Physik · Mechanik

Drehmoment: Bezugspunkt, Hebelarm und Achse

Q: Wie berechnet man das Drehmoment?

Das Vektormoment bezüglich O ist $\vec M_O=\vec r\times\vec F$. r⃗ zeigt von O zum Kraftangriffspunkt. Sein Betrag ist $rF\sin\theta$; alternativ $|\vec M|=Fd$ mit d als kürzestem Abstand von O zur Wirkungslinie. r und d sind nur bei senkrechter Kraft gleich. Für 80 N senkrecht im Abstand 0,25 m beträgt das Moment $20 N\cdot{}m$; bei 60° zwischen r⃗ und F⃗ etwa $17{,}3 N\cdot{}m$. Um eine gewählte Achse zählt die entsprechende Projektion samt Vorzeichen, nicht automatisch der Gesamtbetrag. In der xy-Ebene ist $M_z=r_xF_y-r_yF_x$. Lege daher Bezugspunkt, Achse und positiven Drehsinn vor dem Einsetzen fest.

Q: Was besagt das Hebelgesetz und wie hängt es mit dem Drehmoment zusammen?

Das ideale Hebelgesetz $F_1d_1=F_2d_2$ beschreibt zwei entgegengesetzt wirkende Momente um denselben Drehpunkt. d₁ und d₂ sind senkrechte Abstände zu den Wirkungslinien. Bei einem waagerechten Hebel mit vertikalen Kräften entsprechen sie den üblichen Armlängen. Ein 30-kg-Körper bei 2 m kann durch 40 kg bei 1,5 m ausgeglichen werden, wenn weitere Momente und Eigengewicht vernachlässigt werden. g kürzt sich in dieser Momentenbilanz. Statisches Gleichgewicht verlangt zusätzlich Kraftsumme null; die Stützkraft darf nicht vergessen werden. Momentensumme null bedeutet für sich genommen keine Ruhe: Ein freier Körper kann gleichförmig rotieren oder trotz dieser Bilanz geradlinig beschleunigen.

Q: Warum ist ein längerer Hebel kraftsparender?

Für einen geforderten Momentbetrag gilt $F=\frac{|M|}{d}$, wobei d der senkrechte Abstand zur Wirkungslinie ist. Bei senkrechter Kraft am 20-cm-Schlüssel benötigen $40 N\cdot{}m$ deshalb 200 N, am 40-cm-Schlüssel 100 N. Bei schrägem Kraftangriff muss der Winkel mitgerechnet werden; eine längere Stange allein garantiert den gleichen wirksamen Hebelarm nicht. Bei gleichem Drehwinkel bewegt sich der weiter außen liegende Griff auf einem längeren Bogen. Im idealen Fall gleicher Moment-Winkel-Bilanz bleibt die Arbeit deshalb gleich. Ein Rohr als Verlängerung kann außerdem die Belastung des Werkzeugs verändern; die physikalische Rechnung ersetzt keine zulässige Werkzeuganwendung.

Das Kreuzprodukt aus Ortsvektor und Kraft beschreibt die Drehwirkung. $Fr$ ·sinθ ist der Betrag; das Moment um eine gewählte Achse ist die entsprechende vorzeichenbehaftete Projektion.

GrundlegendSekundarstufe IIUni/Hochschule

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Formel

Berechnen

M = F \cdot r \cdot sin (θ)

M in N·m · F in N · r in m · θ in rad oder Grad mit passendem Rechenmodus

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$M$	Betrag des Drehmomentvektors im dargestellten ebenen Fall	N·m
$F$	Betrag der angreifenden Kraft	N
$r$	Abstand vom Bezugspunkt zum Angriffspunkt; $d=r\sin\theta$ ist der senkrechte Hebelarm	m
$θ$	Winkel zwischen Ortsvektor und Kraftvektor	rad oder °

LaTeX

M = F \cdot r \cdot \sin(\theta)

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Schema: Ein Hebel der Länge r um eine Drehachse, am Ende greift die Kraft F unter dem Winkel θ an, gestrichelt die senkrechte Komponente F·sin θ, an der Achse ein Drehpfeil M. — r ist der Abstand zum Angriffspunkt; die senkrechte Komponente F sinθ erzeugt den Momentbetrag rFsinθ. Der senkrechte Hebelarm ist d = r sinθ.

Drehmoment berechnen

Drehmoment, Kraft oder Hebelarm ausrechnen, wobei der Hebelarm der senkrechte Abstand von der Drehachse zur Wirkungslinie der Kraft ist.

Gesucht

Kraftbetrag F

Betrag der Kraft am Hebel, z. B. 300 N, wenn du kräftig auf den Radschlüssel drückst.

Senkrechter Hebelarm d

Senkrechter Abstand von der Drehachse zur Wirkungslinie der Kraft, z. B. 40 cm bei einem langen Radschlüssel.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach |M|, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach |M| umstellen
$|M|=Fd$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- d = 40 cm = 0,4 m
$|M|=300\cdot 0{,}4=120$
3. Ergebnis
|M| = 120 N·m

Ergebnis: Drehmomentbetrag |M|

|M| = 120 N·m

Mit F = 300 N und d = 40 cm ergibt sich |M| = 120 N·m.

So rechnest du schneller

Formeldreieck: M oben, F und d unten. Halte die gesuchte Größe zu, der Rest ist die Rechnung, z. B. F = M : d.
Greift die Kraft schräg an, zählt nur der senkrechte Hebelarm d = r · sin θ, mit r als Abstand zum Angriffspunkt und θ als Winkel zwischen r und F. Bei θ = 30° ist d = r : 2.

Annahmen und Grenzen

M = Fd mit nichtnegativen Beträgen. d ist der senkrechte Abstand des Bezugspunkts von der Wirkungslinie, nicht beliebige Stablänge. Kein Drehsinn, keine allgemeine Raumrichtung oder Achsenprojektion wird bestimmt.

Herleitung & Hintergrund

Vektoriell gilt $\vec M=\vec r\times\vec F$ . Nur die senkrechte Kraftkomponente trägt zum Momentbetrag bei. Statisches Gleichgewicht braucht Kraftsumme und Momentensumme null. Die allgemeine feste Inertialreferenz liefert $\sum\vec M=\frac{\mathrm d\vec L}{\mathrm dt}$ ; die skalare Vereinfachung $\sum M_z=I_z\alpha_z$ gilt für einen starren Körper mit konstanter Massenverteilung um eine feste Achse.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Bezugspunkt/Achse festlegen; $|\vec M|=rF\sin\theta$ ist der Momentbetrag. Für Achskomponenten Projektion und Vorzeichen verwenden. $\sum M_z=I_z\alpha_z$ verlangt passenden starren Körper, konstantes I und eine in einem Inertialsystem feste Achse.

Herleitung in Schritten

Drehmoment entsteht als Kreuzprodukt; der Betrag verwendet den senkrechten Hebelarm, eine Achse die passende Projektion.

1Wähle Bezugspunkt O beziehungsweise eine durch O verlaufende Achse und deren positiven Sinn.
2Der Ortsvektor r⃗ verläuft von O zum Angriffspunkt. Das Moment ist $\vec M_O=\vec r\times\vec F$ .
3Zerlege F⃗ in eine Komponente parallel zu r⃗ und eine senkrechte $F\sin\theta$ . Die parallele Komponente hat Kreuzprodukt null.
4Damit ist $|\vec M|=rF\sin\theta=Fd$ , mit $d=r\sin\theta$ als kürzestem Abstand zur Wirkungslinie.
5Die Rechte-Hand-Regel bestimmt den Momentvektor. Um z zählt $M_z=r_xF_y-r_yF_x$ mit Vorzeichen, nicht unbedingt $|\vec M|$ .
6Summiere die äußeren Momente bezüglich derselben Referenz. Nur für einen starren Körper mit konstantem I um eine feste Achse vereinfacht sich die Dynamik zu $\sum M_z=I_z\alpha_z$ .

Umstellen

Nötige Kraft

F=\frac{|\vec M|}{r\sin\theta}

Gilt für den Momentbetrag bei positivem senkrechtem Hebelarm. Ein längerer wirksamer Hebelarm senkt die nötige Kraft; ein veränderter Winkel kann diesen Vorteil aufheben.

