Physik · Kinematik

Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz

Q: Was bedeutet eine Beschleunigung von $\frac{1 m}{s^{2}}$ anschaulich?

Eine konstante positive Komponente von $\frac{1 m}{s^{2}}$ ändert die Geschwindigkeitskomponente jede Sekunde um $+\frac{1 m}{s}$. Beginnt ein Wagen bei $-\frac{3 m}{s}$, hat er nach $2 s -\frac{1 m}{s}$ und ist langsamer geworden. Die Einheit liest sich als $(\frac{m}{s})$ pro Sekunde. Beschleunigung umfasst auch Richtungsänderungen. Ein zweites Beispiel beginnt bei $+\frac{3 m}{s}$: Nach zwei Sekunden mit demselben positiven a sind es $+\frac{5 m}{s}$, also tatsächlich mehr Schnelligkeit. Das Vorzeichen wird erst durch die festgelegte Achse verständlich. Bei veränderlichem a brauchst du dessen zeitlichen Verlauf; ein einzelner Momentanwert beschreibt nicht die Änderung über das gesamte Intervall.

Q: Wie stellt man $v = a\cdot{}t + v_{0}$ nach der Zeit um?

Für $a \ne{} 0$ gilt $t =\frac{ (v - v_{0})}{a}$. Beispiel: von $+\frac{26 m}{s}$ auf $+\frac{20 m}{s}$ mit $a = -\frac{2 m}{s^{2}}$ ergibt 3 s. Eine negative Zeit kann einen Zeitpunkt vor dem Start oder einen nach dem Start unerreichbaren Zielwert bezeichnen; sie beweist nicht automatisch einen Vorzeichenfehler. Bei $a = 0$ bleibt v konstant und diese Division ist nicht erlaubt. Kontrolliere die berechnete Zeit, indem du sie in das ursprüngliche Gesetz einsetzt. Die Einheit ergibt sich aus $(\frac{m}{s})$ geteilt durch $(\frac{m}{s^{2}})$ zu Sekunden. Eine Zielgeschwindigkeit kann vor einer Umkehr oder danach erreicht werden; die geplante Bewegungsphase und konstantes a müssen bis zum angegebenen Zeitpunkt tatsächlich gelten.

Q: Was ist der Unterschied zwischen Geschwindigkeit und Beschleunigung?

Geschwindigkeit ist die Änderung des Ortes, Beschleunigung die Änderung der Geschwindigkeit. Ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit hat $a = 0$. Am höchsten Punkt eines senkrechten Wurfs ist $v = 0$, aber bei nach oben positiver Achse $a = -g$. Bei gleichförmiger Kreisbewegung ist die Schnelligkeit konstant und die Beschleunigung trotzdem ungleich null, weil sich die Richtung ändert. Für einen Körper mit $v = -\frac{4 m}{s}$ und $a = +\frac{1 m}{s^{2}}$ nimmt die Schnelligkeit zunächst ab, obwohl a positiv ist. Drehe die Achse um, ändern beide Komponenten ihre Vorzeichen; der tatsächliche Bewegungsverlauf bleibt derselbe. Gerade deshalb sind die Wörter positiv und negativ allein keine Beschreibung des Schnellerwerdens.

Q: Wie liest man Geschwindigkeit und Beschleunigung aus Diagrammen ab?

Die Steigung des x-t-Graphen ist v, die Steigung des v-t-Graphen ist a. Eine steigende Gerade bedeutet positives konstantes a, eine fallende negatives konstantes a. Die gerichtete Fläche im v-t-Diagramm ergibt Verschiebung. Für die gesamte Strecke addiere die Beträge der Flächen auf beiden Seiten der Zeitachse. Die Schnelligkeit liest du als Betrag der Geschwindigkeitskomponente ab. Ein weit unter der Zeitachse liegender Graph kann daher große Schnelligkeit anzeigen. Zwei Messpunkte liefern über ihre Verbindungsgerade nur die mittlere Beschleunigung. Um konstantes a zu begründen, müssen zusätzliche Messpunkte oder eine passende Modellannahme den linearen Verlauf stützen.

Das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz beschreibt die lineare Änderung der gerichteten Geschwindigkeit bei konstanter Beschleunigung. Je nach Vorzeichen kann die Schnelligkeit sinken oder steigen.

GrundlegendPrüfungsrelevantSekundarstufe ISekundarstufe II

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Formel

Berechnen

v = a \cdot t + v_{0}

v in m/s · a in m/s² · t in Sekunden [s] · v₀ in m/s

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$v$	Geschwindigkeit zur Zeit t	m/s
$a$	Konstante Beschleunigung	m/s²
$t$	Zeit	s
$v₀$	Anfangsgeschwindigkeit	m/s

LaTeX

v = a \cdot t + v_0

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Diagramm: Eine v-t-Gerade schneidet die Achse bei v₀; ein Steigungsdreieck zeigt Δv über Δt als Beschleunigung a. — Bei konstantem a ändert sich die gerichtete Geschwindigkeit linear. Die gezeigte Gerade hat a > 0; ihre Steigung ist a=Δv/Δt, der Achsenabschnitt v₀.

