Kreuzprodukt (Vektorprodukt)

Nach dem zyklischen Schema: Die erste Koordinate von a⃗×b⃗ ist a₂b₃ − a₃b₂, die zweite a₃b₁ − a₁b₃, die dritte a₁b₂ − a₂b₁. Für jede Ergebniskoordinate deckst du also die entsprechende Zeile ab und rechnest die anderen beiden über Kreuz, einmal vorwärts minus rückwärts. Beispiel: a⃗ = (1|2|0), b⃗ = (3|0|1): erste Koordinate $2\cdot{}1 - 0\cdot{}0 = 2$, zweite $0\cdot{}3 - 1\cdot{}1 = -1$, dritte $1\cdot{}0 - 2\cdot{}3 = -6$, also a⃗×b⃗ = (2|−1|−6). Kontrolliere immer per Skalarprodukt: $(2|-1|-6)\cdot{}(1|2|0) = 2 - 2 + 0 = 0$ ✓ und mit b⃗ ebenso 0 ✓. Diese Zehn-Sekunden-Probe fängt fast alle Rechen- und Vorzeichenfehler.

Sein Hauptjob ist der Normalenvektor: a⃗×b⃗ steht senkrecht auf beiden Faktoren. Hast du eine Ebene in Parameterform mit den Spannvektoren u⃗ und v⃗, liefert n⃗ = u⃗×v⃗ in einem Schritt den Normalenvektor für die Koordinaten- oder Normalenform; ohne Kreuzprodukt müsstest du ein Gleichungssystem aus zwei Skalarprodukt-Bedingungen lösen. Zweitens misst der Betrag |a⃗×b⃗| die Fläche des aufgespannten Parallelogramms, die halbe davon ist die Dreiecksfläche; das braucht man für Flächenaufgaben im Raum. Drittens testet a⃗×b⃗ = 0⃗ auf Parallelität. Und kombiniert mit dem Skalarprodukt entsteht das Spatprodukt (a⃗×b⃗)·c⃗, dessen Betrag das Volumen des Spats angibt, mit einem Sechstel davon für die Pyramide aus drei Kantenvektoren.

|a⃗×b⃗$| = |a$⃗$|\cdot{}|b$⃗$|\cdot{}\sin{} \varphi{}$ ist der Flächeninhalt des Parallelogramms, das die beiden Vektoren aufspannen: Grundseite |a⃗| mal Höhe |b⃗$|\cdot{}\sin{} \varphi{}$. Beispiel: a⃗ = (1|2|0) und b⃗ = (3|0|1) haben a⃗×b⃗ = (2|−1|−6) mit Betrag $\sqrt{(4 + 1 + 36)} = \sqrt{41} \approx{} 6{,}4$ Flächeneinheiten. Für Dreiecke, den häufigsten Klausurfall, halbierst du: $A = \frac{1}{2}|a$⃗×b⃗|, wobei a⃗ und b⃗ zwei Seitenvektoren vom selben Eckpunkt aus sind. Zwei Grenzfälle machen die Formel plausibel: Für parallele Vektoren ist $\sin{} \varphi{} = 0$, das Parallelogramm entartet zur Strecke, Fläche 0. Für senkrechte Vektoren ist $\sin{} \varphi{} = 1$ und die Fläche schlicht das Produkt der Längen, wie beim Rechteck.

Nur im dreidimensionalen Raum gibt es zu zwei (nicht parallelen) Richtungen genau eine dazu senkrechte Richtung; im $R^{2}$ existiert gar keine, im $R^{4}$ unendlich viele senkrechte Richtungen, dort ist ein solches Produkt nicht eindeutig definierbar. In der Ebene übernimmt die Determinante a₁b₂ − a₂b₁ die Flächenrolle, das ist gerade die dritte Koordinate des Kreuzprodukts, wenn man die Vektoren in den Raum einbettet. Die Rechte-Hand-Regel legt fest, welche der beiden möglichen senkrechten Richtungen das Ergebnis nimmt: Zeigt der Daumen der rechten Hand in Richtung a⃗ und der Zeigefinger in Richtung b⃗, dann zeigt der Mittelfinger in Richtung a⃗×b⃗. Daraus folgt direkt die Antikommutativität: b⃗×a⃗ = −(a⃗×b⃗), Vertauschen kehrt die Orientierung um.

Mit zwei Skalarprodukten: Das Ergebnis n⃗ = a⃗×b⃗ muss auf beiden Ausgangsvektoren senkrecht stehen, also müssen n⃗·a⃗ und n⃗·b⃗ beide exakt null ergeben. Beispiel: Zu a⃗ = (1|0|2), b⃗ = (0|1|1) berechnet man n⃗ = (0·1−2·1 | 2·0−1·1 | 1·1−0·0) = (−2|−1|1); Probe: n⃗·a⃗ = −2 + 0 + 2 = 0 ✓ und n⃗·b⃗ = 0 − 1 + 1 = 0 ✓. Kommt nicht null heraus, liegt der Fehler fast immer in der mittleren Koordinate, deren Reihenfolge gedreht ist (a₃b₁ − a₁b₃). Zusatzchecks: Bei offensichtlich parallelen Vektoren muss der Nullvektor herauskommen, und ein Plausibilitätsblick auf die Größenordnung des Betrags (Fläche!) schadet nie. Diese Proben kosten Sekunden, retten aber regelmäßig ganze Geometrieaufgaben, weil alles Folgende vom Normalenvektor abhängt.