n·p·q, nicht etwa (n·p·q)² oder n·p allein. Maximal wird σ übrigens bei p = 0,5, dort streut die Kette am stärksten.

Sie misst, wie weit die Ergebnisse typischerweise vom Erwartungswert entfernt liegen: kleines σ bedeutet eng gebündelte, großes σ weit gestreute Werte. Zwei Verteilungen können denselben Mittelwert und völlig verschiedene Streuung haben; erst μ und σ zusammen charakterisieren die Lage. Greifbar wird σ über die Sigma-Regeln (bei annähernd glockenförmigen Verteilungen): Etwa 68 % der Ergebnisse liegen in μ ± σ, 95 % in μ ± 2σ, 99,7 % in μ ± 3σ. Ein Ergebnis außerhalb von 2σ ist also schon bemerkenswert, außerhalb von 3σ sehr ungewöhnlich; genau darauf bauen Hypothesentests und industrielle Qualitätskontrolle. Wichtig für die Interpretation: σ trägt dieselbe Einheit wie die Messgröße selbst, im Gegensatz zur Varianz mit ihrer Quadrateinheit.

Weil das einfache Mitteln der Abweichungen immer null ergibt: Positive und negative Abstände vom Erwartungswert heben sich exakt auf, Σ(xᵢ − μ)·pᵢ = 0 ist eine definierende Eigenschaft von μ. Man braucht also einen Trick, der die Vorzeichen beseitigt. Das Quadrieren tut das und ist mathematisch besonders gutmütig: Es ist differenzierbar, bestraft große Ausreißer überproportional und führt zu schönen Rechenregeln wie der Additivität der Varianz bei unabhängigen Größen, aus der die √(npq)-Formel folgt. Die Alternative, Beträge zu mitteln, ergibt die mittlere absolute Abweichung; sie ist anschaulich, aber rechnerisch sperrig und spielt in der Schulstochastik keine Rolle. Damit die Einheit wieder stimmt, zieht man nach dem Quadrieren die Wurzel: genau das ist σ.