Mathematik · Stochastik / Statistik

Lineare Regression (Ausgleichsgerade)

Die lineare Regression legt die Ausgleichsgerade $\hat y=a+bx$ so durch eine Punktwolke, dass die Summe der quadrierten Abweichungen minimal wird.

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Formel

b = \frac{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ( y _{i} - y ˉ )}{\sum ( x _{i} - x ˉ ) ^{2}}, a = \overset{y}{ˉ} - b \overset{x}{ˉ}

b in y-Einheit pro x-Einheit · a in y-Einheit · r dimensionslos (−1 bis 1)

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$b$	Steigung der Ausgleichsgeraden	y-Einheit/x-Einheit
$a$	y-Achsenabschnitt der Ausgleichsgeraden	y-Einheit
x̄, ȳ	Mittelwerte der x- und y-Daten	wie Daten
$r$	Korrelationskoeffizient (Stärke des linearen Zusammenhangs)	dimensionslos

LaTeX

b = \frac{\sum (x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\sum (x_{i}-\bar{x})^{2}}, \quad a = \bar{y} - b\bar{x}

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Sieben Datenpunkte mit hervorgehobener Ausgleichsgerade; gestrichelte senkrechte Linien zeigen die Abweichungen, ein Ring markiert den Mittelpunkt (x̄ | ȳ) auf der Geraden. — Die Ausgleichsgerade ŷ = a + b·x macht die Summe der quadrierten senkrechten Abweichungen minimal und verläuft durch den Schwerpunkt der Daten (Ring), den Punkt aus den Mittelwerten von x und y.

Herleitung & Hintergrund

Methode der kleinsten Quadrate, veröffentlicht von Legendre 1805 und von Gauß für die Bahnbestimmung des Zwergplaneten Ceres genutzt. Die Ausgleichsgerade läuft immer durch den Schwerpunkt (x̄|ȳ) der Daten. Der Korrelationskoeffizient r misst nur die Stärke des linearen Zusammenhangs: r nahe ±1 bedeutet enge Kopplung, r nahe 0 keinen linearen Zusammenhang. Korrelation belegt keine Kausalität, und Prognosen weit außerhalb der Daten sind unsicher.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Sinnvoll nur, wenn der Zusammenhang näherungsweise linear ist (Streudiagramm prüfen); Ausreißer verzerren die Gerade stark, und Prognosen gelten nur im Bereich der Daten.

Herleitung in Schritten

Minimiere die Summe der quadrierten senkrechten Abweichungen zur Geraden.

1Für S(a,b) = Σ(y_i − a − bx_i)² werden die partiellen Ableitungen nach a und b gleich 0 gesetzt.
2Die Normalgleichungen liefern b = Σ(x_i−x̄)(y_i−ȳ)/Σ(x_i−x̄)² und a = ȳ $- b\cdot{}x$ ̄.

Umstellen

y-Achsenabschnitt

a = \bar{y} - b \cdot \bar{x}

Folgt daraus, dass die Gerade durch (x̄|ȳ) läuft.

Korrelationskoeffizient

r = \frac{\sum (x_{i}-\bar{x})(y_{i}-\bar{y})}{\sqrt{\sum (x_{i}-\bar{x})^{2} \cdot \sum (y_{i}-\bar{y})^{2}}}

Misst die Stärke des linearen Zusammenhangs (−1 bis 1).

Steigung über r

b = r \cdot \frac{s_{y}}{s_{x}}

Verbindung von Korrelation und Standardabweichungen.

Aufgabenvariante

Bestimme die Ausgleichsgerade zu (0|1), (1|3), (2|5).

x̄ = 1, ȳ = 3.
Zähler: $(-1)(-2) + 0 + (1)(2) = 4$ , Nenner: $1 + 0 + 1 = 2$ .
$b = 2$ , $a = 3 - 2\cdot{}1 = 1$ : ŷ = 2x + 1.
Alle Punkte liegen exakt darauf $(r = 1)$ .

