Skalarprodukt

In Koordinatenform multiplizierst du die zusammengehörigen Koordinaten und addierst die Produkte: a⃗·b⃗ = a₁b₁ + a₂b₂ + a₃b₃. Beispiel: a⃗ = (1|2|2) und b⃗ = (2|0|1) ergeben $1\cdot{}2 + 2\cdot{}0 + 2\cdot{}1 = 4$. Das Ergebnis ist eine einzelne Zahl, kein Vektor; genau daher kommt der Name Skalarprodukt. Im Zweidimensionalen funktioniert es identisch mit zwei Summanden. Daneben gibt es die geometrische Form a⃗·b⃗ = |a⃗$|\cdot{}|b$⃗$|\cdot{}\cos{} \varphi{}$ mit dem eingeschlossenen Winkel φ; beide Formen liefern denselben Wert und lassen sich je nach gegebenen Daten einsetzen. In Klausuren brauchst du fast immer die Koordinatenform zum Rechnen und die Winkelform zum Interpretieren des Ergebnisses.

Zwei vom Nullvektor verschiedene Vektoren stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt null ist. Der Nachweis ist also eine Einzeiler-Rechnung: a⃗ = (2|1|−2) und b⃗ = (1|2|2) liefern $2\cdot{}1 + 1\cdot{}2 + (-2)\cdot{}2 = 2 + 2 - 4 = 0$, also a⃗ ⊥ b⃗. Der Grund steckt in der Winkelform: a⃗·b⃗ = |a⃗$|\cdot{}|b$⃗$|\cdot{}\cos{} \varphi{}$ wird genau dann null, wenn $\cos{} \varphi{} = 0$, also $\varphi{} = 90$°. Dieses Kriterium ist das Arbeitspferd der analytischen Geometrie: Orthogonalität von Geraden über ihre Richtungsvektoren, Lagebeziehung Gerade-Ebene über den Normalenvektor, senkrechte Höhen und Lote in Dreiecksaufgaben. Umgekehrt konstruierst du senkrechte Vektoren, indem du das Skalarprodukt null setzt und eine Koordinate frei wählst.

Stelle die Winkelform nach cos φ um: cos φ = (a⃗·b⃗)/(|a⃗$|\cdot{}|b$⃗|). Berechne also Skalarprodukt und beide Beträge und wende dann arccos an. Beispiel: a⃗ = (1|2|2), b⃗ = (2|0|1): a⃗·b⃗ = 4, |a⃗$| = 3$, |b⃗$| = \sqrt{5}$, also $\cos{} \varphi{} =\frac{ 4}{(3\sqrt{5})} \approx{} 0{,}596$ und $\varphi{} \approx{} 53{,}4$°. Das Vorzeichen des Skalarprodukts verrät die Winkelklasse vorab: positiv heißt spitzer Winkel, null heißt 90°, negativ stumpfer Winkel. Zwei Vorsichtspunkte: Kommt beim cos ein Wert außerhalb von [−1; 1] heraus, hast du vergessen, durch die Beträge zu teilen. Und bei Winkeln zwischen Geraden nimmt man den Betrag des Zählers, weil Richtungsvektoren umgedreht werden dürfen und der Schnittwinkel höchstens 90° beträgt.

Weil das Skalarprodukt etwas anderes misst als eine Richtung: Es misst, wie stark zwei Vektoren in dieselbe Richtung wirken. Geometrisch projiziert es b⃗ auf die Richtung von a⃗ und multipliziert die Projektionslänge |b⃗$|\cdot{}\cos{} \varphi{}$ mit der Länge |a⃗|; heraus kommt ein Maß für „gleichgerichtete Länge mal Länge", und das ist naturgemäß eine Zahl. Die Physik macht das greifbar: Arbeit ist $W = F$⃗·s⃗, Kraftanteil in Wegrichtung mal Weg, ein Skalar ohne Richtung. Verwechsle das nicht mit dem Kreuzprodukt, das tatsächlich einen Vektor liefert (senkrecht auf beiden Faktoren) und Flächen misst. Merkhilfe: Skalarprodukt → Skalar (Zahl) → Winkel und Längen; Kreuzprodukt → Vektor → Normale und Flächen.

Das Skalarprodukt eines Vektors mit sich selbst ergibt sein Betragsquadrat: a⃗·a⃗ = a₁² + a₂² + a₃² = |a⃗$|^{2}$. Die Länge ist also |a⃗| = √(a⃗·a⃗), und genau das ist der Satz des Pythagoras im Raum: Die Quadrate der Koordinaten addieren sich zum Quadrat der Länge. Beispiel: a⃗ = (1|2|2) hat |a⃗$| = \sqrt{(1 + 4 + 4)} = 3$. Auch der Kosinussatz steckt drin: |a⃗ − b⃗$|^{2} = |a$⃗$|^{2} + |b$⃗$|^{2} - 2\cdot{}a$⃗·b⃗ folgt durch Ausmultiplizieren mit der binomischen Formel; für a⃗·b⃗ = 0 (rechter Winkel) bleibt der klassische Pythagoras übrig. Diese Verbindung nutzt man ständig für Abstände zwischen Punkten und für Beträge in Ebenen- und Kugelgleichungen.