Physik · Kinematik

Winkelgeschwindigkeit und Kreisfrequenz

Q: Wie rechnet man Umdrehungen pro Minute in $\frac{rad}{s}$ um?

Teile den positiven Drehzahlbetrag n in $\frac{U}{\min{}}$ durch 60, um $f=\frac n{60}$ in Umläufen pro Sekunde zu erhalten. Multipliziere dann mit 2π rad je Umlauf: $\Omega=\frac{2\pi n}{60}$. Für $\frac{3000 U}{\min{}}$ sind das 50 Hz und ungefähr $\frac{314{,}16 rad}{s}$. Der Drehsinn ist eine zusätzliche Angabe; um eine positiv festgelegte Achse kann $\omega_z=+\Omega$ oder −Ω sein. Eine Anzeige über ein Messfenster liefert außerdem einen Mittelwert. Bei veränderlicher Drehzahl bestimmt sie nicht automatisch den momentanen Endwert. Verwende Radiant für die einfache Verbindung zu Bahngeschwindigkeit und Beschleunigung. Der Faktor 2π bleibt notwendig, auch wenn rad im SI dimensionslos ist.

Q: Wie hängen Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit zusammen?

Für reine Rotation um eine feste Achse gilt $\vec v=\vec\omega\times\vec r$. Der Bahngeschwindigkeitsbetrag ist $v=|\omega_z|r_\perp$, mit r⊥ als senkrechtem Abstand zur Achse. Die Punkte eines starren Körpers teilen dieselbe Winkelgeschwindigkeit, aber verschiedene lineare Geschwindigkeiten. Bei gleichförmiger Rotation mit $T=4 s$ ist der Betrag $\frac{\frac{\pi{}}{2} rad}{s}$; ein Punkt bei 3 m hat rund $\frac{4{,}71 m}{s}$, ein Punkt bei 1 m rund $\frac{1{,}57 m}{s}$. Ein negatives ωz bezeichnet den Drehsinn und darf nicht als negativer Geschwindigkeitsbetrag ausgegeben werden. Bei zusätzlicher Körpertranslation addierst du die Referenzgeschwindigkeit. Für einen flexiblen oder verwindenden Körper ist ein gemeinsames ω nicht immer gegeben.

Q: Warum muss man im Bogenmaß rechnen?

Das Bogenmaß definiert $\theta=\frac sr$. Deshalb gelten $s=r\theta$, $v=|\omega|r$ und die üblichen Ableitungsregeln für Sinus und Kosinus ohne weitere Umrechnungsfaktoren. Ein Winkel in Grad muss für eine Winkelrate in $\frac{rad}{s}$ mit $\frac\pi{180}$ umgerechnet werden. Radiant ist dabei eine dimensionslose SI-Einheit, deren Name die Winkelbedeutung klar hält. Der Rechner muss trotzdem zum konkret eingegebenen Winkel passen: Für $\sin30^\circ$ ist der Gradmodus richtig, für $\sin\frac\pi6$ der Radiantmodus. Eine Formel mit einer ausdrücklich in Grad angegebenen Kraftgeometrie verlangt daher nicht pauschal RAD. Entscheidend sind die Einheit des Winkels und die Konvention der Rechenfunktion. Ein voller Umlauf entspricht in beiden Schreibweisen 360° beziehungsweise 2π rad.

Die Winkelgeschwindigkeit ist die zeitliche Winkeländerung. Die Kurzform $\omega=2\pi f=\frac{2\pi}T$ gilt für den Betrag beim gleichförmigen Umlauf; Bahngeschwindigkeit hängt zusätzlich vom Achsabstand ab.

GrundlegendPrüfungsrelevantSekundarstufe ISekundarstufe II

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Formel

Berechnen

ω = 2 π f = \frac{2 π}{T} v = ω \cdot r

ω in rad/s · f in Hz · T in s · v in m/s · r in m

Variablen & Einheiten

Variablen & Einheiten
Symbol	Bedeutung	Einheit
$ω$	Winkelgeschwindigkeitsbetrag in dieser gleichförmigen Kurzform; ωz kann ein Vorzeichen tragen	rad/s
$f$	Positive Umlauffrequenz bei gleichförmiger Rotation	Hz
$T$	Positive Dauer eines gleichförmigen Umlaufs	s
$v$	Betrag der tangentialen Geschwindigkeit	m/s
$r$	Senkrechter Abstand zur festen Drehachse	m

LaTeX

\omega = 2\pi f = \frac{2\pi}{T} \qquad v = \omega \cdot r

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Schema: Eine drehende Scheibe mit Drehpfeil ω, darunter ein Maßpfeil r vom Mittelpunkt zum Rand. Am Rand ein Geschwindigkeitspfeil v, auf halbem Radius ein halb so langer Pfeil v/2, beide Spitzen auf einer gestrichelten Geraden durch den Mittelpunkt. — Alle Punkte der starren Scheibe teilen die Winkelgeschwindigkeit. Der Bahngeschwindigkeitsbetrag ist v = |ωz|r und wächst proportional zum Abstand von der festen Achse.

Winkelgeschwindigkeit berechnen

Winkelgeschwindigkeit, Frequenz, Drehzahl, Umlaufzeit oder Bahngeschwindigkeit für eine gleichförmige Drehung um eine feste Achse ausrechnen.

Rechenmodell

Gesucht

Umlauffrequenz f

Umdrehungen pro Sekunde in Hz oder pro Minute in U/min, z. B. 120 U/min, also 2 Hz.

Mit Beispielwerten gefüllt. Tippe eigene Werte ein, das Ergebnis rechnet sofort mit.

