Physik · Kinematik

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Weg-Zeit-Gesetz)

Das Weg-Zeit-Gesetz gibt die zurückgelegte Strecke bei konstanter Beschleunigung an — der Weg wächst quadratisch mit der Zeit.

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Formel

s = \frac{1}{2} a t^{2} + v_{0} t

LaTeX: s = \frac{1}{2} a t^2 + v_0 t

s in Metern [m] · a in m/s² · t in Sekunden [s] · v₀ in m/s

Im v-t-Diagramm ist die Geschwindigkeit eine Gerade; die Fläche unter ihr ist der zurückgelegte Weg s.

Variablen & Einheiten – Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Weg-Zeit-Gesetz)

Symbol	Bedeutung	Einheit
s	Zurückgelegter Weg	m
a	Konstante Beschleunigung	m/s²
t	Zeit	s
v₀	Anfangsgeschwindigkeit	m/s

Herleitung & Hintergrund – Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Weg-Zeit-Gesetz)

Galileo Galilei fand um 1604 mit Fallrinnen-Experimenten, dass der Weg quadratisch mit der Zeit wächst. Mathematisch ist s(t) das Integral der Geschwindigkeit v(t) = a·t + v₀. Ohne Zeit hilft die zeitfreie Gleichung v² = v₀² + 2·a·s. Der freie Fall ist der Spezialfall a = g.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Gilt nur bei konstanter Beschleunigung entlang einer Geraden. Bei veränderlicher Beschleunigung (z. B. mit Luftwiderstand) muss integriert werden; für reine Richtungsänderungen gilt die Kreisbewegung.

Herleitung in Schritten

Der Weg ist die Fläche unter dem v-t-Diagramm — bei konstanter Beschleunigung ein Trapez.

1Geschwindigkeit: v(t) = a·t + v₀ (Gerade im v-t-Diagramm).
2Fläche unter der Geraden bis t: Rechteck v₀·t plus Dreieck ½·a·t² — zusammen s = ½at² + v₀t.

Umstellen

Zeit aus dem Weg (bei v₀ = 0)

t = \frac{2 s}{a}

Nur für Start aus der Ruhe; sonst quadratische Gleichung lösen.

Beschleunigung aus Weg und Zeit (v₀ = 0)

a = \frac{2 s}{t ^{2}}

So wertet man Fahrversuche und Fallrinnen-Experimente aus.

Zeitfreie Gleichung

v^{2} = v_{0}^{2} + 2 a s

Verbindet Geschwindigkeit und Weg, wenn die Zeit nicht gegeben ist.

Aufgabenvariante

Ein Auto beschleunigt aus dem Stand über 100 m mit a = 2 m/s². Wie lange?

t = √(2s/a) = √(200/2) = √100 = 10 s.

Ein Schlitten legt aus der Ruhe in 3 s genau 45 m zurück. Bestimme a.

a = 2s/t² = 2·45/9 = 10 m/s².

Typische Fehler

Den Faktor ½ vergessen oder t nicht quadrieren.

s wächst quadratisch: doppelte Zeit bedeutet vierfachen Weg.

Den Term v₀t weglassen, obwohl eine Anfangsgeschwindigkeit gegeben ist.

Nur bei Start aus der Ruhe gilt s = ½at².

Geschwindigkeit in km/h mit Wegen in Metern mischen.

km/h durch 3,6 teilen, bevor eingesetzt wird.

Klausurkontext

Standard in Anfahr-, Brems- und Überholaufgaben, oft kombiniert mit v = a·t + v₀ oder der zeitfreien Gleichung.

Die typischen Fehler stecken als eigene Karten im Prüfungsset. Einmal aktiv trainiert, passieren sie in der Klausur selten.

Diese Fehler im Set trainieren Ich habe schon ein Konto

Formelcluster

Kinematik der geraden Bewegung

Weg-, Geschwindigkeits- und Kraftgesetz greifen ineinander.

v = a \cdot t + v_{0}

Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz

h = \frac{1}{2} g t^{2}

Freier Fall

F = m \cdot a

Newtons zweites Gesetz

Rechenbeispiel

Ein Auto fährt aus dem Stand (v₀ = 0) mit a = 2 m/s² an. Nach t = 5 s: s = ½ × 2 × 5² = 25 m.

Anwendungsgebiete

Anfahr- und Bremswegberechnung, Unfallanalyse, Start- und Landebahnauslegung, Fahrassistenzsysteme

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Welche Formel beschreibt Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Weg-Zeit-Gesetz)?

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Wie stellst du s = ½at² + v₀t nach Zeit aus dem Weg (bei v₀ = 0) um?

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Welcher typische Fehler passiert bei s = ½at² + v₀t?

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Wissenschaftliche Quellen

[1]Galilei, G. (1638). Discorsi e dimostrazioni matematiche. Leiden: Elzevir.

