Mathematik · Analytische Geometrie / Vektoren

Ebenengleichung in Normalenform

Q: Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Ebenen?

Über ihre Normalenvektoren: $\cos{} \varphi{} = |n$⃗₁·n⃗₂|/(|n⃗₁|·|n⃗₂|). Der Betrag im Zähler sorgt dafür, dass du den spitzen Schnittwinkel bekommst (zwischen 0° und 90°), unabhängig davon, in welche Richtung die Normalenvektoren zeigen. Beispiel: E₁ mit n⃗₁ = (1|0|1) und E₂ mit n⃗₂ = (0|1|1): $\cos{} \varphi{} = |0 + 0 +\frac{ 1|}{(\sqrt{2}\cdot{}\sqrt{2})} =\frac{ 1}{2}$, also $\varphi{} = 60$°. Zwei Ebenen stehen senkrecht aufeinander, wenn n⃗₁·n⃗₂ = 0; sie sind parallel, wenn die Normalenvektoren Vielfache voneinander sind. Analog funktioniert der Winkel Gerade-Ebene, dort allerdings mit dem Sinus: $\sin{} \varphi{} = |u$⃗·n⃗|/(|u⃗$|\cdot{}|n$⃗|).

Eine Ebene ist durch einen Punkt und einen Normalenvektor festgelegt: Genau die Ortsvektoren x⃗ mit $(\vec x-\vec p)\cdot\vec n = 0$ liegen in ihr.

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Formel

E : (x - p) \cdot n = 0

Koordinaten in Längeneinheiten (LE) · Skalarprodukt dimensionslos

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
x⃗	Ortsvektor eines beliebigen Ebenenpunktes	LE
p⃗	Stützvektor (Ortsvektor eines bekannten Punktes)	LE
n⃗	Normalenvektor (steht senkrecht auf der Ebene)	dimensionslos

LaTeX

E: (\vec{x} - \vec{p}) \cdot \vec{n} = 0

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Schräg gezeichnete Ebene E; vom Ursprung führen die Ortsvektoren p und x zu zwei Ebenenpunkten, der hervorgehobene Verbindungsvektor x − p liegt in der Ebene und steht senkrecht auf dem Normalenvektor n. — Ein Punkt X liegt genau dann in E, wenn der Vektor x − p senkrecht auf dem Normalenvektor n steht: (x − p)·n = 0.

Herleitung & Hintergrund

Die Kernidee: Jeder Verbindungsvektor $\vec x-\vec p$ innerhalb der Ebene steht senkrecht auf $\vec n$ , sein Skalarprodukt mit $\vec n$ ist also 0. Ausmultipliziert entsteht die Koordinatenform $ax+by+cz=d$ mit $\vec n=\begin{pmatrix}a\\b\\c\end{pmatrix}$ und $d=\vec n\cdot\vec p$ . Aus einer Parameterform erhält man $\vec n$ als Kreuzprodukt der beiden Richtungsvektoren. Der Normalenvektor ist nur bis auf von null verschiedene Vielfache bestimmt: Jedes solche Vielfache beschreibt dieselbe Ebene.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Beschreibt jede Ebene im Raum; n⃗ muss senkrecht auf der Ebene stehen und darf nicht der Nullvektor sein. Vielfache von n⃗ und jeder andere Ebenenpunkt als Stützpunkt beschreiben dieselbe Ebene.

Herleitung in Schritten

Orthogonalität als definierende Eigenschaft: In-der-Ebene-liegen heißt senkrecht zu n⃗ verlaufen.

1X liegt genau dann in E, wenn der Verbindungsvektor x⃗ − p⃗ in der Ebene verläuft, also senkrecht zu n⃗ ist: (x⃗ − p⃗)·n⃗ = 0.
2Ausmultiplizieren liefert n⃗·x⃗ = n⃗·p⃗, also die Koordinatenform ax + by $+ cz = d$ .

Umstellen

Koordinatenform

a x + b y + c z = \vec{n} \cdot \vec{p}

$(a|b|c) = n$ ⃗; d entsteht durch Einsetzen des Stützpunktes.

