Pyramide: Volumen

Mit $V = \frac{1}{3}\cdot{}G\cdot{}h$ und $G = a^{2}$ für die quadratische Grundfläche, also $V = \frac{1}{3}\cdot{}a^{2}\cdot{}h$. Beispiel: $a = 6 cm$ und $h = 10 cm$ ergeben $G = 36 cm^{2}$ und $V = \frac{1}{3}\cdot{}36\cdot{}10 = 120 cm^{3}$. Wichtig: h ist die Körperhöhe, die senkrecht von der Spitze auf die Mitte der Grundfläche trifft, nicht die schräge Seitenhöhe der Dreiecksflächen. Das Ergebnis trägt eine Kubikeinheit. Als Größenkontrolle hilft der Vergleich mit dem Quader: $a^{2}\cdot{}h = 360 cm^{3}$ wäre der umschließende Kasten, die Pyramide fasst genau ein Drittel davon. Berühmtes Anwendungsbeispiel: Die Cheops-Pyramide bringt es mit $a \approx{} 230 m$ und $h \approx{} 147 m$ auf rund 2,59 Millionen $m^{3}$.

Der Kern des Arguments: Ein dreiseitiges Prisma lässt sich vollständig in drei Pyramiden zerschneiden, die paarweise gleiche Grundfläche und gleiche Höhe haben und deshalb volumengleich sind. Jede einzelne fasst also ein Drittel des Prismas. Da sich jede Grundfläche in Dreiecke zerlegen lässt, überträgt sich der Faktor $\frac{1}{3}$ auf beliebige Pyramiden, und der Kegel ist der Grenzfall mit Kreisgrundfläche. Nach dem Prinzip von Cavalieri kommt es dabei nur auf die Querschnittsflächen in jeder Höhe an, weshalb auch schiefe Pyramiden die Formel erfüllen. Diese Drittel-Logik ist dieselbe wie beim Kegel; wer eine der beiden Formeln versteht, bekommt die andere geschenkt.

Die Körperhöhe h verläuft senkrecht von der Spitze zur Mitte der Grundfläche und gehört in die Volumenformel. Die Seitenhöhe h_s ist die Höhe eines Seitendreiecks: Sie läuft außen schräg von der Spitze zur Mitte einer Grundkante und wird für die Mantelfläche gebraucht. Bei der quadratischen Pyramide verbindet Pythagoras beide: h_s = √(h² + (a/2)²). Beispiel: $a = 6 cm$, $h = 10 cm$ ergibt h_s = √(100 + 9) = √109 ≈ 10,44 cm. Noch länger ist die Seitenkante zur Ecke: $s = \sqrt{(h^{2} + (\frac{a^{2}}{2}))} \approx{} 10{,}86 cm$. In Prüfungen entscheidet das Verwechseln dieser drei Längen häufig über richtig und falsch; ein beschriftetes Schrägbild schützt davor.

Stelle $V = \frac{1}{3}\cdot{}G\cdot{}h$ nach h um: $h =\frac{ 3V}{G}$. Der Faktor 3 gleicht das Drittel der Formel aus. Beispiel: $V = 400 cm^{3}$ und $G = 100 cm^{2}$ ergeben $h =\frac{ 1200}{100} = 12 cm$. Ist statt G die Kantenlänge a einer quadratischen Grundfläche gegeben, zuerst $G = a^{2}$ berechnen. Umgekehrt findest du die Grundfläche über $G =\frac{ 3V}{h}$, und bei quadratischer Grundfläche daraus die Kante $a = \sqrt{G}$. Häufiger Fehler ist, $\frac{V}{G}$ ohne den Faktor 3 zu rechnen; das Ergebnis ist dann dreimal zu klein. Eine Probe durch Einsetzen in die Originalformel dauert zehn Sekunden und fängt genau diesen Fehler ab.

Ja, in voller Allgemeinheit. Die Grundfläche darf ein Dreieck, Rechteck, Sechseck oder jedes andere Vieleck sein; G ist einfach deren Flächeninhalt. Auch die Spitze muss nicht über der Mitte liegen: Nach dem Prinzip von Cavalieri zählt nur, wie groß die Querschnittsfläche in jeder Höhe ist, und die schrumpft bei jeder Pyramide quadratisch von G auf 0. Zwei Pyramiden mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe haben deshalb dasselbe Volumen, egal wie schief sie sind; h ist stets der senkrechte Abstand der Spitze zur Grundflächenebene. Sogar der Kegel folgt dieser Logik als Pyramide mit Kreisgrundfläche: $V = \frac{1}{3}\cdot{}\pi{}r^{2}\cdot{}h$.