Mathematik · Funktionen

Scheitelpunktform der Parabel

Q: Wie liest man den Scheitelpunkt aus der Scheitelpunktform ab?

Bei $y = a(x - d)^{2} + e$ ist der Scheitel S(d|e): d steht in der Klammer, e dahinter. Die große Falle ist das Vorzeichen von d, denn in der Klammer steht x MINUS d. Bei $y = 2(x - 3)^{2} + 1$ ist S(3|1), bei $y = 2(x + 3)^{2} + 1$ dagegen S(−3|1), weil $x + 3 = x - (-3)$ gilt. Sicherer Weg: Frage dich, für welches x die Klammer 0 wird; dort sitzt der Scheitel, und e ist der zugehörige Funktionswert. Das e wird dagegen mit seinem normalen Vorzeichen gelesen: ... − 4 bedeutet $e = -4$. Kurzprobe: Scheitelkoordinaten einsetzen, es muss $y = e$ herauskommen.

Q: Wie funktioniert die quadratische Ergänzung?

Ziel ist, $x^{2} + bx$ in ein vollständiges Quadrat zu verwandeln. Rezept: Die Hälfte des x-Koeffizienten quadrieren, addieren und sofort wieder subtrahieren. Beispiel: $y = x^{2} + 6x + 5$. Halbiere 6 zu 3, ergänze $3^{2} = 9$: $y = x^{2} + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^{2} - 4$, also S(−3|−4). Steht ein Faktor vor $x^{2}$, erst ausklammern: $y = 2x^{2} + 8x = 2(x^{2} + 4x) = 2((x + 2)^{2} - 4) = 2(x + 2)^{2} - 8$. Die beiden Klassiker unter den Fehlern: das Wieder-Abziehen des Ergänzungsterms vergessen und beim Ausklammern das Minus falsch verteilen. Kontrolle: Ausmultiplizieren muss die Ausgangsform ergeben.

Q: Was bewirkt der Parameter a in der Scheitelpunktform?

a steuert Öffnungsrichtung und Form der Parabel, ohne den Scheitel zu verschieben. Vorzeichen: $a > 0$ öffnet nach oben (Scheitel ist Tiefpunkt), $a 1$ streckt die Parabel in y-Richtung, sie wirkt schmaler; $0 0)$ ist.

Q: Wie findet man die Nullstellen aus der Scheitelpunktform?

Setze $a(x - d)^{2} + e = 0$ und löse rückwärts: $(x - d)^{2} = -\frac{e}{a}$, also $x = d \pm{} \sqrt{(-\frac{e}{a})}$. Beispiel: $2(x - 2)^{2} - 3 = 0$ führt auf $(x - 2)^{2} = 1{,}5$ und $x = 2 \pm{} \sqrt{1{,}5} \approx{} 0{,}78$ und 3,22. An $-\frac{e}{a}$ siehst du sofort die Anzahl der Nullstellen: positiv ergibt zwei, null genau eine (der Scheitel liegt auf der x-Achse), negativ keine reelle Nullstelle. Das ist oft schneller als der Umweg über die Normalform mit pq-Formel und geometrisch klar: Liegt der Scheitel unterhalb der x-Achse und öffnet die Parabel nach oben (e 0), muss sie die Achse zweimal schneiden.

Die Scheitelpunktform zeigt den Scheitel S(d|e) einer Parabel direkt in der Gleichung; der Faktor a steuert Öffnung und Streckung.

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Formel

y = a (x - d)^{2} + e

Dimensionslos (Algebra)

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$a$	Streckfaktor (a > 0 nach oben, $a < 0$ nach unten geöffnet)	dimensionslos
$d$	x-Koordinate des Scheitels (Vorzeichen beachten)	dimensionslos
$e$	y-Koordinate des Scheitels	dimensionslos
S(d\|e)	Scheitelpunkt (Extrempunkt der Parabel)	dimensionslos

LaTeX

y = a(x - d)^{2} + e

QUANTA STUDYquanta-study.de

Gestrichelte Normalparabel im Ursprung und die hervorgehobene verschobene Parabel mit a = 1 und Scheitel S(d|e); Hilfslinien markieren d auf der x-Achse und e auf der y-Achse. — Für a = 1 verschiebt die Scheitelpunktform die Normalparabel (gestrichelt) um d nach rechts und um e nach oben; der Scheitel ist S(d⁠|⁠e).

