Ebenengleichung in Normalenform

In drei Schritten. Erstens: Aus den beiden Spannvektoren u⃗ und v⃗ den Normalenvektor als Kreuzprodukt bilden, n⃗ = u⃗ × v⃗. Zweitens: Die linke Seite der Koordinatenform aufschreiben, ax + by + cz mit (a|b|c) = n⃗. Drittens: Den Stützpunkt einsetzen, um d zu bestimmen. Beispiel: Stützpunkt A(1|1|0), u⃗ = (2|0|1), v⃗ = (0|1|2): n⃗ = (−1|−4|2), Einsetzen von A liefert −1 − 4 + 0 = −5, also −x − 4y + 2z = −5, schöner x + 4y − 2z = 5. Kontrolle: Ein zweiter Ebenenpunkt muss die Gleichung ebenfalls erfüllen. Der Rückweg ist einfacher: drei Ebenenpunkte raten oder Spurpunkte nehmen.

Du brauchst genau zwei Zutaten: einen Punkt P der Ebene (Stützvektor p⃗) und einen Normalenvektor n⃗, der senkrecht auf der Ebene steht. Dann lautet die Normalenform (x⃗ − p⃗)·n⃗ = 0: Ein Punkt X liegt genau dann in der Ebene, wenn sein Verbindungsvektor zu P senkrecht auf n⃗ steht. Beispiel: P(1|0|2) und n⃗ = (2|−1|3) ergeben (x⃗ − (1|0|2))·(2|−1|3) = 0; ausmultipliziert 2x − y + 3z = 8. Den Normalenvektor bekommst du je nach Aufgabe aus dem Kreuzprodukt zweier Spannvektoren, aus der Koordinatenform (Koeffizienten ablesen) oder aus einer Lotbedingung. Jedes Vielfache von n⃗ funktioniert genauso.

d ist das Skalarprodukt n⃗·p⃗ mit einem beliebigen Ebenenpunkt und koppelt die Ebene an ihre Lage im Raum: Verändert man d, verschiebt sich die Ebene parallel zu sich selbst. d = 0 bedeutet, dass die Ebene durch den Ursprung geht. Direkt geometrisch interpretierbar wird d nach der Normierung: |d|/|n⃗| ist der Abstand der Ebene vom Ursprung. Beispiel: 2x − y + 3z = 8 hat |n⃗| = √14, der Ursprungsabstand beträgt 8/√14 ≈ 2,14 LE. Vorsicht: d allein (ohne Division durch |n⃗|) ist kein Abstand, denn die Gleichung lässt sich mit jedem Faktor durchmultiplizieren, ohne die Ebene zu ändern.

Mit der Punktprobe: Koordinaten des Punktes in die Ebenengleichung einsetzen und schauen, ob eine wahre Aussage entsteht. In der Koordinatenform 2x − y + 3z = 8 testest du etwa Q(1|1|1): 2 − 1 + 3 = 4 ≠ 8, Q liegt nicht in der Ebene. In der Normalenform rechnest du (q⃗ − p⃗)·n⃗ und prüfst auf 0. Der Wert der Abweichung ist nicht der Abstand; dafür müsstest du noch durch |n⃗| teilen (Hessesche Normalform). Die Punktprobe ist auch das Kontrollwerkzeug nach jeder Umformung: Stütz- und Spannpunkte der ursprünglichen Parameterform müssen die neue Koordinatengleichung erfüllen, sonst ist beim Kreuzprodukt oder bei d etwas schiefgegangen.

Über ihre Normalenvektoren: cos φ = |n⃗₁·n⃗₂|/(|n⃗₁|·|n⃗₂|). Der Betrag im Zähler sorgt dafür, dass du den spitzen Schnittwinkel bekommst (zwischen 0° und 90°), unabhängig davon, in welche Richtung die Normalenvektoren zeigen. Beispiel: E₁ mit n⃗₁ = (1|0|1) und E₂ mit n⃗₂ = (0|1|1): cos φ = |0 + 0 + 1|/(√2·√2) = 1/2, also φ = 60°. Zwei Ebenen stehen senkrecht aufeinander, wenn n⃗₁·n⃗₂ = 0; sie sind parallel, wenn die Normalenvektoren Vielfache voneinander sind. Analog funktioniert der Winkel Gerade-Ebene, dort allerdings mit dem Sinus: sin φ = |u⃗·n⃗|/(|u⃗|·|n⃗|).