Physik · Kinematik

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: Weg-Zeit-Gesetz

Q: Wann darf man s = ½at² ohne den Term v₀t verwenden?

Wenn $v_{0} = 0$ und a während des Intervalls konstant ist. Start aus Ruhe allein reicht nicht, etwa bei einem Antrieb mit wechselnder Beschleunigung. Bei $v_{0} =\frac{ 20 m}{s}$ und $a = -\frac{5 m}{s^{2}}$ ergibt sich bis zum Stillstand nach 4 s die Verschiebung 40 m. Das Vorzeichen von a hängt von der gewählten Achse ab. Kontrolliere zuerst den Anfangszustand: „aus Ruhe“ bezieht sich auf das gewählte Bezugssystem. Ein aus einem fahrenden Fahrzeug losgelassener Körper kann relativ zum Boden bereits eine Anfangsgeschwindigkeit haben. Die Beschleunigungsannahme ist zusätzlich zu prüfen. Bei einem stehenden Körper mit $a = 0$ ist die Verschiebung zu jeder Zeit null.

Q: Was macht man, wenn die Zeit nicht gegeben ist?

Bei konstantem a gilt $v^2=v_0^2+2as$ mit gerichteter Verschiebung s. Für $v_{0} =\frac{ 20 m}{s}$, $a = -\frac{4 m}{s^{2}}$ und $v = 0$ folgt $s = 50 m$. Aus $v^{2}$ erhältst du allein keinen Richtungssinn; das Vorzeichen von v muss zum Bewegungsverlauf passen. Bei $a = 0$ kann diese Beziehung keine Verschiebung bestimmen. Die Kontrolle besteht darin, das Resultat wieder einzusetzen und die Einheiten zu prüfen. $\frac{m^{2}}{s^{2}}$ steht auf beiden Seiten. Beim Bremsen darfst du das Modell nicht ohne Begründung über den Stillstand hinaus fortsetzen. Eine Richtungsumkehr erfordert dieselben vorzeichenbehafteten Größen, darf aber nicht mit gewöhnlichem Anhalten verwechselt werden.

Q: Wie hängen Weg-Zeit- und Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz zusammen?

Die Ableitung von $x(t)=x_0+v_0t+\frac12at^2$ ist $v(t)=v_0+at$. Im v-t-Diagramm ergibt die vorzeichenbehaftete Fläche die Verschiebung: Bereiche unter der Zeitachse zählen negativ. Für die Strecke addierst du ihre Beträge. Die Steigung des v-t-Graphen ist a, die Steigung des x-t-Graphen ist v. Für $v_{0} = -\frac{6 m}{s}$ und $a = +\frac{2 m}{s^{2}}$ entstehen in den ersten drei Sekunden −9 m Verschiebung, danach bis zur fünften Sekunde +4 m. Zusammen sind es −5 m Verschiebung, aber 13 m Strecke. Dieses Beispiel zeigt, weshalb eine einzelne unsignierte Gesamtfläche beim Richtungswechsel nicht genügt.

Q: Warum vervierfacht sich der Weg bei doppelter Zeit?

Bei Start aus Ruhe und konstantem a ist s(t) = ½at², also $s(2t) = 4s(t)$. Mit $v_{0} \ne{} 0$ verdoppelt sich dagegen der lineare Anteil v₀t, während der Beschleunigungsanteil vierfach wird. Die pauschale Vierfachregel gilt dann nicht. Bei einer Umkehr ist außerdem zwischen Verschiebung und Strecke zu unterscheiden. Ein eigener Vergleich: Mit $v_{0} =\frac{ 3 m}{s}$ und $a =\frac{ 2 m}{s^{2}}$ sind nach einer Sekunde 4 m und nach zwei Sekunden 10 m verschoben. Das Verhältnis ist 2,5 statt 4. Beim Start aus Ruhe mit demselben a ergeben sich dagegen 1 m und 4 m.

Das Weg-Zeit-Gesetz beschreibt die gerichtete Verschiebung $s = x - x_{0}$ bei konstanter Beschleunigung. Nur beim Start aus Ruhe ist s rein proportional zu $t^{2}$ .

GrundlegendPrüfungsrelevantSekundarstufe ISekundarstufe II

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Formel

Berechnen

s = \frac{1}{2} a t^{2} + v_{0} t

s in Metern [m] · a in m/s² · t in Sekunden [s] · v₀ in m/s

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$s$	Gerichtete Verschiebung x − x₀	m
$a$	Konstante Beschleunigungskomponente	m/s²
$t$	Verstrichene Zeit seit dem Start	s
$v₀$	Anfangsgeschwindigkeit mit Vorzeichen	m/s

LaTeX

s = \frac{1}{2} a t^2 + v_0 t

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Eigene v-t-Gerade mit positivem v₀ und positivem konstantem a. Die markierte Trapezfläche entspricht der Verschiebung s=Δx und hier auch der Strecke. — Bei konstantem a ist v(t) eine Gerade. Die gerichtete Fläche ergibt s=Δx. Im gezeigten Fall ist v positiv; deshalb stimmt die Verschiebung mit der zurückgelegten Strecke überein.

Weg bei gleichmäßiger Beschleunigung berechnen

Verschiebung, Anfangsgeschwindigkeit oder Beschleunigung für eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung entlang einer Geraden ausrechnen.

Gesucht

Anfangsgeschwindigkeit v₀

Geschwindigkeit beim Start mit Vorzeichen, z. B. 36 km/h; 0 bei einem Start aus dem Stand.

Beschleunigung a

Konstante Beschleunigung mit Vorzeichen, z. B. 2 m/s²; beim Bremsen zeigt sie gegen die Bewegung.

m/s²

Zeit t

Verstrichene Zeit seit dem Start, nie negativ, z. B. 5 s.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Ergebnis: Verschiebung Δx (mit Vorzeichen)

Δx = 75 m

Mit v₀ = 36 km/h, a = 2 m/s² und t = 5 s ergibt sich Δx = 75 m.

Rechenweg · umstellen nach Δx, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach Δx umstellen
$\Delta x=v_0t+\frac12at^2$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- v₀ = 36 km/h = 10 m/s
$\Delta x=10\cdot 5+\frac12\cdot 2\cdot 5^2=75$
3. Ergebnis
Δx = 75 m

So rechnest du schneller

Aus dem Stand (v₀ = 0) bleibt Δx = ½ · a · t²: doppelte Zeit, vierfacher Weg.
Bremsen bis zum Stillstand: erst die Bremszeit t = |v₀| : |a| bestimmen und nur diese einsetzen. Eine längere Zeit ließe das Modell rückwärts weiterfahren.

Annahmen und Grenzen

Feste Achse, konstante gerichtete Beschleunigung, verstrichene Zeit t ≥ 0. Δx ist Verschiebung, keine gesamte Weglänge. Keine Zeitumstellung: diese kann mehrere nichtnegative Lösungen haben.

Herleitung & Hintergrund

Integration von $v(t)=v_0+at$ ergibt $x(t)=x_0+v_0t+\frac12at^2$ . Das Kürzel s bezeichnet dabei x − x₀. Die zeitfreie Beziehung $v^2=v_0^2+2as$ verwendet dieselbe Verschiebung. Beim freien Fall ist die Beschleunigungskomponente je nach Achsenwahl +g oder −g.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Gilt bei konstanter Beschleunigungskomponente entlang der betrachteten Achse. s bezeichnet die gerichtete Verschiebung; bei einer Umkehr ist sie nicht die gesamte Strecke. Bei veränderlichem a wird integriert oder in passende Intervalle zerlegt.