Normalenvektor aus Parameterform

\vec{n} = \vec{u} \times \vec{v}

Kreuzprodukt der Spannvektoren; danach Stützpunkt einsetzen.

Punktprobe

(\vec{q} - \vec{p}) \cdot \vec{n} \stackrel{?}{=} 0

Ergebnis 0 heißt: Q liegt in der Ebene.

Aufgabenvariante

Gib die Koordinatenform der Ebene mit n⃗ = (3|2|−1) durch P(2|0|0) an.

$d = n$ ⃗·p⃗ = 3·2 + 0 + 0 = 6, also E: $3x + 2y - z = 6$ .

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene durch A(1|1|0), B(3|1|1) und C(1|2|2).

AB⃗ = (2|0|1), AC⃗ = (0|1|2). n⃗ = AB⃗ × AC⃗ = (−1|−4|2).
Mit A: $-1 - 4 + 0 = -5$ , also $-x - 4y + 2z = -5$ bzw. $x + 4y - 2z = 5$ .
Probe mit B: $3 + 4 - 2 = 5$ ✓.

Typische Fehler

Normalenvektor mit Richtungsvektor verwechseln.

n⃗ steht senkrecht auf der Ebene; Spannvektoren liegen in ihr.

d vergessen oder als $d = 0$ annehmen.

$d = n$ ⃗·p⃗ mit einem Ebenenpunkt berechnen; $d = 0$ gilt nur für Ebenen durch den Ursprung.

Beim Kreuzprodukt Rechenfehler in den Vorzeichen.

Ergebnis prüfen: n⃗·AB⃗ = 0 und n⃗·AC⃗ = 0 müssen gelten.

Klausurkontext

Umwandlung zwischen Ebenendarstellungen, Lagebeziehungen, Winkel- und Abstandsaufgaben als Folgeschritte.

Formelcluster

Ebenen im Raum

Normalenform, Koordinatenform und HNF sind dieselbe Ebene in drei Kleidern.

d(P;E) = |n⃗·p⃗ − d| / |n⃗|

Hessesche Normalform (Abstand Punkt-Ebene)

a⃗×b⃗ = (a₂b₃−a₃b₂ | a₃b₁−a₁b₃ | a₁b₂−a₂b₁)

Kreuzprodukt (Vektorprodukt)

a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃

Skalarprodukt

Rechenbeispiel

$\vec n=\begin{pmatrix}2\\-1\\3\end{pmatrix}$ und $P(1\mid0\mid2)$ : $d=\vec n\cdot\vec p=2\cdot1-0+3\cdot2=8$ , also $E:\;2x-y+3z=8$ . Probe mit P: $2-0+6=8$ ✓.

Anwendungsgebiete

Umwandlung Parameterform in Koordinatenform, Lagebeziehungen von Punkt, Gerade und Ebene, Winkel zwischen Ebenen über Normalenvektoren, Vorstufe der Hesseschen Normalform

Rechenbeispiel: Ebenengleichung in Normalenform

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Ebenengleichung in Normalenform (E: (x⃗ − p⃗)·n⃗ = 0).

1
Aufgabe
Gib die Koordinatenform der Ebene mit n⃗ = (3|2|−1) durch P(2|0|0) an.
Rechenweg
$d = n$ ⃗·p⃗ = 3·2 + 0 + 0 = 6, also E: $3x + 2y - z = 6$ .
2
Aufgabe
Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene durch A(1|1|0), B(3|1|1) und C(1|2|2).
Rechenweg
1. AB⃗ = (2|0|1), AC⃗ = (0|1|2). n⃗ = AB⃗ × AC⃗ = (−1|−4|2).
2. Mit A: $-1 - 4 + 0 = -5$ , also $-x - 4y + 2z = -5$ bzw. $x + 4y - 2z = 5$ .
3. Probe mit B: $3 + 4 - 2 = 5$ ✓.