Geschwindigkeit bei Beschleunigung berechnen

Geschwindigkeit, Anfangsgeschwindigkeit, Beschleunigung oder Zeit für eine Bewegung mit konstanter Beschleunigung entlang einer Geraden ausrechnen.

Gesucht

Anfangsgeschwindigkeit v₀

Geschwindigkeit beim Start mit Vorzeichen, z. B. 36 km/h; 0 bei einem Start aus dem Stand.

Beschleunigung a

Konstante Beschleunigung mit Vorzeichen, z. B. 2 m/s²; wirkt sie gegen die Bewegung, wird der Körper langsamer.

m/s²

Zeit t

Verstrichene Zeit seit dem Start, nie negativ, z. B. 5 s.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Ergebnis: Geschwindigkeit v

v = 72 km/h

Mit v₀ = 36 km/h, a = 2 m/s² und t = 5 s ergibt sich v = 72 km/h.

Rechenweg · umstellen nach v, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach v umstellen
$v=v_0+at$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- v₀ = 36 km/h = 10 m/s
$v=10+2\cdot 5=20$
3. Ergebnis
v = 72 km/h

So rechnest du schneller

Im v-t-Diagramm ist v₀ der Achsenabschnitt und a die Steigung: Jede Sekunde kommt a hinzu, bei 2 m/s² also 2 m/s pro Sekunde.
Langsamer wird ein Körper, wenn a und v entgegengesetzte Vorzeichen haben. Ein negatives a allein heißt noch nicht Bremsen.

Annahmen und Grenzen

Feste gemeinsame positive Achse, konstantes a, verstrichene Zeit t ≥ 0. Negative Beschleunigung bedeutet nicht stets Abbremsen. Geschwindigkeit ist gerichtet, kein Betrag.

Herleitung & Hintergrund

Momentanbeschleunigung ist $a =\frac{ dv}{dt}$ ; der Quotient $\frac{\Delta{}v}{\Delta{}t}$ ist ein Intervallmittelwert. Für konstantes a folgt $v=v_0+at$ . Im v-t-Diagramm ist a die Steigung und die gerichtete Fläche die Verschiebung. Bremsen bedeutet, dass a gegen die aktuelle Bewegungsrichtung zeigt.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Die Kurzform gilt bei konstanter Beschleunigungskomponente auf einer festgelegten Achse. Bremsen bedeutet entgegengesetzte Vorzeichen von v und a; $a < 0$ allein bedeutet nicht generell Bremsen. Bei veränderlichem a gilt v(t) = v₀ + ∫₀ᵗa(τ)dτ.

Herleitung in Schritten

Eine konstante Änderungsrate der gerichteten Geschwindigkeit integrieren.

1Positive Achse wählen und v₀ als vorzeichenbehaftete Startgeschwindigkeit festlegen.
2Beschleunigung bedeutet $a =\frac{ dv}{dt}$ ; über ein endliches Intervall gilt ā = Δv/Δt.
3Bei konstantem a stimmt der Mittelwert mit dem Momentanwert überein.
4Für Startzeit null gilt $a =\frac{ (v - v_{0})}{t}$ mit $t \ne{} 0$ .
5Mit t multiplizieren und v₀ addieren: $v=v_0+at$ .
6 $v(0) = v_{0}$ und $\frac{dv}{dt} = a$ prüfen. Schnelligkeit ist |v|, nicht der vorzeichenbehaftete Wert.

Umstellen

Zeit bis zu einer gerichteten Zielgeschwindigkeit

t = \frac{v - v_0}{a}

Mit gerichteten Geschwindigkeiten rechnen. $a \ne{} 0$ voraussetzen und prüfen, ob die Zeit im betrachteten Intervall liegt.

Mittlere Beschleunigung aus zwei gerichteten Geschwindigkeiten

a = \frac{v - v_0}{t}

Der Quotient liefert zunächst den Intervallmittelwert. Nur bei konstantem a ist er zugleich der Momentanwert. Bremsen erfordert entgegengesetzte Richtungen von v und a.

Aufgabenvariante

Ein Auto beschleunigt mit $a =\frac{ 2{,}5 m}{s^{2}}$ von 0 auf $\frac{100 km}{h}$ . Wie lange braucht es?

