Kegel: Volumen und Oberfläche

Mit $V = \frac{1}{3}\cdot{}\pi{}r^{2}\cdot{}h$: Grundfläche $\pi{}r^{2}$ mal Höhe, davon ein Drittel. Beispiel: $r = 3 cm$ und $h = 4 cm$ ergeben $V = \frac{1}{3}\cdot{}\pi{}\cdot{}9\cdot{}4 = 12\pi{} \approx{} 37{,}7 cm^{3}$. Der Faktor ⅓ ist der häufigste Stolperstein; ohne ihn berechnest du den Zylinder, der dreimal so viel fasst. Wichtig ist außerdem, die senkrechte Höhe h zu verwenden und nicht die schräge Mantellinie s. Ist in einer Aufgabe nur s gegeben, berechnest du h zuerst über den Satz des Pythagoras: $h = \sqrt{(s^{2} - r^{2})}$. Die Einheit ist eine Kubikeinheit; für Füllmengen gilt wieder $1000 cm^{3} = 1$ Liter.

Die Höhe h steht senkrecht: Sie verläuft von der Spitze lotrecht zum Mittelpunkt der Grundfläche. Die Mantellinie s läuft dagegen außen schräg am Kegel entlang, von der Spitze zum Rand des Grundkreises. Beide sind über den Satz des Pythagoras verbunden, denn r, h und s bilden ein rechtwinkliges Dreieck: $s = \sqrt{(r^{2} + h^{2})}$. Beispiel: $r = 3 cm$, $h = 4 cm$ ergibt $s = 5 cm$; s ist immer länger als h. Merke die Zuordnung: Das Volumen braucht $h (V = \frac{1}{3}\pi{}r^{2}h)$, die Mantelfläche braucht s (M = πrs). Werden beide verwechselt, sind Volumen oder Mantel systematisch falsch.

Mit $M = \pi{}\cdot{}r\cdot{}s$, wobei s die Mantellinie ist. Falls s nicht gegeben ist, zuerst $s = \sqrt{(r^{2} + h^{2})}$ berechnen. Beispiel: $r = 6 cm$, $h = 8 cm$ ergibt $s = \sqrt{(36 + 64)} = 10 cm$ und $M = \pi{}\cdot{}6\cdot{}10 = 60\pi{} \approx{} 188{,}5 cm^{2}$. Die Formel wird anschaulich, wenn du den Mantel aufschneidest und flach ausrollst: Es entsteht ein Kreissektor mit Radius s, dessen Bogenlänge genau der Umfang 2πr des Grundkreises ist; sein Flächenanteil an $\pi{}s^{2}$ liefert πrs. Für die Gesamtoberfläche kommt der Grundkreis dazu: O = πr² + πrs. Bei einer Eistüte ohne Boden reicht dagegen M allein.

Weil ein Kegel exakt ein Drittel des Zylinders mit gleicher Grundfläche und Höhe fasst. Experimentell siehst du das durch Umschütten: Ein mit Wasser gefüllter Kegel muss dreimal in den passenden Zylinder gegossen werden. Streng bewiesen wurde es schon in der Antike von Eudoxos mit der Exhaustionsmethode; der Kegel ist dabei der Grenzfall einer Pyramide, und jedes Prisma zerfällt in drei volumengleiche Pyramiden. Mit Oberstufenmitteln rechnest du es über das Rotationsvolumen nach: Die Gerade $f(x) = (\frac{r}{h})\cdot{}x$ rotiert über [0; h], und $\pi{}\cdot{}\int{}(\frac{r}{h})^{2}x^{2} dx =\frac{\frac{ \pi{}\cdot{}r^{2}}{h^{2}}\cdot{}h^{3}}{3} = \frac{1}{3}\pi{}r^{2}h$. Drei Wege, ein Faktor.

Durch Umstellen von $V = \frac{1}{3}\pi{}r^{2}h$. Nach der Höhe: $h =\frac{ 3V}{(\pi{}r^{2})}$; der Faktor 3 kompensiert das Drittel. Beispiel: $V = 100 cm^{3}$ und $r = 5 cm$ ergeben $h =\frac{ 300}{(\pi{}\cdot{}25)} =\frac{ 300}{78{,}54} \approx{} 3{,}82 cm$. Nach dem Radius: $r = \sqrt{(\frac{3V}{(\pi{}h)})}$, hier mit Quadratwurzel, weil r quadratisch in der Formel steht. Kontrolliere am Ende durch Einsetzen in die Originalformel: $\frac{1}{3}\cdot{}\pi{}\cdot{}25\cdot{}3{,}82 \approx{} 100$ ✓. Der typische Fehler ist, den Faktor 3 zu vergessen oder ihn auf die falsche Seite zu schlagen. Bei zusammengesetzten Aufgaben (Kegel auf Zylinder) stelle jede Teilformel einzeln um.