Rechenweg · umstellen nach Ω, einsetzen, ausrechnen

1. Formel nach Ω umstellen
$\Omega=2\pi f$
2. Werte einsetzen (in SI-Einheiten)
- f = 120 U/min = 2 Hz
$2\cdot 3{,}14159\cdot 2=12{,}5664$
3. Ergebnis
Ω = 12,57 rad/s

Ergebnis: Winkelgeschwindigkeit Ω (Betrag von ω)

Ω = 12,57 rad/s

Mit f = 120 U/min ergibt sich Ω = 12,57 rad/s.

So rechnest du schneller

Eine Umdrehung sind 2π rad, also ω = 2π · f. Überschlag: 1 Umdrehung pro Sekunde sind gut 6 rad/s, und 60 U/min sind genau 1 Hz.
Je weiter außen ein Punkt sitzt, desto schneller ist er: v = ω · r. Alle Punkte einer starren Scheibe haben dasselbe ω, außen aber das größte v.

Annahmen und Grenzen

Gleichförmiger nichtnulliger Umlauf ohne Richtungswechsel oder eine eindeutig definierte harmonische Phase. Positive Frequenz und positive vollständige Periode; Ω ist ein Betrag. Drehsinn und momentane Werte bei beschleunigter Rotation werden damit nicht bestimmt.

Herleitung & Hintergrund

Ein Umlauf entspricht 2π rad. Daher gilt bei gleichförmiger Rotation $|\omega_z|=2\pi f=\frac{2\pi}T$ . $\omega_z=\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}$ enthält den Drehsinn. Punkte eines starren Körpers teilen eine Winkelgeschwindigkeit, ihre Bahngeschwindigkeitsbeträge wachsen mit dem Achsabstand. Bei einer harmonischen Schwingung bezeichnet Ω die Phasenrate; der Körper muss keine Kreisbahn durchlaufen. $\frac{U}{\min{}}$ werden vor dem Faktor 2π durch 60 geteilt.

Prüfungs-Blueprint

Gültigkeitsbereich

Feste Achse oder eindeutig definierte Phase. $\omega=2\pi f=\frac{2\pi}T$ beschreibt den Betrag bei gleichförmigem Umlauf; v ist ein Betrag. Nichtgleichförmige Rotation braucht Ableitung/Integration und ggf. Drehsinn.

Herleitung in Schritten

Radiant verbindet Winkel und Bogenlänge; Umlaufzählung wird mit 2π in Winkelgeschwindigkeit umgerechnet.

1Lege eine feste Achse und ihren positiven Drehsinn fest; führe θ als fortlaufenden Winkel in Radiant.
2Definiere $\omega_z=\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}$ und $\Omega=|\omega_z|$ . Die signierte Komponente und der Betrag sind verschiedene Angaben.
3Bei gleichförmigem Umlauf ist $|\Delta\theta|=2\pi$ in der Dauer T, also $\Omega=\frac{2\pi}T$ .
4Mit positiver Umlauffrequenz $f=\frac1T$ folgt $\Omega=2\pi f$ . Negativer Drehsinn liefert $\omega_z=-\Omega$ .
5Aus $s=r_\perp\theta$ bei fester Achse folgt durch Ableiten der Bahngeschwindigkeitsbetrag $v=\Omega r_\perp$ .
6Bei veränderlichem ωz bestimme momentane Werte aus θ(t) und Winkeländerung aus $\int\omega_z(t)\,\mathrm dt$ ; $\frac{2\pi}T$ eines Umlaufs ist dann kein allgemeiner momentaner Wert.

Umstellen

Frequenz

f=\frac{|\omega_z|}{2\pi}

Bei gleichförmigem Umlauf ist f positiv; die signierte Achsenkomponente liefert den Betrag.

Radius

r_\perp=\frac v{|\omega_z|}

Reine Rotation um eine feste Achse, nichtnullige Winkelgeschwindigkeit und Geschwindigkeitsbetrag v.

Umlaufdauer

T=\frac{2\pi}{|\omega_z|}

Gleichförmiger nichtnulliger Umlauf; T ist eine positive vollständige Periode.

Aufgabenvariante

Eine Bohrmaschine läuft mit $\frac{3000 U}{\min{}}$ . Berechne f und ω.

Gleichförmiger Umlauf: $f=\frac{3000}{60}\,\mathrm{Hz}=50\,\mathrm{Hz}$ , $\Omega=2\pi f=100\pi\,\mathrm{rad/s}\approx314{,}159\,\mathrm{rad/s}$ .
Ohne Angabe des Drehsinns ist nur der Betrag bestimmt.

In einem vereinfachten kugelförmigen Erdmodell sei der Radius $6{,}371\times{}10^{6} m$ und die gleichförmige volle Rotationsperiode 86400 s. Berechne die Geschwindigkeit eines Äquatorpunkts im nicht mitrotierenden Modellbezug.

Ansatz: $\Omega=\frac{2\pi}T$ , $v=\Omega R$ .
Mit dem vorgegebenen Modellwert ergibt sich $\Omega=\frac{2\pi}{86400}\,\mathrm{rad/s}\approx7{,}27221\times10^{-5}\,\mathrm{rad/s}$ und $v\approx463{,}312\,\mathrm{m/s}$ .
Die tatsächliche Erdrotation gegenüber fernen Sternen hat eine etwas kürzere Periode.

Typische Fehler

Drehzahlen in $\frac{U}{\min{}}$ direkt als Frequenz verwenden.

Erst durch 60 teilen: $3000\,\mathrm{min^{-1}}=50\,\mathrm{Hz}$ .

ω und f gleichsetzen.

$\omega=2\pi f$ ; der Faktor 2π unterscheidet Winkel- von Umdrehungsrate.

Mit Grad statt Bogenmaß rechnen.

$v=\omega r$ gilt nur mit ω in $\frac{rad}{s}$ ; $360^\circ=2\pi\,\mathrm{rad}$ .

Allen Punkten eines Rades dieselbe Bahngeschwindigkeit zuschreiben.

ω ist überall gleich, aber $v=\omega r$ wächst mit dem Radius.

