Mathematik · Geometrie / Körper

Pyramide: Volumen

Jede Pyramide fasst ein Drittel des Prismas mit gleicher Grundfläche G und Höhe h, unabhängig von der Form der Grundfläche.

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Formel

V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

LaTeX: V = \frac{1}{3} \cdot G \cdot h

G in cm² oder m² · h in cm oder m · V in cm³ oder m³

Variablen & Einheiten – Pyramide: Volumen

Symbol	Bedeutung	Einheit
V	Volumen der Pyramide	cm³, m³
G	Grundfläche (Quadrat: G = a²)	cm², m²
h	Körperhöhe (senkrecht von Spitze zur Grundfläche)	cm, m

Herleitung & Hintergrund – Pyramide: Volumen

Der Faktor 1/3 stammt aus der Exhaustionsmethode des Eudoxos (Euklid, Elemente XII): Ein dreiseitiges Prisma lässt sich in drei volumengleiche Pyramiden zerlegen. Die Formel gilt für jede Grundfläche (Quadrat, Dreieck, beliebiges Vieleck); der Kegel ist der Grenzfall mit Kreisgrundfläche. Wichtig: h ist die senkrechte Körperhöhe, nicht die Seitenhöhe hₛ der Seitendreiecke (quadratisch: hₛ = √(h² + (a/2)²)).

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Gilt für jede Pyramide, egal ob die Grundfläche Quadrat, Rechteck, Dreieck oder ein beliebiges Vieleck ist und ob die Spitze mittig sitzt; h ist stets die senkrechte Höhe von der Spitze auf die Grundflächenebene.

Herleitung in Schritten

Ein Prisma lässt sich in drei volumengleiche Pyramiden zerlegen.

1Zerlege ein dreiseitiges Prisma mit Grundfläche G und Höhe h in drei Pyramiden; je zwei stimmen in Grundfläche und Höhe überein.
2Alle drei sind volumengleich, also V = (G·h)/3; beliebige Grundflächen folgen durch Zerlegung in Dreiecke.

Umstellen

Höhe aus dem Volumen

h = \frac{3 V}{G}

Der Faktor 3 kompensiert das Drittel der Volumenformel.

Grundfläche aus dem Volumen

G = \frac{3 V}{h}

Bei quadratischer Grundfläche danach a = √G.

Quadratische Pyramide

V = \frac{1}{3} a^{2} h

Häufigster Prüfungsfall: G = a² direkt einsetzen.

Aufgabenvariante

Quadratische Pyramide mit a = 6 cm und h = 10 cm: Berechne V.

G = 6² = 36 cm², V = ⅓·36·10 = 120 cm³.

Eine Pyramide hat V = 400 cm³ und G = 100 cm². Bestimme die Höhe.

h = 3V/G = 1200/100 = 12 cm.

Typische Fehler

Körperhöhe h mit der Seitenhöhe hₛ der Dreiecksflächen verwechseln.

h steht senkrecht auf der Grundfläche; quadratisch gilt hₛ = √(h² + (a/2)²).

Den Faktor 1/3 vergessen.

G·h ist das Prisma; die Pyramide fasst nur ein Drittel.

Bei G = a² die Kante der Seitenfläche als a nehmen.

a ist die Grundkante; Seitenkanten sind länger und gehören nicht in G.

Klausurkontext

Körperberechnung mit Pythagoras (Höhen, Kanten), zusammengesetzte Körper, Sachaufgaben zu Dächern und Pyramiden.

Die typischen Fehler stecken als eigene Karten im Prüfungsset. Einmal aktiv trainiert, passieren sie in der Klausur selten.

Diese Fehler im Set trainieren Ich habe schon ein Konto

Formelcluster

Körpergeometrie

Pyramide und Kegel teilen den Faktor 1/3 gegenüber Prisma und Zylinder.

V = \frac{1}{3} π r^{2} h, M = π rs

Kegel: Volumen und Oberfläche

V = \frac{4}{3} π r^{3}, O = 4 π r^{2}

Kugel: Volumen und Oberfläche

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Satz des Pythagoras

Rechenbeispiel

Quadratische Pyramide mit a = 6 cm und h = 10 cm: G = 36 cm², V = ⅓·36·10 = 120 cm³. Cheops-Pyramide (a ≈ 230 m, h ≈ 147 m): V = ⅓·230²·147 ≈ 2,59 Mio. m³.

Anwendungsgebiete

Architektur (Pyramiden, Zeltdächer, Obeliskspitzen), zusammengesetzte Körper in Prüfungen, Schütt- und Haufwerksvolumen, Kristallformen

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Kuratiertes Prüfungsset für "Pyramide: Volumen":

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Welche Formel beschreibt Pyramide: Volumen?

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Wie stellst du V = ⅓·G·h nach Höhe aus dem Volumen um?

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Welcher typische Fehler passiert bei V = ⅓·G·h?

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Wissenschaftliche Quellen

[1]Euklid (ca. 300 v. Chr.). Elemente, Buch XII, Satz 7.