Herleitung in Schritten

Konstante Beschleunigung zweimal integrieren; Anfangswerte und Vorzeichen beibehalten.

1Achse und Startzeit $t = 0$ festlegen; x₀ und v₀ zu diesem Start angeben.
2Für konstantes a gilt $\frac{dv}{dt} = a$ im gesamten betrachteten Intervall.
3Von 0 bis t integrieren: v(t) − v₀ = at, also $v(t)=v_0+at$ .
4Die Verschiebung ist die gerichtete Fläche: x(t) − x₀ = ∫₀ᵗv(τ)dτ.
5Einsetzen und integrieren: s = x − x₀ = v₀t + ½at².
6Ableitung und Anfangswert prüfen. Bei Richtungsumkehr für die Strecke die Beträge der Teilverschiebungen addieren.

Umstellen

Zeit aus dem Weg (bei v₀ = 0)

t = \sqrt{\frac{2s}{a}}

Start aus Ruhe, konstantes a und $a \ne{} 0$ voraussetzen. s ist gerichtete Verschiebung; der Quotient $\frac{2s}{a}$ muss nicht negativ sein. Für die verstrichene Zeit die nicht negative Wurzel wählen.

Beschleunigung aus Weg und Zeit $(v_{0} = 0)$

a = \frac{2s}{t^2}

So wertet man Fahrversuche und Fallrinnen-Experimente aus.

Zeitfreie Gleichung

v^2 = v_0^2 + 2as

Verwendet gerichtete Verschiebung und konstantes a. $v^{2}$ bestimmt nur den Betrag; das Vorzeichen von v muss aus der Bewegungsphase folgen.

Aufgabenvariante

Ein Auto beschleunigt aus dem Stand über 100 m mit $a =\frac{ 2 m}{s^{2}}$ . Wie lange?

$t = \sqrt{(\frac{2s}{a})} = \sqrt{(\frac{200}{2})} = \sqrt{100} = 10 s$ .

Ein Schlitten legt aus der Ruhe in 3 s genau 45 m zurück. Bestimme a.

$a =\frac{ 2s}{t^{2}} =\frac{ 2\cdot{}45}{9} =\frac{ 10 m}{s^{2}}$ .

Typische Fehler

Den Faktor ½ vergessen oder t nicht quadrieren.

Der Beschleunigungsanteil enthält ½ und $t^{2}$ . Nur bei $v_{0} = 0$ und konstantem a vervierfacht doppelte Zeit die Verschiebung; eine Umkehr verlangt zusätzlich die Trennung von Strecke und Verschiebung.

Den Term v₀t weglassen, obwohl eine Anfangsgeschwindigkeit gegeben ist.

Nur bei Start aus der Ruhe gilt s = ½at².

Geschwindigkeit in $\frac{km}{h}$ mit Wegen in Metern mischen.

$\frac{km}{h}$ durch 3,6 teilen, bevor eingesetzt wird.

Klausurkontext

Standard in Anfahr-, Brems- und Überholaufgaben, oft kombiniert mit $v = a\cdot{}t + v_{0}$ oder der zeitfreien Gleichung.

Formelcluster

Kinematik der geraden Bewegung

Weg-, Geschwindigkeits- und Kraftgesetz greifen ineinander.

v = a·t + v₀

Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz

h = ½gt²

Freier Fall

ΣF_ext = F_res = ma

Newtons zweites Gesetz (resultierende Kraft)

Rechenbeispiel

Ein Auto fährt aus dem Stand $(v_{0} = 0)$ mit $a =\frac{ 2 m}{s^{2}}$ an. Nach $t = 5 s$ : $s = \frac{1}{2} \times{} 2 \times{} 5^{2} = 25 m$ .

Anwendungsgebiete

Anfahr- und Bremswegberechnung, Unfallanalyse, Start- und Landebahnauslegung, Fahrassistenzsysteme

Rechenbeispiel: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Weg-Zeit-Gesetz)

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Weg-Zeit-Gesetz) (s = ½at² + v₀t).

1
Aufgabe
Ein Auto beschleunigt aus dem Stand über 100 m mit $a =\frac{ 2 m}{s^{2}}$ . Wie lange?
Rechenweg
$t = \sqrt{(\frac{2s}{a})} = \sqrt{(\frac{200}{2})} = \sqrt{100} = 10 s$ .
2
Aufgabe
Ein Schlitten legt aus der Ruhe in 3 s genau 45 m zurück. Bestimme a.
Rechenweg
$a =\frac{ 2s}{t^{2}} =\frac{ 2\cdot{}45}{9} =\frac{ 10 m}{s^{2}}$ .

Die Formel verstehen und anwenden

Bei gleichbleibender Beschleunigung legt ein Wagen in späteren Sekunden größere oder kleinere Teilstrecken zurück, je nach Bewegungsrichtung. Das Weg-Zeit-Gesetz setzt diese Teilbewegungen zusammen. Hier wird der Faktor ein Halb zunächst aus einer einfachen Fläche erklärt; danach folgen Anfangsbedingungen, Umkehr und Bremsen.

Wann genügt die Formel für einen Start aus Ruhe?

Die Kurzform $s=\frac12at^2$ gilt für konstante Beschleunigung und den Start aus Ruhe, also $v_0=0$ . Bei einer anderen Anfangsgeschwindigkeit muss der Anfangsterm erhalten bleiben. Ein Wagen startet aus Ruhe und gewinnt jede Sekunde 2 m/s. In der ersten Sekunde wächst seine Geschwindigkeit von 0 auf 2 m/s: Im Mittel fährt er mit 1 m/s und legt 1 m zurück. In der zweiten Sekunde wächst sie von 2 auf 4 m/s: Im Mittel sind es 3 m/s und damit 3 weitere Meter. Nach zwei Sekunden sind es insgesamt 4 m. Gleiche Zeitabschnitte bedeuten bei Beschleunigung also keine gleichen Teilstrecken.[1]

Vorwissen: v gibt die Änderung des Ortes pro Zeit an; a gibt die Änderung von v pro Zeit an. Beide Größen beziehen sich auf dieselbe Achse.
Unterscheide Anfangsort x₀, Endort x und Verschiebung s = x − x₀. Erst ohne Richtungswechsel entspricht |s| der gefahrenen Strecke.
Die Fläche eines Rechtecks ist Grundseite mal Höhe, die eines Dreiecks die Hälfte davon. Damit lässt sich das Bewegungsgesetz ohne Integralrechnung verstehen.

Wie lautet das Weg-Zeit-Gesetz für die Verschiebung?

Bei konstanter Beschleunigung lautet das Weg-Zeit-Gesetz für die gerichtete Verschiebung $s=v_0t+\frac12at^2$ ; der Endort ist $x=x_0+s$ . Lege eine positive Achsenrichtung und den Zeitpunkt t = 0 fest. x₀ ist der Anfangsort; v₀ und a sind vorzeichenbehaftete Komponenten entlang dieser Achse. Das häufig als s bezeichnete Ergebnis ½at² + v₀t ist die Verschiebung x − x₀. Sie darf negativ sein. Die gesamte zurückgelegte Strecke ist dagegen nicht negativ und erfordert bei einer Umkehr eine getrennte Rechnung.[1][2]

\begin{aligned}x(t)&=x_0+v_0t+\frac12at^2\\s(t):&=x(t)-x_0\end{aligned}

Die Kurzform s = v₀t + ½at² setzt s als Verschiebung voraus.

Die Parabel wird durch drei Anfangsangaben festgelegt. x₀ verschiebt sie senkrecht, v₀ legt ihre Anfangssteigung fest und a ihre Krümmung. Bei a = 0 bleibt eine Gerade. Für a ≠ 0 gilt s nicht generell proportional zu t²: Der Anfangsterm v₀t kann einen wesentlichen Beitrag liefern.