Klausurkontext

Grundbaustein für Zentripetalkraft-Aufgaben, Satellitenbahnen und harmonische Schwingungen; oft ist die Umrechnung $\frac{U}{\min{}}$ zu $\frac{rad}{s}$ der erste Teilschritt.

Formelcluster

Rotation

Verbindet Drehgrößen mit Bahngrößen und führt zur Zentripetalkraft.

Fz = m·v²/r

Zentripetalkraft (Kreisbewegung)

T²/a³ = 4π²/[G(M+m)]

Drittes Keplersches Gesetz

M = F·r·sin(θ)

Drehmoment

Rechenbeispiel

Karussell dreht sich einmal in $T=4\,\mathrm s$ : $\omega=\frac{2\pi}{4}\,\mathrm{rad/s}\approx1{,}57\,\mathrm{rad/s}$ . Ein Sitz bei $r=3\,\mathrm m$ hat die Bahngeschwindigkeit $v=\omega r\approx4{,}7\,\mathrm{m/s}$ .

Anwendungsgebiete

Motordrehzahlen und Getriebe, Zentrifugen, Windkraftanlagen (Blattspitzengeschwindigkeit), Erdrotation und Satelliten, Schwingungslehre

Rechenbeispiel: Winkelgeschwindigkeit und Kreisfrequenz

Eine typische Aufgabe Schritt für Schritt: Winkelgeschwindigkeit und Kreisfrequenz (ω = 2πf; v = ω·r).

1
Aufgabe
Eine Bohrmaschine läuft mit $\frac{3000 U}{\min{}}$ . Berechne f und ω.
Rechenweg
1. Gleichförmiger Umlauf: $f=\frac{3000}{60}\,\mathrm{Hz}=50\,\mathrm{Hz}$ , $\Omega=2\pi f=100\pi\,\mathrm{rad/s}\approx314{,}159\,\mathrm{rad/s}$ .
2. Ohne Angabe des Drehsinns ist nur der Betrag bestimmt.
2
Aufgabe
In einem vereinfachten kugelförmigen Erdmodell sei der Radius $6{,}371\times{}10^{6} m$ und die gleichförmige volle Rotationsperiode 86400 s. Berechne die Geschwindigkeit eines Äquatorpunkts im nicht mitrotierenden Modellbezug.
Rechenweg
1. Ansatz: $\Omega=\frac{2\pi}T$ , $v=\Omega R$ .
2. Mit dem vorgegebenen Modellwert ergibt sich $\Omega=\frac{2\pi}{86400}\,\mathrm{rad/s}\approx7{,}27221\times10^{-5}\,\mathrm{rad/s}$ und $v\approx463{,}312\,\mathrm{m/s}$ .
3. Die tatsächliche Erdrotation gegenüber fernen Sternen hat eine etwas kürzere Periode.

Die Formel verstehen und anwenden

Die Winkelgeschwindigkeit beschreibt eine Winkeländerung pro Zeit und trägt bei einer festgelegten Achse ein Vorzeichen. Bei gleichförmiger Rotation verbindet sie Drehzahl und Umlaufzeit. An einer Drehscheibe, einer beschleunigten Bewegung und einer Richtungsumkehr werden Betrag und Richtung unterscheidbar.

Wie viel Winkel wird pro Zeit durchlaufen?

Zwei Punkte auf derselben starren Drehscheibe umrunden die Achse gemeinsam. Der äußere Punkt legt dabei einen längeren Weg zurück. Ihre Winkelgeschwindigkeit ist gleich, ihre Bahngeschwindigkeit verschieden. Diese Seite zeigt, wie du Drehzahl, Umlaufzeit und einen fortlaufenden Winkel sinnvoll miteinander verbindest.[1][4]

Du brauchst Zeitintervalle, Kreisumfang und eine positive Drehrichtung. Ein Vollkreis umfasst im Bogenmaß zwei Pi Radiant. Die Frequenz zählt volle Zyklen pro Sekunde; die Kreisfrequenz zählt Radiant pro Sekunde. Der gleiche Zusammenhang beschreibt auch die Phase einer Schwingung, selbst wenn kein Körper tatsächlich im Kreis läuft.[1][4]

Winkeländerung statt nur Umdrehungen zählen

\begin{aligned}\omega_z(t)&=\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}\\\overline\omega_z&=\frac{\theta_2-\theta_1}{t_2-t_1}\end{aligned}

Eine feste positive Achse bestimmt den positiven Drehsinn per Rechte-Hand-Regel. θ wird als fortlaufender Winkel in Radiant geführt.[1]

Bei einer Drehung in der xy-Ebene mit positiver z-Achse aus der Ebene heraus ist Gegenuhrzeigersinn positiv. Eine Drehung im Uhrzeigersinn hat $\omega_z<0$ . Der Betrag $\Omega=|\omega_z|$ ist stets nicht negativ. Ein Geschwindigkeitsbetrag v darf deshalb nicht unbesehen mit einer negativen ωz gleichgesetzt werden.

Winkelanzeigen springen oft nach 360° auf 0° zurück. Für eine Änderung über mehrere Umläufe musst du diese Sprünge auflösen: Zwei volle positive Umläufe entsprechen $\Delta\theta=4\pi$ , obwohl die Anfangs- und Endstellung auf der Scheibe gleich aussehen. Die Nettowinkeländerung kann bei Hin- und Herdrehung kleiner als der gesamte überstrichene Winkel sein.

