Physik · Gravitation

Drittes Keplersches Gesetz für die Zweikörperbahn

Q: Wie wendet man das dritte Keplersche Gesetz konkret an?

Für eine ungestörte gebundene Zweikörperbahn gilt $T^2=\frac{4\pi^2a^3}{G(M+m)}$. Dabei ist a die große Halbachse der relativen Bahn und M+m die Gesamtmasse. Mit a in Metern, M und m in Kilogramm und G in SI-Einheiten erhältst du T in Sekunden. Für einen sehr leichten Begleiter darfst du M+m durch M ersetzen. Vergleichst du zwei Bahnen mit gleichem Gravitationsparameter, gilt $\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{a_2}{a_1}\right)^{3/2}$. Die Kurzform $T^2=a^3$ ohne Konstante ist nur eine passende Normierung, keine allgemeine Gleichung für beliebige Einheiten. Auf einer Ellipse darfst du weder momentanen Abstand noch Höhe über der Oberfläche als a einsetzen.

Q: Wie berechnet man die Höhe eines geostationären Satelliten?

Im idealisierten Erdmodell setzt du die Periode einer gleichsinnigen Kreisbahn auf einen Sterntag, ungefähr 86164 s. Mit $\mu{}\approx{}\frac{3{,}986\times{}10^{14} m^{3}}{s^{2}}$ folgt $r=\sqrt[3]{\frac{\mu T^2}{4\pi^2}}$ ≈ 42164 km vom Erdmittelpunkt. Für eine Höhe über dem Äquator ziehst du den Äquatorradius ab; mit etwa 6378 km ergibt sich rund 35786 km. Ein mittlerer Erdradius würde einen leicht anderen Höhenwert liefern. Die Periode allein macht die Bahn noch nicht geostationär: Sie muss außerdem äquatorial, kreisförmig und prograd sein. Eine geneigte oder elliptische Bahn mit derselben Periode ist geosynchron, bleibt aber nicht scheinbar über einem festen Bodenpunkt stehen.

Q: Wie bestimmt man mit Kepler 3 die Masse eines Himmelskörpers?

Die allgemeine Umstellung liefert zunächst $M+m=\frac{4\pi^2a^3}{GT^2}$, also die Gesamtmasse der beiden Partner. Verwende dafür die große Halbachse ihrer relativen Bahn und eine gemeinsame Umlaufzeit. Nur wenn die Begleitermasse vernachlässigbar ist, entspricht das Ergebnis näherungsweise allein der Zentralmasse. Bei einem Doppelstern mit ähnlich großen Massen ist diese Vereinfachung ungeeignet. Für getrennte Massen brauchst du zusätzlich etwa das Verhältnis ihrer Schwerpunktbahnen. Aus einem einzelnen beobachteten Bahnausschnitt können außerdem Geometrie und Neigung die Rekonstruktion von a beeinflussen. Die Rechnung verlangt positive Werte, passende Einheiten und eine ausreichend gute Zweikörpernäherung; ein Messwert für T allein bestimmt keine Masse.

Q: Warum ist $\frac{T^{2}}{a^{3}}$ für alle Planeten gleich?

Im vereinfachten Modell leichter Planeten um dieselbe Sonne ist $\frac{T^2}{a^3}$ näherungsweise $\frac{4\pi^2}{GM}$. Die gleiche Zentralmasse erklärt den gemeinsamen Quotienten. Die allgemeine Zweikörperform enthält jedoch M+m; bei erheblicher Begleitermasse verändert sich die Konstante. Auch reale Mehrkörperstörungen sind in der einfachen Gleichung nicht enthalten. Der Kreisbahnbeweis verwendet $\frac\mu{r^2}=\frac{v_{\mathrm{rel}}^2}r$ und den Umfang $2\pi r$. Für Ellipsen benötigt man zusätzlich konstante Flächengeschwindigkeit und die Bahnbeziehung $h^2=\mu a(1-e^2)$; erst daraus folgt dieselbe Regel mit der großen Halbachse. Die Übereinstimmung mit Beobachtungen stützt das Modell, ist aber kein experimentfreier Beweis des Gravitationsgesetzes. Andere Zentralkörper haben andere Konstanten.

Q: Was ist die große Halbachse bei einer Ellipsenbahn?

Die große Halbachse a ist die halbe Länge der längsten Ellipsenachse, gemessen vom Ellipsenmittelpunkt bis zum Rand. Für eine gebundene relative Keplerbahn gilt $a=\frac{r_{\mathrm{nah}}+r_{\mathrm{fern}}}2$. Diese Abstände werden vom Brennpunkt aus gemessen; der aktuelle Abstand kann zwischen ihnen liegen und ist nicht allgemein gleich a. Im Kreisfall ist a der konstante Radius. a ist auch nicht pauschal der zeitlich gemittelte Abstand oder eine mittlere Höhe über der Oberfläche. Bei festem Gravitationsparameter hängt die Umlaufzeit nur von a ab, nicht von der Exzentrizität. Diese Aussage gilt innerhalb des ungestörten Zweikörpermodells, nicht als exakte Gleichheit für beliebige reale Planeten- und Kometenbahnen.

Für eine ungestörte gebundene Zweikörperbahn gilt $\frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}$ . Die Halbachse ist relativ; für einen leichten Begleiter darf die Gesamtmasse durch die Zentralmasse angenähert werden.