Herleitung & Hintergrund

Aus der Normalparabel $y = ax^{2}$ entsteht die allgemeine Parabel durch Verschieben um d nach rechts und e nach oben. Der Übergang aus der Normalform $y = ax^{2} + bx + c$ gelingt per quadratischer Ergänzung, der Rückweg durch Ausmultiplizieren. Der Scheitel ist Tiefpunkt für $a > 0$ und Hochpunkt für $a < 0$ ; allgemein gilt $d = -\frac{b}{(2a)}$ . Für $|a| > 1$ ist die Parabel gestreckt, für $|a| < 1$ gestaucht.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Gilt für alle quadratischen Funktionen $(a \ne{} 0)$ ; jede Parabel lässt sich eindeutig in Scheitelpunktform schreiben. Achtung Vorzeichen: $y = a(x + 3)^{2} + 1$ hat den Scheitel bei $d = -3$ .

Herleitung in Schritten

Quadratische Ergänzung presst $x^{2} + bx$ in ein vollständiges Quadrat.

1Aus $y = ax^{2} + bx + c$ wird a ausgeklammert und $(\frac{b}{(2a)})^{2}$ ergänzt und wieder abgezogen.
2Zusammenfassen liefert $y = a(x +\frac{ b}{(2a)})^{2} + c -\frac{ b^{2}}{(4a)}$ , also $d = -\frac{b}{(2a)}$ und $e = c -\frac{ b^{2}}{(4a)}$ .

Umstellen

Scheitel aus der Normalform

d = -\frac{b}{2a}, \quad e = f(d)

Schneller Weg ohne Ergänzung: d berechnen, dann einsetzen.

Nullstellen aus der Scheitelpunktform

x_{1,2} = d \pm \sqrt{-\frac{e}{a}}

Nur lösbar, wenn $-\frac{e}{a} \ge{} 0$ ; sonst keine reellen Nullstellen.

Aufstellen aus Scheitel und Punkt

a = \frac{y_{P} - e}{(x_{P} - d)^{2}}

Scheitel einsetzen, mit einem weiteren Punkt a bestimmen.

Aufgabenvariante

Bringe $y = x^{2} + 6x + 5$ in Scheitelpunktform und gib S an.

$y = (x + 3)^{2} - 9 + 5 = (x + 3)^{2} - 4$ , also S(−3|−4).

Kontrolle: $d = -\frac{6}{2} = -3$ , $f(-3) = 9 - 18 + 5 = -4$ ✓.

Eine Parabel hat den Scheitel S(2|−3) und läuft durch P(4|5). Bestimme die Gleichung.

$y = a(x - 2)^{2} - 3$ mit P: $5 = a\cdot{}(4 - 2)^{2} - 3 = 4a - 3$ , also $a = 2$ .
Ergebnis: $y = 2(x - 2)^{2} - 3$ .

Typische Fehler

Das Vorzeichen von d falsch ablesen: $(x - 3)^{2}$ heißt $d = 3$ , nicht −3.

Der Scheitel liegt dort, wo die Klammer 0 wird.

Bei der Ergänzung das Abziehen des Ergänzungsterms vergessen.

Was ergänzt wird, muss sofort wieder abgezogen werden, sonst ändert sich die Funktion.

Vor der Ergänzung a nicht ausklammern.

Bei $y = 2x^{2} + 8x$ zuerst $2(x^{2} + 4x)$ , dann innerhalb der Klammer ergänzen.

Klausurkontext

Extremwertaufgaben ohne Ableitung, Modellieren von Wurf- und Brückenparabeln, Transformationsaufgaben.

Formelcluster

Quadratische Funktionen

Scheitelpunktform, Normalform und faktorisierte Form ergänzen sich; pq-Formel und Ergänzung verbinden sie.

x₁,₂ = −p/2 ± √((p/2)² − q)

pq-Formel

x = (−b ± √D) / 2a

Quadratische Formel (ABC-Formel)

(a ± b)² = a² ± 2ab + b²

Binomische Formeln

Rechenbeispiel

$y = 2(x - 3)^{2} + 1$ hat den Scheitel S(3|1) und ist nach oben geöffnet. Rückweg per Ergänzung: $x^{2} + 6x + 5 = (x + 3)^{2} - 9 + 5 = (x + 3)^{2} - 4$ , also S(−3|−4).