Warum Radiant keine beliebige Zusatzangabe ist

\begin{aligned}\theta&=\frac sr\\\Delta\theta_{\mathrm{rev}}&=2\pi\,\mathrm{rad}\\\theta_{\mathrm{rad}}&=\frac\pi{180}\theta_{\mathrm{deg}}\end{aligned}

s ist die zugehörige gerichtete Bogenlänge bei festem Radius r > 0.[1]

Radiant ist im SI eine dimensionslose abgeleitete Einheit, denn $\frac{\mathrm m}{\mathrm m}=1$ . Die Kennzeichnung rad macht trotzdem deutlich, dass ein Winkel und keine beliebige Zahl gemeint ist. Eine Winkelgeschwindigkeit besitzt die Dimension $\mathrm{s^{-1}}$ ; ihre klare Einheit ist $\mathrm{rad/s}$ . Hertz zählt dagegen volle Zyklen pro Sekunde. Gleiche Dimensionen beseitigen den Umrechnungsfaktor $2\pi$ zwischen beiden Angaben nicht.[5]

Die Beziehung $s=r\theta$ und die üblichen Ableitungsregeln für $\sin\theta$ und $\cos\theta$ gelten in dieser einfachen Form für Radiant. Ein Winkelverlauf in Grad pro Sekunde muss zuerst mit $\frac{\pi}{180}$ umgerechnet werden. Für $\sin30^\circ$ darfst du den Rechner dagegen im Gradmodus verwenden; entscheidend ist, ob Eingabe und gewählte Rechenfunktion zusammenpassen.

Wie rechnet man Frequenz, Umlaufzeit und Drehzahl in Winkelgeschwindigkeit um?

\begin{aligned}\Omega&=2\pi f=\frac{2\pi}T\\f&=\frac1T\end{aligned}

Für gleichförmige Rotation zählen f und T positive Umlaufhäufigkeit und Umlaufdauer; Ω ist der Winkelgeschwindigkeitsbetrag.[1]

Ein gleichförmiger positiver Umlauf in T Sekunden durchläuft $\Delta\theta=+2\pi\,\mathrm{rad}$ , also $\omega_z=+\frac{2\pi}{T}$ . Bei negativem Drehsinn lautet die Komponente $-\frac{2\pi}{T}$ . Die Kurzform $\omega=2\pi f$ meint häufig nur den Betrag. Lege diese Bedeutung vor der Rechnung fest, besonders wenn eine Achskomponente oder eine Richtungsumkehr vorkommt. Für einen positiven Drehzahlbetrag n in U/min erhältst du zunächst $f=\frac n{60}$ in Hertz und dann $\Omega=2\pi f$ in rad/s.

Bei veränderlicher Drehung liefert $\frac{2\pi}{T}$ für einen gerade abgeschlossenen Umlauf ohne Richtungsumkehr nur dessen mittleren Winkelgeschwindigkeitsbetrag. Das ist nicht automatisch der momentane Wert am Anfang oder Ende. Um eine beschleunigte Bewegung genauer zu beschreiben, brauchst du einen fortlaufenden Winkelverlauf oder Messungen in kleineren Zeitfenstern.

Was alle Punkte teilen und was vom Radius abhängt

\begin{aligned}\vec v&=\vec\omega\times\vec r\\v&=\Omega r_\perp\end{aligned}

Für reine Rotation um eine feste Achse ist r⊥ der senkrechte Abstand zur Achse; v ist der Geschwindigkeitsbetrag.[2]

Ein starrer Körper besitzt im selben Augenblick eine gemeinsame Winkelgeschwindigkeit. Ein Punkt auf der Achse hat Bahngeschwindigkeit null, ein Punkt im doppelten Abstand die doppelte Geschwindigkeit. In einer zweidimensionalen Scheibe ist r⊥ der Kreisradius. Bei zusätzlicher Translation des Körpers addierst du die Geschwindigkeit der Referenz zur Rotationsgeschwindigkeit.[2]

\begin{aligned}a_{\mathrm t}&=\alpha_zr_\perp\\a_{\mathrm r}&=\Omega^2r_\perp\\\alpha_z&=\frac{\mathrm d\omega_z}{\mathrm dt}\end{aligned}

Die tangentiale Komponente hat ein Vorzeichen; die radiale Beschleunigung zeigt nach innen und hat den angegebenen Betrag.[2]

Auch bei konstantem Ω gibt es radiale Beschleunigung, weil sich die Geschwindigkeitsrichtung ändert. Bei veränderlichem ωz kommt die tangentiale Komponente hinzu. Deshalb sind Winkelgeschwindigkeit null, Winkelbeschleunigung null und lineare Beschleunigung null drei verschiedene Aussagen. Die dafür nötige radiale Gesamtkraft wird mit der Zentripetalkraft beschrieben.

Zwei eigene Drehungsbeispiele

Drehzahl mit negativem Drehsinn

Gegeben: Starrer Rotor um die feste z-Achse: 120 U/min im Uhrzeigersinn, gesehen von der positiven z-Seite. Ein Punkt liegt bei r⊥ = 0,18 m.
Gesucht: Berechne f, T, ωz und den Bahngeschwindigkeitsbetrag.

Ansatz: Gleichförmiger Umlauf: Zuerst volle Zyklen pro Sekunde bestimmen, dann Drehsinn und Radius verwenden.
$\begin{aligned}f&=\frac{N_{\mathrm{rev}}}{\Delta t}\\\omega_z&=-2\pi f\\v&=|\omega_z|r\end{aligned}$
Die gegebenen Werte mit passenden Einheiten einsetzen.
$\begin{aligned}f&=\frac{120}{60}=2\,\mathrm{Hz}\\{} T&=\frac{1}{f}=0.50\,\mathrm s\end{aligned}$
Faktor 2π und negativen Drehsinn einsetzen.
$\omega_z=-2\pi f=-4\pi\,\mathrm{rad/s}\approx-12.5664\,\mathrm{rad/s}$
Für den linearen Betrag Ω statt der vorzeichenbehafteten Komponente verwenden.
$v=|\omega_z|r_\perp=4\pi\cdot0.18\approx2.26195\,\mathrm{m/s}$

Ergebnis: f = 2 Hz, T = 0,50 s, ωz ≈ −12,57 rad/s. Der Punkt bewegt sich mit 2,262 m/s tangential.