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Formel

Berechnen

\frac{T ^{2}}{a ^{3}} = \frac{4 π ^{2}}{G ( M + m )}

T in s · a in m · G in $\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$ · M, m in kg

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$T$	Gemeinsame Umlaufzeit beider Körper	s
$a$	Große Halbachse der relativen Bahn (Summe der Schwerpunkt-Halbachsen)	m
$G$	Gravitationskonstante	m³/(kg·s²)
M, m	Massen der beiden gravitativ wechselwirkenden Körper	kg

LaTeX

\frac{T^2}{a^3} = \frac{4\pi^2}{G(M+m)}

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Schema: Eine (überzeichnet) elliptische Umlaufbahn mit einem Planeten, der Zentralkörper M in einem Brennpunkt, vom Mittelpunkt zum Rand ist die große Halbachse a markiert. — Ellipse eines leichten Begleiters um M im ungestörten Modell. a ist die große Halbachse; für m ≪ M ist T²/a³ näherungsweise 4π²/(GM).

Umlaufzeit mit dem 3. Keplerschen Gesetz berechnen

Umlaufzeit, große Halbachse oder Gravitationsparameter einer ungestörten Umlaufbahn zweier Körper ausrechnen.

Gesucht

Große Halbachse a

Große Halbachse vom Mittelpunkt aus, z. B. 6771 km für die ISS: 6371 km Erdradius plus 400 km Höhe.

Gravitationsparameter μ = G(M + m)

μ = G · (M + m), für die Erde 398 600 km³/s², für die Sonne etwa 1,327·10¹¹ km³/s².

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach T, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach T umstellen
$T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- a = 6771 km = 6 771 000 m
- μ = 398 600 km³/s² = 3,986 · 10¹⁴ m³/s²
$T=2\pi\sqrt{\frac{6771000^3}{398600000000000}}=5544{,}86$
3. Ergebnis
T = 92,41 min

Ergebnis: Umlaufzeit T

T = 92,41 min

Mit a = 6771 km und μ = 398 600 km³/s² ergibt sich T = 92,41 min.

So rechnest du schneller

Bei gleichem μ gilt T₂ : T₁ = (a₂ : a₁)^(3/2): vierfache Halbachse, achtfache Umlaufzeit.
a zählt vom Mittelpunkt, nicht von der Oberfläche: Bei Satelliten erst den Erdradius von 6371 km zur Flughöhe addieren.

Annahmen und Grenzen

Ungestörte gebundene Newtonsche Zweikörperbahn. a ist die große Halbachse der relativen Bahn, μ = G(M+m) der Gesamtparameter. Keine Höhe, momentane Entfernung oder einzelne Schwerpunkt-Halbachse; a, T und μ sind positiv.

Herleitung & Hintergrund

Für die relative Kreisbahn liefern $\frac\mu{r^2}=\frac{v_{\mathrm{rel}}^2}r$ und $v_{\mathrm{rel}}=\frac{2\pi r}T$ den Zusammenhang mit $\mu=G(M+m)$ . Bei Ellipsen führen konstante Flächengeschwindigkeit und $h^2=\mu a(1-e^2)$ zur gleichen Periodenregel. Dabei bezeichnet h den spezifischen Drehimpuls, keine Höhe. Verschiedene Zentralmassen oder erhebliche Begleitermassen führen im Allgemeinen zu verschiedenen Quotienten.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Ungestörte gebundene Newtonsche Zweikörperbahn $(0\le{}e<1)$ , Punktmassen oder passende äußere Kugelfelder. a bezeichnet die relative Halbachse; $GM$ ist die Näherung für m≪M.

Herleitung in Schritten

Die Kreisbahn erklärt die Skalierung; die allgemeine Zweikörperellipse folgt aus konstanter Flächengeschwindigkeit und ihrer Halbachse.

1Definiere $\mu=G(M+m)$ und die relative große Halbachse a, nicht eine einzelne Schwerpunktbahn.
2Im Kreisfall $a=r$ gelten $\frac\mu{r^2}=\frac{v_{\mathrm{rel}}^2}r$ und $v_{\mathrm{rel}}=\frac{2\pi r}T$ ; daraus folgt $T^2=\frac{4\pi^2r^3}\mu$ .
3Die Ellipse erhält $h=|\vec r\times\vec v_{\mathrm{rel}}|$ . Ihre Flächengeschwindigkeit ist $\frac h2$ , die Fläche $\pi ab$ .
4Daher gilt $T=\frac{2\pi ab}h$ mit $b=a\sqrt{1-e^2}$ .
5Die Bahnform $r=\frac{h^2}{\mu(1+e\cos\theta)}$ liefert aus nächstem und fernstem Abstand $a=\frac{h^2}{\mu(1-e^2)}$ .
6Setze $h^2=\mu a(1-e^2)$ in die Periodengleichung ein. Die Exzentrizität kürzt sich und $T^2=\frac{4\pi^2a^3}\mu$ bleibt.
7Nur für $m\ll M$ vereinfache zu $\mu\approx GM$ ; andere Zentral- oder erhebliche Begleitermassen ändern den Quotienten.

Umstellen

Gesamtmasse

M+m=\frac{4\pi^2a^3}{GT^2}

Relative Halbachse verwenden. Nur bei vernachlässigbarer Begleitermasse entspricht dies näherungsweise der Zentralmasse.

Umlaufzeit

T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{G(M+m)}}

Für eine gebundene Zweikörperbahn. Die Exzentrizität ändert bei gleicher Halbachse und Gesamtmasse die Periode nicht.

Relative Bahnhalbachse

a=\sqrt[3]{\frac{G(M+m)T^2}{4\pi^2}}

Liefert einen Mittelpunktabstand im Kreisfall, keine Höhe. Für geostationäre Höhe den passenden Erdradius abziehen und weitere Bahnbedingungen prüfen.

Aufgabenvariante

Jupiter braucht 11,86 Jahre für einen Sonnenumlauf. Wie groß ist seine Bahnhalbachse in AE?

In der Näherung gleicher Sonnen-Zentralmasse und vernachlässigbarer Begleitermassen gilt $\left(\frac a{1\,\mathrm{AE}}\right)^3\approx\left(\frac T{1\,\mathrm{Jahr}}\right)^2$ .
Damit ist $a\approx\sqrt[3]{11{,}86^2}\,\mathrm{AE}\approx5{,}2\,\mathrm{AE}$ .