$\frac{100 km}{h} =\frac{ 27{,}8 m}{s}$ .
$t =\frac{ (27{,}8 - 0)}{2{,}5} \approx{} 11{,}1 s$ .

Ein Radfahrer wird in 3 s von $\frac{20 m}{s}$ auf $\frac{26 m}{s}$ schneller. Bestimme a.

$a =\frac{ (26 - 20)}{3} =\frac{ 2 m}{s^{2}}$ .

Typische Fehler

$\frac{km}{h}$ direkt einsetzen.

Immer erst durch 3,6 in $\frac{m}{s}$ umrechnen.

v₀ vergessen und $v = a\cdot{}t$ schreiben, obwohl der Körper schon fährt.

$v = a\cdot{}t$ gilt nur beim Start aus der Ruhe.

Beim Bremsen das Vorzeichen von a ignorieren.

Achse festlegen und a entgegen der aktuellen Bewegung einsetzen: Bei $v > 0$ ist $a < 0$ , bei $v < 0$ ist $a > 0$ . Die Bremsphase endet normalerweise beim Stillstand.

Klausurkontext

Häufig als Teilschritt: erst v(t) bestimmen, dann Weg, Impuls oder kinetische Energie daraus berechnen.

Formelcluster

Bewegungsgesetze

Das v-t-Gesetz ist die Ableitung des Weg-Zeit-Gesetzes.

s = ½at² + v₀t

Gleichmäßig beschleunigte Bewegung (Weg-Zeit-Gesetz)

h = ½gt²

Freier Fall

p = m·v

Impuls

Rechenbeispiel

Ein Zug fährt mit $v_{0} = +\frac{10 m}{s}$ und beschleunigt konstant mit $a = +\frac{1{,}5 m}{s^{2}}$ . Nach 8 s gilt $v=v_0+at=+22\,\mathrm{m/s}$ , entsprechend $\frac{79{,}2 km}{h}$ . Die Pluszeichen beziehen sich auf die gewählte Fahrtrichtung.

Anwendungsgebiete

Beschleunigungsmessung (0-auf-100-Zeit), Bremsverzögerung, Aufzugssteuerung, Sportanalyse (Sprintstart)

Rechenbeispiel: Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz (v = a·t + v₀).

1
Aufgabe
Ein Auto beschleunigt mit $a =\frac{ 2{,}5 m}{s^{2}}$ von 0 auf $\frac{100 km}{h}$ . Wie lange braucht es?
Rechenweg
1. $\frac{100 km}{h} =\frac{ 27{,}8 m}{s}$ .
2. $t =\frac{ (27{,}8 - 0)}{2{,}5} \approx{} 11{,}1 s$ .
2
Aufgabe
Ein Radfahrer wird in 3 s von $\frac{20 m}{s}$ auf $\frac{26 m}{s}$ schneller. Bestimme a.
Rechenweg
$a =\frac{ (26 - 20)}{3} =\frac{ 2 m}{s^{2}}$ .

Die Formel verstehen und anwenden

Ein Wagen kann nach links rollen und trotzdem eine positive Beschleunigung haben. Entscheidend ist, wie sich seine gerichtete Geschwindigkeit verändert. Du lernst zuerst die Vorzeichen zu lesen, leitest daraus das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz ab und prüfst es an einer Umkehr und an Messwerten.

So kannst du die Bewegung verstehen

Stell dir eine gerade Schiene vor und lege „nach rechts“ als positiv fest. Eine Anzeige von −6 m/s heißt: Der Wagen bewegt sich nach links. Ändert sich die Anzeige in jeder Sekunde um +2 m/s, stehen dort nacheinander −6, −4, −2 und 0 m/s. Der Wagen wird zunächst langsamer, obwohl die Beschleunigung positiv ist. Erst nach dem Stillstand kann er nach rechts schneller werden.[1][2]

Vorwissen: Eine positive Achse legt fest, was Plus und Minus bedeuten. Das Vorzeichen beschreibt eine Richtung; der Betrag beschreibt die Schnelligkeit.
Die Änderung einer Größe ist Endwert minus Anfangswert. Die Zeit in der Formel ist die seit diesem Anfang vergangene Zeit.
Du brauchst zunächst nur Subtraktion, Multiplikation und Division. Die spätere Integralform erklärt den Fall einer veränderlichen Beschleunigung.

Wie lautet das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz?