Häufige Schreibweisen & Suchanfragen

V=1/3*G*hPyramide Volumen FormelVolumen quadratische Pyramideein drittel Grundfläche mal Höhepyramid volume formulaPyramidenvolumen berechnenCheops Pyramide VolumenHöhe Pyramide berechnen

Weitere Mathematik-Formeln

a^{2} + b^{2} = c^{2}

Satz des Pythagoras

x = \frac{- b \pm b ^{2} - 4 a c}{2 a}

Quadratische Formel (ABC-Formel)

e^{i φ} = cos φ + i \cdot sin φ

Eulersche Formel

(f \cdot g)^{'} = f^{'} \cdot g + f \cdot g^{'}

Produktregel der Differentiation

Spaced Repetition

Formeln nachhaltig lernen

Aktiver Abruf

Abrufen statt wiederlesen

FSRS vs. SM-2

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Häufige Fragen zu Pyramide: Volumen

Wie berechnet man das Volumen einer quadratischen Pyramide?+

Mit V = ⅓·G·h und G = a² für die quadratische Grundfläche, also V = ⅓·a²·h. Beispiel: a = 6 cm und h = 10 cm ergeben G = 36 cm² und V = ⅓·36·10 = 120 cm³. Wichtig: h ist die Körperhöhe, die senkrecht von der Spitze auf die Mitte der Grundfläche trifft, nicht die schräge Seitenhöhe der Dreiecksflächen. Das Ergebnis trägt eine Kubikeinheit. Als Größenkontrolle hilft der Vergleich mit dem Quader: a²·h = 360 cm³ wäre der umschließende Kasten, die Pyramide fasst genau ein Drittel davon. Berühmtes Anwendungsbeispiel: Die Cheops-Pyramide bringt es mit a ≈ 230 m und h ≈ 147 m auf rund 2,59 Millionen m³.

Warum fasst eine Pyramide genau ein Drittel des Prismas?+

Der Kern des Arguments: Ein dreiseitiges Prisma lässt sich vollständig in drei Pyramiden zerschneiden, die paarweise gleiche Grundfläche und gleiche Höhe haben und deshalb volumengleich sind. Jede einzelne fasst also ein Drittel des Prismas. Da sich jede Grundfläche in Dreiecke zerlegen lässt, überträgt sich der Faktor 1/3 auf beliebige Pyramiden, und der Kegel ist der Grenzfall mit Kreisgrundfläche. Nach dem Prinzip von Cavalieri kommt es dabei nur auf die Querschnittsflächen in jeder Höhe an, weshalb auch schiefe Pyramiden die Formel erfüllen. Diese Drittel-Logik ist dieselbe wie beim Kegel; wer eine der beiden Formeln versteht, bekommt die andere geschenkt.

Was ist der Unterschied zwischen Körperhöhe und Seitenhöhe einer Pyramide?+

Die Körperhöhe h verläuft senkrecht von der Spitze zur Mitte der Grundfläche und gehört in die Volumenformel. Die Seitenhöhe hₛ ist die Höhe eines Seitendreiecks: Sie läuft außen schräg von der Spitze zur Mitte einer Grundkante und wird für die Mantelfläche gebraucht. Bei der quadratischen Pyramide verbindet Pythagoras beide: hₛ = √(h² + (a/2)²). Beispiel: a = 6 cm, h = 10 cm ergibt hₛ = √(100 + 9) = √109 ≈ 10,44 cm. Noch länger ist die Seitenkante zur Ecke: s = √(h² + (a²/2)) ≈ 10,86 cm. In Prüfungen entscheidet das Verwechseln dieser drei Längen häufig über richtig und falsch; ein beschriftetes Schrägbild schützt davor.

Wie berechnet man die Höhe einer Pyramide aus dem Volumen?+

Stelle V = ⅓·G·h nach h um: h = 3V/G. Der Faktor 3 gleicht das Drittel der Formel aus. Beispiel: V = 400 cm³ und G = 100 cm² ergeben h = 1200/100 = 12 cm. Ist statt G die Kantenlänge a einer quadratischen Grundfläche gegeben, zuerst G = a² berechnen. Umgekehrt findest du die Grundfläche über G = 3V/h, und bei quadratischer Grundfläche daraus die Kante a = √G. Häufiger Fehler ist, V/G ohne den Faktor 3 zu rechnen; das Ergebnis ist dann dreimal zu klein. Eine Probe durch Einsetzen in die Originalformel dauert zehn Sekunden und fängt genau diesen Fehler ab.

Gilt V = ⅓·G·h auch für schiefe Pyramiden und andere Grundflächen?+

Ja, in voller Allgemeinheit. Die Grundfläche darf ein Dreieck, Rechteck, Sechseck oder jedes andere Vieleck sein; G ist einfach deren Flächeninhalt. Auch die Spitze muss nicht über der Mitte liegen: Nach dem Prinzip von Cavalieri zählt nur, wie groß die Querschnittsfläche in jeder Höhe ist, und die schrumpft bei jeder Pyramide quadratisch von G auf 0. Zwei Pyramiden mit gleicher Grundfläche und gleicher Höhe haben deshalb dasselbe Volumen, egal wie schief sie sind; h ist stets der senkrechte Abstand der Spitze zur Grundflächenebene. Sogar der Kegel folgt dieser Logik als Pyramide mit Kreisgrundfläche: V = ⅓·πr²·h.