Zweimal integrieren, Anfangswerte erhalten

Bei konstantem a ist der Geschwindigkeitsgraph eine Gerade. Zerlege seine gerichtete Fläche zwischen null und t in einen Anfangsanteil und einen Änderungsanteil: Das Rechteck hat Höhe v₀ und Breite t. Das Dreieck beschreibt die zusätzliche Änderung at. Seine Fläche ist halb so groß wie die des entsprechenden Rechtecks. Beide Beiträge behalten ihre Vorzeichen; die Zerlegung funktioniert daher auch bei negativem a oder einer Umkehr.[1]

\begin{aligned}s&=s_{\mathrm{initial}}+s_{\mathrm{change}}\\&=v_0t+\frac12t(at)\\&=v_0t+\frac12at^2\\x&=x_0+s\end{aligned}

Der lineare Anteil entsteht durch die Anfangsgeschwindigkeit; der quadratische Anteil durch ihre stetige Änderung.[1]

Wenn du Integralrechnung kennst, kannst du dieselbe Fläche direkt berechnen. Zuerst wird a zur Geschwindigkeit integriert, danach v zum Ort. Die folgenden Zeilen sind eine zweite Begründung derselben Formel; die Flächenidee genügt für die ersten Aufgaben.

v(t)-v_0=\int_0^t a\,\mathrm d\tau=at

Erstes Integral: Die Geschwindigkeit ändert sich linear.

x(t)-x_0=\int_0^t(v_0+a\tau)\,\mathrm d\tau=v_0t+\frac12at^2

Zweites Integral: Der Faktor ½ entsteht durch das Integral von τ.

Als Kontrolle ableiten: dx/dt = v₀ + at und d²x/dt² = a. Außerdem muss x(0) = x₀ gelten. Wird die Zeit nicht bei null begonnen, ersetze t überall durch die verstrichene Zeit Δt = t − t₀ und verwende Anfangswerte bei t₀.

Warum der Faktor ein Halb entsteht

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Bei v₀ = 2 m/s und a = 2 m/s² ergeben bis 3 s das Rechteck 6 m und das Dreieck 9 m Verschiebung: zusammen 15 m.[1]

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Wie berechnest du Beschleunigung und mögliche Zeitwurzeln?

\begin{aligned}[v_0t]&=\frac{\mathrm m}{\mathrm s}\mathrm s=\mathrm m\\{}[at^2]&=\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\mathrm s^2=\mathrm m\end{aligned}

Beide Summanden sind Längen; km/h zuvor durch 3,6 teilen.

\begin{aligned}a&=\frac{2(s-v_0t)}{t^2}\quad(t\ne0)\\v^2&=v_0^2+2as\end{aligned}

Die zeitfreie Gleichung verwendet dieselbe gerichtete Verschiebung s.

t=\frac{-v_0\pm\sqrt{v_0^2+2as}}{a}\quad(a\ne0)

Prüfe reelle Wurzeln, t ≥ 0 und den Zeitraum, in dem das Modell gilt.

Ein Ort kann bei einer Umkehr zweimal erreicht werden. Bei v₀ = 6 m/s, a = −2 m/s² und s = 8 m liefern beide Wurzeln t = 2 s und t = 4 s. Das Objekt passiert den Ort auf dem Hinweg und Rückweg. Eine Bremsaufgabe, deren Modell am Stillstand endet, erlaubt hingegen nur Zeiten bis t = 3 s.

Die quadratische Formel liefert die Zeitwurzeln, sobald das Weg-Zeit-Gesetz als quadratische Gleichung geschrieben ist. Welche Wurzel eine beobachtete Bewegung beschreibt, entscheiden erst Zeitrichtung, Anfangszustand und Gültigkeitsintervall.

Beispiel: Ein Wagen kehrt seine Richtung um

Negative Anfangsgeschwindigkeit

Gegeben: x₀ = 0 m, v₀ = −2 m/s, a = +1,5 m/s², t = 4 s.
Gesucht: Bestimme Endort, Endgeschwindigkeit und die gesamte Strecke.

Ansatz: Bestimme zuerst den Zeitpunkt v = 0. Bis dahin und danach werden die Teilverschiebungen getrennt berechnet; ihre Beträge ergeben die Strecke.
$\begin{aligned}x(t)&=x_0+v_0t+\frac12at^2\\v(t)&=v_0+at\\t_*&=-\frac{v_0}{a}\end{aligned}$
Einsetzen: Verwende die angegebenen Anfangswerte mit ihren Vorzeichen.
$\begin{aligned}x(4)&=-2\cdot4+\tfrac12\cdot1.5\cdot4^2=4\,\mathrm m\\{} v(4)&=4\,\mathrm{m/s}\end{aligned}$
Die Umkehr liegt bei v = 0; bis dahin bewegt sich der Wagen nach links.
$\begin{aligned}t_*&=\frac{2}{1.5}=\frac43\,\mathrm s\\{} x(t_*)&=-\frac43\,\mathrm m\end{aligned}$
Beide Wegabschnitte als positive Längen addieren.
$L=\left|{-\frac43}-0\right|+\left|4-\left(-\frac43\right)\right|=\frac{20}{3}\,\mathrm m$

Ergebnis: Endort +4 m, Endgeschwindigkeit +4 m/s, Strecke 6,67 m.

Kontrolle: Die Strecke ist größer als |s| = 4 m. Der Betrag der mittleren Geschwindigkeit beträgt 1 m/s, die mittlere Schnelligkeit dagegen 1,67 m/s.

Beispiel: Bremsweg ohne unphysikalische Fortsetzung

Im Inertialsystem und bei konstanter Masse folgt die Bremsbeschleunigung nach Newtons zweitem Gesetz aus der resultierenden Kraft und der Masse. Für das folgende Beispiel nehmen wir diese Beschleunigung bis zum Stillstand als konstant an; danach endet das Bremsmodell.[5][1]

Bremsung aus 72 km/h

Gegeben: v₀ = 72 km/h, a = −4 m/s², konstante Verzögerung bis zum Stillstand.
Gesucht: Berechne Bremszeit und Bremsweg ohne Reaktionsphase.

Ansatz: Die Bremsphase endet bei v = 0. Ermittle diese Zeit und setze sie erst dann in die Verschiebungsgleichung ein.
$\begin{aligned}0&=v_0+at_{\mathrm{stop}}\\t_{\mathrm{stop}}&=-\frac{v_0}{a}\\s_{\mathrm{stop}}&=v_0t_{\mathrm{stop}}+\frac12at_{\mathrm{stop}}^2\end{aligned}$
Einheiten: Wandle die Anfangsgeschwindigkeit vor dem Einsetzen in Meter pro Sekunde um.
$v_0=\frac{72}{3.6}=20\,\mathrm{m/s}$
v = 0 liefert den Zeitpunkt, an dem das Bremsmodell endet.
$t_{\mathrm{stop}}=\frac{0-20}{-4}=5\,\mathrm s$
Endzeit in die Verschiebung einsetzen.
$s=20\cdot5+\tfrac12(-4)5^2=50\,\mathrm m$

Ergebnis: Bremszeit 5 s, Bremsweg 50 m.

Kontrolle: Die zeitfreie Kontrolle ergibt 0² = 20² + 2·(−4)·50. Eine Fortsetzung bis 6 s ergäbe negative Geschwindigkeit und beschreibt kein bloßes Anhalten.

Wie liest du Flächen und Steigungen der Bewegungsdiagramme?