Der Mond umkreist die Erde in 27,32 Tagen bei relativer Halbachse $a=3{,}844\cdot10^{8}\,\mathrm{m}$ . Schätze die Erdmasse, indem du die Mondmasse gegenüber ihr vernachlässigst.

$T\approx2{,}36\cdot10^6\,\mathrm s$ .
Mit vernachlässigter Mondmasse ist $M\approx\frac{4\pi^2a^3}{GT^2}$ .
Einsetzen ergibt $M\approx\frac{39{,}48\cdot5{,}68\cdot10^{25}}{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot5{,}57\cdot10^{12}}\,\mathrm{kg}\approx6{,}0\cdot10^{24}\,\mathrm{kg}$ .
Ohne diese Näherung bestimmt Keplers Gesetz die Summe aus Erd- und Mondmasse.

Typische Fehler

Bei Satelliten die Flughöhe über dem Boden als Bahnradius verwenden.

Bei einer Kreisbahn $r=R_E+h$ verwenden; für eine Ellipse aus den Mittelpunktabständen die große Halbachse bilden. Ein mittlerer Erdradius von rund 6371 km ist nicht der Äquatorradius.

Umlaufzeiten in Tagen oder Jahren in die SI-Form einsetzen.

Für die Form mit G und M muss T in Sekunden stehen; AE-Jahre-Einheiten nur beim reinen Verhältnis im Sonnensystem.

Bahnen um verschiedene Zentralkörper vergleichen.

Der Quotient $\frac{T^2}{a^3}=\frac{4\pi^2}{G(M+m)}$ ist nur bei gleichem Gravitationsparameter gleich. Gleicher Zentralkörper genügt ohne vernachlässigbare oder gleiche Begleitermassen nicht.

Klausurkontext

Typisch: Höhe des geostationären Orbits berechnen, Zentralmassen aus Mond- oder Satellitendaten bestimmen und Planetendaten über das Verhältnis $\frac{T^2}{a^3}$ prüfen.

Formelcluster

Gravitation und Bahnen

Die Kreisbewegung erklärt den Spezialfall; Drehimpuls und konstante Flächengeschwindigkeit erweitern das Gesetz auf die Ellipse.

F = G·m₁m₂/r²

Newtonsches Gravitationsgesetz

Fz = m·v²/r

Zentripetalkraft (Kreisbewegung)

Rechenbeispiel

Zwei leichte Begleiter derselben Quelle mit $a_2=1{,}524a_1$ haben $\frac{T_2}{T_1}=1{,}524^{3/2}\approx1{,}8814$ . Das ist eine Verhältnisrechnung; $T^2=a^3$ ohne Konstante ist keine allgemeine SI-Gleichung. Eine geostationäre Kreisbahn besitzt etwa 42 164 km Mittelpunktabstand. Zusätzlich zur passenden Periode muss sie äquatorial und gleichsinnig zur Erdrotation sein.

Anwendungsgebiete

Satellitenbahnen (GPS, geostationär), Massenbestimmung von Sternen und Planeten, Exoplaneten-Nachweis, Missionsplanung in der Raumfahrt

Rechenbeispiel: Drittes Keplersches Gesetz

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Drittes Keplersches Gesetz (T²/a³ = 4π²/[G(M+m)]).

1
Aufgabe
Jupiter braucht 11,86 Jahre für einen Sonnenumlauf. Wie groß ist seine Bahnhalbachse in AE?
Rechenweg
1. In der Näherung gleicher Sonnen-Zentralmasse und vernachlässigbarer Begleitermassen gilt $\left(\frac a{1\,\mathrm{AE}}\right)^3\approx\left(\frac T{1\,\mathrm{Jahr}}\right)^2$ .
2. Damit ist $a\approx\sqrt[3]{11{,}86^2}\,\mathrm{AE}\approx5{,}2\,\mathrm{AE}$ .
2
Aufgabe
Der Mond umkreist die Erde in 27,32 Tagen bei relativer Halbachse $a=3{,}844\cdot10^{8}\,\mathrm{m}$ . Schätze die Erdmasse, indem du die Mondmasse gegenüber ihr vernachlässigst.
Rechenweg
1. $T\approx2{,}36\cdot10^6\,\mathrm s$ .
2. Mit vernachlässigter Mondmasse ist $M\approx\frac{4\pi^2a^3}{GT^2}$ .
3. Einsetzen ergibt $M\approx\frac{39{,}48\cdot5{,}68\cdot10^{25}}{6{,}674\cdot10^{-11}\cdot5{,}57\cdot10^{12}}\,\mathrm{kg}\approx6{,}0\cdot10^{24}\,\mathrm{kg}$ .
4. Ohne diese Näherung bestimmt Keplers Gesetz die Summe aus Erd- und Mondmasse.

Die Formel verstehen und anwenden

Die Umlaufzeit hängt von der Größe der Bahn und der Gesamtmasse des Zweikörpersystems ab. Bei einer Ellipse ist die große Halbachse entscheidend, nicht der augenblickliche Abstand. Dieser Artikel erklärt die übliche Näherung, führt die Kreisbahn und den Ellipsenfall nachvollziehbar zusammen und zeigt eigene Beispiele mit echten Einheitenkontrollen.

Welche Bahngröße bestimmt die Umlaufzeit?

Ein weiter entfernter Begleiter braucht im gleichen Gravitationssystem länger für einen Umlauf. Bei einer Ellipse zählt dafür eine feste geometrische Größe: die große Halbachse, also die halbe Länge ihrer längsten Achse. Der momentane Abstand ändert sich dagegen während der Bahn. Wir beginnen mit der Kreisbahn und vertiefen danach, warum dieselbe Regel auch für die Ellipse gilt.[1]

Vorwissen: Radius, Quadrat- und Kubikpotenzen sowie Umlaufzeit. Eine relative Bahn beschreibt den Abstand des einen Partners vom anderen.

