Mathematik · Geometrie / Körper

Kegel: Volumen und Oberfläche

Ein Kegel fasst ein Drittel des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe; der Mantel wird über die Mantellinie s berechnet.

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Formel

V = \frac{1}{3} π r^{2} h, M = π rs

LaTeX: V = \frac{1}{3}\pi r^{2} h, \quad M = \pi r s

r, h und s in cm oder m · V in cm³ oder m³ · M und O in cm² oder m²

Variablen & Einheiten – Kegel: Volumen und Oberfläche

Symbol	Bedeutung	Einheit
V	Volumen des Kegels	cm³, m³
M	Mantelfläche (O = πr² + πrs)	cm², m²
r	Radius der Grundfläche	cm, m
h	Höhe (senkrecht von Spitze zur Grundfläche)	cm, m
s	Mantellinie s = √(r² + h²)	cm, m

Herleitung & Hintergrund – Kegel: Volumen und Oberfläche

Demokrit vermutete den Faktor 1/3, Eudoxos bewies ihn mit der Exhaustionsmethode (überliefert in Euklids Elementen, Buch XII). Höhe h, Radius r und Mantellinie s bilden ein rechtwinkliges Dreieck: s² = r² + h². Abgerollt ist der Mantel ein Kreissektor mit Radius s und Bogenlänge 2πr, daraus folgt M = πrs; die Gesamtoberfläche ist O = πr² + πrs.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Gilt für gerade Kreiskegel: Spitze senkrecht über dem Kreismittelpunkt. r, h und s hängen über s² = r² + h² zusammen; bei schiefen Kegeln gilt nur V = ⅓·G·h weiter.

Herleitung in Schritten

Vergleich mit dem Zylinder und Abrollen des Mantels zum Kreissektor.

1Umschütt-Experiment und Exhaustionsbeweis zeigen: Der Kegel fasst genau 1/3 des Zylinders gleicher Grundfläche und Höhe.
2Der Mantel abgerollt ist ein Sektor mit Radius s und Bogen 2πr; sein Flächenanteil ergibt M = πrs.

Umstellen

Höhe aus dem Volumen

h = \frac{3 V}{π r ^{2}}

Der Faktor 3 kommt aus dem 1/3 der Volumenformel.

Mantellinie

s = r^{2} + h^{2}

Pythagoras im Achsenschnitt; s wird für M gebraucht.

Gesamtoberfläche

O = π r^{2} + π rs

Grundkreis plus Mantel; ohne Grundkreis nur M = πrs.

Aufgabenvariante

Ein Kegel hat r = 6 cm und h = 8 cm. Berechne V und M.

s = √(36 + 64) = 10 cm. V = ⅓·π·36·8 = 96π ≈ 301,6 cm³. M = π·6·10 = 60π ≈ 188,5 cm².

Ein Kegel fasst V = 100 cm³ bei r = 5 cm. Wie hoch ist er?

h = 3V/(πr²) = 300/(π·25) = 300/78,54 ≈ 3,82 cm.

Typische Fehler

Höhe h und Mantellinie s verwechseln.

h steht senkrecht, s läuft schräg am Mantel; s = √(r² + h²) ist immer länger als h.

Den Faktor 1/3 im Volumen vergessen.

πr²h ist der Zylinder; der Kegel fasst nur ein Drittel davon.

In M = πrs die Höhe h statt s einsetzen.

Die Mantelformel braucht die Mantellinie s, nicht h.

Klausurkontext

Körper- und Sachaufgaben (Trichter, Eistüten), zusammengesetzte Körper, Rotationskörper f(x) = mx in der Analysis.

Die typischen Fehler stecken als eigene Karten im Prüfungsset. Einmal aktiv trainiert, passieren sie in der Klausur selten.

Diese Fehler im Set trainieren Ich habe schon ein Konto

Formelcluster

Körpergeometrie

Kegel und Pyramide teilen den Faktor 1/3; der Kegel ist die Pyramide mit Kreisgrundfläche.

V = π r^{2} h, O = 2 π r (r + h)

Zylinder: Volumen und Oberfläche

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

Pyramide: Volumen

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Satz des Pythagoras

Rechenbeispiel

r = 3 cm, h = 4 cm: s = √(9 + 16) = 5 cm. V = ⅓·π·9·4 = 12π ≈ 37,7 cm³, M = π·3·5 = 15π ≈ 47,1 cm², O = π·3² + 15π = 24π ≈ 75,4 cm².

Anwendungsgebiete

Eistüten und Trichter, Dach- und Schüttkegel, Extremwertaufgaben, Rotationskörper in der Analysis

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Wie stellst du V = ⅓·πr²h, M = πrs nach Höhe aus dem Volumen um?

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Welcher typische Fehler passiert bei V = ⅓·πr²h, M = πrs?