Im Geschwindigkeitsdiagramm ist die Verschiebung die gerichtete Fläche. Ein Teil unter der Zeitachse zählt negativ. Für die tatsächlich gefahrene Strecke addierst du dagegen die Beträge aller Teilflächen. Im Ortsdiagramm zeigt ein fallender Graph Bewegung in negativer Richtung; sein tiefster Punkt kann eine Umkehr sein. „Ort“ und „Strecke“ brauchen daher nicht denselben Graphen. Bei konstanter Beschleunigung legt das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz die Gerade fest, deren Fläche du hier auswertest.[1][2]

\begin{aligned}\bar v&=\frac{s}{t}=\frac{v_0+v(t)}2\\L&=\int_0^t|v(\tau)|\,\mathrm d\tau\end{aligned}

Der Endpunktmittelwert gilt bei konstantem a; er ist nicht generell die mittlere Schnelligkeit.

Eine Gerade durch Messpunkte im v-t-Diagramm kann konstantes a näherungsweise stützen. Die einzelne Verbindung zweier Punkte liefert dagegen nur eine mittlere Beschleunigung. Anfahren, Bremsen und Stillstand lassen sich als getrennte Intervalle modellieren; an jedem Übergang wird der letzte Ort zum neuen Anfangsort.

Wann das Weg-Zeit-Gesetz angepasst werden muss

Bei zeitabhängiger Beschleunigung integriere a(t), statt einen beliebigen Momentanwert in ½at² einzusetzen. Luftwiderstand, wechselnde Antriebskraft oder Kurvenfahrt verlangen ein entsprechendes Bewegungsmodell. In mehreren Dimensionen können die Gleichungen komponentenweise gelten, wenn jede verwendete Beschleunigungskomponente konstant ist. Für den idealen freien Fall nahe der Erdoberfläche ist die Beschleunigung konstant, wenn wir die Änderung von g vernachlässigen und nur die Schwerkraft berücksichtigen.[4][1][6]

Ein realer Anhalteweg enthält zusätzliche Phasen. Bei 20 m/s und einer angenommenen Reaktionszeit von 0,8 s kommen vor der oben berechneten Bremsung 16 m hinzu: zusammen 66 m im gewählten Modell. Diese Beispielannahmen ersetzen keine konkrete Sicherheits- oder Fahrzeugbewertung.

Beim schiefen Wurf ohne Luftwiderstand wird die Bewegung in Komponenten zerlegt: horizontal bleibt die Geschwindigkeit konstant, vertikal gilt eine konstante Schwerebeschleunigung. Die räumliche Bahn ist trotzdem keine geradlinige Bewegung.

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Ein Körper startet bei x₀ = 3 m aus Ruhe mit a = 2 m/s². Wo ist er nach 4 s?

Hinweis anzeigen

Anfangsort und Verschiebung getrennt berechnen.

Lernziel: Anfangsort und Verschiebung zum Endort kombinieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Berechne zunächst die Verschiebung aus den Anfangswerten.
Aus Ruhe entfällt v₀t, sodass nach vier Sekunden s = 16 m entsteht.
Erst jetzt addierst du den Anfangsort: x = 19 m.

Kontrolle: Der Anfangsort verschiebt den gesamten Ortsgraphen um 3 m, ändert aber weder die gefahrene Strecke noch die Geschwindigkeit.

\begin{aligned}s&=v_0t+\frac12at^2\\&=\frac12(2\,\mathrm{m/s^2})(4\,\mathrm s)^2=16\,\mathrm m\\x&=x_0+s=3\,\mathrm m+16\,\mathrm m=19\,\mathrm m\end{aligned}

[1]

Umstellen · Anwenden

v₀ = 5 m/s, a = 2 m/s², gesuchte Verschiebung 24 m. Welche positive Zeit passt?

Hinweis anzeigen

Löse t² + 5t − 24 = 0.

Lernziel: Physikalisch passende Zeitwurzel wählen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Weil die Anfangsgeschwindigkeit nicht null ist, bleibt der lineare Term erhalten.
In SI-Einheiten ergibt die Gleichung t² + 5t − 24 = 0.
Sie faktorisiert zu (t − 3)(t + 8) = 0.
Gesucht ist eine Zeit nach dem Start, also 3 s; −8 s gehört nicht zum betrachteten Intervall.

Kontrolle: 15 m Anfangsanteil und 9 m Beschleunigungsanteil ergeben die geforderten 24 m.

\begin{aligned}s&=v_0t+\frac12at^2\\24\,\mathrm m&=(5\,\mathrm{m/s})t+(1\,\mathrm{m/s^2})t^2\\t&=3\,\mathrm s\qquad\lor\qquad t=-8\,\mathrm s\\s(3\,\mathrm s)&=15\,\mathrm m+9\,\mathrm m=24\,\mathrm m\end{aligned}

[1]

Transfer · Anwenden

v₀ = 10 m/s, konstantes a = −2 m/s². Wie weit bis zum Stillstand?

Hinweis anzeigen

Verwende v² = v₀² + 2as mit v = 0.

Lernziel: Bremsweg aus der zeitfreien Gleichung bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Setze die Geschwindigkeit für den Stillstand gleich null.
Die Bremszeit ist 5 s.
Während dieser Zeit sinkt v gleichmäßig von 10 auf 0 m/s, also beträgt ihr Mittelwert 5 m/s.
Daraus folgen 25 m Bremsweg.

Kontrolle: Die zeitfreie Gleichung liefert mit demselben negativen a ebenfalls 25 m. Die Formel wird hier nicht über den Stillstand hinaus fortgesetzt.

\begin{aligned}t_{\mathrm{stop}}&=-\frac{v_0}{a}=-\frac{10}{-2}\,\mathrm s=5\,\mathrm s\\s&=v_0t+\frac12at^2\\&=10(5)\,\mathrm m+\frac12(-2)(5)^2\,\mathrm m=25\,\mathrm m\end{aligned}

[1]

Interpretieren · Anwenden

Eine eindimensionale Bewegung lautet $x(t)=(1\,\mathrm{m/s^2})t^2-(4\,\mathrm{m/s})t$ für 0≤t≤4 s. Lies Anfangs- und Endort sowie Umkehrpunkt ab. Bestimme Verschiebung und zurückgelegte Strecke.

Hinweis anzeigen

$v=\frac{dx}{dt}$ wird am Umkehrpunkt null; Weglänge in zwei Abschnitte zerlegen.

Lernziel: Verschiebung und Weglänge aus einer Ortsparabel unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: x(0)=x(4 s)=0, also Verschiebung null. v=2t−4 in SI-Einheiten wird bei 2 s null; dort ist x=−4 m.
Erst werden 4 m nach links, dann 4 m zurück durchlaufen: Strecke 8 m.

Kontrolle: Die Parabel hat konstant positive Krümmung und a=2 m/s², obwohl die anfängliche Bewegung negativ ist. Der Endort allein enthält keine Information über die gesamte Weglänge.

\begin{aligned}\Delta x&=x(4)-x(0)=0\\L&=|x(2)-x(0)|+|x(4)-x(2)|=8\,\mathrm m\end{aligned}

[1][2]

Fehleranalyse · Anwenden

Eine Punktmasse startet bei x₀=5 m aus Ruhe und beschleunigt konstant mit a=2 m/s² nach +x. Am Ort x=9 m setzt eine Lösung $v^2=2ax=36\,\mathrm{m^2/s^2}$ . Korrigiere und kontrolliere durch eine Zeitrechnung.

Hinweis anzeigen

Die Gleichung enthält x−x₀, nicht die absolute Ortskoordinate.