Hebelgesetz

F_1 \cdot r_1 = F_2 \cdot r_2

Hier sind r₁ und r₂ die senkrechten Hebelarme; beide Lastmomente müssen entgegengesetzten Drehsinn haben. Statisches Gleichgewicht benötigt zusätzlich die Kraftbilanz.

Aufgabenvariante

Eine Schraube braucht $40 N\cdot{}m$ . Welche Kraft ist am 20-cm-Hebel nötig (senkrecht)?

$F=\frac{M}{r}=\frac{40\,\mathrm{N\,m}}{0{,}2\,\mathrm m}=200\,\mathrm N$ .
Ein doppelt so langer Schlüssel halbiert die Kraft auf 100 N.

Eine waagerechte ideale Wippe hat vernachlässigbares Eigengewicht. Ein Kind mit 30 kg sitzt 2 m vom Drehpunkt. Wo muss ein Kind mit 40 kg auf der Gegenseite sitzen, damit die Lastmomente sich ausgleichen?

Hebelgesetz: $m_1r_1=m_2r_2$ , g kürzt sich.
$r_2=\frac{30\,\mathrm{kg}\cdot2\,\mathrm m}{40\,\mathrm{kg}}=1{,}5\,\mathrm m$ .

Typische Fehler

Den Faktor sin θ bei schräg angreifender Kraft weglassen.

Für den Momentbetrag zählt $F_\perp=F\sin\theta$ . Bei $90^\circ$ ist der Sinus eins; bei schrägem Angriff ist der wirksame Anteil kleiner.

Ortsabstand r und senkrechten Hebelarm d in derselben Rechnung verwechseln.

In $|M|=rF\sin\theta$ misst r bis zum Kraftangriffspunkt. In $|M|=Fd$ misst d senkrecht zur Wirkungslinie. Nur bei senkrechtem Angriff sind beide gleich.

$N\cdot{}m$ mit Joule gleichsetzen.

Drehmoment ist eine Drehwirkung, keine gespeicherte Energie. Rotationsarbeit ergibt erst $W=\int M_z\,\mathrm d\theta$ ; Winkel und Bewegungsweg gehören zur Rechnung.

Drehsinn ignorieren und alle Momente addieren.

Links- und rechtsdrehende Momente mit entgegengesetztem Vorzeichen bilanzieren.

Klausurkontext

Aufgaben zu Hebel, Wippe und Drehmomentschlüssel sowie Gleichgewichtsbedingungen ( $\sum\vec F=0$ und $\sum\vec M=0$ ) an Balken und Kränen.

Formelcluster

Statik und Rotation

Das Drehmoment übernimmt bei Drehbewegungen die Rolle der Kraft.

a⃗×b⃗ = (a₂b₃−a₃b₂ | a₃b₁−a₁b₃ | a₁b₂−a₂b₁)

Kreuzprodukt (Vektorprodukt)

ΣF_ext = F_res = ma

Newtons zweites Gesetz (resultierende Kraft)

Rechenbeispiel

Am Schraubenschlüssel greifen $F=80\,\mathrm N$ im Ortsabstand $r=0{,}25\,\mathrm m$ an. Senkrechter Angriff ergibt $|M|=rF=20\,\mathrm{N\,m}$ . Bei einem Winkel von $60^\circ$ zwischen Ortsvektor und Kraft gilt $|M|=rF\sin60^\circ\approx17{,}3\,\mathrm{N\,m}$ ; der senkrechte Hebelarm ist dann kleiner als der Ortsabstand.

Anwendungsgebiete

Schraubverbindungen (Drehmomentschlüssel), Motoren (Nm-Angabe), Hebel und Flaschenzüge, Wippe, Statik von Balken und Kränen

Rechenbeispiel: Drehmoment

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Drehmoment (M = F·r·sin(θ)).

1
Aufgabe
Eine Schraube braucht $40 N\cdot{}m$ . Welche Kraft ist am 20-cm-Hebel nötig (senkrecht)?
Rechenweg
1. $F=\frac{M}{r}=\frac{40\,\mathrm{N\,m}}{0{,}2\,\mathrm m}=200\,\mathrm N$ .
2. Ein doppelt so langer Schlüssel halbiert die Kraft auf 100 N.
2
Aufgabe
Eine waagerechte ideale Wippe hat vernachlässigbares Eigengewicht. Ein Kind mit 30 kg sitzt 2 m vom Drehpunkt. Wo muss ein Kind mit 40 kg auf der Gegenseite sitzen, damit die Lastmomente sich ausgleichen?
Rechenweg
1. Hebelgesetz: $m_1r_1=m_2r_2$ , g kürzt sich.
2. $r_2=\frac{30\,\mathrm{kg}\cdot2\,\mathrm m}{40\,\mathrm{kg}}=1{,}5\,\mathrm m$ .

Die Formel verstehen und anwenden

Eine Tür lässt sich am Griff leichter öffnen als nahe am Scharnier. Nicht nur der Kraftbetrag zählt, sondern auch der Abstand und die Zugrichtung. Das Drehmoment fasst diese Drehwirkung zusammen. Beginne beim senkrechten Hebelarm; danach folgen der Drehsinn und, als Vertiefung, die räumliche Vektorbeschreibung.

Wie legst du Bezugspunkt, Achse und Drehsinn fest?

Wähle den Drehpunkt und zeichne die gerade Wirkungslinie der Kraft. Ihr kürzester Abstand zum Drehpunkt ist der Hebelarm. Ziehst du direkt zum Scharnier hin, entsteht keine Drehwirkung um dieses Scharnier, obwohl die Kraft keineswegs null ist. Die folgenden Vektoren machen diese geometrische Aussage präzise.[1]

\begin{aligned}\vec M_O&=\vec r\times\vec F\\|\vec M_O|&=rF\sin\theta\end{aligned}

r⃗ zeigt vom Bezugspunkt O zum Angriffspunkt der Kraft; θ liegt zwischen r⃗ und F⃗ und zwischen 0 und π.[1]

M ist hier das Drehmoment, in vielen Lehrbüchern auch τ genannt. Der Vektor steht senkrecht auf der Ebene von r⃗ und F⃗. Die Rechte-Hand-Regel legt seinen Sinn fest. Das nichtnegative Produkt $rF\sin\theta$ ist der Betrag; es liefert allein noch kein Vorzeichen für die Drehung um eine gewählte Achse.[1]

M_z=\hat{\vec e}_z\cdot(\vec r\times\vec F)=r_xF_y-r_yF_x

Für eine Drehung in der xy-Ebene ist Mz positiv bei Gegenuhrzeigersinn, gesehen von der positiven z-Seite.[1]

Eine Kraft kann einen von null verschiedenen Drehmomentvektor besitzen und trotzdem keinen Beitrag um die ausgewählte z-Achse liefern. Dafür zählt die Projektion Mz, nicht der Betrag des gesamten Vektors. Verschiebst du den Bezugspunkt, ändert sich das Moment einer einzelnen Kraft im Allgemeinen.[1]

Drehmoment berechnen: Welcher Hebelarm und Winkel zählen?

