Drittes Keplersches Gesetz

Es gibt zwei Rechenwege. Innerhalb des Sonnensystems nutzt du das reine Verhältnis: In den Einheiten AE und Jahre gilt für die Sonne T² = a³, weil die Erdbahn beide Konstanten auf 1 setzt. Mars mit a = 1,524 AE hat also T = √(1,524³) ≈ 1,88 Jahre. Für Satelliten oder fremde Zentralkörper brauchst du die SI-Form T² = 4π²·a³/(G·M) mit T in Sekunden, a in Metern und M in Kilogramm. Wähle den Weg nach der Frage: Verhältnisse zwischen Planeten gehen ohne G und M, absolute Größen wie die Höhe eines Satelliten verlangen die vollständige Formel.

Ein geostationärer Satellit steht scheinbar fest über einem Punkt des Äquators, seine Umlaufzeit ist also ein Sterntag T = 86.164 s. Stelle das Gesetz nach der Halbachse um: a³ = G·M·T²/(4π²). Mit G·M_Erde = 3,986×10¹⁴ m³/s² ergibt sich a³ = 3,986×10¹⁴ × 7,42×10⁹/39,48 ≈ 7,50×10²², also a ≈ 42.160 km vom Erdmittelpunkt. Abzüglich des Erdradius von 6.371 km bleibt eine Bahnhöhe von rund 35.790 km über dem Äquator. Dort sitzen Fernseh- und Wettersatelliten. Der häufigste Fehler ist, den Erdradius nicht abzuziehen oder mit dem 24-Stunden-Sonnentag statt dem Sterntag zu rechnen.

Stelle die SI-Form nach der Zentralmasse um: M = 4π²·a³/(G·T²). Du brauchst nur die Bahndaten eines Trabanten. Beispiel Erdmasse aus der Mondbahn: a = 3,844×10⁸ m und T = 27,32 Tage = 2,36×10⁶ s liefern M = 39,48 × 5,68×10²⁵/(6,674×10⁻¹¹ × 5,57×10¹²) ≈ 6,0×10²⁴ kg, in guter Übereinstimmung mit dem Literaturwert 5,97×10²⁴ kg. Nach demselben Muster wurden Sonnenmasse (aus der Erdbahn), Jupitermasse (aus den Galileischen Monden) und die Massen von Exoplaneten-Systemen bestimmt. Wichtig: Die Masse des kleinen Trabanten kürzt sich heraus, man erhält immer die Masse des Zentralkörpers.

Weil die Konstante nur Eigenschaften des Zentralkörpers enthält. Newtons Herleitung zeigt es: Die Gravitationskraft G·M·m/r² liefert die Zentripetalkraft m·ω²·r der Bahn. Die Planetenmasse m kürzt sich heraus, und mit ω = 2π/T bleibt T²/r³ = 4π²/(G·M). Rechts stehen nur Naturkonstanten und die Sonnenmasse M, also ergibt sich für Merkur bis Neptun derselbe Zahlenwert, obwohl ihre Umlaufzeiten von 88 Tagen bis 165 Jahren reichen. Genau daran erkannte Newton, dass seine Gravitationstheorie stimmt: Sie reproduziert Keplers empirisch gefundenes Gesetz. Um einen anderen Zentralkörper, etwa die Erde oder Jupiter, gilt dieselbe Struktur mit anderem M und damit anderer Konstante.

Planetenbahnen sind nach dem ersten Keplerschen Gesetz Ellipsen, in deren einem Brennpunkt die Sonne steht. Die große Halbachse a ist die halbe Länge der längsten Ellipsenachse und zugleich der Mittelwert aus kleinstem und größtem Sonnenabstand: a = (r_Perihel + r_Aphel)/2. Genau dieses a steht im dritten Keplerschen Gesetz, nicht der aktuelle Abstand, der sich ständig ändert. Für die fast kreisförmige Erdbahn ist a praktisch der Bahnradius (1 AE = 1,496×10¹¹ m). Bemerkenswert: Die Umlaufzeit hängt nur von a ab, nicht von der Exzentrizität. Ein Komet mit derselben Halbachse wie ein Planet braucht exakt gleich lange für einen Umlauf, egal wie langgestreckt seine Bahn ist.