Lernziel: Zeitfreie Bewegungsgleichung mit Verschiebung statt absolutem Ort verwenden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Verschiebung ist 4 m.
Deshalb $v^2=2a(x-x_0)=16\,\mathrm{m^2/s^2}$ und v=+4 m/s.

Kontrolle: Aus $x-x_0=\frac12at^2$ folgt t=2 s und v=at=4 m/s. Die falsche Rechnung hängt vom willkürlichen Koordinatenursprung ab; eine physikalische Geschwindigkeitsvorhersage darf sich durch dessen Verschiebung nicht ändern.

\begin{aligned}v&=\sqrt{2a(x-x_0)}=\sqrt{2\cdot2\cdot4}\,\mathrm{m\,s^{-1}}=4\,\mathrm{m\,s^{-1}}\\t&=\sqrt{\frac{2(x-x_0)}a}=2\,\mathrm s\end{aligned}

[1]

Das solltest du mitnehmen

Der Ort besteht aus Anfangsort, Anfangsbewegung und Beschleunigungsanteil. Nur aus Ruhe ist die Verschiebung rein proportional zu t².
Eine negative Verschiebung ist erlaubt. Bei einer Umkehr ist die Gesamtstrecke größer als der Betrag der Verschiebung.
Bei Bremsen zuerst den Stillstand bestimmen. Bei mehreren Zeitwurzeln prüfen, welche zur tatsächlichen Bewegungsphase gehört.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 2 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

1. Oktober 2026Weg-Zeit-Gesetz und Start-aus-Ruhe-Bedingung unmittelbar genannt; vorhandene Umstellungen und Diagramme über Lernfragen erschlossen. Geschwindigkeitsgesetz, Bremskraftmodell und freier Fall passend verlinkt.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Vorwissen und anschaulichen Einstieg ergänzt; Herleitung, Beispielansätze und Aufgabenlösungen ausführlicher erklärt sowie eine Zusammenfassung ergänzt.
2. Oktober 2026Zeitwurzeln mit der quadratischen Formel und die Komponentenrechnung mit dem schiefen Wurf verknüpft.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Weg-Zeit-Gesetz). Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/gleichmaessig-beschleunigte-bewegung

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Weg-Zeit-Gesetz)

Wie berechnet man den Weg bei gleichmäßiger Beschleunigung?+

s = v₀t + ½at² liefert die gerichtete Verschiebung bei konstantem a. Bei $v_{0} = 0$ , $a =\frac{ 2 m}{s^{2}}$ und $t = 5 s$ sind es +25 m. Für den Endort addierst du x₀. Ohne Richtungswechsel ist die Strecke |s|; bei einer Umkehr addierst du die Beträge der getrennten Teilverschiebungen. Alle Größen vorher in passende SI-Einheiten umrechnen. Als Kontrolle setzt du $t = 0$ ein: Die Verschiebung muss null sein. Beim Ableiten muss v₀ + at herauskommen. Ein negativer Wert von s ist kein Rechenfehler, sondern zeigt einen Endort entgegen der positiven Achsenrichtung. Die Formel allein liefert außerdem keinen Reaktionsweg vor einer Bremsung.

Wann darf man s = ½at² ohne den Term v₀t verwenden?+

Wenn $v_{0} = 0$ und a während des Intervalls konstant ist. Start aus Ruhe allein reicht nicht, etwa bei einem Antrieb mit wechselnder Beschleunigung. Bei $v_{0} =\frac{ 20 m}{s}$ und $a = -\frac{5 m}{s^{2}}$ ergibt sich bis zum Stillstand nach 4 s die Verschiebung 40 m. Das Vorzeichen von a hängt von der gewählten Achse ab. Kontrolliere zuerst den Anfangszustand: „aus Ruhe“ bezieht sich auf das gewählte Bezugssystem. Ein aus einem fahrenden Fahrzeug losgelassener Körper kann relativ zum Boden bereits eine Anfangsgeschwindigkeit haben. Die Beschleunigungsannahme ist zusätzlich zu prüfen. Bei einem stehenden Körper mit $a = 0$ ist die Verschiebung zu jeder Zeit null.

Was macht man, wenn die Zeit nicht gegeben ist?+

Bei konstantem a gilt $v^2=v_0^2+2as$ mit gerichteter Verschiebung s. Für $v_{0} =\frac{ 20 m}{s}$ , $a = -\frac{4 m}{s^{2}}$ und $v = 0$ folgt $s = 50 m$ . Aus $v^{2}$ erhältst du allein keinen Richtungssinn; das Vorzeichen von v muss zum Bewegungsverlauf passen. Bei $a = 0$ kann diese Beziehung keine Verschiebung bestimmen. Die Kontrolle besteht darin, das Resultat wieder einzusetzen und die Einheiten zu prüfen. $\frac{m^{2}}{s^{2}}$ steht auf beiden Seiten. Beim Bremsen darfst du das Modell nicht ohne Begründung über den Stillstand hinaus fortsetzen. Eine Richtungsumkehr erfordert dieselben vorzeichenbehafteten Größen, darf aber nicht mit gewöhnlichem Anhalten verwechselt werden.

Wie hängen Weg-Zeit- und Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz zusammen?+

Die Ableitung von $x(t)=x_0+v_0t+\frac12at^2$ ist $v(t)=v_0+at$ . Im v-t-Diagramm ergibt die vorzeichenbehaftete Fläche die Verschiebung: Bereiche unter der Zeitachse zählen negativ. Für die Strecke addierst du ihre Beträge. Die Steigung des v-t-Graphen ist a, die Steigung des x-t-Graphen ist v. Für $v_{0} = -\frac{6 m}{s}$ und $a = +\frac{2 m}{s^{2}}$ entstehen in den ersten drei Sekunden −9 m Verschiebung, danach bis zur fünften Sekunde +4 m. Zusammen sind es −5 m Verschiebung, aber 13 m Strecke. Dieses Beispiel zeigt, weshalb eine einzelne unsignierte Gesamtfläche beim Richtungswechsel nicht genügt.

Warum vervierfacht sich der Weg bei doppelter Zeit?+

Bei Start aus Ruhe und konstantem a ist s(t) = ½at², also $s(2t) = 4s(t)$ . Mit $v_{0} \ne{} 0$ verdoppelt sich dagegen der lineare Anteil v₀t, während der Beschleunigungsanteil vierfach wird. Die pauschale Vierfachregel gilt dann nicht. Bei einer Umkehr ist außerdem zwischen Verschiebung und Strecke zu unterscheiden. Ein eigener Vergleich: Mit $v_{0} =\frac{ 3 m}{s}$ und $a =\frac{ 2 m}{s^{2}}$ sind nach einer Sekunde 4 m und nach zwei Sekunden 10 m verschoben. Das Verhältnis ist 2,5 statt 4. Beim Start aus Ruhe mit demselben a ergeben sich dagegen 1 m und 4 m.

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Welche Formel beschreibt Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Weg-Zeit-Gesetz)?

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Wie stellst du s = ½at² + v₀t nach Zeit aus dem Weg (bei v₀ = 0) um?

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Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei s = ½at² + v₀t?