Bei konstanter Beschleunigung gilt das Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz $v=v_0+at$ ; t ist die seit dem Anfangszustand verstrichene Zeit. Auf einer Geraden verwenden wir v für die Geschwindigkeitskomponente entlang der gewählten Achse. Bei v = −6 m/s beträgt die Schnelligkeit 6 m/s. Im Alltag heißt beides oft „Geschwindigkeit“; beim Rechnen unterscheiden wir Richtung und Betrag. Die Beschleunigung a beschreibt, wie sich v verändert. Sie ist keine zusätzliche Geschwindigkeit, sondern deren Änderungsrate. Beim freien Fall nahe der Erdoberfläche ohne Luftkräfte ist die Beschleunigung näherungsweise konstant; ihr Vorzeichen hängt von der gewählten Höhenachse ab.[1][3][4]

v(t)=v_0+at

v₀ ist die Geschwindigkeit bei t = 0; a muss im betrachteten Intervall konstant sein. Die Schnelligkeit ist der Betrag |v(t)|.

Auf einer Geraden wächst die Schnelligkeit bei v·a > 0 und sinkt bei v·a < 0. Deshalb kann positives a zunächst bremsen: Bei v < 0 verändert es die Geschwindigkeit in Richtung null. Nach einer Umkehr beschleunigt derselbe positive Wert den Wagen in die positive Richtung. Am Umkehrpunkt ist v = 0, während a durchaus ungleich null sein kann.

Von der Beschleunigung zum Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz

Beginne mit zwei Geschwindigkeiten, die im Abstand t gemessen wurden. Subtrahiere den Anfangswert vom Endwert: Das ist die Änderung. Teile diese Änderung durch die verstrichene Zeit: Das ist die mittlere Beschleunigung. Bei konstanter Beschleunigung geschieht in gleich langen Zeitabschnitten stets dieselbe Änderung. Dann entspricht dieser Mittelwert auch der Beschleunigung zu jedem einzelnen Zeitpunkt.[2][3]

\begin{aligned}a&=\frac{v-v_0}{t}\\at&=v-v_0\\v&=v_0+at\end{aligned}

Erst die Änderungsrate mit der Zeit multiplizieren, dann den Anfangswert addieren. Der Quotient benötigt t ≠ 0; die fertige Gleichung gilt auch bei t = 0.[3]

Die Einheit macht den Schritt anschaulich: Eine Rate von 2 m/s je Sekunde liefert in fünf Sekunden eine Änderung von 10 m/s. Ob das Objekt dadurch schneller wird, hängt weiterhin vom Anfangsvorzeichen ab. Für eine andere Startzeit verwendest du die Zeitdifferenz, nicht die Uhrzeit.

v(t)=v_0+\int_0^t a(\tau)\,\mathrm d\tau

Die Integralform gilt auch bei veränderlicher Beschleunigung.

Beginnt das betrachtete Intervall bei t₀ statt bei null, gilt v(t) = v(t₀) + a(t − t₀). Ein späteres Messdatum darf nicht ohne Bezug auf den Anfangszeitpunkt eingesetzt werden. Prüfe deine Gleichung durch Ableiten: dv/dt muss den eingesetzten konstanten Wert a ergeben.

v-t-Diagramm, Umstellungen und die Einheit der Beschleunigung

Im v-t-Diagramm ist v₀ der vertikale Achsenabschnitt und a die Steigung Δv/Δt. Bei positivem a steigt die Gerade; bei negativem a fällt sie. Eine waagerechte Gerade bedeutet konstante Geschwindigkeit. Die Zeitachse schneidet der Graph bei v = 0; danach kann sich das Vorzeichen und damit die Bewegungsrichtung ändern. Die gerichtete Fläche unter dem Graphen liefert die Verschiebung; das Weg-Zeit-Gesetz berechnet diese für konstante Beschleunigung.[3][1]

\begin{aligned}[a]&=\mathrm{m\,s^{-2}}\\{}[at]&=\mathrm{m\,s^{-1}}\\a&=\frac{v-v_0}{t}\\t&=\frac{v-v_0}{a}\end{aligned}

Die letzte Umstellung gilt nur für a ≠ 0. Eine berechnete Zeit muss in den betrachteten Bewegungsabschnitt fallen.

Bei a = 0 ändert sich v nicht: Ein abweichender Zielwert kann nicht erreicht werden, während v = v₀ zu jedem Zeitpunkt gilt. Kilometer pro Stunde vorher durch 3,6 teilen. „2 m/s²“ bedeutet eine Änderung von 2 m/s je Sekunde, nicht eine fest vorgegebene Geschwindigkeit von 2 m/s.

Geschwindigkeit und Schnelligkeit bei einer Umkehr

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Die gerichtete Geschwindigkeit steigt gleichmäßig; ihr Betrag sinkt zunächst und steigt nach der Umkehr. Die Beschleunigung beträgt durchgehend +2 m/s².[3][2]

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Beispiel: Erst langsamer, dann in Gegenrichtung schneller

Ein Wagen mit v₀ < 0 und a > 0

Gegeben: v₀ = −6 m/s, a = +2 m/s², x₀ = 0 m, Dauer 5 s.
Gesucht: Bestimme Endgeschwindigkeit, Umkehrzeit, Verschiebung und Strecke.