Kontrolle: Ein voller Umlauf legt $2\pi\cdot0{,}18\,\mathrm m$ zurück. Division durch $0{,}50\,\mathrm s$ ergibt wieder $0{,}72\pi\,\mathrm{m/s}$ . Das negative Vorzeichen der Achsenkomponente beschreibt den Drehsinn, keine negative Weglänge.

Eine zeitlich veränderliche Winkelgeschwindigkeit

Gegeben: θ(t) = (1,2 rad/s²)t² + (0,50 rad/s³)t³, mit t in Sekunden; feste Achse, t von 0 bis 0,40 s.
Gesucht: Vergleiche mittlere Winkelgeschwindigkeit, Endwert und End-Winkelbeschleunigung.

Ansatz: Ableitung und Intervallmittel sind unterschiedliche Größen.
$\begin{aligned}\overline\omega_z&=\frac{\theta(t_1)-\theta(0)}{t_1}\\\omega_z(t)&=\frac{\mathrm d\theta}{\mathrm dt}\\\alpha_z(t)&=\frac{\mathrm d\omega_z}{\mathrm dt}\end{aligned}$
Die gegebenen Werte mit passenden Einheiten einsetzen.
$\Delta\theta=1.2\cdot0.40^2+0.50\cdot0.40^3=0.224\,\mathrm{rad}$
Für den Mittelwert durch die Dauer teilen.
$\overline\omega_z=\frac{0.224}{0.40}=0.560\,\mathrm{rad/s}$
Für den momentanen Wert ableiten.
$\begin{aligned}\omega_z(t)&=2.4t+1.5t^2\\{} \omega_z(0.40)&=1.20\,\mathrm{rad/s}\end{aligned}$
Noch einmal ableiten; die Koeffizienteneinheiten folgen aus der gegebenen Funktion.
$\begin{aligned}\alpha_z(t)&=2.4+3t\\{} \alpha_z(0.40)&=3.60\,\mathrm{rad/s^2}\end{aligned}$

Ergebnis: Der Mittelwert ist 0,560 rad/s, der Endwert 1,20 rad/s und die End-Winkelbeschleunigung 3,60 rad/s².

Kontrolle: Integration von ωz(t) über 0 bis 0,40 s ergibt wieder 0,224 rad. Da α zeitabhängig ist, wäre eine Rechnung mit konstantem α ohne Begründung unzulässig.

Gleichförmig, gleichmäßig beschleunigt oder beliebig

\theta(t)=\theta_0+\int_0^t\omega_z(\tau)\,\mathrm d\tau

Die Winkeländerung ist die vorzeichenbehaftete Fläche unter ωz(t).[1]

Konstantes ωz ergibt $\theta=\theta_0+\omega_zt$ . Konstantes αz ergibt $\omega_z=\omega_{z,0}+\alpha_zt$ und $\theta=\theta_0+\omega_{z,0}t+\frac12\alpha_zt^2$ . Beide Vereinfachungen setzen ihre jeweilige Konstanz voraus. Ein Anfangswert unter null und positives α können zuerst abbremsen und später einen Drehsinnwechsel erzeugen. Das Modell der konstanten Winkelbeschleunigung führt diese Anfangswerte und den späteren Drehsinn gemeinsam fort.[3]

Für $\omega_{z,0}=-2\,\mathrm{rad/s}$ und $\alpha_z=+1\,\mathrm{rad/s^2}$ stoppt die Drehung nach $2\,\mathrm s$ und kehrt ihren Sinn um. Nach $4\,\mathrm s$ ist der fortlaufende Winkel wieder der Anfangswinkel. Der Winkelweg beträgt trotzdem $4\,\mathrm{rad}$ , weil beide Teilwege positiv gezählt werden. Der dritte Rechenweg zeigt die beiden Flächen der folgenden Grafik Schritt für Schritt.

Vorzeichenflächen zeigen die Richtungsumkehr

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Zum dritten Beispiel:

\omega_z(t)=-2\,\mathrm{rad/s}+(1\,\mathrm{rad/s^2})t

. Die negative und positive Dreiecksfläche heben sich im Nettowinkel auf. Ihre Beträge addieren sich zum Winkelweg

4\,\mathrm{rad}

.[1][3]

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Kreisfrequenz einer Schwingung und praktische Grenzen

In $x(t)=A\cos(\Omega t+\varphi_0)$ bezeichnet $\Omega$ die Änderungsrate der Schwingungsphase. Harmonische Phasenentwicklung erfüllt $\Omega=2\pi f$ . Der Körper muss dabei nicht im Kreis laufen; der Ausdruck $\Omega r$ beschreibt daher nicht automatisch seine tatsächliche Geschwindigkeit. Diese folgt aus Ableiten: $v_x(t)=-A\Omega\sin(\Omega t+\varphi_0)$ .[4]

Bei einem weichen oder verwindenden Rotor müssen verschiedene Teile nicht dieselbe Winkelgeschwindigkeit haben. In räumlicher Bewegung ist ω⃗ ein Vektor; Eulerwinkel-Ableitungen sind nicht allgemein unmittelbar seine Komponenten. Die einfachen skalaren Beziehungen dieser Seite beziehen sich auf eine feste Achse beziehungsweise eine eindeutig festgelegte Schwingungsphase.

Eine Drehzahlanzeige über ein endliches Messfenster liefert einen Mittelwert. Für Anlaufspitzen, Beschleunigung und Richtungswechsel reichen nur f oder T nicht. Achte zusätzlich auf Messintervall, Drehsinn, Radius und den Bezug, in dem eine lineare Geschwindigkeit angegeben wird.