Zerlege die Kraft in eine Komponente entlang r⃗ und eine senkrecht dazu. Die parallele Komponente hat Kreuzprodukt null; nur $F_\perp=F\sin\theta$ trägt zum Momentbetrag bei. Somit ist $|\vec M|=rF_\perp$ . Alternativ misst du den kürzesten Abstand d von O zur Wirkungslinie der Kraft.[1]

d=r\sin\theta,\qquad |\vec M|=Fd

Der senkrechte Hebelarm d ist nicht allgemein die Stablänge r.[1]

Bei $\theta=90^\circ$ ist $d=r$ und die Wirkung für gegebenes r und F maximal. Bei $\theta=0^\circ$ oder 180° geht die Wirkungslinie durch O und das Moment ist null. Die Kraft kann den Körper dennoch verschieben, zusammendrücken oder dehnen. Drehmoment null bedeutet nicht Kraft null.[1]

In der vorhandenen Hebelgrafik ist r der Ortsabstand zum Angriffspunkt und $F\sin\theta$ die senkrechte Kraftkomponente. Sie ist eine Darstellung derselben Kraft, keine zusätzliche Kraft in der Bilanz. Die Drehpfeilrichtung gehört zum gewählten Blick auf die Achse.[1]

Bild ansehen: Wie der Winkel die Drehwirkung verändert

Wie der Winkel die Drehwirkung verändert

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Betrag aus dem ersten Beispiel: Ortsabstand und Kraft bleiben gleich. Bei 0° und 180° geht die Wirkungslinie durch den Bezugspunkt. Die Kurve gibt keinen Achs-Drehsinn vor.[1]

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Drehmoment umstellen und Newtonmeter von Energie unterscheiden

\begin{aligned}[M]&=\mathrm{N\,m}\\F&=\frac{|\vec M|}{r\sin\theta}\\d&=\frac{|\vec M|}{F}\end{aligned}

Die Nenner müssen positiv sein; bei verschwindendem Hebelarm lässt sich eine erforderliche Kraft nicht so bestimmen.[1]

25 cm werden 0,25 m. Eine Angabe in N·cm ist durch 100 zu teilen, um N·m zu erhalten. Der Winkel kann in Grad angegeben sein, wenn der Rechner im Gradmodus steht; Ableitungen nach einem Drehwinkel verwenden Bogenmaß. Ein Winkel von 35° entspricht $\frac{35\pi}{180}\,\mathrm{rad}$ .[1]

Drehmoment und Energie haben dieselbe SI-Dimension, sind aber unterschiedliche Größen. Energie ist ein Skalar; Drehmoment eine gerichtete Drehwirkung. Arbeit einer Rotation wird erst durch Integration des Achsmoments über den durchlaufenen Winkel berechnet: $W=\int M_z\,\mathrm d\theta$ . Ein ruhend wirkendes Moment kann deshalb positiv sein, während seine momentane mechanische Leistung null ist.[4]

Wie berechnest du Momentbetrag, Momentvektor und Achsmoment?

Das erste Beispiel berechnet den Betrag aus Abstand, Kraft und Winkel. Im räumlichen zweiten Beispiel bestimmt das Kreuzprodukt zusätzlich die Richtung des Momentvektors; seine Projektion liefert erst den Beitrag um die ausgewählte Achse.[1]

Eine schräg angreifende Kraft

Gegeben: $r=0{,}32\,\mathrm m$ ; Kraftbetrag 45 N; Winkel $\theta=35^\circ$ zwischen Ortsvektor und Kraft. Beide Vektoren liegen in der xy-Ebene. Gesehen von der positiven z-Seite wirkt das Moment gegen den Uhrzeigersinn.
Gesucht: Berechne den Hebelarm und das vorzeichenbehaftete Achsmoment.

Ansatz: Den senkrechten Hebelarm verwenden; die angegebene Drehwirkung gegen den Uhrzeigersinn ergibt ein positives z-Moment.
$\begin{aligned}d&=r\sin\theta\\|\mathbf M|&=Fd\\M_z&=+|\mathbf M|\end{aligned}$
Den senkrechten Abstand zur Wirkungslinie bestimmen.
$d=0.32\sin35^\circ\approx0.183544\,\mathrm m$
Kraft mal senkrechten Hebelarm rechnen.
$|\vec M|=45\cdot0.183544\approx8.25950\,\mathrm{N\,m}$
Aus dem Drehsinn das Achsvorzeichen ergänzen.
$M_z\approx+8.26\,\mathrm{N\,m}$

Ergebnis: Der senkrechte Hebelarm beträgt rund 18,35 cm; das Achsmoment ist +8,26 N·m.

Kontrolle: Kontrolle: $rF=14{,}4\,\mathrm{N\,m}$ ist der maximale Betrag; 8,26 N·m liegt darunter. Die senkrechte Komponente ist $F_\perp=45\sin35^\circ\,\mathrm N$ . Multipliziert mit 0,32 m liefert sie denselben Momentbetrag.

Vektormoment und Achsmoment unterscheiden

Gegeben: $\vec r=(0{,}12;0{,}08;0)\,\mathrm m$ relativ zu O; $\vec F=(0;30;10)\,\mathrm N$ . Gesucht ist die Momentkomponente um die positive z-Achse.
Gesucht: Bestimme den gesamten Momentvektor und seinen Beitrag um z.

Ansatz: Das gesamte Kreuzprodukt relativ zum Bezugspunkt O bilden und danach auf die gewählte positive z-Achse projizieren.
$\begin{aligned}\mathbf M_O&=\mathbf r\times\mathbf F\\M_z&=\mathbf M_O\cdot\hat{\mathbf z}\end{aligned}$
Die Komponenten des Kreuzprodukts bilden.
$\vec M=(r_yF_z-r_zF_y,\;r_zF_x-r_xF_z,\;r_xF_y-r_yF_x)$
Zahlen getrennt einsetzen.
$\vec M=(0.08\cdot10,\;-0.12\cdot10,\;0.12\cdot30)=(0.80,\;-1.20,\;3.60)\,\mathrm{N\,m}$
Achsenprojektion und Gesamtbetrag getrennt berechnen.
$\begin{aligned}M_z&=+3.60\,\mathrm{N\,m}\\{} |\vec M|&=\sqrt{0.80^2+1.20^2+3.60^2}\approx3.87814\,\mathrm{N\,m}\end{aligned}$

Ergebnis: Um die z-Achse zählen +3,60 N·m; der Betrag des gesamten Momentvektors ist rund 3,88 N·m.

Kontrolle: Kontrolle: $\vec M\cdot\vec r=(0{,}8\cdot0{,}12-1{,}2\cdot0{,}08)\,\mathrm{N\,m^2}=0$ und $\vec M\cdot\vec F=(-1{,}2\cdot30+3{,}6\cdot10)\,\mathrm{N^2\,m}=0$ . Das Kreuzprodukt steht auf beiden Ausgangsvektoren senkrecht.

Wann gilt das Hebelgesetz im statischen Gleichgewicht?

Für statisches Gleichgewicht eines starren Körpers brauchst du sowohl Kraftsumme null als auch Momentensumme null. Eine verschwindende Momentensumme allein verhindert keine geradlinige Beschleunigung. Beim waagerechten idealen Hebel mit senkrechten Kräften ergibt die Momentenbilanz $F_1d_1=F_2d_2$ ; die Auflagerkraft muss zusätzlich zur Kraftbilanz gehören.[5]

Eigene Kontrollbilanz: 100 N nach unten links im Abstand 0,40 m und 80 N nach unten rechts im Abstand 0,50 m liefern +40 und −40 N·m um den Drehpunkt. Die Lastmomente gleichen sich aus. Die Stützkraft muss trotzdem 180 N nach oben sein, wenn keine weiteren Kräfte oder Eigengewichte wirken.[1]

Zwei gleich große entgegengesetzte parallele Kräfte mit getrennten Wirkungslinien bilden ein Kräftepaar. Ihre Kraftsumme ist null, ihr Gesamtmoment kann von null verschieden sein. Dieses Paarmoment ist unabhängig vom gewählten Bezugspunkt, weil beim Verschieben des Ursprungs der zusätzliche Beitrag proportional zur bereits verschwindenden Kraftsumme ist.[1]

Wie hängen Drehmoment und Winkelbeschleunigung zusammen?

\sum\vec M_O=\frac{\mathrm d\vec L_O}{\mathrm dt}

Für eine feste Inertialreferenz O beschreibt das äußere Gesamtmoment die Änderung des Gesamtdrehimpulses eines geschlossenen Systems.[3]

Die einfache skalare Form $\sum M_z=I_z\alpha_z$ gilt für einen starren Körper mit konstanter Massenverteilung, der um eine feste Achse rotiert. Iz ist sein Trägheitsmoment bezüglich genau dieser Achse. Ein Drehmoment allein gibt deshalb noch keine Winkelbeschleunigung; du brauchst das passende Trägheitsmoment und die gesamte Momentensumme. Newtons zweites Gesetz für die Rotation verwendet genau diese feste Achse und die vollständige äußere Momentensumme.[2]

Vertiefung anzeigen: Zeitlich veränderliches Trägheitsmoment

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(I_z\omega_z)=I_z\alpha_z+\dot I_z\omega_z

Wenn in einer geeigneten festen Achsenbeschreibung I zeitabhängig ist, darf der zweite Term nicht weggelassen werden.[1]

Vertiefung anzeigen: Räumliche Rotation und bewegte Bezugspunkte

Bei räumlicher Bewegung können Trägheitstensor und Kreiseleffekte auftreten. Auch der Bezugspunkt ist entscheidend: Eine bewegte, beschleunigte Referenz verlangt eine sorgfältigere Bilanz. Deshalb wird $M=I\alpha$ nicht als allgemeines Vektorgesetz für jeden Körper und jede Achse verwendet.[3]

Was unterscheidet Drehmoment und mechanische Leistung?