Häufige Fragen: Ebenengleichung in Normalenform

Wie kommt man von der Parameterform zur Koordinatenform einer Ebene?+

In drei Schritten. Erstens: Aus den beiden Spannvektoren u⃗ und v⃗ den Normalenvektor als Kreuzprodukt bilden, n⃗ = u⃗ × v⃗. Zweitens: Die linke Seite der Koordinatenform aufschreiben, ax + by + cz mit $(a|b|c) = n$ ⃗. Drittens: Den Stützpunkt einsetzen, um d zu bestimmen. Beispiel: Stützpunkt A(1|1|0), u⃗ = (2|0|1), v⃗ = (0|1|2): n⃗ = (−1|−4|2), Einsetzen von A liefert $-1 - 4 + 0 = -5$ , also $-x - 4y + 2z = -5$ , schöner $x + 4y - 2z = 5$ . Kontrolle: Ein zweiter Ebenenpunkt muss die Gleichung ebenfalls erfüllen. Der Rückweg ist einfacher: drei Ebenenpunkte raten oder Spurpunkte nehmen.

Wie stellt man die Normalenform einer Ebene auf?+

Du brauchst genau zwei Zutaten: einen Punkt P der Ebene (Stützvektor p⃗) und einen Normalenvektor n⃗, der senkrecht auf der Ebene steht. Dann lautet die Normalenform (x⃗ − p⃗)·n⃗ = 0: Ein Punkt X liegt genau dann in der Ebene, wenn sein Verbindungsvektor zu P senkrecht auf n⃗ steht. Beispiel: P(1|0|2) und n⃗ = (2|−1|3) ergeben (x⃗ − (1|0|2))·(2|−1|3) = 0; ausmultipliziert $2x - y + 3z = 8$ . Den Normalenvektor bekommst du je nach Aufgabe aus dem Kreuzprodukt zweier Spannvektoren, aus der Koordinatenform (Koeffizienten ablesen) oder aus einer Lotbedingung. Jedes Vielfache von n⃗ funktioniert genauso.

Was sagt die Zahl d in der Koordinatenform ax + by

+ cz = d

aus?+

d ist das Skalarprodukt n⃗·p⃗ mit einem beliebigen Ebenenpunkt und koppelt die Ebene an ihre Lage im Raum: Verändert man d, verschiebt sich die Ebene parallel zu sich selbst. $d = 0$ bedeutet, dass die Ebene durch den Ursprung geht. Direkt geometrisch interpretierbar wird d nach der Normierung: $\frac{|d|}{|}n$ ⃗| ist der Abstand der Ebene vom Ursprung. Beispiel: $2x - y + 3z = 8$ hat |n⃗ $| = \sqrt{14}$ , der Ursprungsabstand beträgt $\frac{8}{\sqrt{14}} \approx{} 2{,}14 LE$ . Vorsicht: d allein (ohne Division durch |n⃗|) ist kein Abstand, denn die Gleichung lässt sich mit jedem Faktor durchmultiplizieren, ohne die Ebene zu ändern.

Wie prüft man, ob ein Punkt in einer Ebene liegt?+

Mit der Punktprobe: Koordinaten des Punktes in die Ebenengleichung einsetzen und schauen, ob eine wahre Aussage entsteht. In der Koordinatenform $2x - y + 3z = 8$ testest du etwa Q(1|1|1): $2 - 1 + 3 = 4 \ne{} 8$ , Q liegt nicht in der Ebene. In der Normalenform rechnest du (q⃗ − p⃗)·n⃗ und prüfst auf 0. Der Wert der Abweichung ist nicht der Abstand; dafür müsstest du noch durch |n⃗| teilen (Hessesche Normalform). Die Punktprobe ist auch das Kontrollwerkzeug nach jeder Umformung: Stütz- und Spannpunkte der ursprünglichen Parameterform müssen die neue Koordinatengleichung erfüllen, sonst ist beim Kreuzprodukt oder bei d etwas schiefgegangen.

