Geradengleichung und Steigung

Mit der Zwei-Punkte-Formel $m =\frac{ (y_{2} - y_{1})}{(x_{2} - x_{1})}$: y-Differenz durch x-Differenz, in derselben Punktreihenfolge. Beispiel: P(1|2) und Q(4|11) ergeben $m =\frac{ (11 - 2)}{(4 - 1)} =\frac{ 9}{3} = 3$; die Gerade steigt also um 3 Einheiten pro Rechtsschritt. Achte auf zwei Fallen: Erstens gehört Δy in den Zähler (nicht Δx), zweitens darfst du die Reihenfolge nicht mischen, sonst kippt das Vorzeichen. Anschaulich ist m das Steigungsdreieck: 1 nach rechts, m nach oben. Für $x_{1} = x_{2}$ ist die Formel nicht definiert; das ist die senkrechte Gerade, die keine Steigung besitzt.

Die Gerade fällt: Pro Schritt nach rechts geht es um |m| Einheiten nach unten. $y = -2x + 7$ verliert also 2 Einheiten je x-Schritt. In Sachkontexten beschreibt negative Steigung Abnahmeprozesse, etwa einen Wasserstand, der pro Stunde um 2 cm sinkt, oder einen Akku, der pro Minute 0,5 % verliert; m trägt dann die Einheit y-Einheit pro x-Einheit. Vollständig sortiert: $m > 0$ steigend, $m = 0$ waagerecht (konstante Funktion), $m < 0$ fallend; je größer |m|, desto steiler. Der Steigungswinkel wird bei negativem m entsprechend negativ gemessen: $\tan{} \theta{} = m$, für $m = -1$ sind das −45°.

Drei Wege. Erstens ablesen: b ist der y-Wert, an dem die Gerade die y-Achse schneidet, also f(0). Zweitens rechnen: Ist m bekannt und ein Punkt (x₁|y₁) gegeben, folgt b aus dem Einsetzen in $y = mx + b$, umgestellt $b = y_{1} - m\cdot{}x_{1}$. Beispiel: $m = 3$ und P(1|2) ergeben $b = 2 - 3\cdot{}1 = -1$, also $y = 3x - 1$. Drittens ohne b arbeiten: Die Punktsteigungsform $y = m(x - x_{1}) + y_{1}$ liefert die Gerade direkt. Kontrolliere am Ende mit dem zweiten Punkt, falls vorhanden. Verwechsle b nicht mit der Nullstelle: b liegt auf der y-Achse, die Nullstelle $x_{0} = -\frac{b}{m}$ auf der x-Achse.

Parallel sind Geraden genau dann, wenn ihre Steigungen übereinstimmen: m₁ = m₂ (und b verschieden ist, sonst sind sie identisch). Senkrecht stehen sie aufeinander, wenn $m_{1}\cdot{}m_{2} = -1$ gilt; die zweite Steigung ist also der negative Kehrwert der ersten. Beispiel: Zu $y = 2x + 1$ ist jede Gerade mit $m = 2$ parallel und jede mit $m = -\frac{1}{2}$ senkrecht, etwa $y = -0{,}5x + 4$. Diese Regel ist das Werkzeug für Normalen in der Analysis: Die Normale im Punkt einer Kurve hat die Steigung $-\frac{1}{f}$′(x₀). Sonderfall: Waagerechte $(m = 0)$ und senkrechte Geraden stehen ebenfalls aufeinander senkrecht, obwohl die Produktregel dort formal versagt, weil die senkrechte Gerade keine Steigung hat.

Der Steigungswinkel θ zwischen Gerade und x-Achse erfüllt $\tan{} \theta{} = m$, also $\theta{} = \arctan{}(m)$. Für $m = 1$ sind das 45°, für $m = 3$ etwa 71,6°. Verkehrsschilder geben Steigungen in Prozent an: 12 % bedeutet $m = 0{,}12$, also 12 m Höhengewinn auf 100 m horizontale Strecke; der Winkel ist $\arctan{}(0{,}12) \approx{} 6{,}8$°. Umgekehrt entsprechen 100 % genau 45°, nicht etwa 90°; das ist eine beliebte Fangfrage. Beachte, dass Prozentangabe und Winkel nicht proportional sind, weil der Tangens nicht linear wächst. In Sachaufgaben lohnt es, konsequent zwischen m (Verhältnis), Winkel (Grad) und Prozent $(m\cdot{}100)$ zu unterscheiden.