Ansatz: Verwende die gerichtete Geschwindigkeit. Die Umkehr liegt dort, wo diese null wird; die Verschiebung ist die vorzeichenbehaftete Fläche unter dem Geschwindigkeitsgraphen.
$\begin{aligned}v(t)&=v_0+at\\t_*&=-\frac{v_0}{a}\\s(t)&=v_0t+\frac12at^2\end{aligned}$
Einsetzen: Verwende die angegebenen Anfangswerte mit ihren Vorzeichen.
$v(5)=-6+2\cdot5=4\,\mathrm{m/s}$
Die Nullstelle trennt die zwei Bewegungsrichtungen.
$t_*=-\frac{v_0}{a}=3\,\mathrm s$
Die negative Dreiecksfläche bis 3 s und die positive bis 5 s getrennt auswerten.
$\begin{aligned}s_-&=-\tfrac12\cdot3\cdot6=-9\,\mathrm m\\{} s_+&=\tfrac12\cdot2\cdot4=4\,\mathrm m\end{aligned}$
Für Verschiebung mit Vorzeichen, für Strecke als Beträge addieren.
$\begin{aligned}s&=-9+4=-5\,\mathrm m\\{} L&=9+4=13\,\mathrm m\end{aligned}$

Ergebnis: Nach 5 s: v = +4 m/s, Umkehr bei 3 s, Verschiebung −5 m und Strecke 13 m.

Kontrolle: Das Weg-Zeit-Gesetz liefert ebenfalls −6·5 + ½·2·5² = −5 m. Die mittlere Geschwindigkeit ist −1 m/s, die mittlere Schnelligkeit 2,6 m/s.

Beispiel: Beschleunigung aus zwei Messwerten

Gleichmäßige Verzögerung

Gegeben: Zu Beginn +18 m/s, nach 3 s +6 m/s; konstantes a wird angenommen.
Gesucht: Bestimme a und prognostiziere v nach 4 s bei fortgesetzt konstantem a.

Ansatz: Die Messwerte bestimmen zunächst einen Mittelwert. Nur unter der zusätzlichen Annahme einer konstanten Beschleunigung darf derselbe Wert zur Vorhersage verwendet werden.
$\begin{aligned}\Delta v&=v_f-v_i\\a&=\frac{\Delta v}{\Delta t}\\v(t)&=v_i+at\end{aligned}$
Einsetzen: Verwende die angegebenen Anfangswerte mit ihren Vorzeichen.
$\Delta v=6-18=-12\,\mathrm{m/s}$
Die Änderung durch die verstrichene Zeit teilen.
$a=-\frac{12}{3}=-4\,\mathrm{m/s^2}$
Den Wert nur innerhalb einer fortgesetzten konstanten Verzögerung verwenden.
$v(4)=18-4\cdot4=2\,\mathrm{m/s}$

Ergebnis: a = −4 m/s²; bei weiter unverändertem a nach 4 s v = +2 m/s. Stillstand wäre nach 4,5 s.

Kontrolle: Bei t = 3 s reproduziert die Gerade +6 m/s. Zwei Messwerte allein belegen jedoch kein konstantes a zwischen den Messungen; sie bestimmen sicher nur den Mittelwert.

Vertiefung: Wenn die Beschleunigung von der Zeit abhängt

Als eigenes Gegenbeispiel sei a(t) = b·t mit b = 0,8 m/s³ und v₀ = 1 m/s. Integration ergibt v(t) = 1 m/s + ½bt². Nach 3 s ist v = 4,6 m/s. Den Momentanwert a(3 s) = 2,4 m/s² mit drei Sekunden zu multiplizieren würde 8,2 m/s liefern und überschätzt die tatsächliche Änderung.

\Delta v=\int_0^t b\tau\,\mathrm d\tau=\frac12bt^2

Bei linear wachsendem a ist die Fläche im a-t-Diagramm ein Dreieck.

Ein Intervallmittelwert ā erfüllt Δv = āΔt auch dann, wenn a variiert. Er darf aber nicht automatisch zur Vorhersage beliebiger Zwischenzeitpunkte oder für x = x₀ + v₀t + ½āt² verwendet werden. Die Zeitverteilung der Beschleunigung beeinflusst den Ort.[2]

Vom eindimensionalen Gesetz zum Vektor

\vec v(t)=\vec v_0+\vec a\,t

Die Vektorform verlangt eine konstante Beschleunigung als Vektor, nicht nur einen konstanten Betrag.