Ein längerer senkrechter Hebelarm senkt die nötige Kraft für denselben Momentbetrag. Gleichzeitig bewegt sich der Angriffspunkt bei demselben Drehwinkel weiter: Im idealen verlustfreien Fall wird keine Arbeit eingespart. Bei schrägem Zug wächst ein langer Stab nicht automatisch im selben Verhältnis als wirksamer Hebelarm; der Winkel muss mit berücksichtigt werden.[1]

Ein Drehmomentschlüssel begrenzt das Anziehmoment, bestimmt aber die Schraubenvorspannung nicht allein. Gewindegeometrie, Kontakt und Reibung beeinflussen die Umsetzung. Eine Momentangabe in N·m ist zudem kein Leistungswert; erst mit Winkelgeschwindigkeit liefert ein Achsmoment die mechanische Leistung $P=M_z\omega_z$ .[4][6]

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Eine Kraft von 60 N wirkt senkrecht im Abstand 0,15 m rechts vom Drehpunkt nach unten. Bestimme Mz bei positiver z-Achse aus der Ebene heraus.

Hinweis anzeigen

Drehsinn und Betrag getrennt prüfen.

Lernziel: Drehmomentkomponente samt Drehsinn bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Mit positiver z-Richtung aus der Ebene gilt $M_z=r_xF_y-r_yF_x$ .
Rechts ist $r_x=+0{,}15\,\mathrm m$ , nach unten $F_y=-60\,\mathrm N$ .
Daher ist das Moment −9 N·m.

Kontrolle: Die Kraft dreht im Uhrzeigersinn, passend zum negativen Vorzeichen; der Betrag stimmt mit Kraft mal senkrechtem Hebelarm überein.

M_z=(0.15\,\mathrm m)(-60\,\mathrm N)=-9\,\mathrm{N\,m}

Umstellen · Einstieg

Für einen Momentbetrag von 12 N·m steht ein senkrechter Hebelarm $d=0{,}24\,\mathrm m$ zur Verfügung. Wie groß muss die Kraft sein?

Hinweis anzeigen

$|M|=Fd$ nach F umstellen.

Lernziel: Kraft aus senkrechtem Hebelarm bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Der angegebene Abstand ist bereits der senkrechte Hebelarm.
Aus $|M|=Fd$ folgt $F=\frac{|M|}{d}$ .
Das ergibt 50 N.

Kontrolle: $(50\,\mathrm N)(0{,}24\,\mathrm m)=12\,\mathrm{N\,m}$ . Eine beliebige Stablänge dürfte diesen Abstand nicht ersetzen; der Kraftangriff muss zur angegebenen Wirkungslinie passen.

F=\frac{12\,\mathrm{N\,m}}{0.24\,\mathrm m}=50\,\mathrm N

Transfer · Anwenden

Ein starrer Rotor um eine feste Achse hat $I_z=0{,}40\,\mathrm{kg\,m^2}$ . Antriebsmoment +3 N·m und Bremsmoment −1 N·m wirken. Bestimme αz.

Hinweis anzeigen

Erst die Momente summieren; konstantes I ist hier ausdrücklich vorgegeben.

Lernziel: Nettomoment in Winkelbeschleunigung überführen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Für den starren Rotor um die feste Achse ist das passende Trägheitsmoment konstant.
Zuerst die vorzeichenbehafteten äußeren Momente summieren, dann $\alpha_z=\frac{\sum M_z}{I_z}$ verwenden.
Es folgen +5 rad/s².

Kontrolle: $I_z\alpha_z=+2\,\mathrm{N\,m}$ , also die Nettosumme, nicht das einzelne Antriebsmoment. Positive Beschleunigung legt ohne Anfangswert noch keine Drehrichtung fest.

\begin{aligned}\sum M_z&=(3-1)\,\mathrm{N\,m}=2\,\mathrm{N\,m}\\\alpha_z&=\frac{2}{0.40}\,\mathrm{rad\,s^{-2}}=+5\,\mathrm{rad\,s^{-2}}\end{aligned}

Interpretieren · Anwenden

In einer Ebene greifen +30 N nach oben bei $x=+0{,}10\,\mathrm m$ und −30 N nach unten bei $x=-0{,}10\,\mathrm m$ an; $y=0$ . Positive z zeigt aus der Ebene. Bestimme Nettokraft und Mz. Bleibt das Gesamtmoment beim Verschieben des Bezugspunkts gleich?

Hinweis anzeigen

Beide xFy-Produkte haben dasselbe Vorzeichen.

Lernziel: Kräftepaar mit null Resultierender und endlichem Moment erkennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Kräfte summieren sich zu null; die Momente betragen je +3 N·m und zusammen +6 N·m.
Es liegt ein Kräftepaar vor.
Beim Verschieben des Bezugspunkts ändert sich das Gesamtmoment um ein Kreuzprodukt mit der Nettokraft; das ist hier null.

Kontrolle: Kraft mal senkrechter Abstand der Wirkungslinien ergibt $(30\,\mathrm N)(0{,}20\,\mathrm m)=6\,\mathrm{N\,m}$ . Null Nettokraft allein bedeutet keine vollständige statische Gleichgewichtsbedingung.

\begin{aligned}\sum F_y&=30-30=0\\M_z&=0.10\cdot30+(-0.10)(-30)=6\,\mathrm{N\,m}\end{aligned}

[1][5]

Fehleranalyse · Anwenden

Der Angriffspunkt relativ zum Ursprung ist $\vec r=(1,0,0)\,\mathrm m$ und die Kraft $\vec F=(0,0,5)\,\mathrm N$ . Eine Lösung schreibt „ $M_z=rF=5\,\mathrm{N\,m}$ “. Berechne den Momentvektor und Mz.

Hinweis anzeigen

Erst das Kreuzprodukt, dann auf z projizieren.

Lernziel: Gesamtmomentbetrag und Moment um eine ausgewählte Achse trennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\vec r\times\vec F=(0,-5,0)\,\mathrm{N\,m}$ , folglich $M_z=0$ .
Der Gesamtbetrag 5 N·m ist richtig, wurde aber fälschlich der z-Achse zugeordnet.
Kontrolle mit der Komponentenformel: $r_xF_y-r_yF_x=0$ .
Die Kraft kann Rotation um eine andere geeignete Achse antreiben; der verschwindende z-Anteil bedeutet nicht, dass der ganze Drehmomentvektor verschwindet.

\begin{aligned}\mathbf M&=\mathbf r\times\mathbf F\\&=\begin{pmatrix}0\\-5\\0\end{pmatrix}\,\mathrm{N\,m}\\M_z&=0\end{aligned}

[1]

Das Wichtigste im Überblick

Lege Bezugspunkt, Achse und positiven Drehsinn fest. Der Ortsabstand r reicht nur zusammen mit dem Kraftwinkel; der senkrechte Hebelarm d enthält diesen Winkel bereits. Berechne das Kreuzprodukt beziehungsweise seine Achskomponente und addiere alle äußeren Momente mit Vorzeichen.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 1. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 2 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

1. Oktober 2026Hebelarm-/Winkelrechnung, Achse und Drehsinn, Kreuzprodukt, Hebelgleichgewicht und Nm-Abgrenzung über Fragen erschlossen; alle räumlichen/ebenen Beispiele erhalten und Kreuzprodukt, Rotationsbilanz und mechanische Leistung kontextuell verlinkt.
1. Oktober 2026Einstieg und Lernübergänge verständlicher gefasst; vorhandene Aufgabenlösungen geprüft und präzisiert, mathematische Textstellen gesetzt und eine eigene quantitative Artikelgrafik ergänzt.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Drehmoment. Stand 1. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/drehmoment

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Drehmoment

Wie berechnet man das Drehmoment?+

Das Vektormoment bezüglich O ist $\vec M_O=\vec r\times\vec F$ . r⃗ zeigt von O zum Kraftangriffspunkt. Sein Betrag ist $rF\sin\theta$ ; alternativ $|\vec M|=Fd$ mit d als kürzestem Abstand von O zur Wirkungslinie. r und d sind nur bei senkrechter Kraft gleich. Für 80 N senkrecht im Abstand 0,25 m beträgt das Moment $20 N\cdot{}m$ ; bei 60° zwischen r⃗ und F⃗ etwa $17{,}3 N\cdot{}m$ . Um eine gewählte Achse zählt die entsprechende Projektion samt Vorzeichen, nicht automatisch der Gesamtbetrag. In der xy-Ebene ist $M_z=r_xF_y-r_yF_x$ . Lege daher Bezugspunkt, Achse und positiven Drehsinn vor dem Einsetzen fest.