Anwendungsgebiete

Extremwert- und Optimierungsaufgaben (Wurfhöhe, Gewinnmaximum), Brücken- und Wurfparabeln modellieren, schnelles Skizzieren von Parabeln, Funktionstransformationen

Rechenbeispiel: Scheitelpunktform der Parabel

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Scheitelpunktform der Parabel (y = a(x − d)² + e).

1
Aufgabe
Bringe $y = x^{2} + 6x + 5$ in Scheitelpunktform und gib S an.
Rechenweg
1. $y = (x + 3)^{2} - 9 + 5 = (x + 3)^{2} - 4$ , also S(−3|−4).
Kontrolle: $d = -\frac{6}{2} = -3$ , $f(-3) = 9 - 18 + 5 = -4$ ✓.
2
Aufgabe
Eine Parabel hat den Scheitel S(2|−3) und läuft durch P(4|5). Bestimme die Gleichung.
Rechenweg
1. $y = a(x - 2)^{2} - 3$ mit P: $5 = a\cdot{}(4 - 2)^{2} - 3 = 4a - 3$ , also $a = 2$ .
2. Ergebnis: $y = 2(x - 2)^{2} - 3$ .

Häufige Fragen: Scheitelpunktform der Parabel

Wie liest man den Scheitelpunkt aus der Scheitelpunktform ab?+

Bei $y = a(x - d)^{2} + e$ ist der Scheitel S(d|e): d steht in der Klammer, e dahinter. Die große Falle ist das Vorzeichen von d, denn in der Klammer steht x MINUS d. Bei $y = 2(x - 3)^{2} + 1$ ist S(3|1), bei $y = 2(x + 3)^{2} + 1$ dagegen S(−3|1), weil $x + 3 = x - (-3)$ gilt. Sicherer Weg: Frage dich, für welches x die Klammer 0 wird; dort sitzt der Scheitel, und e ist der zugehörige Funktionswert. Das e wird dagegen mit seinem normalen Vorzeichen gelesen: ... − 4 bedeutet $e = -4$ . Kurzprobe: Scheitelkoordinaten einsetzen, es muss $y = e$ herauskommen.

Wie funktioniert die quadratische Ergänzung?+

Ziel ist, $x^{2} + bx$ in ein vollständiges Quadrat zu verwandeln. Rezept: Die Hälfte des x-Koeffizienten quadrieren, addieren und sofort wieder subtrahieren. Beispiel: $y = x^{2} + 6x + 5$ . Halbiere 6 zu 3, ergänze $3^{2} = 9$ : $y = x^{2} + 6x + 9 - 9 + 5 = (x + 3)^{2} - 4$ , also S(−3|−4). Steht ein Faktor vor $x^{2}$ , erst ausklammern: $y = 2x^{2} + 8x = 2(x^{2} + 4x) = 2((x + 2)^{2} - 4) = 2(x + 2)^{2} - 8$ . Die beiden Klassiker unter den Fehlern: das Wieder-Abziehen des Ergänzungsterms vergessen und beim Ausklammern das Minus falsch verteilen. Kontrolle: Ausmultiplizieren muss die Ausgangsform ergeben.

Was bewirkt der Parameter a in der Scheitelpunktform?+

a steuert Öffnungsrichtung und Form der Parabel, ohne den Scheitel zu verschieben. Vorzeichen: $a > 0$ öffnet nach oben (Scheitel ist Tiefpunkt), $a < 0$ nach unten (Scheitel ist Hochpunkt). Betrag: $|a| > 1$ streckt die Parabel in y-Richtung, sie wirkt schmaler; $0 < |a| < 1$ staucht sie, sie wirkt breiter; $a = 1$ ist die Normalparabel. Konkret: Von S aus gehst du 1 nach rechts und a nach oben (statt 1 wie bei der Normalparabel), dann 2 nach rechts und 4a nach oben. Für Extremwertaufgaben heißt das: Der optimale Wert ist e, und a entscheidet, ob es ein Maximum $(a < 0)$ oder Minimum $(a > 0)$ ist.

Wie findet man die Nullstellen aus der Scheitelpunktform?+

Setze $a(x - d)^{2} + e = 0$ und löse rückwärts: $(x - d)^{2} = -\frac{e}{a}$ , also $x = d \pm{} \sqrt{(-\frac{e}{a})}$ . Beispiel: $2(x - 2)^{2} - 3 = 0$ führt auf $(x - 2)^{2} = 1{,}5$ und $x = 2 \pm{} \sqrt{1{,}5} \approx{} 0{,}78$ und 3,22. An $-\frac{e}{a}$ siehst du sofort die Anzahl der Nullstellen: positiv ergibt zwei, null genau eine (der Scheitel liegt auf der x-Achse), negativ keine reelle Nullstelle. Das ist oft schneller als der Umweg über die Normalform mit pq-Formel und geometrisch klar: Liegt der Scheitel unterhalb der x-Achse und öffnet die Parabel nach oben (e < 0, a > 0), muss sie die Achse zweimal schneiden.