Für (1|2), (2|3), (3|5), (4|6) gilt ŷ = 1,4x + 0,5. Prognostiziere y für $x = 5$ und beurteile die Güte.

ŷ(5) = 1,4·5 + 0,5 = 7,5.
Güte: $r =\frac{ 7}{\sqrt{(5\cdot{}10)}} =\frac{ 7}{7{,}07} \approx{} 0{,}99$ , sehr enger linearer Zusammenhang; die Prognose liegt nur knapp außerhalb der Daten und ist vertretbar.

Typische Fehler

Korrelation als Kausalität deuten.

r misst nur Gleichlauf; ob x die Ursache von y ist, sagt die Statistik nicht.

Weit außerhalb des Datenbereichs extrapolieren.

Der lineare Trend gilt nur im beobachteten Bereich; außerhalb kann das Modell brechen.

x- und y-Rolle vertauschen.

Die Regression von y auf x minimiert senkrechte y-Abweichungen; vertauschte Rollen ergeben eine andere Gerade.

Klausurkontext

Statistikaufgaben mit Datentabellen und GTR, Trendbeschreibung und Prognose mit Bewertung der Modellgrenzen.

Formelcluster

Beschreibende Statistik

Verbindet Mittelwerte, Streuung und lineare Funktionen zu einem Datenmodell.

σ = √Var(X)

Standardabweichung

E(X) = Σ x_i·p_i

Erwartungswert

m = Δy/Δx, y = mx + b

Geradengleichung und Steigung

Rechenbeispiel

Punkte (1|2), (2|3), (3|5), (4|6): $\bar x=2{,}5$ und $\bar y=4$ . $b =\frac{ 7}{5} = 1{,}4$ und $a = 4 - 1{,}4\cdot{}2{,}5 = 0{,}5$ , also $\hat y=1{,}4x+0{,}5$ . Prognose für $x = 5$ : $\hat y=7{,}5$ .

Anwendungsgebiete

Trendprognosen aus Messreihen (Klima- und Absatzdaten), Statistikaufgaben mit $\frac{GTR}{CAS}$ , Kalibriergeraden in den Naturwissenschaften, Sozialforschung

Rechenbeispiel: Lineare Regression (Ausgleichsgerade)

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Lineare Regression (Ausgleichsgerade) (ŷ = a + b·x).

1
Aufgabe
Bestimme die Ausgleichsgerade zu (0|1), (1|3), (2|5).
Rechenweg
1. x̄ = 1, ȳ = 3.
2. Zähler: $(-1)(-2) + 0 + (1)(2) = 4$ , Nenner: $1 + 0 + 1 = 2$ .
3. $b = 2$ , $a = 3 - 2\cdot{}1 = 1$ : ŷ = 2x + 1.
4. Alle Punkte liegen exakt darauf $(r = 1)$ .
2
Aufgabe
Für (1|2), (2|3), (3|5), (4|6) gilt ŷ = 1,4x + 0,5. Prognostiziere y für $x = 5$ und beurteile die Güte.
Rechenweg
1. ŷ(5) = 1,4·5 + 0,5 = 7,5.
2. Güte: $r =\frac{ 7}{\sqrt{(5\cdot{}10)}} =\frac{ 7}{7{,}07} \approx{} 0{,}99$ , sehr enger linearer Zusammenhang; die Prognose liegt nur knapp außerhalb der Daten und ist vertretbar.