Was besagt das Hebelgesetz und wie hängt es mit dem Drehmoment zusammen?+

Das ideale Hebelgesetz $F_1d_1=F_2d_2$ beschreibt zwei entgegengesetzt wirkende Momente um denselben Drehpunkt. d₁ und d₂ sind senkrechte Abstände zu den Wirkungslinien. Bei einem waagerechten Hebel mit vertikalen Kräften entsprechen sie den üblichen Armlängen. Ein 30-kg-Körper bei 2 m kann durch 40 kg bei 1,5 m ausgeglichen werden, wenn weitere Momente und Eigengewicht vernachlässigt werden. g kürzt sich in dieser Momentenbilanz. Statisches Gleichgewicht verlangt zusätzlich Kraftsumme null; die Stützkraft darf nicht vergessen werden. Momentensumme null bedeutet für sich genommen keine Ruhe: Ein freier Körper kann gleichförmig rotieren oder trotz dieser Bilanz geradlinig beschleunigen.

Warum ist ein längerer Hebel kraftsparender?+

Für einen geforderten Momentbetrag gilt $F=\frac{|M|}{d}$ , wobei d der senkrechte Abstand zur Wirkungslinie ist. Bei senkrechter Kraft am 20-cm-Schlüssel benötigen $40 N\cdot{}m$ deshalb 200 N, am 40-cm-Schlüssel 100 N. Bei schrägem Kraftangriff muss der Winkel mitgerechnet werden; eine längere Stange allein garantiert den gleichen wirksamen Hebelarm nicht. Bei gleichem Drehwinkel bewegt sich der weiter außen liegende Griff auf einem längeren Bogen. Im idealen Fall gleicher Moment-Winkel-Bilanz bleibt die Arbeit deshalb gleich. Ein Rohr als Verlängerung kann außerdem die Belastung des Werkzeugs verändern; die physikalische Rechnung ersetzt keine zulässige Werkzeuganwendung.

Ist Drehmoment dasselbe wie Energie, weil beide in

N\cdot{}m

gemessen werden?+

Nein. Die Größen haben dieselbe SI-Dimension, aber unterschiedliche mathematische und physikalische Bedeutung. Arbeit ist das Wegintegral des Skalarprodukts $\vec F\cdot\mathrm d\vec r$ und wird in Joule angegeben. Drehmoment ist das Kreuzprodukt $\vec r\times\vec F$ und wird als Drehwirkung in $N\cdot{}m$ angegeben. Die Ausgangsvektoren müssen dabei nicht senkrecht stehen; gerade der Sinus berücksichtigt ihren Winkel. Für eine Rotation um eine feste Achse ergibt erst $W=\int M_z\,\mathrm d\theta$ eine Arbeit. Bei konstantem Achsmoment vereinfacht sich dies zu $M_z\Delta\theta$ mit Winkel in Radiant. Ein Moment von $20 N\cdot{}m$ bedeutet deshalb keine gespeicherten 20 J. Bei ruhendem Angriffspunkt kann mechanische Leistung trotz Moment null sein.

Wozu braucht man einen Drehmomentschlüssel?+

Ein Drehmomentschlüssel hilft, ein vorgegebenes Anziehmoment kontrolliert aufzubringen. Dieses Moment ist nicht identisch mit der Schraubenvorspannkraft: Die Umsetzung hängt unter anderem von Gewindegeometrie und Reibung an Gewinde und Auflage ab. Deshalb kann derselbe Momentwert unterschiedliche Vorspannungen erzeugen. Es gibt unterschiedliche Mess- und Auslöseprinzipien, etwa anzeigende, elektronische oder auslösende Werkzeuge; nicht jedes arbeitet mit einem hörbaren Klick. Die vorgesehene Griffposition und Zubehörgeometrie gehören zur Messanordnung. Aus $Fr$ folgt nicht, dass beliebiges Umgreifen oder Verlängern die Anzeige unverändert richtig lässt. Allgemeine Beispielwerte ersetzen keine konkrete Herstellervorgabe für eine Verbindung. Physikalisch entscheidend sind Moment, wirksamer Hebelarm und die Bedingungen der Anwendung.

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Wie stellst du M = F·r·sin(θ) nach Nötige Kraft um?

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Welcher typische Fehler passiert bei M = F·r·sin(θ)?

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[1]OpenStax, University Physics Vol. 1, §10.6 Torque

Weitere Formeln: Mechanik

F_G = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}

Newtonsches Gravitationsgesetz

E_{kin} = \frac{1}{2} m v^2

Kinetische Energie

E_{pot} = m \cdot g \cdot h

Potentielle Energie (Lagehöhe)

F = k \cdot x

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Physik · Mechanik

Drehmoment: Bezugspunkt, Hebelarm und Achse

Das Kreuzprodukt aus Ortsvektor und Kraft beschreibt die Drehwirkung. $Fr$ ·sinθ ist der Betrag; das Moment um eine gewählte Achse ist die entsprechende vorzeichenbehaftete Projektion.

GrundlegendSekundarstufe IIUni/Hochschule

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Formel

Berechnen

M = F \cdot r \cdot sin (θ)

M in N·m · F in N · r in m · θ in rad oder Grad mit passendem Rechenmodus

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$M$	Betrag des Drehmomentvektors im dargestellten ebenen Fall	N·m
$F$	Betrag der angreifenden Kraft	N
$r$	Abstand vom Bezugspunkt zum Angriffspunkt; $d=r\sin\theta$ ist der senkrechte Hebelarm	m
$θ$	Winkel zwischen Ortsvektor und Kraftvektor	rad oder °

LaTeX

M = F \cdot r \cdot \sin(\theta)

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Drehmoment berechnen

Drehmoment, Kraft oder Hebelarm ausrechnen, wobei der Hebelarm der senkrechte Abstand von der Drehachse zur Wirkungslinie der Kraft ist.

Gesucht

Kraftbetrag F

Betrag der Kraft am Hebel, z. B. 300 N, wenn du kräftig auf den Radschlüssel drückst.

Senkrechter Hebelarm d

Senkrechter Abstand von der Drehachse zur Wirkungslinie der Kraft, z. B. 40 cm bei einem langen Radschlüssel.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach |M|, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach |M| umstellen
$|M|=Fd$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- d = 40 cm = 0,4 m
$|M|=300\cdot 0{,}4=120$
3. Ergebnis
|M| = 120 N·m

Ergebnis: Drehmomentbetrag |M|

|M| = 120 N·m

Mit F = 300 N und d = 40 cm ergibt sich |M| = 120 N·m.

So rechnest du schneller

Formeldreieck: M oben, F und d unten. Halte die gesuchte Größe zu, der Rest ist die Rechnung, z. B. F = M : d.
Greift die Kraft schräg an, zählt nur der senkrechte Hebelarm d = r · sin θ, mit r als Abstand zum Angriffspunkt und θ als Winkel zwischen r und F. Bei θ = 30° ist d = r : 2.

Annahmen und Grenzen

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Drehmoment entsteht als Kreuzprodukt; der Betrag verwendet den senkrechten Hebelarm, eine Achse die passende Projektion.