Häufige Schreibweisen & Suchanfragen

s=1/2*a*t^2s=0.5at²+v0ts = ½at²Weg-Zeit-Gesetzgleichmäßig beschleunigte Bewegung FormelBewegungsgleichung Beschleunigunguniformly accelerated motionBeschleunigung Weg berechnen

Weitere Physik-Formeln

F = m \cdot a

Newtons zweites Gesetz

F_{G} = G \cdot \frac{m _{1} \cdot m _{2}}{r ^{2}}

Newtonsches Gravitationsgesetz

E_{kin} = \frac{1}{2} m v^{2}

Kinetische Energie

E_{p o t} = m \cdot g \cdot h

Potentielle Energie (Lagehöhe)

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Häufige Fragen zu Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Weg-Zeit-Gesetz)

Wie berechnet man den Weg bei gleichmäßiger Beschleunigung?+

Setze Beschleunigung, Zeit und Anfangsgeschwindigkeit in s = ½at² + v₀t ein. Beispiel: Ein Auto startet aus dem Stand (v₀ = 0) mit a = 2 m/s²; nach t = 5 s ist s = ½ × 2 × 25 = 25 m. Fährt der Körper schon mit v₀ los, kommt der Term v₀t hinzu: Mit v₀ = 10 m/s wären es 25 + 50 = 75 m. Wichtig sind die Einheiten: Zeit in Sekunden, Beschleunigung in m/s², Geschwindigkeit in m/s — km/h vorher durch 3,6 teilen. Der quadratische Term bedeutet: In der zweiten Sekunde legt der Körper mehr Weg zurück als in der ersten, das Weg-Zeit-Diagramm ist eine Parabel.

Wann darf man s = ½at² ohne den Term v₀t verwenden?+

Nur wenn der Körper aus der Ruhe startet, also v₀ = 0 gilt. Das ist beim Anfahren an der Ampel, beim freien Fall aus der Hand oder beim Start einer Rakete der Fall. Sobald eine Anfangsgeschwindigkeit vorhanden ist — ein bremsendes Auto, ein Zug, der schneller wird — musst du die volle Form s = ½at² + v₀t verwenden, sonst fehlt der gesamte Anteil der gleichförmigen Bewegung. Beim Bremsen setzt du zusätzlich a negativ ein: Ein Auto mit v₀ = 20 m/s und a = −5 m/s² kommt nach t = 4 s zum Stehen und legt dabei s = ½·(−5)·16 + 20·4 = −40 + 80 = 40 m Bremsweg zurück.

Was macht man, wenn die Zeit nicht gegeben ist?+

Dann hilft die zeitfreie Gleichung v² = v₀² + 2·a·s, die Geschwindigkeit und Weg direkt verknüpft. Sie entsteht, indem man t = (v−v₀)/a aus dem Geschwindigkeitsgesetz in das Weggesetz einsetzt. Beispiel Bremsweg: Ein Auto fährt v₀ = 27,8 m/s (100 km/h) und bremst mit a = −7 m/s² bis zum Stillstand (v = 0). Dann ist 0 = 27,8² + 2·(−7)·s, also s = 772,8/14 ≈ 55 m. Diese Gleichung erklärt auch, warum der Bremsweg quadratisch mit der Geschwindigkeit wächst: doppeltes Tempo, vierfacher Bremsweg. In Klausuren ist sie der Standardweg, wenn nach Geschwindigkeiten am Ende einer Strecke gefragt ist.

Wie hängen Weg-Zeit- und Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz zusammen?+

Sie beschreiben dieselbe Bewegung auf zwei Ebenen: v(t) = a·t + v₀ ist die Ableitung von s(t) = ½at² + v₀t. Anschaulich ist der Weg die Fläche unter dem v-t-Diagramm. Bei konstanter Beschleunigung ist diese Fläche ein Trapez aus Rechteck (v₀·t) und Dreieck (½·a·t·t = ½at²) — genau die beiden Terme des Weggesetzes. Umgekehrt ist die Steigung der s-t-Parabel zu jedem Zeitpunkt die Momentangeschwindigkeit, und die Steigung der v-t-Geraden ist die Beschleunigung. Wer diese Diagramm-Logik beherrscht, kann viele Aufgaben grafisch lösen, ohne eine einzige Formel umzustellen — in Prüfungen oft der schnellste Weg.

Warum vervierfacht sich der Weg bei doppelter Zeit?+

Beim Start aus der Ruhe steht die Zeit im Quadrat: s = ½at². Setzt du 2t ein, ergibt sich ½a·(2t)² = ½a·4t² — das Vierfache. Physikalisch liegt das daran, dass der Körper nicht nur länger fährt, sondern am Ende auch schneller ist: Er sammelt in der zweiten Zeithälfte deutlich mehr Strecke als in der ersten. Konkret legt ein gleichmäßig beschleunigter Körper in den Zeitabschnitten 1, 2, 3, 4 … die Wegverhältnisse 1 : 3 : 5 : 7 zurück (ungerade Zahlen) — schon Galilei hat dieses Muster an der Fallrinne gemessen. Für Klausuren ist das ein schneller Kontrollblick: Verhältnisaufgaben lassen sich oft ohne Zahlenrechnung über das Quadratgesetz lösen.