Wie berechnet man den Winkel zwischen zwei Ebenen?+

Über ihre Normalenvektoren: $\cos{} \varphi{} = |n$ ⃗₁·n⃗₂|/(|n⃗₁|·|n⃗₂|). Der Betrag im Zähler sorgt dafür, dass du den spitzen Schnittwinkel bekommst (zwischen 0° und 90°), unabhängig davon, in welche Richtung die Normalenvektoren zeigen. Beispiel: E₁ mit n⃗₁ = (1|0|1) und E₂ mit n⃗₂ = (0|1|1): $\cos{} \varphi{} = |0 + 0 +\frac{ 1|}{(\sqrt{2}\cdot{}\sqrt{2})} =\frac{ 1}{2}$ , also $\varphi{} = 60$ °. Zwei Ebenen stehen senkrecht aufeinander, wenn n⃗₁·n⃗₂ = 0; sie sind parallel, wenn die Normalenvektoren Vielfache voneinander sind. Analog funktioniert der Winkel Gerade-Ebene, dort allerdings mit dem Sinus: $\sin{} \varphi{} = |u$ ⃗·n⃗|/(|u⃗ $|\cdot{}|n$ ⃗|).

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Wie stellst du E: (x⃗ − p⃗)·n⃗ = 0 nach Koordinatenform um?

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Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei E: (x⃗ − p⃗)·n⃗ = 0?

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, Calculus Volume 3, §2.5: Equations of Lines and Planes in Space

Weitere Formeln: Analytische Geometrie und Vektoren

d(Q;g) = \frac{|(\vec{q} - \vec{p}) \times \vec{u}|}{|\vec{u}|}

Abstand Punkt-Gerade

|\vec{v}| = \sqrt{v_{1}^{2} + v_{2}^{2} + v_{3}^{2}}

Betrag eines Vektors (Länge)

u_k=v_k-\sum_{j<k}\langle v_k,q_j\rangle q_j, \quad q_k=\frac{u_k}{\|u_k\|}

Gram-Schmidt-Orthogonalisierung

|\langle u,v\rangle|\leq\|u\|\,\|v\|

Cauchy-Schwarz-Ungleichung

Spaced Repetition

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Symbol

Bedeutung

Einheit

x⃗

Ortsvektor eines beliebigen Ebenenpunktes

p⃗

Stützvektor (Ortsvektor eines bekannten Punktes)

n⃗

Normalenvektor (steht senkrecht auf der Ebene)

dimensionslos

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Prüfungs-Blueprint

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Herleitung in Schritten

Orthogonalität als definierende Eigenschaft: In-der-Ebene-liegen heißt senkrecht zu n⃗ verlaufen.

1X liegt genau dann in E, wenn der Verbindungsvektor x⃗ − p⃗ in der Ebene verläuft, also senkrecht zu n⃗ ist: (x⃗ − p⃗)·n⃗ = 0.
2Ausmultiplizieren liefert n⃗·x⃗ = n⃗·p⃗, also die Koordinatenform ax + by $+ cz = d$ .

Rechenbeispiel: Ebenengleichung in Normalenform

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Ebenengleichung in Normalenform (E: (x⃗ − p⃗)·n⃗ = 0).

Aufgabe

Gib die Koordinatenform der Ebene mit n⃗ = (3|2|−1) durch P(2|0|0) an.

Rechenweg

$d = n$ ⃗·p⃗ = 3·2 + 0 + 0 = 6, also E: $3x + 2y - z = 6$ .

Aufgabe

Bestimme eine Koordinatengleichung der Ebene durch A(1|1|0), B(3|1|1) und C(1|2|2).

Rechenweg

AB⃗ = (2|0|1), AC⃗ = (0|1|2). n⃗ = AB⃗ × AC⃗ = (−1|−4|2).
Mit A: $-1 - 4 + 0 = -5$ , also $-x - 4y + 2z = -5$ bzw. $x + 4y - 2z = 5$ .
Probe mit B: $3 + 4 - 2 = 5$ ✓.

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Wie stellt man die Normalenform einer Ebene auf?+

Was sagt die Zahl d in der Koordinatenform ax + by

+ cz = d

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