1Wähle Bezugspunkt O beziehungsweise eine durch O verlaufende Achse und deren positiven Sinn.
2Der Ortsvektor r⃗ verläuft von O zum Angriffspunkt. Das Moment ist $\vec M_O=\vec r\times\vec F$ .
3Zerlege F⃗ in eine Komponente parallel zu r⃗ und eine senkrechte $F\sin\theta$ . Die parallele Komponente hat Kreuzprodukt null.
4Damit ist $|\vec M|=rF\sin\theta=Fd$ , mit $d=r\sin\theta$ als kürzestem Abstand zur Wirkungslinie.
5Die Rechte-Hand-Regel bestimmt den Momentvektor. Um z zählt $M_z=r_xF_y-r_yF_x$ mit Vorzeichen, nicht unbedingt $|\vec M|$ .
6Summiere die äußeren Momente bezüglich derselben Referenz. Nur für einen starren Körper mit konstantem I um eine feste Achse vereinfacht sich die Dynamik zu $\sum M_z=I_z\alpha_z$ .

Umstellen

Nötige Kraft

F=\frac{|\vec M|}{r\sin\theta}

Gilt für den Momentbetrag bei positivem senkrechtem Hebelarm. Ein längerer wirksamer Hebelarm senkt die nötige Kraft; ein veränderter Winkel kann diesen Vorteil aufheben.

Hebelgesetz

F_1 \cdot r_1 = F_2 \cdot r_2

Hier sind r₁ und r₂ die senkrechten Hebelarme; beide Lastmomente müssen entgegengesetzten Drehsinn haben. Statisches Gleichgewicht benötigt zusätzlich die Kraftbilanz.

Aufgabenvariante

Eine Schraube braucht $40 N\cdot{}m$ . Welche Kraft ist am 20-cm-Hebel nötig (senkrecht)?

$F=\frac{M}{r}=\frac{40\,\mathrm{N\,m}}{0{,}2\,\mathrm m}=200\,\mathrm N$ .
Ein doppelt so langer Schlüssel halbiert die Kraft auf 100 N.

Hebelgesetz: $m_1r_1=m_2r_2$ , g kürzt sich.
$r_2=\frac{30\,\mathrm{kg}\cdot2\,\mathrm m}{40\,\mathrm{kg}}=1{,}5\,\mathrm m$ .

Typische Fehler

Den Faktor sin θ bei schräg angreifender Kraft weglassen.

Für den Momentbetrag zählt $F_\perp=F\sin\theta$ . Bei $90^\circ$ ist der Sinus eins; bei schrägem Angriff ist der wirksame Anteil kleiner.

Ortsabstand r und senkrechten Hebelarm d in derselben Rechnung verwechseln.

In $|M|=rF\sin\theta$ misst r bis zum Kraftangriffspunkt. In $|M|=Fd$ misst d senkrecht zur Wirkungslinie. Nur bei senkrechtem Angriff sind beide gleich.

$N\cdot{}m$ mit Joule gleichsetzen.

Drehmoment ist eine Drehwirkung, keine gespeicherte Energie. Rotationsarbeit ergibt erst $W=\int M_z\,\mathrm d\theta$ ; Winkel und Bewegungsweg gehören zur Rechnung.

Drehsinn ignorieren und alle Momente addieren.

Links- und rechtsdrehende Momente mit entgegengesetztem Vorzeichen bilanzieren.

Klausurkontext

Aufgaben zu Hebel, Wippe und Drehmomentschlüssel sowie Gleichgewichtsbedingungen ( $\sum\vec F=0$ und $\sum\vec M=0$ ) an Balken und Kränen.

Formelcluster

Statik und Rotation

Das Drehmoment übernimmt bei Drehbewegungen die Rolle der Kraft.

a⃗×b⃗ = (a₂b₃−a₃b₂ | a₃b₁−a₁b₃ | a₁b₂−a₂b₁)

Kreuzprodukt (Vektorprodukt)

ΣF_ext = F_res = ma

Newtons zweites Gesetz (resultierende Kraft)

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Schraubverbindungen (Drehmomentschlüssel), Motoren (Nm-Angabe), Hebel und Flaschenzüge, Wippe, Statik von Balken und Kränen

Rechenbeispiel: Drehmoment

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Drehmoment (M = F·r·sin(θ)).

1
Aufgabe
Eine Schraube braucht $40 N\cdot{}m$ . Welche Kraft ist am 20-cm-Hebel nötig (senkrecht)?
Rechenweg
1. $F=\frac{M}{r}=\frac{40\,\mathrm{N\,m}}{0{,}2\,\mathrm m}=200\,\mathrm N$ .
2. Ein doppelt so langer Schlüssel halbiert die Kraft auf 100 N.
2
Aufgabe
Eine waagerechte ideale Wippe hat vernachlässigbares Eigengewicht. Ein Kind mit 30 kg sitzt 2 m vom Drehpunkt. Wo muss ein Kind mit 40 kg auf der Gegenseite sitzen, damit die Lastmomente sich ausgleichen?
Rechenweg
1. Hebelgesetz: $m_1r_1=m_2r_2$ , g kürzt sich.
2. $r_2=\frac{30\,\mathrm{kg}\cdot2\,\mathrm m}{40\,\mathrm{kg}}=1{,}5\,\mathrm m$ .

Die Formel verstehen und anwenden

Wie legst du Bezugspunkt, Achse und Drehsinn fest?

\begin{aligned}\vec M_O&=\vec r\times\vec F\\|\vec M_O|&=rF\sin\theta\end{aligned}

r⃗ zeigt vom Bezugspunkt O zum Angriffspunkt der Kraft; θ liegt zwischen r⃗ und F⃗ und zwischen 0 und π.[1]

M_z=\hat{\vec e}_z\cdot(\vec r\times\vec F)=r_xF_y-r_yF_x

Für eine Drehung in der xy-Ebene ist Mz positiv bei Gegenuhrzeigersinn, gesehen von der positiven z-Seite.[1]

Drehmoment berechnen: Welcher Hebelarm und Winkel zählen?

d=r\sin\theta,\qquad |\vec M|=Fd

Der senkrechte Hebelarm d ist nicht allgemein die Stablänge r.[1]

Bild ansehen: Wie der Winkel die Drehwirkung verändert

Wie der Winkel die Drehwirkung verändert

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Betrag aus dem ersten Beispiel: Ortsabstand und Kraft bleiben gleich. Bei 0° und 180° geht die Wirkungslinie durch den Bezugspunkt. Die Kurve gibt keinen Achs-Drehsinn vor.[1]

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Drehmoment umstellen und Newtonmeter von Energie unterscheiden

\begin{aligned}[M]&=\mathrm{N\,m}\\F&=\frac{|\vec M|}{r\sin\theta}\\d&=\frac{|\vec M|}{F}\end{aligned}

Die Nenner müssen positiv sein; bei verschwindendem Hebelarm lässt sich eine erforderliche Kraft nicht so bestimmen.[1]

Wie berechnest du Momentbetrag, Momentvektor und Achsmoment?

Eine schräg angreifende Kraft

Gegeben: $r=0{,}32\,\mathrm m$ ; Kraftbetrag 45 N; Winkel $\theta=35^\circ$ zwischen Ortsvektor und Kraft. Beide Vektoren liegen in der xy-Ebene. Gesehen von der positiven z-Seite wirkt das Moment gegen den Uhrzeigersinn.
Gesucht: Berechne den Hebelarm und das vorzeichenbehaftete Achsmoment.

Ansatz: Den senkrechten Hebelarm verwenden; die angegebene Drehwirkung gegen den Uhrzeigersinn ergibt ein positives z-Moment.
$\begin{aligned}d&=r\sin\theta\\|\mathbf M|&=Fd\\M_z&=+|\mathbf M|\end{aligned}$
Den senkrechten Abstand zur Wirkungslinie bestimmen.
$d=0.32\sin35^\circ\approx0.183544\,\mathrm m$
Kraft mal senkrechten Hebelarm rechnen.
$|\vec M|=45\cdot0.183544\approx8.25950\,\mathrm{N\,m}$
Aus dem Drehsinn das Achsvorzeichen ergänzen.
$M_z\approx+8.26\,\mathrm{N\,m}$

Ergebnis: Der senkrechte Hebelarm beträgt rund 18,35 cm; das Achsmoment ist +8,26 N·m.