Wie lautet das dritte Keplersche Gesetz und welche Masse zählt?

\begin{aligned}&T^2=\frac{4\pi^2a^3}{G(M+m)}=\frac{4\pi^2a^3}{\mu}\\&\mu=G(M+m)\end{aligned}

a ist die große Halbachse der relativen Bahn des Abstandsvektors; $\mu$ ist der Gravitationsparameter in $\mathrm{m^3\,s^{-2}}$ .[3]

Betrachte zwei allein durch ihre gegenseitige Newtonsche Anziehung wechselwirkende Punktmassen M und m. Beide bewegen sich um den gemeinsamen Schwerpunkt. Ihre einzelnen Bahnhalbachsen $a_M$ und am addieren sich zur relativen Halbachse a. Die Umlaufzeit ist für beide gleich. Die übliche Formel mit $GM$ im Nenner vernachlässigt m gegenüber M.[3]

\begin{aligned}&a=a_M+a_m\\&a_M=\frac{m}{M+m}a\\&a_m=\frac{M}{M+m}a\end{aligned}

Bei ähnlich großen Massen muss die Relativbahn von den beiden Schwerpunktbahnen unterschieden werden.[3]

Wenn $\frac mM$ klein ist, ist $\frac{T^2}{a^3}$ näherungsweise $\frac{4\pi^2}{GM}$ . Zwei leichte Begleiter derselben Quelle haben dann denselben Quotienten. Bei unterschiedlichen Zentralkörpern oder nicht vernachlässigbaren Begleitermassen ist er nicht allgemein gleich.[5]

Bild ansehen: Vierfache Halbachse bedeutet achtfache Periode

Vierfache Halbachse bedeutet achtfache Periode

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Bei gleichem Gravitationsparameter gilt

\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{a_2}{a_1}\right)^{3/2}

. Die vierfache relative große Halbachse bedeutet die achtfache Periode. Das gilt für ungestörte gebundene Kreise und Ellipsen; die Halbachse ist kein momentaner Abstand und keine Höhe.[1]

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Was ist die große Halbachse einer Ellipse?

\begin{aligned}&a=\frac{r_{\mathrm p}+r_{\mathrm a}}2\\&r_{\mathrm p}=a(1-e)\\&r_{\mathrm a}=a(1+e)\end{aligned}

rp und ra sind kleinster und größter Abstand in der Relativbahn; 0 ≤ e < 1 beschreibt eine gebundene Ellipse.[1]

Die große Achse verläuft durch beide Brennpunkte und hat Länge 2a. Die Halbachse wird vom Ellipsenmittelpunkt bis zum Rand gemessen. Der gravitative Bezugspunkt liegt im Brennpunkt, nicht im Ellipsenmittelpunkt. In der Kreisgrenze $e=0$ fallen diese Punkte zusammen und a ist der konstante Bahnradius.[1]

a ist keine mittlere Höhe über einer Planetenoberfläche. Sind die nächste und fernste Höhe gegeben, addiere zuerst den Planetenradius zu jeder Höhe und bilde dann den Mittelwert. Auch der zeitlich gemittelte Abstand auf einer Ellipse ist im Allgemeinen nicht gleich a. Für das dritte Gesetz zählt die geometrische Halbachse.

Wie folgt das Gesetz für eine Kreisbahn aus Newton?

Das Newtonsche Gravitationsgesetz liefert die gegenseitige Anziehung im hier verwendeten Zweikörpermodell. Wähle den Relativvektor $\vec r$ vom Körper M zum Körper m. Subtrahierst du ihre beiden Beschleunigungen, erhältst du $\ddot{\vec r}=-\frac{\mu\vec r}{r^3}$ . Für die relative Kreisbahn ist der radiale Beschleunigungsbetrag $\frac{v_{\mathrm{rel}}^2}{r}$ . Dabei ist $v_{\mathrm{rel}}$ die Geschwindigkeit der beiden Körper relativ zueinander, nicht automatisch die Geschwindigkeit eines Körpers gegenüber dem Schwerpunkt.[3]

\begin{aligned}&\frac{\mu}{r^2}=\frac{v_{\mathrm{rel}}^2}{r}\\&v_{\mathrm{rel}}=\frac{2\pi r}{T}\\&T^2=\frac{4\pi^2r^3}{\mu}\end{aligned}

Die Einsetzung liefert das dritte Gesetz für $a=r$ . Diese Rechnung allein beweist den Ellipsenfall noch nicht.[2]

Vertiefung anzeigen: Warum auch Ellipsen dieselbe $a^3$ -Regel erfüllen

Für die vollständige Newtonsche Relativbahn ist der spezifische Drehimpulsbetrag $h=|\vec r\times\vec v_{\mathrm{rel}}|$ konstant. Er hat die Einheit $\mathrm{m^2\,s^{-1}}$ . Die Zentralbeschleunigung erzeugt kein Drehmoment; daher ist die überstrichene Fläche pro Zeit $\frac h2$ . In einer Umlaufzeit wird die Ellipsenfläche $\pi ab$ überstrichen, mit $b=a\sqrt{1-e^2}$ .[1][4]

T=\frac{2\pi ab}{h}=\frac{2\pi a^2\sqrt{1-e^2}}h

Noch enthält die Gleichung h. Die inverse-quadratische Kraft verbindet h mit der Form der Bahn.[4][3]

In Polarkoordinaten gilt $r^2\dot\theta=h$ . Setze $u=\frac1r$ und leite nach dem Winkel $\theta$ statt nach der Zeit ab. Die radiale Bewegungsgleichung führt zu $u^{\prime\prime}+u=\frac\mu{h^2}$ . Hier bezeichnen Striche Winkelableitungen. Die Lösung hat die Form $u=\frac\mu{h^2}(1+e\cos\theta)$ , wenn $\theta=0$ zum nächsten Bahnpunkt zeigt.[3]

\begin{aligned}r&=\frac{\frac{h^2}{\mu}}{1+e\cos\theta}\\{} a&=\frac{h^2}{\mu(1-e^2)}\\{} h^2&=\mu a(1-e^2)\end{aligned}

Die Beziehung für a folgt auch, wenn du die Abstände bei $\theta=0$ und $\theta$ = π addierst und halbierst.[4][3]

T^2=\frac{4\pi^2a^4(1-e^2)}{h^2}=\frac{4\pi^2a^3}{\mu}

Die Exzentrizität kürzt sich: Bei gleichem a und $\mu$ haben gebundene Ellipsen dieselbe Umlaufzeit.