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Wissenschaftliche Quellen

[1]Euklid (ca. 300 v. Chr.). Elemente, Buch XII, Satz 10.

Häufige Schreibweisen & Suchanfragen

V=1/3*pi*r^2*hM=pi*r*sKegel Volumen FormelKegel MantelflächeMantellinie Kegel berechnencone volume lateral surfaceKegel Oberfläche Formelein drittel pi r quadrat h

Weitere Mathematik-Formeln

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Satz des Pythagoras

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Quadratische Formel (ABC-Formel)

e^{i φ} = cos φ + i \cdot sin φ

Eulersche Formel

(f \cdot g)^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}

Produktregel der Differentiation

Spaced Repetition

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Häufige Fragen zu Kegel: Volumen und Oberfläche

Wie berechnet man das Volumen eines Kegels?+

Mit V = ⅓·πr²·h: Grundfläche πr² mal Höhe, davon ein Drittel. Beispiel: r = 3 cm und h = 4 cm ergeben V = ⅓·π·9·4 = 12π ≈ 37,7 cm³. Der Faktor ⅓ ist der häufigste Stolperstein; ohne ihn berechnest du den Zylinder, der dreimal so viel fasst. Wichtig ist außerdem, die senkrechte Höhe h zu verwenden und nicht die schräge Mantellinie s. Ist in einer Aufgabe nur s gegeben, berechnest du h zuerst über den Satz des Pythagoras: h = √(s² − r²). Die Einheit ist eine Kubikeinheit; für Füllmengen gilt wieder 1000 cm³ = 1 Liter.

Was ist der Unterschied zwischen Höhe h und Mantellinie s beim Kegel?+

Die Höhe h steht senkrecht: Sie verläuft von der Spitze lotrecht zum Mittelpunkt der Grundfläche. Die Mantellinie s läuft dagegen außen schräg am Kegel entlang, von der Spitze zum Rand des Grundkreises. Beide sind über den Satz des Pythagoras verbunden, denn r, h und s bilden ein rechtwinkliges Dreieck: s = √(r² + h²). Beispiel: r = 3 cm, h = 4 cm ergibt s = 5 cm; s ist immer länger als h. Merke die Zuordnung: Das Volumen braucht h (V = ⅓πr²h), die Mantelfläche braucht s (M = πrs). Werden beide verwechselt, sind Volumen oder Mantel systematisch falsch.

Wie berechnet man die Mantelfläche eines Kegels?+

Mit M = π·r·s, wobei s die Mantellinie ist. Falls s nicht gegeben ist, zuerst s = √(r² + h²) berechnen. Beispiel: r = 6 cm, h = 8 cm ergibt s = √(36 + 64) = 10 cm und M = π·6·10 = 60π ≈ 188,5 cm². Die Formel wird anschaulich, wenn du den Mantel aufschneidest und flach ausrollst: Es entsteht ein Kreissektor mit Radius s, dessen Bogenlänge genau der Umfang 2πr des Grundkreises ist; sein Flächenanteil an πs² liefert πrs. Für die Gesamtoberfläche kommt der Grundkreis dazu: O = πr² + πrs. Bei einer Eistüte ohne Boden reicht dagegen M allein.

Warum steht in der Kegel-Volumenformel der Faktor 1/3?+

Weil ein Kegel exakt ein Drittel des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe fasst. Experimentell siehst du das durch Umschütten: Ein mit Wasser gefüllter Kegel muss dreimal in den passenden Zylinder gegossen werden. Streng bewiesen wurde es schon in der Antike von Eudoxos mit der Exhaustionsmethode; der Kegel ist dabei der Grenzfall einer Pyramide, und jedes Prisma zerfällt in drei volumengleiche Pyramiden. Mit Oberstufenmitteln rechnest du es über das Rotationsvolumen nach: Die Gerade f(x) = (r/h)·x rotiert über [0; h], und π·∫(r/h)²x² dx = π·r²/h²·h³/3 = ⅓πr²h. Drei Wege, ein Faktor.

Wie berechnet man Höhe oder Radius eines Kegels aus dem Volumen?+

Durch Umstellen von V = ⅓πr²h. Nach der Höhe: h = 3V/(πr²); der Faktor 3 kompensiert das Drittel. Beispiel: V = 100 cm³ und r = 5 cm ergeben h = 300/(π·25) = 300/78,54 ≈ 3,82 cm. Nach dem Radius: r = √(3V/(πh)), hier mit Quadratwurzel, weil r quadratisch in der Formel steht. Kontrolliere am Ende durch Einsetzen in die Originalformel: ⅓·π·25·3,82 ≈ 100 ✓. Der typische Fehler ist, den Faktor 3 zu vergessen oder ihn auf die falsche Seite zu schlagen. Bei zusammengesetzten Aufgaben (Kegel auf Zylinder) stelle jede Teilformel einzeln um.