Bei gleichförmiger Kreisbewegung ist die Schnelligkeit konstant, aber die Geschwindigkeit ändert ihre Richtung. Der Beschleunigungsvektor dreht sich mit und ist deshalb nicht konstant. Die lineare Formel darf hier nicht mit dem Betrag der Zentripetalbeschleunigung eingesetzt werden. Auch ein plötzlicher Sprung der Geschwindigkeit wäre keine endliche konstante Beschleunigung; reale Übergänge benötigen einen endlichen Zeitraum. Die resultierende Zentripetalkraft zeigt zum Kreismittelpunkt und ändert die Bewegungsrichtung.[5]

Bei abschnittsweise konstanter Beschleunigung rechnest du Abschnitt für Abschnitt. Die Endgeschwindigkeit des ersten wird Anfangsgeschwindigkeit des zweiten. Stetige Geschwindigkeiten an den Übergängen und passende Einheiten sind einfache Kontrollen für einen realistischen Modellverlauf.

Fünf Aufgaben zur sicheren Anwendung

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

v₀ = −3 m/s und a = −2 m/s². Bestimme v und Schnelligkeit nach 2 s. Wird der Körper schneller?

Hinweis anzeigen

Vorzeichenbehafteten Wert und Betrag getrennt angeben.

Lernziel: Signierte Geschwindigkeit und Schnelligkeitsänderung trennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Bei konstantem a gilt v = v₀ + at.
Nach zwei Sekunden ist v = −7 m/s.
Der Betrag steigt von 3 auf 7 m/s; der Körper wird schneller nach links.

Kontrolle: In jeder Sekunde kommt −2 m/s zur gerichteten Geschwindigkeit hinzu. Negative Beschleunigung bedeutet hier also nicht Bremsen.

\begin{aligned}v&=v_0+at\\&=-3\,\mathrm{m/s}+(-2\,\mathrm{m/s^2})(2\,\mathrm s)\\&=-7\,\mathrm{m/s}\\|v|&=7\,\mathrm{m/s}\end{aligned}

[2][3]

Umstellen · Einstieg

Ein Wagen fährt mit 36 km/h und beschleunigt konstant mit 1,5 m/s². Wann erreicht er 54 km/h?

Hinweis anzeigen

Beide Geschwindigkeiten vor der Differenzbildung umrechnen.

Lernziel: Beschleunigungszeit nach Geschwindigkeitsumrechnung bestimmen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Gesucht ist die Zeit für eine Geschwindigkeitsänderung, daher t = (v − v₀)/a.
Die SI-Werte sind 10 und 15 m/s.
Ihre Differenz beträgt 5 m/s, nicht 15 m/s.
Die Zeit ist etwa 3,33 s.

Kontrolle: Die Beschleunigung liefert in dieser Zeit genau die fehlenden 5 m/s.

\begin{aligned}v_0&=\frac{36}{3.6}\,\mathrm{m/s}=10\,\mathrm{m/s}\\v&=\frac{54}{3.6}\,\mathrm{m/s}=15\,\mathrm{m/s}\\t&=\frac{v-v_0}{a}=\frac{15-10}{1.5}\,\mathrm s\\&=\frac{10}{3}\,\mathrm s\approx3.33\,\mathrm s\end{aligned}

[2][3]

Transfer · Anwenden

v₀ = 0 und a(t) = (0,6 m/s³)·t. Wie groß ist v nach 4 s?

Hinweis anzeigen

Integriere a(t), statt den Endwert mit t zu multiplizieren.

Lernziel: Zeitabhängige Beschleunigung integrieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Geschwindigkeitsänderung ist die Fläche unter dem Beschleunigungsgraphen.
Weil a von null linear ansteigt, ist diese Fläche ein Dreieck.
Nach vier Sekunden erreicht a den Wert 2,4 m/s².
Die Fläche mit Grundseite 4 s und Höhe 2,4 m/s² ergibt 4,8 m/s.

Kontrolle: Das Rechteck mit dem Endwert wäre doppelt so groß und würde die Beschleunigung zu frühen Zeiten überschätzen.

\begin{aligned}a(4\,\mathrm s)&=2.4\,\mathrm{m/s^2}\\v(4\,\mathrm s)-v_0&=\frac12(4\,\mathrm s)(2.4\,\mathrm{m/s^2})\\&=4.8\,\mathrm{m/s}\end{aligned}

[2][3]

Interpretieren · Anwenden

Ein v-t-Diagramm ist eine Gerade von v=−4 m/s bei t=0 zu v=+4 m/s bei t=4 s. Lies Beschleunigung und Umkehrzeit ab. In welchen Zeitabschnitten sinkt oder steigt die Schnelligkeit?

Hinweis anzeigen

Steigung liefert a; Schnelligkeit ist der Betrag von v.