Diese Herleitung setzt das Newtonsche Anziehungsmodell und eine ungestörte Zweikörperbahn voraus. Sie erklärt die Folgerung innerhalb dieses Modells, nicht den experimentellen Ursprung des Gravitationsgesetzes. Für $e\ge1$ gibt es keine gebundene vollständige Umlaufzeit dieser Art.

Umlaufzeit, große Halbachse und Gesamtmasse berechnen

\begin{aligned}T&=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}\\{} a&=\left(\frac{\mu T^2}{4\pi^2}\right)^{\frac{1}{3}}\\{} M+m&=\frac{4\pi^2a^3}{GT^2}\end{aligned}

T, a und $\mu$ müssen positiv sein; G ist positiv. Die Massenumstellung liefert zunächst die Gesamtmasse.

Mit a in Metern und $\mu$ in $\mathrm{m^3\,s^{-2}}$ ist $\frac{a^3}\mu$ eine Größe in Sekundenquadrat. Kilometer müssen vor dem Kubieren in Meter umgerechnet werden; ein Faktor 1000 im a verursacht einen Faktor eine Milliarde in $a^3$ . Tage werden mit 86400 in Sekunden umgerechnet.

Die Schreibweise $T^2=a^3$ ohne Konstante ist eine spezielle Normierung, keine allgemeine SI-Gleichung. Werden zwei Bahnen mit gleichem $\mu$ verglichen, dürfen ihre Perioden und Halbachsen jeweils in denselben beliebigen Einheiten stehen: $\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{a_2}{a_1}\right)^{3/2}$ . Bei anderem $\mu$ kommt der Faktor $\sqrt{\frac{\mu_1}{\mu_2}}$ hinzu.

Ellipse und zwei vergleichbar schwere Partner berechnen

Eine Ellipse hat während des Umlaufs unterschiedliche Geschwindigkeitsbeträge. Die Geschwindigkeit auf einer Kreisbahn ist dagegen bei passendem konstantem Radius ein Spezialfall; im vergleichbare-Massen-Modell ist weiterhin zwischen Relativbewegung und Schwerpunktbewegung zu unterscheiden.[1][2]

Umlaufzeit einer vorgegebenen Ellipse

Gegeben: Relatives Zweikörpermodell mit $\mu=4{,}00\cdot10^{14}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}}$ ; nächster Abstand 7200 km, fernster Abstand 10800 km.
Gesucht: Bestimme die Halbachse und Umlaufzeit.

Ansatz: Für die relative Ellipse ist $a=\frac{r_{\min}+r_{\max}}2$ und $T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}$ . Mittelpunktsabstände mitteln und in Meter umrechnen.
$a=\frac{7200+10800}{2}=9000\,\mathrm{km}=9.00\times10^6\,\mathrm m$
Halbachse kubieren und durch $\mu$ teilen.
$\frac{a^3}{\mu}=\frac{7.29\times10^{20}}{4.00\times10^{14}}=1.8225\times10^6\,\mathrm{s^2}$
Positive Wurzel und Faktor 2π verwenden.
$T=2\pi\sqrt{1.8225\times10^6}=8482.30\,\mathrm s\approx141.37\,\mathrm{min}$

Ergebnis: a beträgt 9000 km; die Modell-Umlaufzeit rund 8482 s beziehungsweise 141,4 Minuten.

Kontrolle: $e=\frac{r_{\max}-r_{\min}}{r_{\max}+r_{\min}}=\frac{10800-7200}{10800+7200}=0{,}20$ . Eine Kreisbahn mit demselben a und $\mu$ hätte dieselbe Periode; Einsetzen von nur 7200 km würde eine andere Bahn beschreiben.

Zwei vergleichbar schwere Partner

Gegeben: $M=3{,}00\cdot10^{30}\,\mathrm{kg}$ , $m=1{,}00\cdot10^{30}\,\mathrm{kg}$ ; relative Halbachse $a=2{,}00\cdot10^{11}\,\mathrm{m}$ ; $G=6{,}67430\cdot10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$ . Ungestörtes Modell.
Gesucht: Berechne Periode und beide Schwerpunkt-Halbachsen.

Ansatz: Beide Massen tragen zu $\mu=G(M+m)$ bei; die relative Halbachse bestimmt $T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{G(M+m)}}$ . Die Gesamtmasse für $\mu$ einsetzen.
$\mu=G(M+m)=2.66972\times10^{20}\,\mathrm{m^3/s^2}$
Die Periode aus der Relativbahn berechnen.
$\begin{aligned}T&=2\pi\sqrt{\frac{(2.00\times10^{11})^3}{2.66972\times10^{20}}}\,\mathrm s\\&\approx3.43947\times10^7\,\mathrm s\\&\approx398.09\,\mathrm d\end{aligned}$
Die Halbachse nach dem inversen Massenverhältnis aufteilen.
$\begin{aligned}a_M&=5.00\times10^{10}\,\mathrm m\\{} a_m&=1.50\times10^{11}\,\mathrm m\end{aligned}$

Ergebnis: Beide Körper haben rund 398,1 Tage Umlaufzeit. Ihre Schwerpunkt-Halbachsen addieren sich zu 2,00×10¹¹ m.