Wie stellt man eine Parabelgleichung aus Scheitel und einem Punkt auf?+

Der Scheitel liefert d und e, der zusätzliche Punkt bestimmt a. Ansatz $y = a(x - d)^{2} + e$ , Punkt einsetzen, nach a auflösen: $a =\frac{ (y_{P} - e)}{((x_{P} - d)^{2})}$ . Beispiel: Scheitel S(2|−3), Punkt P(4|5): $5 = a\cdot{}(4 - 2)^{2} - 3 = 4a - 3$ , also $a = 2$ und $y = 2(x - 2)^{2} - 3$ . Genau dieses Schema steckt in Modellierungsaufgaben: Ein Ball erreicht seinen höchsten Punkt bei S und passiert einen bekannten Punkt, gesucht ist die Flugparabel. Ein Scheitel plus ein weiterer Punkt legen die Parabel eindeutig fest; zwei beliebige Punkte allein reichen dagegen nicht, dafür bräuchte es drei.

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, College Algebra 2e, §5.1: Quadratic Functions

Weitere Formeln: Funktionen, Folgen und Reihen

m = \frac{y_{2} - y_{1}}{x_{2} - x_{1}}, \quad y = m \cdot x + b

Geradengleichung und Steigung

s_{n} = a_{1} \cdot \frac{q^{n}-1}{q-1} \quad (q \neq 1), \qquad s_{\infty} = \frac{a_{1}}{1-q} \quad (|q| < 1)

Geometrische Reihe

s_{n} = \frac{n \cdot (a_{1} + a_{n})}{2}

Arithmetische Reihe (Gaußsche Summenformel)

f(x)\sim\frac{a_0}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\left(a_n\cos nx+b_n\sin nx\right)

Fourierreihe einer periodischen Funktion

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Scheitelpunktform der Parabel

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Symbol

Bedeutung

Einheit

a

Streckfaktor (a > 0 nach oben,

a < 0

nach unten geöffnet)

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d

x-Koordinate des Scheitels (Vorzeichen beachten)

dimensionslos

e

y-Koordinate des Scheitels

dimensionslos

S(d|e)

Scheitelpunkt (Extrempunkt der Parabel)

dimensionslos

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Gilt für alle quadratischen Funktionen $(a \ne{} 0)$ ; jede Parabel lässt sich eindeutig in Scheitelpunktform schreiben. Achtung Vorzeichen: $y = a(x + 3)^{2} + 1$ hat den Scheitel bei $d = -3$ .

Herleitung in Schritten

Quadratische Ergänzung presst $x^{2} + bx$ in ein vollständiges Quadrat.

1Aus $y = ax^{2} + bx + c$ wird a ausgeklammert und $(\frac{b}{(2a)})^{2}$ ergänzt und wieder abgezogen.
2Zusammenfassen liefert $y = a(x +\frac{ b}{(2a)})^{2} + c -\frac{ b^{2}}{(4a)}$ , also $d = -\frac{b}{(2a)}$ und $e = c -\frac{ b^{2}}{(4a)}$ .

Rechenbeispiel: Scheitelpunktform der Parabel

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Scheitelpunktform der Parabel (y = a(x − d)² + e).

Aufgabe

Bringe $y = x^{2} + 6x + 5$ in Scheitelpunktform und gib S an.

Rechenweg

$y = (x + 3)^{2} - 9 + 5 = (x + 3)^{2} - 4$ , also S(−3|−4).

Kontrolle: $d = -\frac{6}{2} = -3$ , $f(-3) = 9 - 18 + 5 = -4$ ✓.

Aufgabe

Eine Parabel hat den Scheitel S(2|−3) und läuft durch P(4|5). Bestimme die Gleichung.

Rechenweg

$y = a(x - 2)^{2} - 3$ mit P: $5 = a\cdot{}(4 - 2)^{2} - 3 = 4a - 3$ , also $a = 2$ .
Ergebnis: $y = 2(x - 2)^{2} - 3$ .

Häufige Fragen: Scheitelpunktform der Parabel

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