Lernziel: Umkehr in einem v-t-Diagramm bei konstanter Beschleunigung erkennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die Steigung ist 2 m/s², also v=−4+2t in SI-Einheiten.
Bei 2 s ist v=0.
Vorher sinkt |v|, danach steigt |v|; a bleibt dabei positiv.

Kontrolle: Endgeschwindigkeit bei 4 s ist wieder +4 m/s. Positive Beschleunigung bedeutet somit nicht während des ganzen Intervalls schneller werden. Die Schnelligkeit selbst besitzt am Umkehrzeitpunkt einen Knick im Betragsverlauf, die Geschwindigkeit bleibt glatt.

\begin{aligned}a&=\frac{4-(-4)}4\,\mathrm{m/s^2}=2\,\mathrm{m/s^2}\\t_{\mathrm{turn}}&=\frac42\,\mathrm s=2\,\mathrm s\end{aligned}

[1][2][3]

Fehleranalyse · Anwenden

Ein Körper bewegt sich gleichförmig auf einem Kreis von Radius 2 m mit Schnelligkeit 3 m/s. Die Beschleunigung hat Betrag 4,5 m/s². Eine Lösung setzt v=3+4,5t und behauptet 7,5 m/s nach 1 s. Warum ist das Modell falsch?

Hinweis anzeigen

Der Beschleunigungsvektor zeigt zum Mittelpunkt und dreht sich mit.

Lernziel: Konstante Schnelligkeit auf Kreisbahn nicht als konstanten Beschleunigungsvektor behandeln.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Bei gleichförmiger Kreisbewegung ändert sich die Richtung, nicht der Betrag der Geschwindigkeit.
Nach 1 s beträgt die Schnelligkeit weiterhin 3 m/s.
Der zentripetale Betrag 4,5 m/s² ist keine konstante tangentiale Komponente auf einer festen Geraden.

Kontrolle: v·a=0, daher $\frac{d(v^2)}{dt}=0$ . Die Formel mit konstantem a gilt komponentenweise nur bei einem wirklich konstanten Beschleunigungsvektor.

\begin{aligned}\frac{\mathrm d}{\mathrm dt}|\mathbf v|^2&=2\mathbf v\cdot\mathbf a=0\\|\mathbf v(1\,\mathrm s)|&=3\,\mathrm{m/s}\end{aligned}

[2]

Das solltest du mitnehmen

Geschwindigkeit braucht eine Achse; Schnelligkeit ist ihr Betrag. Beschleunigung beschreibt die Änderung der gerichteten Geschwindigkeit.
Die kurze Formel gilt nur bei konstantem a. Zwei Messpunkte belegen diese Annahme noch nicht.
Für eine Umkehr v = 0 setzen. Für Schnellerwerden Richtung von v und a vergleichen, nicht allein das Vorzeichen von a.

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 1. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 2 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

1. Oktober 2026Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz mit konstantem a und Zeitbezug direkt beantwortet; Einheiten, Umstellungen und veränderliches a auffindbar gemacht. Richtungswechsel samt v·a erhalten und Weggesetz, freien Fall und Zentripetalkraft verlinkt.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Vorwissen und anschaulichen Einstieg ergänzt; Herleitung, Beispielansätze und Aufgabenlösungen ausführlicher erklärt sowie eine Zusammenfassung ergänzt.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz. Stand 1. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/geschwindigkeit-beschleunigung

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz

Wie berechnet man die Endgeschwindigkeit mit

v = a\cdot{}t + v_{0}

Bei konstantem a addierst du at zur Anfangsgeschwindigkeit mit Vorzeichen. Mit $v_{0} =\frac{ 10 m}{s}$ , $a =\frac{ 1{,}5 m}{s^{2}}$ und $t = 8 s$ sind es $+\frac{22 m}{s}$ , entsprechend $\frac{79{,}2 km}{h}$ . Für die Schnelligkeit nimmst du den Betrag. Bei $v_{0} < 0$ kann positives a zunächst die Schnelligkeit verringern und später nach der Umkehr erhöhen. Prüfe $t = 0$ : Das Ergebnis muss v₀ sein. Prüfe außerdem die Einheiten, denn at muss in $\frac{m}{s}$ vorliegen. Für $a = 0$ bleibt die Geschwindigkeit unverändert. Ein negatives Endergebnis bedeutet Bewegung entgegen der positiven Achse. Bei einer reinen Bremsaufgabe endet die betrachtete Phase normalerweise beim ersten Stillstand.