Häufige Fragen: Lineare Regression (Ausgleichsgerade)

Wie berechnet man eine Ausgleichsgerade von Hand?+

In vier Schritten. Erstens die Mittelwerte x̄ und ȳ bestimmen. Zweitens für jeden Datenpunkt die Abweichungsprodukte (x_i − x̄)(y_i − ȳ) und die Quadrate (x_i − x̄)² berechnen. Drittens b = Summe der Produkte / Summe der Quadrate. Viertens a = ȳ $- b\cdot{}x$ ̄. Beispiel mit (0|1), (1|3), (2|5): x̄ = 1, ȳ = 3; Produkte: $(-1)(-2) + 0 + (1)(2) = 4$ ; Quadrate: $1 + 0 + 1 = 2$ ; also $b = 2$ , $a = 3 - 2 = 1$ und ŷ = 2x + 1. Kontrolle: Die Gerade muss durch (x̄|ȳ) laufen, hier $2\cdot{}1 + 1 = 3$ ✓. Eine Tabelle mit Spalten für x_i, y_i, Abweichungen und Produkte hält die Rechnung übersichtlich.

Was sagt der Korrelationskoeffizient r aus?+

r misst Stärke und Richtung des linearen Zusammenhangs zwischen zwei Größen und liegt immer zwischen −1 und +1. $r = +1$ heißt: Alle Punkte liegen exakt auf einer steigenden Geraden; $r = -1$ exakt auf einer fallenden. Werte nahe 0 bedeuten keinen linearen Zusammenhang. Grobe Lesart in der Schule: |r| ab etwa 0,8 stark, um 0,5 mittel, unter 0,3 schwach. Zwei Warnungen: Erstens misst r nur LINEARE Kopplung; eine perfekte Parabel kann $r \approx{} 0$ liefern, obwohl ein klarer Zusammenhang besteht (Streudiagramm ansehen!). Zweitens sagt auch $r = 0{,}99$ nichts über Ursache und Wirkung. Beispiel: Für (1|2), (2|3), (3|5), (4|6) ist $r =\frac{ 7}{\sqrt{50}} \approx{} 0{,}99$ , ein fast perfekter linearer Trend.

Warum werden bei der Regression die Abweichungen quadriert?+

Aus drei Gründen. Erstens das Vorzeichenproblem: Positive und negative Abweichungen würden sich beim einfachen Summieren gegenseitig auslöschen; eine Gerade könnte "im Mittel" perfekt aussehen und trotzdem weit von allen Punkten liegen. Quadrate sind immer positiv. Zweitens die Gewichtung: Quadrieren bestraft große Ausreißer überproportional, die Gerade wird zu den Punkten gezogen, die sonst grob verfehlt würden. Drittens die Mathematik: Die Summe der Quadrate ist differenzierbar, und Nullsetzen der Ableitungen liefert eindeutige, geschlossene Formeln für a und b; mit Beträgen statt Quadraten gäbe es keine so glatte Lösung. Der Preis: Einzelne extreme Ausreißer können die Gerade merklich kippen, deshalb vorher das Streudiagramm prüfen.

Darf man mit der Regressionsgeraden Prognosen machen?+

Innerhalb des Datenbereichs (Interpolation) ja, mit Augenmaß: Für x-Werte zwischen den beobachteten Daten liefert ŷ = a + bx bei hohem |r| brauchbare Schätzungen. Beispiel: ŷ = 1,4x + 0,5 aus Daten mit x von 1 bis 4 darf man guten Gewissens bei $x = 3{,}5$ auswerten. Kritisch ist die Extrapolation weit darüber hinaus: Der lineare Trend ist nur im beobachteten Bereich belegt; außerhalb kann der Zusammenhang abflachen, kippen oder ganz brechen. Ein Klassiker: Wachstumsdaten von Kindern linear bis zum Alter 30 fortgeschrieben ergeben absurde Körpergrößen. In Prüfungen wird genau diese Bewertung erwartet: Prognose ausrechnen UND ihre Verlässlichkeit anhand von Datenbereich und r einordnen.