Kontrolle: $Ma_M=ma_m$ bestätigt den Schwerpunkt. Würde m im Nenner weggelassen, wäre die berechnete Periode um den Faktor $\sqrt{\frac43}\approx1{,}1547$ zu groß.

Was bestimmt eine Periodenmessung und wann ist eine Bahn geostationär?

Aus T und der relativen Halbachse folgt zunächst $\mu$ und mit G die Summe $M+m$ . Um die Massen getrennt zu finden, brauchst du weitere Information, beispielsweise das Verhältnis der Schwerpunktbahnen. Bei einem sehr leichten Satelliten ist die Gesamtmasse praktisch die Planetenmasse. Auch hier entscheiden Messunsicherheiten in a und T über die Genauigkeit. Die Vis-viva-Gleichung für elliptische Bahnen ergänzt mit dem momentanen Abstand den örtlichen Geschwindigkeitsbetrag der relativen Bahn; eine Umlaufzeit allein genügt dafür nicht.[1][2]

Eine geostationäre Bahn braucht mehr als die passende Umlaufzeit: Sie muss kreisförmig, äquatorial und gleichsinnig zur Erdrotation sein. Gleiche Periode auf einer geneigten oder elliptischen Bahn bedeutet nur geosynchron, nicht ortsfest am Himmel. Für eine Bahnhöhe ziehst du den passend gewählten Planetenradius vom Kreisbahnradius ab.[2][6]

Weitere Körper, Abplattung, Luftwiderstand, Antriebsmanöver und relativistische Effekte können eine reale Bahn verändern. Die Zweikörperformel ist dann eine Näherung oder beschreibt momentane Bahnparameter. Ein formal positiver T-Wert macht eine Bahn weder kollisionsfrei noch stabil gegen solche Störungen.[3]

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Zwei leichte Begleiter derselben Quelle haben a₂ = 4a₁. Wie groß ist $\frac{T_2}{T_1}$ ?

Hinweis anzeigen

Das Halbachsenverhältnis mit $\frac32$ potenzieren.

Lernziel: Die Periodenskalierung aus einem Halbachsenverhältnis berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Vergleiche die dritte Potenz der relativen Halbachsen bei gleichem $\mu$ : $\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{a_2}{a_1}\right)^{3/2}$ .
$\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{a_2}{a_1}\right)^{3/2}=4^{3/2}=8$ .

T_2=8T_1

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Eine Relativellipse hat nächsten Abstand 3,00×10⁷ m und fernsten Abstand 5,00×10⁷ m. Bei $\mu=1{,}00\cdot10^{15}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}}$ bestimme a und T.

Hinweis anzeigen

Erst a als halbe Summe bestimmen.

Lernziel: Ellipsenhalbachse aus Extremabständen bestimmen und die Periode berechnen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Zuerst $a=\frac{r_{\min}+r_{\max}}2$ bilden, dann $T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{\mu}}$ anwenden.
$a=4{,}00\cdot10^7\,\mathrm m$ .
$T=2\pi\sqrt{\frac{6{,}40\cdot10^{22}}{10^{15}}\,\mathrm{s^2}}\approx5{,}0265\cdot10^4\,\mathrm s$ , also etwa 13,96 Stunden.

T=16000\pi\,\mathrm s

Transfer · Anwenden

$a=1{,}00\cdot10^{9}\,\mathrm{m}$ , T = 10,0 Tage. Bestimme mit $G=6{,}67430\cdot10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$ die Gesamtmasse.

Hinweis anzeigen

Tage in Sekunden umrechnen und die Massenumstellung verwenden.

Lernziel: Aus Bahngröße und in Sekunden umgerechneter Periode eine Gesamtmasse erschließen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Rechne Tage in Sekunden um und verwende $M+m=\frac{4\pi^2a^3}{GT^2}$ .
Mit $T=864000\,\mathrm s$ folgt $M+m\approx7{,}9237\cdot10^{26}\,\mathrm{kg}$ .
Diese Messung bestimmt nur die Summe, keine Einzelmassen.

Kontrolle: Einsetzen der berechneten Gesamtmasse in $T=2\pi\sqrt{\frac{a^3}{G(M+m)}}$ ergibt wieder zehn Tage.

M+m\approx7.9237\times10^{26}\,\mathrm{kg}

Interpretieren · Anwenden

Zwei vernachlässigbar leichte Satelliten umkreisen dieselbe Punktmasse im Newtonschen Modell. Bahn A ist ein Kreis mit Radius 12 000 km; Bahn B eine Ellipse mit nächstem Abstand 6000 km und größtem Abstand 18 000 km. Vergleiche ihre Umlaufzeiten. Bedeutet gleiche Umlaufzeit auch, dass beide während der ganzen Bahn gleich schnell sind?

Hinweis anzeigen

Bei der Ellipse ist die große Halbachse der Mittelwert aus nächstem und größtem Abstand. Das dritte Gesetz liefert eine Umlaufzeit, keinen lokalen Geschwindigkeitsverlauf.

Lernziel: Gleiche große Halbachse trotz unterschiedlicher Bahnform als Periodenkriterium erkennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Für beide Bahnen die große Halbachse ermitteln und das dritte Keplersche Gesetz als Verhältnis anwenden.
Beide haben 12 000 km große Halbachse und deshalb dieselbe Umlaufzeit.
Auf der Ellipse ändern sich Abstand und Geschwindigkeit; gleiche Periode bedeutet nicht gleiche lokale Geschwindigkeit.