Eine Richtungsumkehr hat Winkelweg, aber keinen Nettowinkel

Eine Umkehr trennt Nettowinkel und Winkelweg besonders deutlich. Der folgende Verlauf wird einmal mit Vorzeichen und einmal als Betrag integriert.[1][3]

Eine Richtungsumkehr hat Winkelweg, aber keinen Nettowinkel

Gegeben: Eine Bewegung um eine feste z-Achse startet mit $\omega_{z,0}=-2{,}0\,\mathrm{rad/s}$ bei $\theta_0=0$ . Die Winkelbeschleunigung ist konstant +1,0 rad/s² während 4,0 s. Positive und negative Winkel sind fortlaufend erfasst.
Gesucht: Umkehrzeit, Nettowinkel, gesamten Winkelweg und beide Mittelwerte bestimmen.

Ansatz: Für den Nettowinkel integriert man die signierte Winkelgeschwindigkeit; für den Winkelweg ihren Betrag.
$\begin{aligned}\omega_z(t)&=\omega_{z,0}+\alpha_zt\\\Delta\theta&=\int_0^{4\,\mathrm s}\omega_z(t)\,\mathrm dt\\\Theta_{\mathrm{travel}}&=\int_0^{4\,\mathrm s}|\omega_z(t)|\,\mathrm dt\end{aligned}$
Die beiden Dreiecksflächen sind gleich groß, tragen beim Nettowinkel aber unterschiedliche Vorzeichen.
$\begin{aligned}t_{\mathrm{turn}}&=-\frac{\omega_{z,0}}{\alpha_z}=2.0\,\mathrm s\\\Delta\theta_1&=-\frac12(2\,\mathrm s)(2\,\mathrm{rad/s})=-2\,\mathrm{rad}\\\Delta\theta_2&=+2\,\mathrm{rad}\\\Delta\theta&=0,&\Theta_{\mathrm{travel}}&=4\,\mathrm{rad}\\\overline\omega_z&=0,&\overline{|\omega_z|}&=1\,\mathrm{rad/s}\end{aligned}$

Ergebnis: Der Körper kehrt nach 2 s um und erreicht nach 4 s denselben fortlaufenden Winkel wie zu Beginn. Er hat dennoch insgesamt 4 rad Winkelweg zurückgelegt.

Kontrolle: Die unabhängige Ortsformel ergibt $\theta(4\,\mathrm s)=(-2)(4)+\frac12(1)(4)^2=0\,\mathrm{rad}$ ; am Umkehrpunkt liegt $\theta=-2\,\mathrm{rad}$ . Ein Mittelwert null bedeutet daher nicht, dass der Körper während des Intervalls stillstand.

Fünf Aufgaben mit Lösungen

Einsetzen und Rechnen · Einstieg

Eine Scheibe rotiert gleichförmig mit 75 U/min positiv um z. Bestimme ωz und die Geschwindigkeit im Abstand 0,20 m.

Hinweis anzeigen

Erst U/min durch 60 teilen.

Lernziel: Drehzahl und Punktgeschwindigkeit verknüpfen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die gegebene positive gleichförmige Drehung liefert $f=1{,}25\,\mathrm{Hz}$ und $\omega_z=2{,}5\pi\,\mathrm{rad/s}\approx7{,}854\,\mathrm{rad/s}$ .
Mit dem Radius folgt $v=0{,}5\pi\,\mathrm{m/s}\approx1{,}571\,\mathrm{m/s}$ .

Kontrolle: Der Weg $2\pi r$ pro Umlaufzeit $\frac1f$ ergibt denselben Betrag.

\begin{aligned}f&=\frac{75}{60}\,\mathrm{Hz}=1.25\,\mathrm{Hz}\\\omega_z&=+2\pi f=2.5\pi\,\mathrm{rad/s}\\v&=|\omega_z|r=0.5\pi\,\mathrm{m/s}\end{aligned}

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

Ein fortlaufender Winkel ändert sich in 2 s von 10° auf 250° ohne Umkehr. Bestimme die mittlere Winkelgeschwindigkeit in rad/s.

Hinweis anzeigen

Winkeländerung bilden und Grad in Radiant umrechnen.

Lernziel: Fortlaufende Winkeländerung zeitlich mitteln.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Der Winkel ist bereits fortlaufend erfasst, daher ist die Änderung eindeutig $240^\circ=\frac{4\pi}3\,\mathrm{rad}$ .
Durch das Zeitintervall teilen ergibt $\overline\omega_z=\frac{2\pi}3\,\mathrm{rad/s}\approx2{,}094\,\mathrm{rad/s}$ .
Ohne einen genaueren Zeitverlauf ist der momentane Endwert damit nicht bestimmt.

\begin{aligned}\Delta\theta&=(250-10)\frac\pi{180}\,\mathrm{rad}=\frac{4\pi}3\,\mathrm{rad}\\\overline\omega_z&=\frac{\Delta\theta}{\Delta t}=\frac{2\pi}3\,\mathrm{rad/s}\\&\approx2.094\,\mathrm{rad/s}\end{aligned}

Einsetzen und Rechnen · Anwenden

$\omega_z(t)=(2\,\mathrm{rad/s^2})t$ für $0\le t\le3\,\mathrm s$ . Bestimme Endwert und Winkeländerung.

Hinweis anzeigen

Endwert einsetzen; für den Winkel die Dreiecksfläche integrieren.

Lernziel: Winkelgeschwindigkeitsverlauf integrieren.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Den Endwert direkt einsetzen, die Winkeländerung dagegen durch Integration bestimmen.
Es folgt $\omega_z(3\,\mathrm s)=6\,\mathrm{rad/s}$ und $\Delta\theta=9\,\mathrm{rad}$ .
Die Dreiecksfläche unter der Geraden kontrolliert das Integral.
Der Endwert mal drei Sekunden wäre $18\,\mathrm{rad}$ , doppelt zu groß.

\begin{aligned}\omega_z(3\,\mathrm s)&=6\,\mathrm{rad/s}\\\Delta\theta&=\int_0^{3\,\mathrm s}\omega_z(t)\,\mathrm dt\\&=\frac12(2\,\mathrm{rad/s^2})(3\,\mathrm s)^2=9\,\mathrm{rad}\end{aligned}

Interpretieren · Anwenden

Auf derselben starren gleichförmig rotierenden Scheibe markieren zwei Punkte die Radien 5 cm und 15 cm. Beide haben Umlaufperiode 2 s. Vergleiche f, |ω| und die Geschwindigkeitsbeträge; welches Diagramm v gegen r entsteht?

