Winkelgeschwindigkeit und Kreisfrequenz

In zwei Schritten: Erst die Drehzahl durch 60 teilen, um die Frequenz in Umdrehungen pro Sekunde (Hz) zu erhalten, dann mit 2π multiplizieren, weil jede Umdrehung dem Winkel 2π im Bogenmaß entspricht. Kompakt: ω = 2π·n/60 mit n in U/min. Beispiel Bohrmaschine: 3000 U/min ergeben f = 50 Hz und ω = 2π × 50 ≈ 314 rad/s. Als grobe Merkregel gilt ω ≈ n/10 (genauer: n × 0,1047). Der Umweg über das Bogenmaß ist nötig, weil alle Formeln der Rotation, etwa v = ω·r oder a = ω²·r, nur mit ω in rad/s stimmen.

Die Frequenz f zählt volle Umdrehungen oder Schwingungen pro Sekunde und wird in Hertz gemessen. Die Kreisfrequenz ω misst dagegen den überstrichenen Winkel pro Sekunde im Bogenmaß und ist um den Faktor 2π größer: ω = 2π·f. Beide beschreiben dasselbe Tempo, nur in verschiedenen Zählweisen: einmal in Runden, einmal in Winkel. Der Faktor 2π ist kein Schönheitsdetail, sondern rechnerisch entscheidend: In v = ω·r, in der Zentripetalbeschleunigung a = ω²·r und im Schwingungsgesetz x(t) = A·sin(ωt) muss immer ω stehen. Wer dort f einsetzt, liegt um den Faktor 6,28 beziehungsweise dessen Quadrat daneben.

Über den Radius: v = ω·r. Die Winkelgeschwindigkeit beschreibt das Drehtempo und ist für alle Punkte eines starren Körpers gleich; die Bahngeschwindigkeit beschreibt, wie schnell ein bestimmter Punkt tatsächlich durch den Raum fliegt, und wächst linear mit dem Abstand von der Achse. Auf einem Karussell mit T = 4 s gilt überall ω = 2π/4 ≈ 1,57 rad/s, aber ein Sitz bei r = 3 m bewegt sich mit 4,7 m/s, ein Kind bei r = 1 m nur mit 1,6 m/s. Dasselbe Prinzip erklärt, warum die Blattspitzen einer Windkraftanlage weit über 200 km/h erreichen, obwohl der Rotor gemächlich wirkt.

Das Bogenmaß ist so definiert, dass der Winkel gleich dem Verhältnis von Bogenlänge zu Radius ist: φ = s/r. Nur mit dieser Definition wird die Beziehung s = φ·r zu einer einfachen Multiplikation, und ihre zeitliche Ableitung liefert direkt v = ω·r ohne zusätzliche Umrechnungsfaktoren. Würde man in Grad rechnen, müsste in jeder Formel der Faktor π/180 mitgeschleppt werden. Ein voller Kreis entspricht 2π rad ≈ 6,283 rad, ein Radiant ist etwa 57,3°. Auch die Ableitungsregeln für sin und cos gelten nur im Bogenmaß. Deshalb: Taschenrechner für Rotations- und Schwingungsaufgaben grundsätzlich in den RAD-Modus schalten, für Geometrieaufgaben mit Gradangaben zurück in DEG.

Die Erde braucht für eine Umdrehung einen Sterntag von 86.164 s, also ist ω = 2π/86.164 ≈ 7,29×10⁻⁵ rad/s (mit 24 h gerechnet: 7,27×10⁻⁵). Das klingt winzig, aber der große Erdradius macht daraus am Äquator eine Bahngeschwindigkeit von v = ω·r ≈ 465 m/s, über 1600 km/h. Mit der geographischen Breite nimmt der Bahnradius ab (r·cos φ), in Deutschland sind es noch rund 300 m/s, an den Polen null. Folgen dieser Rotation: Raketenstartplätze liegen bevorzugt äquatornah, um den Geschwindigkeitsbonus mitzunehmen, die Zentrifugalwirkung verringert die effektive Schwere am Äquator um etwa 0,3 %, und die Corioliskraft lenkt großräumige Winde und Meeresströmungen ab.