Kontrolle: Die elliptische Bahn hat Exzentrizität 0,50, die Kreisbahn null, aber denselben Wert von $a^3$ .

\begin{aligned}a_B&=\frac{r_{\min}+r_{\max}}2=\frac{6000+18\,000}{2}\,\mathrm{km}=12\,000\,\mathrm{km}\\\frac{T_B}{T_A}&=\left(\frac{a_B}{a_A}\right)^{3/2}=1\\e_B&=\frac{r_{\max}-r_{\min}}{r_{\max}+r_{\min}}=0.50\end{aligned}

[1][3]

Fehleranalyse · Vertiefen

Zwei gleich schwere Sterne bewegen sich auf Kreisbahnen um ihren gemeinsamen Schwerpunkt. Jeder Bahnradius ist $b=2{,}0\cdot10^{9}\,\mathrm{m}$ , beide haben dieselbe Periode T. Eine Rechnung setzt $a=b$ in $T^2=\frac{4\pi^2a^3}{G(M+m)}$ ein. Welche große Halbachse gehört in diese Gleichung, und um welchen Faktor wird die Gesamtmasse mit dem falschen a unterschätzt?

Hinweis anzeigen

Die Gleichung beschreibt die relative Bahn: den Abstand des einen Sterns vom anderen. Bei gleichen Massen liegen beide auf gegenüberliegenden Seiten des Schwerpunkts.

Lernziel: Relative Zweikörperbahn und Schwerpunktbahnen bei der Massenbestimmung trennen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die beiden Schwerpunktbahnradii zur relativen Kreisbahn addieren.
Die benötigte Halbachse beträgt 4,0·10⁹ m.
Die erschlossene Gesamtmasse ist bei gleichem T proportional zur dritten Potenz dieser Halbachse.
Der falsche Einsatz liefert deshalb nur ein Achtel der richtigen Masse.

Kontrolle: Das Verdoppeln von a vervielfacht $a^3$ mit acht; die Periode bleibt dieselbe gemessene Größe.

\begin{aligned}a_{\mathrm{rel}}&=b+b=2b=4.0\cdot10^9\,\mathrm m\\M+m&=\frac{4\pi^2a_{\mathrm{rel}}^3}{GT^2}\\\frac{(M+m)_{\mathrm{wrong}}}{(M+m)_{\mathrm{correct}}}&=\left(\frac{b}{2b}\right)^3=\frac18\end{aligned}

[3]

Das nimmst du mit

Verwende die große Halbachse der relativen Bahn und die Gesamtmasse der beiden Partner. Die Kreisbahn ist der einfache Spezialfall; eine Ellipse gleicher Halbachse hat bei gleichem Gravitationsparameter dieselbe Periode. Die Einheit der Halbachse und der Zeit muss zur eingesetzten Konstante passen. Eine passende Periode allein macht einen Satelliten nicht geostationär.[1]

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 1. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 2 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

1. Oktober 2026Umlaufzeit, relative Halbachse, Gesamtmasse, Kreis-/Ellipsenherleitung und geostationäre Bedingungen über Lernfragen erschlossen; alle vergleichbare-Massen-Rechnungen erhalten und Gravitation, Kreisbahngeschwindigkeit sowie Vis-viva passend verlinkt.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.
1. Oktober 2026Einstieg und Schlussfolgerung individuell erklärt, bestehende Rechnungen geprüft, Formelsatz und Modellbezug präzisiert sowie eine eigene Lernfigur ergänzt.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Drittes Keplersches Gesetz. Stand 1. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/kepler-drittes-gesetz

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

Korrektur mit Beleg vorschlagen

Häufige Fragen: Drittes Keplersches Gesetz

Wie wendet man das dritte Keplersche Gesetz konkret an?+

Für eine ungestörte gebundene Zweikörperbahn gilt $T^2=\frac{4\pi^2a^3}{G(M+m)}$ . Dabei ist a die große Halbachse der relativen Bahn und M+m die Gesamtmasse. Mit a in Metern, M und m in Kilogramm und G in SI-Einheiten erhältst du T in Sekunden. Für einen sehr leichten Begleiter darfst du M+m durch M ersetzen. Vergleichst du zwei Bahnen mit gleichem Gravitationsparameter, gilt $\frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{a_2}{a_1}\right)^{3/2}$ . Die Kurzform $T^2=a^3$ ohne Konstante ist nur eine passende Normierung, keine allgemeine Gleichung für beliebige Einheiten. Auf einer Ellipse darfst du weder momentanen Abstand noch Höhe über der Oberfläche als a einsetzen.

Wie berechnet man die Höhe eines geostationären Satelliten?+

Im idealisierten Erdmodell setzt du die Periode einer gleichsinnigen Kreisbahn auf einen Sterntag, ungefähr 86164 s. Mit $\mu{}\approx{}\frac{3{,}986\times{}10^{14} m^{3}}{s^{2}}$ folgt $r=\sqrt[3]{\frac{\mu T^2}{4\pi^2}}$ ≈ 42164 km vom Erdmittelpunkt. Für eine Höhe über dem Äquator ziehst du den Äquatorradius ab; mit etwa 6378 km ergibt sich rund 35786 km. Ein mittlerer Erdradius würde einen leicht anderen Höhenwert liefern. Die Periode allein macht die Bahn noch nicht geostationär: Sie muss außerdem äquatorial, kreisförmig und prograd sein. Eine geneigte oder elliptische Bahn mit derselben Periode ist geosynchron, bleibt aber nicht scheinbar über einem festen Bodenpunkt stehen.

Wie bestimmt man mit Kepler 3 die Masse eines Himmelskörpers?+

Die allgemeine Umstellung liefert zunächst $M+m=\frac{4\pi^2a^3}{GT^2}$ , also die Gesamtmasse der beiden Partner. Verwende dafür die große Halbachse ihrer relativen Bahn und eine gemeinsame Umlaufzeit. Nur wenn die Begleitermasse vernachlässigbar ist, entspricht das Ergebnis näherungsweise allein der Zentralmasse. Bei einem Doppelstern mit ähnlich großen Massen ist diese Vereinfachung ungeeignet. Für getrennte Massen brauchst du zusätzlich etwa das Verhältnis ihrer Schwerpunktbahnen. Aus einem einzelnen beobachteten Bahnausschnitt können außerdem Geometrie und Neigung die Rekonstruktion von a beeinflussen. Die Rechnung verlangt positive Werte, passende Einheiten und eine ausreichend gute Zweikörpernäherung; ein Messwert für T allein bestimmt keine Masse.