Hinweis anzeigen

Alle Punkte teilen die Rotation, nicht die Länge der Kreisbahn.

Lernziel: Gleiches ω und unterschiedliche Bahngeschwindigkeit unterscheiden.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Beide Frequenzen sind 0,5 Hz und beide Winkelgeschwindigkeitsbeträge π rad/s.
Die Geschwindigkeiten sind etwa 0,157080 und 0,471239 m/s.
Der äußere Punkt ist dreimal so schnell.
Bei festem Winkelgeschwindigkeitsbetrag ist v gegen r eine Ursprungsgerade; ihre Steigung ist der gemeinsame Winkelgeschwindigkeitsbetrag.

\begin{aligned}f&=\frac1T=0.5\,\mathrm{Hz},&|\omega|&=2\pi f=\pi\,\mathrm{rad\,s^{-1}}\\{}v_1&=0.05\pi\,\mathrm{m\,s^{-1}},&v_2&=0.15\pi\,\mathrm{m\,s^{-1}}\end{aligned}

[1]

Fehleranalyse · Anwenden

Ein Encoder zeigt von 350° auf 10° innerhalb 0,20 s. Die Bewegung ist bekannt positiv, ohne Umkehr und ohne zusätzliche volle Umdrehung. Jemand bildet −340° und nennt eine negative mittlere Winkelgeschwindigkeit. Korrigiere durch Entfalten des Winkels.

Hinweis anzeigen

Der zweite angezeigte Winkel entspricht hier 370° fortlaufend.

Lernziel: Modulo-Winkel nicht als fortlaufende Drehänderung einsetzen.

Lösung und Rechenweg anzeigen

Ansatz: Die positive fortlaufende Änderung ist 20°, nicht −340°.
Umrechnung ergibt π geteilt durch neun Radiant.
Über 0,20 s folgt eine mittlere Winkelgeschwindigkeit von etwa +1,74533 rad/s.
Ohne die Richtungs- und Umlaufangaben wäre das Entfalten nicht eindeutig; das Display zeigt nur den Restwinkel modulo einer Umdrehung.

\begin{aligned}\Delta\theta&=370^\circ-350^\circ=20^\circ=\frac\pi9\,\mathrm{rad}\\{}\overline\omega&=\frac{\pi\,\mathrm{rad}}{9\cdot0.20\,\mathrm s}\approx1.74533\,\mathrm{rad\,s^{-1}}\end{aligned}

[1]

Kurz zusammengefasst

Unterscheide signierte Winkelgeschwindigkeit, ihren Betrag und Frequenz in vollen Zyklen pro Sekunde. Rechne Winkel ins Bogenmaß um und berücksichtige zusätzliche Umdrehungen. Die Integration der signierten Geschwindigkeit liefert den Nettowinkel; der Betrag liefert den Winkelweg. Erst der Radius macht daraus eine Bahngeschwindigkeit.[1][3]

Belege zu dieser Erklärung

Quanta · Bearbeitet 2. Oktober 2026

Redaktion: Quanta Study Redaktion

Prüfumfang

Diese Erklärung, 3 Rechenbeispiele und 5 Aufgaben liegen auf Deutsch und Englisch vor. Aufbau, Quellenzuordnung und mathematische Darstellung werden automatisiert geprüft. Rechnungen, Modellvoraussetzungen und beide Sprachfassungen erhalten eine gesonderte KI-Gegenprüfung.

Für einen früheren veröffentlichten Stand dieser Seite ist eine interne menschliche Fachprüfung dokumentiert. Diese Bestätigung gilt nicht automatisch für die überarbeitete Erklärung und die neuen Aufgaben.

Eine unabhängige, namentliche menschliche Fachprüfung ist noch nicht dokumentiert. Unsere Aufgabenzahlen sind Rechenbeispiele und keine Messdaten der zitierten Quellen.

Redaktion, Quellen und Vorgehen

Änderungsverlauf

2. Oktober 2026Frageüberschriften präzisiert und fachlich passende Absatzverbindungen ergänzt; bestehende Herleitungen, Beispiele, Diagramme, Aufgaben und Quellen erhalten.
1. Oktober 2026Winkelgeschwindigkeit, Betrag und Phase natürlicher erklärt; vollständiges Umkehrbeispiel und quantitative Vorzeichenflächen ergänzt. Alte Drehzahl- und Ableitungsbeispiele sowie fünf Aufgaben erhalten.
1. Oktober 2026Zwei Aufgaben ergänzt; die fünf Aufgaben nach Aufgabentyp, Schwierigkeit und Lernziel gegliedert.

Diese Nachschlageseite zitieren

Quanta. Winkelgeschwindigkeit und Kreisfrequenz. Stand 2. Oktober 2026. https://quanta-study.de/tafelwerk/winkelgeschwindigkeit-kreisfrequenz

Bei einer konkreten fachlichen Aussage zusätzlich die dort verknüpfte Fachquelle nennen.

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Häufige Fragen: Winkelgeschwindigkeit und Kreisfrequenz

Wie rechnet man Umdrehungen pro Minute in

\frac{rad}{s}

um?+

Teile den positiven Drehzahlbetrag n in $\frac{U}{\min{}}$ durch 60, um $f=\frac n{60}$ in Umläufen pro Sekunde zu erhalten. Multipliziere dann mit 2π rad je Umlauf: $\Omega=\frac{2\pi n}{60}$ . Für $\frac{3000 U}{\min{}}$ sind das 50 Hz und ungefähr $\frac{314{,}16 rad}{s}$ . Der Drehsinn ist eine zusätzliche Angabe; um eine positiv festgelegte Achse kann $\omega_z=+\Omega$ oder −Ω sein. Eine Anzeige über ein Messfenster liefert außerdem einen Mittelwert. Bei veränderlicher Drehzahl bestimmt sie nicht automatisch den momentanen Endwert. Verwende Radiant für die einfache Verbindung zu Bahngeschwindigkeit und Beschleunigung. Der Faktor 2π bleibt notwendig, auch wenn rad im SI dimensionslos ist.