Bedeutet eine hohe Korrelation, dass x die Ursache von y ist?+

Nein, Korrelation ist keine Kausalität. r misst nur, dass zwei Größen gemeinsam variieren, nicht warum. Oft steckt eine dritte Größe dahinter (Störvariable): Eisverkauf und Sonnenbrandfälle korrelieren stark, Ursache beider ist aber das sonnige Wetter. Auch die Richtung kann unklar sein (beeinflusst x das y oder umgekehrt?), und bei kleinen Datensätzen entstehen hohe Korrelationen sogar durch Zufall. Seriöses Vorgehen: Die Regression beschreibt den Zusammenhang und erlaubt Prognosen; Kausalaussagen brauchen zusätzlich ein Experiment mit kontrollierten Bedingungen oder zumindest einen plausiblen Mechanismus. In Prüfungsantworten ist der Satz "hoher r-Wert belegt keinen ursächlichen Zusammenhang" fast immer ein gefordertes Bewertungselement.

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Welcher typische Fehler passiert bei ŷ = a + b·x?

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, Principles of Data Science, §4.3: Correlation and Linear Regression Analysis

Weitere Formeln: Stochastik

P(A|B) = \frac{P(B|A) \cdot P(A)}{P(B)}

Satz von Bayes

f(x) = \frac{1}{\sigma\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{(x-\mu)^2}{2\sigma^2}}

Normalverteilung (Gaußsche Glockenkurve)

P(X = k) = \binom{n}{k} \cdot p^{k} \cdot (1-p)^{n-k}

Binomialverteilung

P(A \mid B) = \frac{P(A \cap B)}{P(B)} \quad (P(B) > 0)

Bedingte Wahrscheinlichkeit

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Die lineare Regression legt die Ausgleichsgerade

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Einheit

b

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a

y-Achsenabschnitt der Ausgleichsgeraden

y-Einheit

x̄, ȳ

Mittelwerte der x- und y-Daten

wie Daten

r

Korrelationskoeffizient (Stärke des linearen Zusammenhangs)

dimensionslos

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Sinnvoll nur, wenn der Zusammenhang näherungsweise linear ist (Streudiagramm prüfen); Ausreißer verzerren die Gerade stark, und Prognosen gelten nur im Bereich der Daten.

Herleitung in Schritten

Minimiere die Summe der quadrierten senkrechten Abweichungen zur Geraden.

1Für S(a,b) = Σ(y_i − a − bx_i)² werden die partiellen Ableitungen nach a und b gleich 0 gesetzt.
2Die Normalgleichungen liefern b = Σ(x_i−x̄)(y_i−ȳ)/Σ(x_i−x̄)² und a = ȳ $- b\cdot{}x$ ̄.

Rechenbeispiel: Lineare Regression (Ausgleichsgerade)

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Lineare Regression (Ausgleichsgerade) (ŷ = a + b·x).

Aufgabe

Bestimme die Ausgleichsgerade zu (0|1), (1|3), (2|5).

Rechenweg

x̄ = 1, ȳ = 3.
Zähler: $(-1)(-2) + 0 + (1)(2) = 4$ , Nenner: $1 + 0 + 1 = 2$ .
$b = 2$ , $a = 3 - 2\cdot{}1 = 1$ : ŷ = 2x + 1.
Alle Punkte liegen exakt darauf $(r = 1)$ .

Aufgabe

Für (1|2), (2|3), (3|5), (4|6) gilt ŷ = 1,4x + 0,5. Prognostiziere y für $x = 5$ und beurteile die Güte.

Rechenweg

ŷ(5) = 1,4·5 + 0,5 = 7,5.
Güte: $r =\frac{ 7}{\sqrt{(5\cdot{}10)}} =\frac{ 7}{7{,}07} \approx{} 0{,}99$ , sehr enger linearer Zusammenhang; die Prognose liegt nur knapp außerhalb der Daten und ist vertretbar.

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Was sagt der Korrelationskoeffizient r aus?+

Warum werden bei der Regression die Abweichungen quadriert?+

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Bedeutet eine hohe Korrelation, dass x die Ursache von y ist?+

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