Warum ist

\frac{T^{2}}{a^{3}}

für alle Planeten gleich?+

Im vereinfachten Modell leichter Planeten um dieselbe Sonne ist $\frac{T^2}{a^3}$ näherungsweise $\frac{4\pi^2}{GM}$ . Die gleiche Zentralmasse erklärt den gemeinsamen Quotienten. Die allgemeine Zweikörperform enthält jedoch M+m; bei erheblicher Begleitermasse verändert sich die Konstante. Auch reale Mehrkörperstörungen sind in der einfachen Gleichung nicht enthalten. Der Kreisbahnbeweis verwendet $\frac\mu{r^2}=\frac{v_{\mathrm{rel}}^2}r$ und den Umfang $2\pi r$ . Für Ellipsen benötigt man zusätzlich konstante Flächengeschwindigkeit und die Bahnbeziehung $h^2=\mu a(1-e^2)$ ; erst daraus folgt dieselbe Regel mit der großen Halbachse. Die Übereinstimmung mit Beobachtungen stützt das Modell, ist aber kein experimentfreier Beweis des Gravitationsgesetzes. Andere Zentralkörper haben andere Konstanten.

Was ist die große Halbachse bei einer Ellipsenbahn?+

Die große Halbachse a ist die halbe Länge der längsten Ellipsenachse, gemessen vom Ellipsenmittelpunkt bis zum Rand. Für eine gebundene relative Keplerbahn gilt $a=\frac{r_{\mathrm{nah}}+r_{\mathrm{fern}}}2$ . Diese Abstände werden vom Brennpunkt aus gemessen; der aktuelle Abstand kann zwischen ihnen liegen und ist nicht allgemein gleich a. Im Kreisfall ist a der konstante Radius. a ist auch nicht pauschal der zeitlich gemittelte Abstand oder eine mittlere Höhe über der Oberfläche. Bei festem Gravitationsparameter hängt die Umlaufzeit nur von a ab, nicht von der Exzentrizität. Diese Aussage gilt innerhalb des ungestörten Zweikörpermodells, nicht als exakte Gleichheit für beliebige reale Planeten- und Kometenbahnen.

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Welche Formel beschreibt Drittes Keplersches Gesetz?

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Frage (Vorderseite)

Wie stellst du T²/a³ = 4π²/[G(M+m)] nach Gesamtmasse um?

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Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei T²/a³ = 4π²/[G(M+m)]?

Antwort in deinem Set

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

[1]OpenStax, University Physics Vol. 1, §13.5 Kepler’s Laws of Planetary Motion

Weitere Formeln: Mechanik

\sum \vec F_{\mathrm{ext}} = \vec F_{\mathrm{res}} = m \vec a

Newtons zweites Gesetz (resultierende Kraft)

E_{kin} = \frac{1}{2} m v^2

Kinetische Energie

E_{pot} = m \cdot g \cdot h

Potentielle Energie (Lagehöhe)

F = k \cdot x

Hookesches Gesetz (Federkraft)

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Drittes Keplersches Gesetz für die Zweikörperbahn

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Rechenbeispiel: Drittes Keplersches Gesetz

Welche Bahngröße bestimmt die Umlaufzeit?

Wie lautet das dritte Keplersche Gesetz und welche Masse zählt?

Vierfache Halbachse bedeutet achtfache Periode

Was ist die große Halbachse einer Ellipse?

Wie folgt das Gesetz für eine Kreisbahn aus Newton?

Vertiefung anzeigen: Warum auch Ellipsen dieselbe a3a^3a3-Regel erfüllen

Umlaufzeit, große Halbachse und Gesamtmasse berechnen

Ellipse und zwei vergleichbar schwere Partner berechnen

Umlaufzeit einer vorgegebenen Ellipse

Zwei vergleichbar schwere Partner

Was bestimmt eine Periodenmessung und wann ist eine Bahn geostationär?

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Zwei leichte Begleiter derselben Quelle haben a2 = 4a1. Wie groß ist T2T1\frac{T_2}{T_1}T1​T2​​?

Eine Relativellipse hat nächsten Abstand 3,00×107 m und fernsten Abstand 5,00×107 m. Bei μ=1,00⋅1015 m3 s−2\mu=1{,}00\cdot10^{15}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}}μ=1,00⋅1015m3s−2 bestimme a und T.

a=1,00⋅109 ma=1{,}00\cdot10^{9}\,\mathrm{m}a=1,00⋅109m, T = 10,0 Tage. Bestimme mit G=6,67430⋅10−11 m3 kg−1 s−2G=6{,}67430\cdot10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}G=6,67430⋅10−11m3kg−1s−2 die Gesamtmasse.

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Verwandte Formeln

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Zwei leichte Begleiter derselben Quelle haben a₂ = 4a₁. Wie groß ist $\frac{T_2}{T_1}$ ?

Eine Relativellipse hat nächsten Abstand 3,00×10⁷ m und fernsten Abstand 5,00×10⁷ m. Bei $\mu=1{,}00\cdot10^{15}\,\mathrm{m^3\,s^{-2}}$ bestimme a und T.

$a=1{,}00\cdot10^{9}\,\mathrm{m}$ , T = 10,0 Tage. Bestimme mit $G=6{,}67430\cdot10^{-11}\,\mathrm{m^3\,kg^{-1}\,s^{-2}}$ die Gesamtmasse.