Was ist der Unterschied zwischen Frequenz und Kreisfrequenz?+

Die Frequenz f zählt vollständige Zyklen pro Sekunde und wird in Hertz angegeben. Bei gleichförmigem Umlauf beziehungsweise harmonischer Phasenentwicklung ist die Kreisfrequenz $\Omega=2\pi f$ in $\frac{rad}{s}$ . Ein Umlauf entspricht 2π rad, daher sind die Zahlenwerte verschieden. Für vorzeichenbehaftete Rotation muss zusätzlich der Drehsinn festgelegt werden; f wird üblicherweise positiv gezählt. Bei einer Schwingung beschreibt Ω die Phase, nicht zwingend die körperliche Drehung auf einer Kreisbahn. Radiant ist im SI dimensionslos, aber seine Kennzeichnung unterscheidet Winkelrate von Zykluszählung. Für veränderliche Rotation ist $\frac{2\pi}T$ eines vollständigen Umlaufs nur dessen Mittelwert, nicht allgemein die momentane Winkelgeschwindigkeit. Das muss beim Einsetzen in v oder Radialbeschleunigung berücksichtigt werden.

Wie hängen Winkelgeschwindigkeit und Bahngeschwindigkeit zusammen?+

Für reine Rotation um eine feste Achse gilt $\vec v=\vec\omega\times\vec r$ . Der Bahngeschwindigkeitsbetrag ist $v=|\omega_z|r_\perp$ , mit r⊥ als senkrechtem Abstand zur Achse. Die Punkte eines starren Körpers teilen dieselbe Winkelgeschwindigkeit, aber verschiedene lineare Geschwindigkeiten. Bei gleichförmiger Rotation mit $T=4 s$ ist der Betrag $\frac{\frac{\pi{}}{2} rad}{s}$ ; ein Punkt bei 3 m hat rund $\frac{4{,}71 m}{s}$ , ein Punkt bei 1 m rund $\frac{1{,}57 m}{s}$ . Ein negatives ωz bezeichnet den Drehsinn und darf nicht als negativer Geschwindigkeitsbetrag ausgegeben werden. Bei zusätzlicher Körpertranslation addierst du die Referenzgeschwindigkeit. Für einen flexiblen oder verwindenden Körper ist ein gemeinsames ω nicht immer gegeben.

Warum muss man im Bogenmaß rechnen?+

Das Bogenmaß definiert $\theta=\frac sr$ . Deshalb gelten $s=r\theta$ , $v=|\omega|r$ und die üblichen Ableitungsregeln für Sinus und Kosinus ohne weitere Umrechnungsfaktoren. Ein Winkel in Grad muss für eine Winkelrate in $\frac{rad}{s}$ mit $\frac\pi{180}$ umgerechnet werden. Radiant ist dabei eine dimensionslose SI-Einheit, deren Name die Winkelbedeutung klar hält. Der Rechner muss trotzdem zum konkret eingegebenen Winkel passen: Für $\sin30^\circ$ ist der Gradmodus richtig, für $\sin\frac\pi6$ der Radiantmodus. Eine Formel mit einer ausdrücklich in Grad angegebenen Kraftgeometrie verlangt daher nicht pauschal RAD. Entscheidend sind die Einheit des Winkels und die Konvention der Rechenfunktion. Ein voller Umlauf entspricht in beiden Schreibweisen 360° beziehungsweise 2π rad.

Wie schnell dreht sich die Erde und was folgt daraus?+

Die Rotationsperiode gegenüber fernen Sternen ist ungefähr ein Sterntag von $86164\,\mathrm s$ , kürzer als der mittlere Sonnentag von $86400\,\mathrm s$ . Daraus folgt $\Omega=\frac{2\pi}T\approx7{,}29\times10^{-5}\,\mathrm{rad/s}$ . Im vereinfachten kugelförmigen Modell mit Radius $R=6{,}371\times10^6\,\mathrm m$ bewegt sich ein Äquatorpunkt mit $v=\Omega R\approx465\,\mathrm{m/s}$ , also über $\frac{1600 km}{h}$ . In geographischer Breite ist der senkrechte Achsabstand näherungsweise $R\cos\varphi$ , an den Polen null. Der Wert $\frac{300 m}{s}$ beschreibt nur eine grobe mitteleuropäische Größenordnung. Das Vorzeichen braucht eine gewählte Achse. Die Rotation liefert einen Geschwindigkeitsbeitrag für Starts und ist für Zentrifugal- und Corioliseffekte relevant; deren vollständige Berechnung braucht zusätzliche Geometrie und Bezugssysteme.

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Kuratiertes Prüfungsset für "Winkelgeschwindigkeit und Kreisfrequenz":

Frage (Vorderseite)

Welche Formel beschreibt Winkelgeschwindigkeit und Kreisfrequenz?

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Frage (Vorderseite)

Wie stellst du ω = 2πf; v = ω·r nach Frequenz um?

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Frage (Vorderseite)

Welcher typische Fehler passiert bei ω = 2πf; v = ω·r?

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Fachquellen und weiterführende Literatur

Die Liste nennt Fachquellen und weiterführende Literatur. Eine Seiten- oder Abschnittsnummer steht dabei, wenn sie Teil der Literaturangabe ist; es handelt sich nicht um wörtliche Zitate.

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\sum \vec F_{\mathrm{ext}} = \vec F_{\mathrm{res}} = m \vec a

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