Vektormoment und Achsmoment unterscheiden

Gegeben: $\vec r=(0{,}12;0{,}08;0)\,\mathrm m$ relativ zu O; $\vec F=(0;30;10)\,\mathrm N$ . Gesucht ist die Momentkomponente um die positive z-Achse.
Gesucht: Bestimme den gesamten Momentvektor und seinen Beitrag um z.

Ansatz: Das gesamte Kreuzprodukt relativ zum Bezugspunkt O bilden und danach auf die gewählte positive z-Achse projizieren.
$\begin{aligned}\mathbf M_O&=\mathbf r\times\mathbf F\\M_z&=\mathbf M_O\cdot\hat{\mathbf z}\end{aligned}$
Die Komponenten des Kreuzprodukts bilden.
$\vec M=(r_yF_z-r_zF_y,\;r_zF_x-r_xF_z,\;r_xF_y-r_yF_x)$
Zahlen getrennt einsetzen.
$\vec M=(0.08\cdot10,\;-0.12\cdot10,\;0.12\cdot30)=(0.80,\;-1.20,\;3.60)\,\mathrm{N\,m}$
Achsenprojektion und Gesamtbetrag getrennt berechnen.
$\begin{aligned}M_z&=+3.60\,\mathrm{N\,m}\\{} |\vec M|&=\sqrt{0.80^2+1.20^2+3.60^2}\approx3.87814\,\mathrm{N\,m}\end{aligned}$

Ergebnis: Um die z-Achse zählen +3,60 N·m; der Betrag des gesamten Momentvektors ist rund 3,88 N·m.

Wann gilt das Hebelgesetz im statischen Gleichgewicht?

Wie hängen Drehmoment und Winkelbeschleunigung zusammen?

\sum\vec M_O=\frac{\mathrm d\vec L_O}{\mathrm dt}

Für eine feste Inertialreferenz O beschreibt das äußere Gesamtmoment die Änderung des Gesamtdrehimpulses eines geschlossenen Systems.[3]

Vertiefung anzeigen: Zeitlich veränderliches Trägheitsmoment

\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}(I_z\omega_z)=I_z\alpha_z+\dot I_z\omega_z

Wenn in einer geeigneten festen Achsenbeschreibung I zeitabhängig ist, darf der zweite Term nicht weggelassen werden.[1]

Vertiefung anzeigen: Räumliche Rotation und bewegte Bezugspunkte

Was unterscheidet Drehmoment und mechanische Leistung?

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Eine Kraft von 60 N wirkt senkrecht im Abstand 0,15 m rechts vom Drehpunkt nach unten. Bestimme Mz bei positiver z-Achse aus der Ebene heraus.

Hinweis anzeigen

Drehsinn und Betrag getrennt prüfen.

Lernziel: Drehmomentkomponente samt Drehsinn bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Mit positiver z-Richtung aus der Ebene gilt $M_z=r_xF_y-r_yF_x$ .
Rechts ist $r_x=+0{,}15\,\mathrm m$ , nach unten $F_y=-60\,\mathrm N$ .
Daher ist das Moment −9 N·m.

Kontrolle: Die Kraft dreht im Uhrzeigersinn, passend zum negativen Vorzeichen; der Betrag stimmt mit Kraft mal senkrechtem Hebelarm überein.

M_z=(0.15\,\mathrm m)(-60\,\mathrm N)=-9\,\mathrm{N\,m}

Umstellen · Einstieg

Für einen Momentbetrag von 12 N·m steht ein senkrechter Hebelarm $d=0{,}24\,\mathrm m$ zur Verfügung. Wie groß muss die Kraft sein?

Hinweis anzeigen

$|M|=Fd$ nach F umstellen.

Lernziel: Kraft aus senkrechtem Hebelarm bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Der angegebene Abstand ist bereits der senkrechte Hebelarm.
Aus $|M|=Fd$ folgt $F=\frac{|M|}{d}$ .
Das ergibt 50 N.

Kontrolle: $(50\,\mathrm N)(0{,}24\,\mathrm m)=12\,\mathrm{N\,m}$ . Eine beliebige Stablänge dürfte diesen Abstand nicht ersetzen; der Kraftangriff muss zur angegebenen Wirkungslinie passen.

F=\frac{12\,\mathrm{N\,m}}{0.24\,\mathrm m}=50\,\mathrm N

Transfer · Anwenden

Ein starrer Rotor um eine feste Achse hat $I_z=0{,}40\,\mathrm{kg\,m^2}$ . Antriebsmoment +3 N·m und Bremsmoment −1 N·m wirken. Bestimme αz.

Hinweis anzeigen

Erst die Momente summieren; konstantes I ist hier ausdrücklich vorgegeben.

Lernziel: Nettomoment in Winkelbeschleunigung überführen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Für den starren Rotor um die feste Achse ist das passende Trägheitsmoment konstant.
Zuerst die vorzeichenbehafteten äußeren Momente summieren, dann $\alpha_z=\frac{\sum M_z}{I_z}$ verwenden.
Es folgen +5 rad/s².

Kontrolle: $I_z\alpha_z=+2\,\mathrm{N\,m}$ , also die Nettosumme, nicht das einzelne Antriebsmoment. Positive Beschleunigung legt ohne Anfangswert noch keine Drehrichtung fest.

\begin{aligned}\sum M_z&=(3-1)\,\mathrm{N\,m}=2\,\mathrm{N\,m}\\\alpha_z&=\frac{2}{0.40}\,\mathrm{rad\,s^{-2}}=+5\,\mathrm{rad\,s^{-2}}\end{aligned}

Interpretieren · Anwenden

In einer Ebene greifen +30 N nach oben bei $x=+0{,}10\,\mathrm m$ und −30 N nach unten bei $x=-0{,}10\,\mathrm m$ an; $y=0$ . Positive z zeigt aus der Ebene. Bestimme Nettokraft und Mz. Bleibt das Gesamtmoment beim Verschieben des Bezugspunkts gleich?

Hinweis anzeigen

Beide xFy-Produkte haben dasselbe Vorzeichen.

Lernziel: Kräftepaar mit null Resultierender und endlichem Moment erkennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Kräfte summieren sich zu null; die Momente betragen je +3 N·m und zusammen +6 N·m.
Es liegt ein Kräftepaar vor.
Beim Verschieben des Bezugspunkts ändert sich das Gesamtmoment um ein Kreuzprodukt mit der Nettokraft; das ist hier null.

\begin{aligned}\sum F_y&=30-30=0\\M_z&=0.10\cdot30+(-0.10)(-30)=6\,\mathrm{N\,m}\end{aligned}

[1][5]

Fehleranalyse · Anwenden

Der Angriffspunkt relativ zum Ursprung ist $\vec r=(1,0,0)\,\mathrm m$ und die Kraft $\vec F=(0,0,5)\,\mathrm N$ . Eine Lösung schreibt „ $M_z=rF=5\,\mathrm{N\,m}$ “. Berechne den Momentvektor und Mz.

Hinweis anzeigen

Erst das Kreuzprodukt, dann auf z projizieren.

