Zylinder: Volumen und Oberfläche

Grundfläche mal Höhe: $V = \pi{}r^{2}\cdot{}h$. Zuerst die Kreisfläche $\pi{}r^{2}$ der Grundfläche berechnen, dann mit der Höhe multiplizieren. Beispiel: Eine Dose mit $r = 3 cm$ und $h = 12 cm$ fasst $V = \pi{}\cdot{}9\cdot{}12 = 108\pi{} \approx{} 339{,}3 cm^{3}$, also etwa 0,34 Liter $(1000 cm^{3} = 1 l)$. Häufigster Fehler: Der Durchmesser wird als Radius eingesetzt; halbiere d immer zuerst, sonst wird das Ergebnis viermal zu groß. Die Formel gilt für jeden geraden Kreiszylinder, egal ob liegend oder stehend; wichtig ist nur, dass r zum Kreisquerschnitt und h zur Achse senkrecht auf der Grundfläche gehört.

Die Mantelfläche M = 2πrh ist nur die seitliche Wand, anschaulich das Etikett einer Dose: abgerollt ein Rechteck mit dem Kreisumfang 2πr als Breite und h als Höhe. Die Gesamtoberfläche O = 2πr² + 2πrh = 2πr(r + h) enthält zusätzlich Boden und Deckel, also zwei Kreisflächen. Beispiel mit $r = 4 cm$ und $h = 10 cm$: $M = 80\pi{} \approx{} 251{,}3 cm^{2}$, $O = 112\pi{} \approx{} 351{,}9 cm^{2}$. In Sachaufgaben entscheidet der Kontext: Für das Lackieren einer geschlossenen Tonne brauchst du O, für ein Etikett oder ein offenes Rohr nur M, für einen Becher ohne Deckel M plus einen Kreis.

Stelle $V = \pi{}r^{2}h$ nach h um: $h =\frac{ V}{(\pi{}r^{2})}$. Du teilst das Volumen also durch die Grundfläche. Beispiel: Ein Gefäß soll $V = 500 cm^{3}$ fassen und hat $r = 5 cm$; dann ist $h =\frac{ 500}{(\pi{}\cdot{}25)} =\frac{ 500}{78{,}54} \approx{} 6{,}37 cm$. Genauso findest du den Radius, wenn V und h gegeben sind: $r = \sqrt{(\frac{V}{(\pi{}h)})}$, hier mit Quadratwurzel, weil r quadratisch eingeht. Achte darauf, vor dem Umstellen alle Angaben in dieselbe Einheit zu bringen (Liter zuerst in $cm^{3}$ umrechnen). Solche Umstellungen sind Standard in Füllaufgaben: Gegeben ist die Füllmenge, gesucht die passende Gefäßabmessung.

Die beiden Größen wirken unterschiedlich stark, weil r quadratisch und h nur linear in $V = \pi{}r^{2}h$ steht. Verdoppelst du die Höhe, verdoppelt sich das Volumen. Verdoppelst du den Radius, vervierfacht es sich, denn $(2r)^{2} = 4r^{2}$. Beide zusammen verachtfachen das Volumen. Beispiel: $r = 3 cm$, $h = 12 cm$ ergibt $339{,}3 cm^{3}$; mit $r = 6 cm$ sind es $1357{,}2 cm^{3}$. Diese Asymmetrie erklärt, warum breite Gefäße so viel mehr fassen, als man schätzt, und sie ist der Kern vieler Prüfungsfragen: Eine Preisvergleichsaufgabe mit doppelt so breitem Becher ist fast immer eine Skalierungsfrage in Verkleidung.

Über ein berühmtes Verhältnis von Archimedes. Nimm einen Zylinder mit Radius r und Höhe $h = 2r$, dazu den einbeschriebenen Kegel (gleiche Grundfläche, gleiche Höhe) und die einbeschriebene Kugel mit Radius r. Dann gilt: Kegel $\frac{2}{3}\cdot{}\pi{}r^{3}$, Kugel $\frac{4}{3}\cdot{}\pi{}r^{3}$, Zylinder $2\pi{}r^{3}$, also das Verhältnis 1 : 2 : 3. Der Kegel fasst ein Drittel des Zylinders, die Kugel zwei Drittel. Diese Beziehung ist ein starkes Kontrollwerkzeug in Prüfungen: Hast du zwei der drei Körper berechnet, kannst du den dritten sofort prüfen. Archimedes war auf diesen Zusammenhang so stolz, dass er ihn auf seinem Grabstein verewigen ließ.