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Vol. 1, §3.4 Motion with Constant Acceleration

Weitere Formeln: Mechanik

F_G = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}

Newtonsches Gravitationsgesetz

E_{kin} = \frac{1}{2} m v^2

Kinetische Energie

E_{pot} = m \cdot g \cdot h

Potentielle Energie (Lagehöhe)

F = k \cdot x

Hookesches Gesetz (Federkraft)

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Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: Weg-Zeit-Gesetz

Das Weg-Zeit-Gesetz beschreibt die gerichtete Verschiebung

s = x - x_{0}

bei konstanter Beschleunigung. Nur beim Start aus Ruhe ist s rein proportional zu

t^{2}

GrundlegendPrüfungsrelevantSekundarstufe ISekundarstufe II

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Symbol

Bedeutung

Einheit

s

Gerichtete Verschiebung x − x₀

a

Konstante Beschleunigungskomponente

m/s²

t

Verstrichene Zeit seit dem Start

v₀

Anfangsgeschwindigkeit mit Vorzeichen

m/s

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Konstante Beschleunigung zweimal integrieren; Anfangswerte und Vorzeichen beibehalten.

1Achse und Startzeit $t = 0$ festlegen; x₀ und v₀ zu diesem Start angeben.
2Für konstantes a gilt $\frac{dv}{dt} = a$ im gesamten betrachteten Intervall.
3Von 0 bis t integrieren: v(t) − v₀ = at, also $v(t)=v_0+at$ .
4Die Verschiebung ist die gerichtete Fläche: x(t) − x₀ = ∫₀ᵗv(τ)dτ.
5Einsetzen und integrieren: s = x − x₀ = v₀t + ½at².
6Ableitung und Anfangswert prüfen. Bei Richtungsumkehr für die Strecke die Beträge der Teilverschiebungen addieren.

Rechenbeispiel: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Weg-Zeit-Gesetz)

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Weg-Zeit-Gesetz) (s = ½at² + v₀t).

Aufgabe

Ein Auto beschleunigt aus dem Stand über 100 m mit $a =\frac{ 2 m}{s^{2}}$ . Wie lange?

Rechenweg

$t = \sqrt{(\frac{2s}{a})} = \sqrt{(\frac{200}{2})} = \sqrt{100} = 10 s$ .

Aufgabe

Ein Schlitten legt aus der Ruhe in 3 s genau 45 m zurück. Bestimme a.

Rechenweg

$a =\frac{ 2s}{t^{2}} =\frac{ 2\cdot{}45}{9} =\frac{ 10 m}{s^{2}}$ .

Die Formel verstehen und anwenden

Wann genügt die Formel für einen Start aus Ruhe?

Vorwissen: v gibt die Änderung des Ortes pro Zeit an; a gibt die Änderung von v pro Zeit an. Beide Größen beziehen sich auf dieselbe Achse.
Unterscheide Anfangsort x₀, Endort x und Verschiebung s = x − x₀. Erst ohne Richtungswechsel entspricht |s| der gefahrenen Strecke.
Die Fläche eines Rechtecks ist Grundseite mal Höhe, die eines Dreiecks die Hälfte davon. Damit lässt sich das Bewegungsgesetz ohne Integralrechnung verstehen.

Wie lautet das Weg-Zeit-Gesetz für die Verschiebung?

\begin{aligned}x(t)&=x_0+v_0t+\frac12at^2\\s(t):&=x(t)-x_0\end{aligned}

Die Kurzform s = v₀t + ½at² setzt s als Verschiebung voraus.

Zweimal integrieren, Anfangswerte erhalten

\begin{aligned}s&=s_{\mathrm{initial}}+s_{\mathrm{change}}\\&=v_0t+\frac12t(at)\\&=v_0t+\frac12at^2\\x&=x_0+s\end{aligned}

Der lineare Anteil entsteht durch die Anfangsgeschwindigkeit; der quadratische Anteil durch ihre stetige Änderung.[1]

v(t)-v_0=\int_0^t a\,\mathrm d\tau=at

Erstes Integral: Die Geschwindigkeit ändert sich linear.

x(t)-x_0=\int_0^t(v_0+a\tau)\,\mathrm d\tau=v_0t+\frac12at^2

Zweites Integral: Der Faktor ½ entsteht durch das Integral von τ.

Warum der Faktor ein Halb entsteht

QUANTA STUDYquanta-study.de

Bei v₀ = 2 m/s und a = 2 m/s² ergeben bis 3 s das Rechteck 6 m und das Dreieck 9 m Verschiebung: zusammen 15 m.[1]

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Wie berechnest du Beschleunigung und mögliche Zeitwurzeln?

\begin{aligned}[v_0t]&=\frac{\mathrm m}{\mathrm s}\mathrm s=\mathrm m\\{}[at^2]&=\frac{\mathrm m}{\mathrm s^2}\mathrm s^2=\mathrm m\end{aligned}

Beide Summanden sind Längen; km/h zuvor durch 3,6 teilen.

\begin{aligned}a&=\frac{2(s-v_0t)}{t^2}\quad(t\ne0)\\v^2&=v_0^2+2as\end{aligned}

Die zeitfreie Gleichung verwendet dieselbe gerichtete Verschiebung s.

t=\frac{-v_0\pm\sqrt{v_0^2+2as}}{a}\quad(a\ne0)

Prüfe reelle Wurzeln, t ≥ 0 und den Zeitraum, in dem das Modell gilt.

Beispiel: Ein Wagen kehrt seine Richtung um

Negative Anfangsgeschwindigkeit

Gegeben: x₀ = 0 m, v₀ = −2 m/s, a = +1,5 m/s², t = 4 s.
Gesucht: Bestimme Endort, Endgeschwindigkeit und die gesamte Strecke.

Ansatz: Bestimme zuerst den Zeitpunkt v = 0. Bis dahin und danach werden die Teilverschiebungen getrennt berechnet; ihre Beträge ergeben die Strecke.
$\begin{aligned}x(t)&=x_0+v_0t+\frac12at^2\\v(t)&=v_0+at\\t_*&=-\frac{v_0}{a}\end{aligned}$
Einsetzen: Verwende die angegebenen Anfangswerte mit ihren Vorzeichen.
$\begin{aligned}x(4)&=-2\cdot4+\tfrac12\cdot1.5\cdot4^2=4\,\mathrm m\\{} v(4)&=4\,\mathrm{m/s}\end{aligned}$
Die Umkehr liegt bei v = 0; bis dahin bewegt sich der Wagen nach links.
$\begin{aligned}t_*&=\frac{2}{1.5}=\frac43\,\mathrm s\\{} x(t_*)&=-\frac43\,\mathrm m\end{aligned}$
Beide Wegabschnitte als positive Längen addieren.
$L=\left|{-\frac43}-0\right|+\left|4-\left(-\frac43\right)\right|=\frac{20}{3}\,\mathrm m$

Ergebnis: Endort +4 m, Endgeschwindigkeit +4 m/s, Strecke 6,67 m.

Kontrolle: Die Strecke ist größer als |s| = 4 m. Der Betrag der mittleren Geschwindigkeit beträgt 1 m/s, die mittlere Schnelligkeit dagegen 1,67 m/s.

Beispiel: Bremsweg ohne unphysikalische Fortsetzung

Bremsung aus 72 km/h

Gegeben: v₀ = 72 km/h, a = −4 m/s², konstante Verzögerung bis zum Stillstand.
Gesucht: Berechne Bremszeit und Bremsweg ohne Reaktionsphase.

Ansatz: Die Bremsphase endet bei v = 0. Ermittle diese Zeit und setze sie erst dann in die Verschiebungsgleichung ein.
$\begin{aligned}0&=v_0+at_{\mathrm{stop}}\\t_{\mathrm{stop}}&=-\frac{v_0}{a}\\s_{\mathrm{stop}}&=v_0t_{\mathrm{stop}}+\frac12at_{\mathrm{stop}}^2\end{aligned}$
Einheiten: Wandle die Anfangsgeschwindigkeit vor dem Einsetzen in Meter pro Sekunde um.
$v_0=\frac{72}{3.6}=20\,\mathrm{m/s}$
v = 0 liefert den Zeitpunkt, an dem das Bremsmodell endet.
$t_{\mathrm{stop}}=\frac{0-20}{-4}=5\,\mathrm s$
Endzeit in die Verschiebung einsetzen.
$s=20\cdot5+\tfrac12(-4)5^2=50\,\mathrm m$

Ergebnis: Bremszeit 5 s, Bremsweg 50 m.