Lernziel: Gesamtmomentbetrag und Moment um eine ausgewählte Achse trennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: $\vec r\times\vec F=(0,-5,0)\,\mathrm{N\,m}$ , folglich $M_z=0$ .
Der Gesamtbetrag 5 N·m ist richtig, wurde aber fälschlich der z-Achse zugeordnet.
Kontrolle mit der Komponentenformel: $r_xF_y-r_yF_x=0$ .
Die Kraft kann Rotation um eine andere geeignete Achse antreiben; der verschwindende z-Anteil bedeutet nicht, dass der ganze Drehmomentvektor verschwindet.

\begin{aligned}\mathbf M&=\mathbf r\times\mathbf F\\&=\begin{pmatrix}0\\-5\\0\end{pmatrix}\,\mathrm{N\,m}\\M_z&=0\end{aligned}

[1]

Das Wichtigste im Überblick

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 1. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

1. Oktober 2026Hebelarm-/Winkelrechnung, Achse und Drehsinn, Kreuzprodukt, Hebelgleichgewicht und Nm-Abgrenzung über Fragen erschlossen; alle räumlichen/ebenen Beispiele erhalten und Kreuzprodukt, Rotationsbilanz und mechanische Leistung kontextuell verlinkt.
1. Oktober 2026Einstieg und Lernübergänge verständlicher gefasst; vorhandene Aufgabenlösungen geprüft und präzisiert, mathematische Textstellen gesetzt und eine eigene quantitative Artikelgrafik ergänzt.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Drehmoment. Stand 1. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/drehmoment

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Drehmoment

Wie berechnet man das Drehmoment?+

Was besagt das Hebelgesetz und wie hängt es mit dem Drehmoment zusammen?+

Warum ist ein längerer Hebel kraftsparender?+

Ist Drehmoment dasselbe wie Energie, weil beide in

N\cdot{}m

gemessen werden?+

Wozu braucht man einen Drehmomentschlüssel?+

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[1]OpenStax, University Physics Vol. 1, §10.6 Torque

Weitere Formeln: Mechanik

F_G = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}

Newtonsches Gravitationsgesetz

E_{kin} = \frac{1}{2} m v^2

Kinetische Energie

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F = k \cdot x

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Drehmoment: Bezugspunkt, Hebelarm und Achse

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Statik und Rotation

Rechenbeispiel

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Rechenbeispiel: Drehmoment

Wie legst du Bezugspunkt, Achse und Drehsinn fest?

Drehmoment berechnen: Welcher Hebelarm und Winkel zählen?

Wie der Winkel die Drehwirkung verändert

Drehmoment umstellen und Newtonmeter von Energie unterscheiden

Wie berechnest du Momentbetrag, Momentvektor und Achsmoment?

Eine schräg angreifende Kraft

Vektormoment und Achsmoment unterscheiden

Wann gilt das Hebelgesetz im statischen Gleichgewicht?

Wie hängen Drehmoment und Winkelbeschleunigung zusammen?

Was unterscheidet Drehmoment und mechanische Leistung?

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Eine Kraft von 60 N wirkt senkrecht im Abstand 0,15 m rechts vom Drehpunkt nach unten. Bestimme Mz bei positiver z-Achse aus der Ebene heraus.

Für einen Momentbetrag von 12 N·m steht ein senkrechter Hebelarm d=0,24 md=0{,}24\,\mathrm md=0,24m zur Verfügung. Wie groß muss die Kraft sein?

Ein starrer Rotor um eine feste Achse hat Iz=0,40 kg m2I_z=0{,}40\,\mathrm{kg\,m^2}Iz​=0,40kgm2. Antriebsmoment +3 N·m und Bremsmoment −1 N·m wirken. Bestimme αz.

In einer Ebene greifen +30 N nach oben bei x=+0,10 mx=+0{,}10\,\mathrm mx=+0,10m und −30 N nach unten bei x=−0,10 mx=-0{,}10\,\mathrm mx=−0,10m an; y=0y=0y=0. Positive z zeigt aus der Ebene. Bestimme Nettokraft und Mz. Bleibt das Gesamtmoment beim Verschieben des Bezugspunkts gleich?

Der Angriffspunkt relativ zum Ursprung ist r⃗=(1,0,0) m\vec r=(1,0,0)\,\mathrm mr=(1,0,0)m und die Kraft F⃗=(0,0,5) N\vec F=(0,0,5)\,\mathrm NF=(0,0,5)N. Eine Lösung schreibt „Mz=rF=5 N mM_z=rF=5\,\mathrm{N\,m}Mz​=rF=5Nm“. Berechne den Momentvektor und Mz.

Das Wichtigste im Überblick

Belege zu dieser Erklärung

Häufige Fragen: Drehmoment

Fachquellen und weiterführende Literatur

Verwandte Formeln

Weitere Formeln: Mechanik

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Drehmoment: Bezugspunkt, Hebelarm und Achse

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So rechnest du schneller

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Umstellen

Aufgabenvariante

Typische Fehler

Klausurkontext

Statik und Rotation

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel: Drehmoment

Wie legst du Bezugspunkt, Achse und Drehsinn fest?

Drehmoment berechnen: Welcher Hebelarm und Winkel zählen?

Wie der Winkel die Drehwirkung verändert

Drehmoment umstellen und Newtonmeter von Energie unterscheiden

Wie berechnest du Momentbetrag, Momentvektor und Achsmoment?

Eine schräg angreifende Kraft

Vektormoment und Achsmoment unterscheiden

Wann gilt das Hebelgesetz im statischen Gleichgewicht?

Wie hängen Drehmoment und Winkelbeschleunigung zusammen?

Was unterscheidet Drehmoment und mechanische Leistung?

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Eine Kraft von 60 N wirkt senkrecht im Abstand 0,15 m rechts vom Drehpunkt nach unten. Bestimme Mz bei positiver z-Achse aus der Ebene heraus.

Für einen Momentbetrag von 12 N·m steht ein senkrechter Hebelarm d=0,24 md=0{,}24\,\mathrm md=0,24m zur Verfügung. Wie groß muss die Kraft sein?

Ein starrer Rotor um eine feste Achse hat Iz=0,40 kg m2I_z=0{,}40\,\mathrm{kg\,m^2}Iz​=0,40kgm2. Antriebsmoment +3 N·m und Bremsmoment −1 N·m wirken. Bestimme αz.

In einer Ebene greifen +30 N nach oben bei x=+0,10 mx=+0{,}10\,\mathrm mx=+0,10m und −30 N nach unten bei x=−0,10 mx=-0{,}10\,\mathrm mx=−0,10m an; y=0y=0y=0. Positive z zeigt aus der Ebene. Bestimme Nettokraft und Mz. Bleibt das Gesamtmoment beim Verschieben des Bezugspunkts gleich?

Der Angriffspunkt relativ zum Ursprung ist r⃗=(1,0,0) m\vec r=(1,0,0)\,\mathrm mr=(1,0,0)m und die Kraft F⃗=(0,0,5) N\vec F=(0,0,5)\,\mathrm NF=(0,0,5)N. Eine Lösung schreibt „Mz=rF=5 N mM_z=rF=5\,\mathrm{N\,m}Mz​=rF=5Nm“. Berechne den Momentvektor und Mz.

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Für einen Momentbetrag von 12 N·m steht ein senkrechter Hebelarm $d=0{,}24\,\mathrm m$ zur Verfügung. Wie groß muss die Kraft sein?

Ein starrer Rotor um eine feste Achse hat $I_z=0{,}40\,\mathrm{kg\,m^2}$ . Antriebsmoment +3 N·m und Bremsmoment −1 N·m wirken. Bestimme αz.

In einer Ebene greifen +30 N nach oben bei $x=+0{,}10\,\mathrm m$ und −30 N nach unten bei $x=-0{,}10\,\mathrm m$ an; $y=0$ . Positive z zeigt aus der Ebene. Bestimme Nettokraft und Mz. Bleibt das Gesamtmoment beim Verschieben des Bezugspunkts gleich?

Der Angriffspunkt relativ zum Ursprung ist $\vec r=(1,0,0)\,\mathrm m$ und die Kraft $\vec F=(0,0,5)\,\mathrm N$ . Eine Lösung schreibt „ $M_z=rF=5\,\mathrm{N\,m}$ “. Berechne den Momentvektor und Mz.

Für einen Momentbetrag von 12 N·m steht ein senkrechter Hebelarm $d=0{,}24\,\mathrm m$ zur Verfügung. Wie groß muss die Kraft sein?

Ein starrer Rotor um eine feste Achse hat $I_z=0{,}40\,\mathrm{kg\,m^2}$ . Antriebsmoment +3 N·m und Bremsmoment −1 N·m wirken. Bestimme αz.

In einer Ebene greifen +30 N nach oben bei $x=+0{,}10\,\mathrm m$ und −30 N nach unten bei $x=-0{,}10\,\mathrm m$ an; $y=0$ . Positive z zeigt aus der Ebene. Bestimme Nettokraft und Mz. Bleibt das Gesamtmoment beim Verschieben des Bezugspunkts gleich?

Der Angriffspunkt relativ zum Ursprung ist $\vec r=(1,0,0)\,\mathrm m$ und die Kraft $\vec F=(0,0,5)\,\mathrm N$ . Eine Lösung schreibt „ $M_z=rF=5\,\mathrm{N\,m}$ “. Berechne den Momentvektor und Mz.