Was bedeutet eine Beschleunigung von

\frac{1 m}{s^{2}}

anschaulich?+

Eine konstante positive Komponente von $\frac{1 m}{s^{2}}$ ändert die Geschwindigkeitskomponente jede Sekunde um $+\frac{1 m}{s}$ . Beginnt ein Wagen bei $-\frac{3 m}{s}$ , hat er nach $2 s -\frac{1 m}{s}$ und ist langsamer geworden. Die Einheit liest sich als $(\frac{m}{s})$ pro Sekunde. Beschleunigung umfasst auch Richtungsänderungen. Ein zweites Beispiel beginnt bei $+\frac{3 m}{s}$ : Nach zwei Sekunden mit demselben positiven a sind es $+\frac{5 m}{s}$ , also tatsächlich mehr Schnelligkeit. Das Vorzeichen wird erst durch die festgelegte Achse verständlich. Bei veränderlichem a brauchst du dessen zeitlichen Verlauf; ein einzelner Momentanwert beschreibt nicht die Änderung über das gesamte Intervall.

Wie stellt man

v = a\cdot{}t + v_{0}

nach der Zeit um?+

Für $a \ne{} 0$ gilt $t =\frac{ (v - v_{0})}{a}$ . Beispiel: von $+\frac{26 m}{s}$ auf $+\frac{20 m}{s}$ mit $a = -\frac{2 m}{s^{2}}$ ergibt 3 s. Eine negative Zeit kann einen Zeitpunkt vor dem Start oder einen nach dem Start unerreichbaren Zielwert bezeichnen; sie beweist nicht automatisch einen Vorzeichenfehler. Bei $a = 0$ bleibt v konstant und diese Division ist nicht erlaubt. Kontrolliere die berechnete Zeit, indem du sie in das ursprüngliche Gesetz einsetzt. Die Einheit ergibt sich aus $(\frac{m}{s})$ geteilt durch $(\frac{m}{s^{2}})$ zu Sekunden. Eine Zielgeschwindigkeit kann vor einer Umkehr oder danach erreicht werden; die geplante Bewegungsphase und konstantes a müssen bis zum angegebenen Zeitpunkt tatsächlich gelten.

Was ist der Unterschied zwischen Geschwindigkeit und Beschleunigung?+

Geschwindigkeit ist die Änderung des Ortes, Beschleunigung die Änderung der Geschwindigkeit. Ein Körper mit konstanter Geschwindigkeit hat $a = 0$ . Am höchsten Punkt eines senkrechten Wurfs ist $v = 0$ , aber bei nach oben positiver Achse $a = -g$ . Bei gleichförmiger Kreisbewegung ist die Schnelligkeit konstant und die Beschleunigung trotzdem ungleich null, weil sich die Richtung ändert. Für einen Körper mit $v = -\frac{4 m}{s}$ und $a = +\frac{1 m}{s^{2}}$ nimmt die Schnelligkeit zunächst ab, obwohl a positiv ist. Drehe die Achse um, ändern beide Komponenten ihre Vorzeichen; der tatsächliche Bewegungsverlauf bleibt derselbe. Gerade deshalb sind die Wörter positiv und negativ allein keine Beschreibung des Schnellerwerdens.

Wie liest man Geschwindigkeit und Beschleunigung aus Diagrammen ab?+

Die Steigung des x-t-Graphen ist v, die Steigung des v-t-Graphen ist a. Eine steigende Gerade bedeutet positives konstantes a, eine fallende negatives konstantes a. Die gerichtete Fläche im v-t-Diagramm ergibt Verschiebung. Für die gesamte Strecke addiere die Beträge der Flächen auf beiden Seiten der Zeitachse. Die Schnelligkeit liest du als Betrag der Geschwindigkeitskomponente ab. Ein weit unter der Zeitachse liegender Graph kann daher große Schnelligkeit anzeigen. Zwei Messpunkte liefern über ihre Verbindungsgerade nur die mittlere Beschleunigung. Um konstantes a zu begründen, müssen zusätzliche Messpunkte oder eine passende Modellannahme den linearen Verlauf stützen.

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Kuratiertes Prüfungsset für "Geschwindigkeit-Zeit-Gesetz":

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Wie stellst du v = a·t + v₀ nach Zeit bis zu einer gerichteten Zielgeschwindigkeit um?

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Welcher typische Fehler passiert bei v = a·t + v₀?

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Vol. 1, §3.3 Average and Instantaneous Acceleration

Weitere Formeln: Mechanik

\sum \vec F_{\mathrm{ext}} = \vec F_{\mathrm{res}} = m \vec a

Newtons zweites Gesetz (resultierende Kraft)

F_G = G \cdot \frac{m_1 \cdot m_2}{r^2}

Newtonsches Gravitationsgesetz

E_{kin} = \frac{1}{2} m v^2

Kinetische Energie

E_{pot} = m \cdot g \cdot h

Potentielle Energie (Lagehöhe)

Spaced Repetition

Formeln nachhaltig lernen

Aktiver Abruf

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FSRS vs. SM-2

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