Kontrolle: Die zeitfreie Kontrolle ergibt 0² = 20² + 2·(−4)·50. Eine Fortsetzung bis 6 s ergäbe negative Geschwindigkeit und beschreibt kein bloßes Anhalten.

Wie liest du Flächen und Steigungen der Bewegungsdiagramme?

\begin{aligned}\bar v&=\frac{s}{t}=\frac{v_0+v(t)}2\\L&=\int_0^t|v(\tau)|\,\mathrm d\tau\end{aligned}

Der Endpunktmittelwert gilt bei konstantem a; er ist nicht generell die mittlere Schnelligkeit.

Wann das Weg-Zeit-Gesetz angepasst werden muss

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Ein Körper startet bei x₀ = 3 m aus Ruhe mit a = 2 m/s². Wo ist er nach 4 s?

Hinweis anzeigen

Anfangsort und Verschiebung getrennt berechnen.

Lernziel: Anfangsort und Verschiebung zum Endort kombinieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Berechne zunächst die Verschiebung aus den Anfangswerten.
Aus Ruhe entfällt v₀t, sodass nach vier Sekunden s = 16 m entsteht.
Erst jetzt addierst du den Anfangsort: x = 19 m.

Kontrolle: Der Anfangsort verschiebt den gesamten Ortsgraphen um 3 m, ändert aber weder die gefahrene Strecke noch die Geschwindigkeit.

\begin{aligned}s&=v_0t+\frac12at^2\\&=\frac12(2\,\mathrm{m/s^2})(4\,\mathrm s)^2=16\,\mathrm m\\x&=x_0+s=3\,\mathrm m+16\,\mathrm m=19\,\mathrm m\end{aligned}

[1]

Umstellen · Anwenden

v₀ = 5 m/s, a = 2 m/s², gesuchte Verschiebung 24 m. Welche positive Zeit passt?

Hinweis anzeigen

Löse t² + 5t − 24 = 0.

Lernziel: Physikalisch passende Zeitwurzel wählen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Weil die Anfangsgeschwindigkeit nicht null ist, bleibt der lineare Term erhalten.
In SI-Einheiten ergibt die Gleichung t² + 5t − 24 = 0.
Sie faktorisiert zu (t − 3)(t + 8) = 0.
Gesucht ist eine Zeit nach dem Start, also 3 s; −8 s gehört nicht zum betrachteten Intervall.

Kontrolle: 15 m Anfangsanteil und 9 m Beschleunigungsanteil ergeben die geforderten 24 m.

\begin{aligned}s&=v_0t+\frac12at^2\\24\,\mathrm m&=(5\,\mathrm{m/s})t+(1\,\mathrm{m/s^2})t^2\\t&=3\,\mathrm s\qquad\lor\qquad t=-8\,\mathrm s\\s(3\,\mathrm s)&=15\,\mathrm m+9\,\mathrm m=24\,\mathrm m\end{aligned}

[1]

Transfer · Anwenden

v₀ = 10 m/s, konstantes a = −2 m/s². Wie weit bis zum Stillstand?

Hinweis anzeigen

Verwende v² = v₀² + 2as mit v = 0.

Lernziel: Bremsweg aus der zeitfreien Gleichung bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Setze die Geschwindigkeit für den Stillstand gleich null.
Die Bremszeit ist 5 s.
Während dieser Zeit sinkt v gleichmäßig von 10 auf 0 m/s, also beträgt ihr Mittelwert 5 m/s.
Daraus folgen 25 m Bremsweg.

Kontrolle: Die zeitfreie Gleichung liefert mit demselben negativen a ebenfalls 25 m. Die Formel wird hier nicht über den Stillstand hinaus fortgesetzt.

\begin{aligned}t_{\mathrm{stop}}&=-\frac{v_0}{a}=-\frac{10}{-2}\,\mathrm s=5\,\mathrm s\\s&=v_0t+\frac12at^2\\&=10(5)\,\mathrm m+\frac12(-2)(5)^2\,\mathrm m=25\,\mathrm m\end{aligned}

[1]

Interpretieren · Anwenden

Eine eindimensionale Bewegung lautet $x(t)=(1\,\mathrm{m/s^2})t^2-(4\,\mathrm{m/s})t$ für 0≤t≤4 s. Lies Anfangs- und Endort sowie Umkehrpunkt ab. Bestimme Verschiebung und zurückgelegte Strecke.

Hinweis anzeigen

$v=\frac{dx}{dt}$ wird am Umkehrpunkt null; Weglänge in zwei Abschnitte zerlegen.

Lernziel: Verschiebung und Weglänge aus einer Ortsparabel unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: x(0)=x(4 s)=0, also Verschiebung null. v=2t−4 in SI-Einheiten wird bei 2 s null; dort ist x=−4 m.
Erst werden 4 m nach links, dann 4 m zurück durchlaufen: Strecke 8 m.

Kontrolle: Die Parabel hat konstant positive Krümmung und a=2 m/s², obwohl die anfängliche Bewegung negativ ist. Der Endort allein enthält keine Information über die gesamte Weglänge.

\begin{aligned}\Delta x&=x(4)-x(0)=0\\L&=|x(2)-x(0)|+|x(4)-x(2)|=8\,\mathrm m\end{aligned}

[1][2]

Fehleranalyse · Anwenden

Eine Punktmasse startet bei x₀=5 m aus Ruhe und beschleunigt konstant mit a=2 m/s² nach +x. Am Ort x=9 m setzt eine Lösung $v^2=2ax=36\,\mathrm{m^2/s^2}$ . Korrigiere und kontrolliere durch eine Zeitrechnung.

Hinweis anzeigen

Die Gleichung enthält x−x₀, nicht die absolute Ortskoordinate.

Lernziel: Zeitfreie Bewegungsgleichung mit Verschiebung statt absolutem Ort verwenden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Verschiebung ist 4 m.
Deshalb $v^2=2a(x-x_0)=16\,\mathrm{m^2/s^2}$ und v=+4 m/s.

\begin{aligned}v&=\sqrt{2a(x-x_0)}=\sqrt{2\cdot2\cdot4}\,\mathrm{m\,s^{-1}}=4\,\mathrm{m\,s^{-1}}\\t&=\sqrt{\frac{2(x-x_0)}a}=2\,\mathrm s\end{aligned}

[1]

Das solltest du mitnehmen

Der Ort besteht aus Anfangsort, Anfangsbewegung und Beschleunigungsanteil. Nur aus Ruhe ist die Verschiebung rein proportional zu t².
Eine negative Verschiebung ist erlaubt. Bei einer Umkehr ist die Gesamtstrecke größer als der Betrag der Verschiebung.
Bei Bremsen zuerst den Stillstand bestimmen. Bei mehreren Zeitwurzeln prüfen, welche zur tatsächlichen Bewegungsphase gehört.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

1. Oktober 2026Weg-Zeit-Gesetz und Start-aus-Ruhe-Bedingung unmittelbar genannt; vorhandene Umstellungen und Diagramme über Lernfragen erschlossen. Geschwindigkeitsgesetz, Bremskraftmodell und freier Fall passend verlinkt.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Vorwissen und anschaulichen Einstieg ergänzt; Herleitung, Beispielansätze und Aufgabenlösungen ausführlicher erklärt sowie eine Zusammenfassung ergänzt.
2. Oktober 2026Zeitwurzeln mit der quadratischen Formel und die Komponentenrechnung mit dem schiefen Wurf verknüpft.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Weg-Zeit-Gesetz). Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/gleichmaessig-beschleunigte-bewegung

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Weg-Zeit-Gesetz)

Wie berechnet man den Weg bei gleichmäßiger Beschleunigung?+

Wann darf man s = ½at² ohne den Term v₀t verwenden?+

Was macht man, wenn die Zeit nicht gegeben ist?+

Wie hängen Weg-Zeit- und Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz zusammen?+

Warum vervierfacht sich der Weg bei doppelter Zeit?+

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Weg-Zeit-Gesetz) prüfungssicher behalten

Erstelle ein kuratiertes FSRS-Prüfungsset für s = ½at² + v₀t: Formelabruf, Variablen, Herleitung, Umstellung, Beispiel, typische Fehler und Klausurkontext.

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Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: Weg-Zeit-Gesetz

Variablen & Einheiten

Weg bei gleichmäßiger Beschleunigung berechnen

So rechnest du schneller

Herleitung & Hintergrund

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Umstellen

Aufgabenvariante

Typische Fehler

Klausurkontext

Kinematik der geraden Bewegung

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Weg-Zeit-Gesetz)

Wann genügt die Formel für einen Start aus Ruhe?

Wie lautet das Weg-Zeit-Gesetz für die Verschiebung?

Zweimal integrieren, Anfangswerte erhalten

Warum der Faktor ein Halb entsteht

Wie berechnest du Beschleunigung und mögliche Zeitwurzeln?

Beispiel: Ein Wagen kehrt seine Richtung um

Negative Anfangsgeschwindigkeit

Beispiel: Bremsweg ohne unphysikalische Fortsetzung

Bremsung aus 72 km/h

Wie liest du Flächen und Steigungen der Bewegungsdiagramme?

Wann das Weg-Zeit-Gesetz angepasst werden muss

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Ein Körper startet bei x0 = 3 m aus Ruhe mit a = 2 m/s2. Wo ist er nach 4 s?

v0 = 5 m/s, a = 2 m/s2, gesuchte Verschiebung 24 m. Welche positive Zeit passt?

v0 = 10 m/s, konstantes a = −2 m/s2. Wie weit bis zum Stillstand?

Eine eindimensionale Bewegung lautet x(t)=(1 m/s2)t2−(4 m/s)tx(t)=(1\,\mathrm{m/s^2})t^2-(4\,\mathrm{m/s})tx(t)=(1m/s2)t2−(4m/s)t für 0≤t≤4 s. Lies Anfangs- und Endort sowie Umkehrpunkt ab. Bestimme Verschiebung und zurückgelegte Strecke.

Eine Punktmasse startet bei x0=5 m aus Ruhe und beschleunigt konstant mit a=2 m/s2 nach +x. Am Ort x=9 m setzt eine Lösung v2=2ax=36 m2/s2v^2=2ax=36\,\mathrm{m^2/s^2}v2=2ax=36m2/s2. Korrigiere und kontrolliere durch eine Zeitrechnung.

Das solltest du mitnehmen

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Verwandte Formeln

Weitere Formeln: Mechanik

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Gleichmäßig beschleunigte Bewegung: Weg-Zeit-Gesetz

Variablen & Einheiten

Weg bei gleichmäßiger Beschleunigung berechnen

So rechnest du schneller

Herleitung & Hintergrund

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Gültigkeitsbereich

Herleitung in Schritten

Umstellen

Aufgabenvariante

Typische Fehler

Klausurkontext

Kinematik der geraden Bewegung

Rechenbeispiel

Anwendungsgebiete

Rechenbeispiel: Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Weg-Zeit-Gesetz)

Wann genügt die Formel für einen Start aus Ruhe?

Wie lautet das Weg-Zeit-Gesetz für die Verschiebung?

Zweimal integrieren, Anfangswerte erhalten

Warum der Faktor ein Halb entsteht

Wie berechnest du Beschleunigung und mögliche Zeitwurzeln?

Beispiel: Ein Wagen kehrt seine Richtung um

Negative Anfangsgeschwindigkeit

Beispiel: Bremsweg ohne unphysikalische Fortsetzung

Bremsung aus 72 km/h

Wie liest du Flächen und Steigungen der Bewegungsdiagramme?

Wann das Weg-Zeit-Gesetz angepasst werden muss

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Ein Körper startet bei x0 = 3 m aus Ruhe mit a = 2 m/s2. Wo ist er nach 4 s?

v0 = 5 m/s, a = 2 m/s2, gesuchte Verschiebung 24 m. Welche positive Zeit passt?

v0 = 10 m/s, konstantes a = −2 m/s2. Wie weit bis zum Stillstand?

Eine eindimensionale Bewegung lautet x(t)=(1 m/s2)t2−(4 m/s)tx(t)=(1\,\mathrm{m/s^2})t^2-(4\,\mathrm{m/s})tx(t)=(1m/s2)t2−(4m/s)t für 0≤t≤4 s. Lies Anfangs- und Endort sowie Umkehrpunkt ab. Bestimme Verschiebung und zurückgelegte Strecke.

Eine Punktmasse startet bei x0=5 m aus Ruhe und beschleunigt konstant mit a=2 m/s2 nach +x. Am Ort x=9 m setzt eine Lösung v2=2ax=36 m2/s2v^2=2ax=36\,\mathrm{m^2/s^2}v2=2ax=36m2/s2. Korrigiere und kontrolliere durch eine Zeitrechnung.

Das solltest du mitnehmen

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Ein Körper startet bei x₀ = 3 m aus Ruhe mit a = 2 m/s². Wo ist er nach 4 s?

v₀ = 5 m/s, a = 2 m/s², gesuchte Verschiebung 24 m. Welche positive Zeit passt?

v₀ = 10 m/s, konstantes a = −2 m/s². Wie weit bis zum Stillstand?

Eine eindimensionale Bewegung lautet $x(t)=(1\,\mathrm{m/s^2})t^2-(4\,\mathrm{m/s})t$ für 0≤t≤4 s. Lies Anfangs- und Endort sowie Umkehrpunkt ab. Bestimme Verschiebung und zurückgelegte Strecke.

Eine Punktmasse startet bei x₀=5 m aus Ruhe und beschleunigt konstant mit a=2 m/s² nach +x. Am Ort x=9 m setzt eine Lösung $v^2=2ax=36\,\mathrm{m^2/s^2}$ . Korrigiere und kontrolliere durch eine Zeitrechnung.

Ein Körper startet bei x₀ = 3 m aus Ruhe mit a = 2 m/s². Wo ist er nach 4 s?

v₀ = 5 m/s, a = 2 m/s², gesuchte Verschiebung 24 m. Welche positive Zeit passt?

v₀ = 10 m/s, konstantes a = −2 m/s². Wie weit bis zum Stillstand?

Eine eindimensionale Bewegung lautet $x(t)=(1\,\mathrm{m/s^2})t^2-(4\,\mathrm{m/s})t$ für 0≤t≤4 s. Lies Anfangs- und Endort sowie Umkehrpunkt ab. Bestimme Verschiebung und zurückgelegte Strecke.

Eine Punktmasse startet bei x₀=5 m aus Ruhe und beschleunigt konstant mit a=2 m/s² nach +x. Am Ort x=9 m setzt eine Lösung $v^2=2ax=36\,\mathrm{m^2/s^2}$ . Korrigiere und kontrolliere durch eine Zeitrechnung.